Sistem Persamaan Diferensial Order Satu

(1 + t)e^3t, (4 + 3t)e^3t¢. Kedua solusi ini bebas linier, oleh karenaya solusi umum sistem persamaan diferensial (5.104)-(??) diberikan oleh

(x, y) = C1(x1, y1) +C2(x2, y2)

= C₁^¡e^3t, e^3t¢+C₂^¡(1 + t)e^3t, (4 + 3t)e^3t¢. (5.114)

5.3 Sistem Persamaan Diferensial Order Satu

Takhomogen dengan Koefisien Konstan.

Pada bab sebelumnya kita telah menggunakan metode variasi pa-rameter untuk menyelesaikan persamaan diferensial order dua ta-khomogen. Pada bagian ini kita akan menggunakan metode ini un-tuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial order satu takho-mogen. Pada dasarnya apa yang telah dilakukan di bab sebelumnya kita kembangkan untuk sistem persamaan diferensial. Untuk mem-perdalam pemahaman kita tentang metode ini dalam menyelesaik-an sistem persamamenyelesaik-an diferensial kita ambil contoh soal (4.60) yaitu

y⁰⁰− 3y⁰+ 2y = sin e^−x. Misalkan z = y⁰mendiferensialkan z terhadap

x diperoleh z⁰ = y⁰⁰. Menggunakan informasi ini kita peroleh sistem persamaan diferensial order satu berikut

y⁰= z (5.115)

z⁰= 3z − 2y + sin e^−x. (5.116)

Transformasi ini memungkinkan kita untuk mengembangkan metode-metode yang telah kita gunakan pada persamaan diferensial order dua ke sistem persamaan diferensial order satu.

Sekarang kita kembangkan metode variasi parameter untuk menye-lesaikan sistem persamaan diferensial order satu yang berbentuk

x⁰= k₁(t)x + k₂(t)y + F(t) (5.117) y⁰= l1(t)x + l2(t)y + G(t). (5.118)

Anggaplah pasangan fungsi (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) merupakan dua solusi yang bebas linier yang berpadanan dengan sistem persmaan homogen

x⁰= k1(t)x + k2(t)y (5.119) y⁰= l₁(t)x + l₂(t)y. (5.120)

Selanjutnya kita akan mencari solusi khusus (x_p, y_p) yang memenuhi sistem (5.117)-(5.118) yang berbentuk

(x_p, y_p) = u₁(t)(x₁, y₁) + u₂(t)(x₂, y₂), (5.121)

dimana (u₁, u₂) akan dicari dengan mensubstitusikan (5.121) ke sis-tem (5.117)-(5.118). Setelah disubstitusikan dan dengan mengingat bahwa (x1, y1) dan (x2, y2) solusi homogen akan kita peroleh sistem persamaan dalam u₁dan u₂, yaitu

x₁u⁰₁+ x₂u⁰₂= F(t) (5.122) y1u⁰₁+ y2u2= G(t). (5.123)

Menggunakan aturan dalam teori matrix diperoleh formula untuk u1 dan u2 u⁰₁= ^{F(t)y2− G(t)x2} W (t) ^{, u} 0 2= ^{G(t)x1− F(t)y1} W (t) ^{, (5.124)}

dimana W (t) disebut dan diberikan oleh W (t) = x₁y₂− x₂y₁. Proses yang dilakukan di atas dinamakan variasi parameter.

Contoh 5.3.1 Carilah solusi khusus sistem persamaan diferensial

x⁰= −4x + 2y + 10 (5.125)

y⁰= −3x + 3y + 5t. (5.126)

Menggunakan metode karakteristik diperoleh bahwa (x1, y1)= (2e−3t, e−3t) dan (x₂, y₂) = (e2t, 3e2t) merupakan solusi bebas linier dari sistem homogen

x⁰= −4x + 2y (5.127)

y⁰= −3x + 3y. (5.128)

Perlu dicatat bahwa Wronskian dari sistem homogen ini adalah W (t) = 5e−t. Sekarang kita asumsikan bahwa solusi khusus sistem (5.125)-(5.126) berbentuk

(xp, yp) = u1(t)(2e^−3t, e^−3t) + u2(t)(e^2t, 3e^2t). (5.129)

Menggunakan formula (5.124) menghasilkan

u⁰₁= 6e^3t− te^3t (5.130) u⁰₂= 2te^−2t− 2e^−2t. (5.131)

Mengintegrasikan persmaan (5.130) dan (5.131) dan mengambil kon-stanta integrasi nol diperoleh solusi untuk

u1(t) = µ 19 9 ⁻ t 3 ¶ e^3t, u2(t) = µ t −¹ 2 ¶ e^−2t. (5.132)

Mensubstitusikan solusi untuk u₁dan u₂ ke persamaan (5.129) di-peroleh solusi khusus sistem (5.125)-(5.126) yang diberikan oleh

xp=⁸⁵ 18⁻ 5t 3^{, yp=} 65 18⁻ 10t 3 ^{. (5.133)} Selanjutnya kita akan memperluas pembahasan sistem persamaan diferensial yang memuat diferensial berorde lebih dari satu, seperti contoh berikut ini.

