Persamaan diferensial order dua dapat dikonversikan ke order satu de-ngan cara memperkenalkan variabel baru untuk menggantkan deriva-tif pertama. Sebagai contoh, pandanglah persamaan
y00+ k sin y = 0. (5.1)
Persamaan (5.1) adalah persamaan homogen order dua. Sekarang ki-ta definikan variabel baru x = y0(x0= y00) untuk memperoleh sistem persamaan diferensial berikut (dengan memsubstitusikannya ke per-samaan (5.1))
y0= x (5.2)
x0= −k sin y. (5.3)
Kita catat bahwa persamaan pertama dari sistem (5.3) adalah defini-si variabel baru dan persamaan kedua diperoleh dari persamaan (5.1). Persamaan (5.1) dan persamaan (5.3) ekuivalen dalam pengertian bah-wa solusi yang diberikan oleh persamaan (5.1) juga solusi persamaan (5.3) dan juga sebaliknya.
Bentuk standar sistem persamaan diferensial order pertama dari dua persamaan diferensial diberikan oleh
x0= f (t, x, y) (5.4)
y0= g(t, x, y) (5.5)
dimana x dan y adalah varibel terikat dan t variabel bebas (biasa da-lam aplikasi t merepresentasikan waktu). Solusi dari sistem persama-an diferensial adalah paspersama-angpersama-an fungsi diferesiabel kontinu (x(t), y(t)) dimana jika kita substitusikan pasangan fungsi ini kepersamaan (5.4)-(5.5) diperoleh identitas. Solusi sistem persamaan diferensial didefi-nisikan sebagai berikut
Definisi 5.1.1 Pasangan fungsi (u(t), v(t)) dikatakan solusi sistem persamaan diferensial (5.4)-(5.5) pada interval t0≤ t ≤ t1jika fungsi u dan v diferensiabel kontinu dan jika
u0= f (t, u0, v0) (5.6)
v0= g(t, u0, v0) (5.7)
pada interval t0≤ t ≤ t1. (u, v) merupakan solusi masalah nilai awal x0= f (t, x, y), x(t0) = x0,
y0= g(t, x, y), y(t0) = y0,
jika (u, v) solusi persamaan (5.4)-(5.5) dan memenuhi syarat awal u(t0) = x0, v(t0) = y0. (5.8)
Perlu dicatat bahwa solusi sistem persamaan dalam definisi di atas di-berikan dalam bentuk pasangan terurut (u, v) dimaksudkan bahwa so-lusi sistem terdiri dari dua fungsi dimana fungsi pertama adalah soso-lusi persamaan pertama dari sistem dan fungsi kedua adalah solusi persa-maan kedua dari sistem. Jadi fungsi u berpadanan dengan persapersa-maan (5.4) dan fungsi v berpadanan dengan persamaan (5.5).
Contoh 5.1.1 Selesaikanlah sistem persamaan diferensial x0= t
x2, x 6= 0 (5.9)
y0= y
t, t 6= 0 (5.10)
Sistem (5.9)-(5.10) terdiri dari persamaan diferensial order satu de-ngan masing-masing persamaan memuat variabel terpisah. Menggu-nakan teknik-teknik yang diguMenggu-nakan pada bab sebelumnya kita pero-leh solusi sistem persamaan diferensial (5.9)-(5.10), yaitu
(x, y) = µ 3 2t 2+C1, e−1t+C2 ¶ , x 6= 0, t 6= 0. (5.11) Contoh 5.1.2 Selesaikanlah sistem persamaan diferensial
x0= 2e2t (5.12)
y0= x 2− y
t , t 6= 0. (5.13)
Perlu dicatat bahwa ruas kanan persamaan (5.12) tidak memuat vari-abel terikat x atau y. Persamaan diferensial (5.12) merupakan persa-maan diferensial order satu dengan varibel terpisah. Solusi persapersa-maan pertama diberikan oleh
x = e2t+C1. (5.14)
Substitusikan solusi (5.14) kepersamaan (5.13) untuk mendapatkan persamaan diferensial linier order satu
ty0+ y = e4t+ 2C1e2t+C12. (5.15)
Kita perhatikan bahwa ruas kiri persamaan (5.15) adalah derivatif dari fungsi (ty)0. Jadi dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh
ty = Z ¡ e4t+ 2C1e2t+C12¢dt +C2 y = ¡1 4e4t+C1e2t+C2 1t +C2¢ t , . (5.16)
Solusi sistem persamaan diferensial (5.12)-(5.13) diberikan oleh pa-sangan fungsi (x, y) yang diberikan berturut-turut oleh persamaan (5.14) dan (5.16).
Contoh 5.1.3 Tuliskanlah persamaan diferensial order dua
mx00+ kx = 0 (5.17)
menjadi sistem persamaan diferensial order satu dan selanjutnya se-lesaikanlah sistem itu.
Persamaan diferensial (5.17) merupakan . Sekarang definisikanlah va-riabel baru y = x0 untuk membentuk sistem persamaan diferensial. Substitusikanlah variabel baru ini kepersamaan (5.17) untuk mempe-roleh sistem persamaan diferensial
x0= y (5.18)
y0= −k
mx. (5.19)
Pernyataan 5.1 Jika kita selesaikan persamaan (5.17) menggunakan teknik yang telah digunakan untuk menyelesaiakan persamaan dife-rensial homogen order dua seperti pada bab sebelumnya dapat kita tunjukkan bahwa
x = sinpk/mt (5.20) adalah salah satu solusi persamaan (5.17).
Kembali kedefinisi awal variabel baru yaitu y = x0berarti solusi untuk persamaan (5.19) diberikan oleh
y = x0=pk/m cospk/mt. (5.21)
Solusi sistem persamaan diferensial (5.18)-(5.19) diberikan oleh pa-sangan fungsi (x, y) yang berturut-turut diberikan oleh persamaan (5.20) dan (5.21).
Definisi 5.1.2 Sistem persamaan diferensial (5.4)-(5.5) dikatakan
li-nier jika f dan g keduanya lili-nier dalam variabel terikatnya, yaitu jika
f dan g dapat diuraikan dalam bentuk
f (t, x, y) = a1(t)x + a2y + F(t) (5.22) g(t, x, y) = b1(t)x + b2(t)y + G(t). (5.23)
Persamaan yang tidak memenuhi kedua persamaan (5.22) dan (5.23) dinamakan sistem persamaan diferensial nonlinier.
Definisi 5.1.3 Sistem persamaan diferensial (5.4)-(5.5) dikatakan mem-punyai koefisien konstan jika koefisien-koefisien a1, a2, b1, dan b2 pa-da persamaan (5.22)-(5.23) semuanya konstan.
Sebaliknya sistem persamaan diferensial yang tidak memenuhi defi-nisi di atas dinamakan sistem persamaan diferensial dengan koefisien variabel.
Definisi 5.1.4 Sistem persamaan diferensial (5.4)-(5.5) dikatakan
ho-mogen jika (x, y) = (0, 0) adalah solusi trivial.
Sebaliknya sistem persamaan diferensial yang tidak memenuhi defi-nisi di atas dinamakan sistem persamaan diferensial takhomogen.
Contoh 5.1.4 Klasifikasikanlah sistem persamaan diferensial (5.18)-(5.19).
Kita dapat tuliskan kembali sistem persamaan diferensial (5.18)-(5.19) ke dalam bentuk persamaan (5.22)-(5.23), yaitu
f (t, x, y) = 0x + y + 0 (5.24) g(t, x, y) = −k
mx + 0y + 0. (5.25)
Dari persamaan (5.24)-(5.25) diperoleh data bahwa a1(t) = 0, a2(t) = 1, F(t) = 0, b1(t) = −k/m, b2(t) = 0, G(t) = 0, dan (x, y) = (0, 0) me-rupakan solusi trivial. Dari definisi dapat kita simpulkan bahwa sistem persamaan diferensial (5.18)-(5.19)
1. linier,
2. mempunyai koefisien konstan,
3. homogen
Contoh 5.1.5 Klasifikasikanlah sistem persamaan diferensial
x0= y (5.26)
y0= −g
Lsin x. (5.27)
Karena g(t, x, y) = −g/L sin x tidak dapat diuraikan kebentuk persa-maan (5.23) maka sistem persapersa-maan diferensial (5.26)-(5.27) adalah sistem nonlinier. Kita catat pula bahwa (x, y) = (0, 0) memenuhi sis-tem persamaan (5.26)-(5.27) hal ini berarti sissis-tem persamaan diferen-sial ini adalah sistem persamaan diferendiferen-sial homogen.