Contoh 5.3.2 Selesaikanlah sistem persamaan diferensial x⁰⁰− 4x + y⁰= 0,

−4x⁰+ y⁰⁰+ 2y = 0. (5.134)

Salah satu teknik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem iniadalah sebagai berikut: pertama notasi derivatif dirubah kelambang Leibniz yaitu µ d² dt2− 4 ¶ x +^dy dt ^{= 0,} −4^dx dt ⁺ µ d2 dt2+ 2 ¶ y = 0. (5.135)

Pandanglah sistem (5.135) sebagai persamaan aljabar biasa kemudian diselesaikan dengan metode eleminasi, yaitu persamaan pertama kita

kalikan dengan suku (operator) 4_dt^d dan suku kedua dengan ³ d2 dt2− 4 ´ . Langkah selanjutnya kedua persamaan terakhir ini kita jumlahkan un-tuk mendapatkan persamaan

d4y dt4 + 2^d

2y

dt2− 8y = 0. (5.136)

Persamaan karakteristik dari persamaan diferensial terakhir ini dibe-rikan oleh

r⁴+ 2r²− 8 = 0. (5.137)

Solusi persamaan pangkat empat diberikan oleh r₁=^√2, −^√2, 2i, dan −2i. Berdasarkan solusi persamaan karakteristik ini diperoleh so-lusi umum persamaan diferensial (5.136), yaitu

y = C1e √ 2t+C2e √ −2t+ Ae^2it+ Be^−2it = C₁e √

2t+C₂e^√−2t+ A(cos 2t + i sin 2t) + B(cos 2t − i sin 2t) = C₁e

√

2t+C₂e^√−2t+ (A + B) cos 2t + i(A − B) sin 2t = C1e

√

2t+C2e √

−2t+C3cos 2t +C4sin 2t. (5.138)

Mensubstitusikan solusi untuk y ini ke persamaan ke dua dari sistem (5.135) didapatkan persamaan diferensial untuk x, yaitu

dx dt ^{= C1e} √ 2t+C2e √ −2t−¹ 2^{C3cos 2t −} 1 2^{C4sin 2t. (5.139)} Solusi umum persamaan diferensial (5.139) diberikan oleh

x =√¹ 2^C1e √ 2t−√¹ 2^C2e √ −2t−¹ 4^{C3sin 2t −} 1 4^{C4cos 2t +C5. (5.140)} Perlu kita perhatikan dengan cermat bahwa solusi untuk x memuat 5 buah konstanta, sedangkan order persamaan diferensial adalah 4. Se-pintas lalu, hal ini bertentangan dengan teorema yang telah kita bahas pada bab sebelumnya yang mengatakan bahwa solusi harus memuat paling banyak 4 konstanta. Jika kita substitusikan solusi x dan y ke sis-tem awal akan diperoleh C₅= 0, yang berarti solusi untuk x memuat 4 konstanta.

Soal-soal latihan

5.1.Selesaikanlah sistem persamaan diferensial berikut.

a). x⁰= −x, y⁰= −y. b). x0= 3e−t, y0= x + y. c). x⁰= tx, y⁰= t²y. d). x⁰= 2t, y⁰= 3x + 2t. e). x0= et, y0=^x−y_t . f). x⁰= t²− t, y⁰= t − y. g). x0= 3x + 2e3t, x0+ y0− 3y = sin 2t. h). x⁰= y, y⁰= −x + 2y. i). 3x⁰+ 3x + 2y = e^t, x⁰− y⁰+ y = 2 cos 2t. j). x0− 4x − 2y0+ y = t, 2x0+ x + y0= 0. k). 2x⁰+ y⁰− x = e^t, 3x⁰+ 2y⁰+ y = t. l). x⁰− x + y⁰+ y = − cos 2t, 2x⁰− y⁰− y = 0. m). x0− y0= 1 − t, x0+ 2y0= 4et+ x. n). x⁰− x + y⁰+ y = 0, x⁰+ 2x + y⁰+ 2y = 0. o). x⁰+ y⁰+ y = t, x⁰+ y⁰+ x + y = t².