Definisi 5.1.5 Dua solusi (x1, y1) dan (x2, y2) dari sistem
persama-an diferensial (5.4)-(5.5) bebas linier dalam interval t0≤ t ≤ t1 jika persamaan
C1x1+C2x2= 0, (5.28) C1y1+C2y2= 0, (5.29) hanya mempunyai solusi trivial yaitu C1= C2= 0.
Definisi 5.1.6 Anggaplah (x1, y1) dan (x2, y2) dua solusi bebas linier
sistem persamaan diferensial order satu homogen
x0= a1x + a2y, (5.30) y0= b1x + b2y, (5.31) maka solusi umum sistem persamaan diferensial (5.30)-(5.31) adalah kombinasi linier (x1, y1) dan (x2, y2). Solusi ini kita notasikan dengan
pasangan fungsi (xh, yh) yang diberikan oleh
xh= C1x1+C2x2, (5.32) yh= C1y1+C2y2. (5.33) Definisi 5.1.7 Pandanglah sistem persamaan diferensial linier takho-mogen
x0= a1x + a2y + F(t), (5.34) y0= b1x + b2y + G(t). (5.35) Solusi umum sistem persamaan diferensial (5.34)-(5.35) adalah solu-si umum (5.30)-(5.31) ditambah solusolu-si khusus (xp, yp) (5.34)-(5.35).
Solusi ini dinyatakan dengan pasangan fungsi (x, y) dimana masing-masing fungsi diberikan oleh
x = xh+ xp, (5.36) y = yh+ yp. (5.37) Contoh 5.1.6 Klasifikasikanlah sistem persamaan diferensial
x0= tx − x, (5.38)
y0= 2ty + x, (5.39)
Sistem persamaan diferensial (5.38)-(5.39) dapat dituliskan dalam bentuk
x0= (t − 1)x + 0y + 0,
y0= x + 2ty + 0.
Dari sistem terakhir ini kita ketahui bahwa a1(t) = t − 1, a2(t) = 0, b1(t) = 1, b2(t) = 2t, F(t) = 0, G(t) = 0 dan (x, y) = (0, 0) meme-nuhi sistem persamaan diferensial (5.38)-(5.39). Perdefinisi dapat di-simpulkan bahwa sistem (5.38)-(5.39) adalah sistem persamaan dife-rensial linier homogen.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (5.38)-(5.39) kita selesaikan dahulu persamaan (5.38) karena persamaan ini me-rupakan persamaan diferensial homogen dengan variabel terpisah. Mengunakan teknik yang telah dibahas pada bab sebelumnya dida-patkan x = C1et2−t. Mensubstitusikan solusi untuk x ini ke persamaan (5.39) diperoleh persamaan diferensial linier berikut
y0− 2ty = C1et2−t. (5.40)
Sekarang kedua ruas kita kalikan dengan e−t2untuk mendapatkan per-samaan diferensial
e−t2y0− 2te−t2y = C2e−t. (5.41)
Ruas sebelah kiri persamaan terakhir merupakan derivatif dari e−t2y.