5.2.Tuliskanlah masing-masing persamaan diferensial order dua ber-ikut sistem persamaan diferensial yang ekuivalen dengannya.

a). 4y⁰⁰− 16y⁰+ 2y = 0.

b). 4y⁰⁰− 16y⁰+ 2y = e^2t, dengan y(0) = 1, y⁰(0) = −2.

c). 4y00+ 16y0(1 − y2) = y0.

d). Persamaan massa-pegas teredam mx⁰⁰+ px⁰+kx = 0 dengan x(0) =

xidan x⁰(0) = vi.

e). Persamaan massa-pegas tak-teredam dengan gaya luar mx00+ kx =

A sinωt.

f). Rangkaian Seri RLC Rq⁰⁰+ Rq⁰+ q/C = E(t).

g). Persamaan pendulum LΘ00+ pΘ = 0 denganΘ(0) =Θ_i,Θ0(0) =

ω_i.

h). Persamaan pendulum teredam LΘ00+ pΘ0+ g sinΘ = 0.

i). a₂y00+ a₁y0+ a₀y = h(t). j). y⁰⁰= f (t, y, y⁰)

k). Ujilah bahwa persamaan diferensial order dua a2(t)y⁰⁰+ a1(t)y⁰+

a₍0)y = h(t) ekuivalen dengan sistem persamaan diferensial order satu

y⁰= z

a₂(t)z⁰= a₀(t)y − a₁(t)z + h(t). dengan cara sebagai berikut

• Anggapalah y(t) merupakan solusi persamaan diferensial order dua. Tunjukkan bahwa (y, y⁰) penyelesaian sistem persamaan diferensial order satu.

• Anggaplah (y, z) menyelesaikan sistem persamaan diferensial linie order satu. Tunjukkanlah bahwa y menyelesaikan persa-maan diferensial order dua.

5.3.Klasifikasikanlah masing-masing persamaan berikut setelah di-konversikan ke sistem persamaan diferensial:

a). 4y⁰⁰− 16y⁰+ 2y = 0. b). 4y⁰⁰− 16y⁰+ 2y = e^2t. c). 4y⁰⁰− 16y⁰(1 − y²) = y⁰. d). mx⁰⁰+ px⁰+ kx = 0. e). mx⁰⁰+ px⁰+ kx = A sinωt. f). mx⁰⁰+ kx = A sinωt. g). Sistem mangsa-pemangsa F⁰= −(d_F−αR)F R⁰= (bR−βF)R h). Sistem pendulum teredam

Θ⁰=ω

Lω⁰= −g sinΘ− pω

i). Persamaan pendulum dengan gaya luar

LΘ⁰⁰+ pΘ⁰g sinΘ = A sinπ/t

5.4.Tentukanlah solusi umum sistem persamaan diferensial yang me-menuhi nilai awal.

a). x⁰= 2x + 4y, y⁰= −4x + 2y dengan x(0) = 2, y(0) = −2.

b). x0= −x + 3y, y0= 3x − y dengan x(0) = 0, y(0) = 4.

d). x⁰= 5x/2 + 3^√3y/2, y⁰= 3^√3x/2 − y/2 dengan x(0) = 6, y(0) = 0.

e). x⁰= −4x − 5y, y⁰= x − 2y dengan x(0) = 0, y(0) = 0.

f). x⁰= −4x − 5y/2, y⁰= x − 2y dengan x(0) = 1, y(0) = −6.

g). x0= x/2 +^√3y/2, y0=^√3x/2 − y/2 dengan x(0) = 6, y(0) = 4.

h). x⁰= y, y⁰= x dengan x(0) = 1, y(0) = 0.

i). x⁰= y, my⁰= −kx dengan x(0) = xi, y(0) = 0. j). x⁰= y, my⁰= −kx dengan x(0) = 0, y(0) = yi.

k). x⁰= y, my⁰= −kx − py dengan x(0) = x_i, y(0) = 0. l). x⁰= −x², y⁰= −y.

m). x⁰= y + t, y⁰= x − 1 dengan x(0) = 2, y(0) = 1.

n). 3x⁰+3x = −2y+e^t, 4x−3y⁰+3y = 3t dengan x(0) = 1, y(0) = −1.

o). x⁰+ y⁰= 4y + 1, x + y⁰− 3y = t²dengan x(0) = 2, y(0) = −2.

5.5.Tunjukanlah bahwa pasangan fungsi berikut saling bebas linier.

a). (e^t, e^t) dan (e^−2t, −e^−2t).

b). (e3t, e3t) dan ((1 + t)e3t, (4 + 3t)e3t).

c). (e^t, 0) dan (e^−2t, −e^−2t).

5.6.Tentukanlah solusi umum sistem persamaan diferensial yang me-menuhi nilai awal.

a). x⁰= −4x+2y+15t, y⁰= −3x+3y−20 dengan x(0) = 3, y(0) = 4.

b). x0= −x + 3y − 8e−2t, y0= 3x − y + 12 dengan x(0) = 0, y(0) = 4.

c). x⁰= 2x + 4y − 2, y⁰= −4x + 2y + 4 dengan x(0) = 2, y(0) = −2.

d). x⁰= 4x + 4y − 24t, y⁰= 3x − 4y8 cos 2t dengan x(0) = 4, y(0) = 1.

e). x0= ⁵₂x +³₂^√3y + 4, y0=³₂^√3x −¹₂y − 6t dengan x(0) = 6, y(0) =

0.

f). x⁰= −4x −⁵₂y + 1, y⁰= x − 2y − 1 dengan x(0) = 1, y(0) = −6.

g). x⁰= −4x +⁵₂y + 1, y⁰= x − 2y − 1 dengan x(0) = 0, y(0) = 0.

h). x0= y, my0= −kx + F sinωt dengan x(0) = x_i, y(0) = 0. i). x⁰= y, my⁰= −kx + F sinωt dengan x(0) = 0, y(0) = y_i.

j). x⁰= y, my⁰= −kx − py + Fe^−t dengan x(0) = xi, y(0) = 0. k). x0= y, Ly0= −gx + 2 cosπt dengan x(0) = x_i, y(0) = 0.

5.7.Selesaikanlah sistem persamaan diferensial berikut menggunakan teknik seperti pada contoh (5.3.2)

b). x⁰⁰− 4x − 2y⁰+ y = t, 2x⁰+ x + y⁰⁰= 0. c). 2x⁰+ y⁰− x = e^t, 3x⁰+ 2y⁰+ y = t. d). x⁰⁰+ x − y⁰⁰− y = − cos 2t, 2x⁰− y⁰− y = 0. e). x⁰⁰− y⁰= 1 − t, x⁰+ 2y⁰= 4e^t+ x. f). x00− x + y0+ y = 0, x0+ 2x + y0+ 2y = 0. g). x⁰+ y⁰+ y = t, x⁰⁰+ y⁰⁰+ y⁰+ x + y = t²

Bab 6

Transformasi Laplace.

6.1 Definisi Dasar

Transfomasi L ( f ) dari fungsi f (t) didefinisikan oleh

L ( f ) =

Z _∞

0 f (t)e^−stdt (6.1)

untuk semua nilai s sedemikian hingga integral taktentu terdefinisi. Pada pelajaran kalkulus, integral taktentu (6.1) ini diselesaikan de-ngan pendekatan limit, yaitu

Z _∞

0 f (t)e^−stdt = lim m→∞

Z _m

0 f (t)e^−stdt (6.2)

Transformasi laplace yang didefinisikan di atas merupakan yakni jika fungsi f dan g memepunyai dan a, b konstanta sebarang maka berlaku

L (a f + bg) = aL ( f ) + bL (g). (6.3)

Selanjutnya, kita akan membahas dari contoh-contoh yang akan di-sajikan berbagai macam fungsi dan transfomasi Laplace-nya.

Contoh 6.1.1 Carilah transformasi Laplace dari fungsi a dengan a konstanta. Menggunakan definisi transfomasi Laplace diperoleh

L (a) = Z _∞ 0 ae^−stdt (6.4) = a lim m→∞ Z _m 0 e^−stdt 123

= lim m→∞−^a s^e −sm+^a s = ^a s^{, s > 0. (6.5)} Contoh 6.1.2 Carilah transformasi Laplace dari fungsi e^at dengan a konstanta. Menggunakan definisi transfomasi Laplace diperoleh

L (e^at) = Z _∞ 0 e^ate^−stdt (6.6) = lim m→∞ Z _m 0 e^(a−s)tdt = lim m→∞ Ã e^(a−s)m a − s ⁻ 1 a − s !

Limit persamaan terakhir tidak ada (limitnya menuju takhingga) untuk

a > s. Olehkarenanya, di atas terdefinisi untuk s > a. Jadi L (e^at) = ¹

s − a^{, s > a. (6.7)} Contoh 6.1.3 Tentukanlah transformasi Laplace fungsi sin at dengan a konstanta.

Anggaplah s > 0, menerapkan definisi transformasi laplace untuk fungsi f (t) = sin at dan menggunakan teknik integral parsial meng-hasilkan

L (sin at) = lim m→∞ Z _m 0 e^−stsin atdt (6.8) = − lim m→∞ e^−smsin at s ⁺ a sm→∞^lim Z _m 0 e^−stcos atdt = − lim m→∞ ae^−smcos at s2 + ^a s2−^a 2 s2 lim m→∞ Z _m 0 e^−stsin atdt = ^a s2−^a 2 s2L (sin at).

Persamaan terakhir ini menyatakan bahwa

L (sin at) = ^a