Mengintegralkan kedua ruas persamaan terakhir ini terhadap t dipero-leh
e−t2 = C1
Z
e−tdt, (5.42)
y = et2¡C2−C1e−t¢. (5.43)
Dengan diperolehnya solusi untuk x dan y ini maka pasangan ini men-jadi solusi umum sistem persamaan diferensial (5.4)-(5.39), yaitu
(x, y) = ³
C1et2−t, et2(C2−C1e−t) ´
Contoh 5.1.7 Selesaikanlah sistem persamaan diferensial
x0= y, (5.45)
y0= 16x + 8t. (5.46)
Sistem persamaan diferensial (5.45)-(5.46) adalah sistem linier tak ho-mogen karena (x, y) = (0, 0 tidak memenuhi sistem persamaan di atas. Sistem linier homogen yang berpadanan dengan sistem (5.45)-(5.46) diberikan oleh
x0= y, (5.47)
y0= 16x. (5.48)
Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini langkah pertama kita derivatifkan persamaan (5.47) sekali dan hasil yang diperoleh kita substitusikan ke persamaan (5.48). Dengan cara ini diperoleh persa-maan diferensial order dua dalam x, yaitu
x00− 16x = 0. (5.49)
Persamaan karakteristik persamaan diferensial (5.49) diberikan oleh
r2− 16 = 0. Akar-akar karakteristik diberikan oleh 4 dan 4.
Ja-di solusi untuk x Ja-diberikan oleh xh = C1e4t + C2e−4t. Menggunak-an persamaMenggunak-an (5.47) diperoleh solusi untuk y yMenggunak-ang diberikMenggunak-an oleh
yh= 4C1e4t− 4C2e−4t. Pasangan solusi ini memberikan solusi untuk sistem persamaan diferensial (5.47)-(5.48), yaitu
(xh, yh) =¡C1e4t+C2e−4t, 4C1e4t− 4C2e−4t¢. (5.50)
Langkah berikutnya kita tentukan solusi khusus sistem (5.45)-(5.46). Mengikuti cara yang sama seperti yang kita lakukan untuk menda-patkan solusi homogen kita damenda-patkan persamaan diferensial order dua tak homogen untukx, yaitu
x00− 16x = 8t. (5.51)
Misalkan solusi khusus persamaan (5.51) berbentuk x = At2+ Bt +C. Mensubstitusikan bentuk ini ke persamaan (5.51) kemudian menggu-nakan identitas ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan yang didapat
akan menentukan nilai A, B, dan C, yaitu A = 0, B = −1/2, dan C = 0. Oleh karenanya solusi khusus yang diperoleh untuk x. Selanjutnya de-ngan persamaan (5.45) diperoleh solusi khusus untuk y. Solusi umum sistem persamaan diferensial (5.45)-(5.46) diberikan oleh pasangan fungsi berikut (x, y) = (xh+ xp, yh+ yp) (5.52) = µ Ce4t+C2e−4t−1 2t, 4C1e 4t− 4C2e−4t−1 2 ¶ . (5.53) Contoh 5.1.8 Klasifikasikanlah sistem persamaan diferensial
2x0− x + y0+ 4y = 1, (5.54)
x0− y0= t − 1. (5.55)
Kalikanlah persamaan (5.54) dengan dtd dan kalikan juga persamaan (5.55) dengan dtd + 4. Kemudian hasil masing-masing yang diperoleh kita tambahkan untuk mendapatkan persamaan order dua tak homo-gen untuk x berikut
3x00+ 3x0= 4t − 3. (5.56)
Akar-akar persamaan karakteristik dari persamaan (5.56) adalah 0 dan
−1. Solusi takhomogen persamaan (5.56) diberikan oleh xp= 1/6t2−
4/3t. Jadi solusi umum persamaan diferensial order dua takhomogen (5.56) adalah
x = C1+C2e−t+1 6t
2−4
3t. (5.57)
Mensubstitusikan solusi untuk x (5.57) kepersamaan (5.55) dan meng-integralkannya diperoleh solusi untuk y, yaitu
y = 2C2e−t−1
3t 2+1
3t +C3. (5.58) Solusi sistem persamaan (5.54)-(5.55) diberikan oleh pasangan fungsi
(x, y) = µ C1+C2e−t+1 6t 2−4 3t, 2C2e −t−1 3t 2+1 3t +C3 ¶ . (5.59)