4.2 Persamaan Diferensial Tak Homogen
4.2.1 Koefisien Taktentu
Teknik mengisyaratkan bahwa asumsi-asumsi tertentu yang berpadan-an dengberpadan-an suku takhomogen harus dibuat. Hal ini digagaskberpadan-an bahwa kadang kala bentuk suku takhomogen dapat dibuat asumsi untuk nentukan bentuk solusi khusus. Misalnya jika suku takhomogen me-muat cos x atau sin x maka solusi khususnya harus meme-muat kombinasi dari cos x dan sin x, atau jika suku takhomogen memuat eax maka so-lusi khusus juga harus memuat eax.
Teknik Koefisien taktentu dapat kita gunakan jika suku-suku dalam
q(x) terdiri dari sejumlah hingga turunan yang bebas linier. Hal ini
berarti bahwa teknik koefisien taktentu dapat diterapkan jika q(x) me-muat suku-suku seperti C, xn, eCx, sinCx, cosCx, dan kombinasi dari
suku-suku ini, dimana C konstanta dan n bilangan bulat positif. Pe-ngertian bebas linear adalah yang kita maksud disini diberikan oleh contoh berikut; Pandanglah turunan berturut-turut dari fungsi sin 3x, yakni
Suku-suku yang bebas linier hanya suku sin 3x dan cos 3x. Sedangkan turunan berturut-turut dari fungsi xn sampai turunan ke-n akan mem-bentuk himpunan yang bebas linier. Dalam menentukan solusi khusus persamaan linier takhomogen menggunakan teknik koefisien takten-tu perlu membandingkan solusi yang berpadanan dengan persamaan homogen dengan suku tak homogen. Kemudahan yang dimiliki oleh teknik ini adalah kita dapat langsung menentukan bentuk solusi khu-sus dari persamaan diferensial takhomogen (4.22).
4.2.1.1 Tidak ada suku q(x) yang sama dengan suku dalam yh. Pada kasus ini solusi khusus Y merupakan kombinasi linier suku-suku dalam q(x) dan semua turunan-turunannya yang bebar linier.
Contoh 4.2.1 Tentukan solusi dari persamaan diferensial
y00− 3y0− 4y = 3e2x+ 2 sin x − 8excos 2x. (4.25)
Solusi persamaan diferensial homogen yang berpadanan dengan soal di atas diberikan oleh
yh= C1e−x+C2e4x. (4.26)
Tidak sulit membandingkan antara himpunan bebas linier solusi ho-mogen {ex, e4x} dengan {e2x, sin x, excos 2x} himpunan bebas linier dalam q(x) atau dengan kata lain bahwa suku-suku dalam solusi ho-mogen tidak ada yang sama dengan suku-suku pada ruas sebelah kan-an persamakan-an diferensial. Jadi himpunkan-an bebas linier koefisien takten-tu diberikan oleh
{e2x, sin x, cos x, exsin 2x, excos 2x}. (4.27)
Untuk mencari solusi khusus persamaan diferensial (4.25) di atas kita gunakan teknik koefisien taktentu yang merupakan fungsi dari kom-binasi linier himpunan bebas linier koefisien taktentu, yaitu
Y = Ae2x+ B cos x +C sin x + ex(D cos 2x + E sin 2x). (4.28)
Mendiferensialkan fungsi (4.28) sebanyak dua kali, kemudian kita substitusikan Y,Y0 dan Y00 kepersamaan (4.25) kita peroleh hubung-an berikut
− 6Ae2x− (5B + 3C) cos x + (3B − 5C) sin x +
ex((−2E − 10D) cos 2x + (2D + 10E) sin 2x) = 3e2x+ 2 sin x − 8excos 2x. (4.29)
Dengan membandingkan ruas kiri dan ruas kanan persamaan (4.29) kita peroleh A = −1/2, B = 3/8,C = −5/8, D = 5/6, dan E = −1/6. Jadi solusi lengkap dari persamaan diferensial (4.25) adalah
y = C1e−x+C2e4x+ −1 2e 2x+3 8cos x − 5 8sin x + e x µ 5 6cos 2x − 1 6sin 2x ¶ . (4.30)
Contoh 4.2.2 Tentukanlah solusi umum persamaan diferensial takho-mogen
y00+ 4y0+ 4y = 4x2+ 6ex. (4.31)
Solusi homogen persamaan diferensial (4.31) ini diberikan oleh
yh= (c1+ c2x)e−2x. (4.32)
Membandingkan suku-suku pada fungsi (4.32) dengan suku-suku di-ruas sebelah kanan persamaan (4.31) dapat kita lihat dengan jelas bah-wa tidak ada suku yang sama diantara mereka. Olehkarenanya him-punan bebas linier koefisien taktentu diberikan oleh {1, x, x2, ex}.
Se-hubungan dengan itu, maka solusi khusus persamaan diferensial di atas mempunyai bentuk kombinasi linier dari suku-suku yang ada pa-da ruas sebelah kanan persamaan diferensial (4.31) yaitu
Y = Ax2+ Bx +C + Dex. (4.33)
Mensubstitusikan fungsi (4.33) kedalam persamaan diferensial (4.31) kita dapatkan hubungan berikut
4Ax2+ (8A + 4B)x + (2A + 4B + 4C) + 9Dex≡ 4x2+ 6ex. (4.34)
Dari persamaan (4.34) ini kita dapatkan sistem persamaan linier beri-kut
4A = 4 8A + 4B = 0 2A + 4B + 4C = 0 9D = 6.
Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier ini diperoleh A = 1, B = −2,C = 3/2, dan D = 2/3. Jadi solusi umum persamaan di-ferensial (4.31) adalah y = (C1+C2x)e−2x+ x2− 2x +3 2+ 2 3e x. (4.35)
4.2.1.2 Kasus q(x) memuat suku-suku xk kali suku-suku dalam
yh, dengan mengabaikan koefisien konstan, dimana k nol atau positif.
Jika suku-suku dalam q(x), faktor takhomogen, memuat xkkali suku-suku dalam penyelesaian homogen maka solusi khusus persamaan di-ferensial takhomogen ditentukan dengan cara sebagai berikut. Misalk-an u(x) suku dalam yh, jika ada suku dalam q(x) yang sama dengan
u(x) dengan faktor pengalinya xk maka solusi khusus yang berpadan-an dengberpadan-an suku ini diberikberpadan-an oleh xk+1u(x).
Contoh 4.2.3 Tentukanlah solusi umum persamaan diferensial y00− 3y0+ 2y = 2x2+ 3e2x. (4.36)
Solusi homogen yang berpadanan dengan persamaan (4.36) diberikan oleh
yh= C1ex+C2e2x. (4.37)
Membandingkan ruas kanan persaman (4.36) dengan (4.37), dengan mengabaikan koefisien konstan, kita lihat bahwa suku e2x pada ruas kanan (4.36) sama dengan x0e2x= x0u(x) dalam solusi homogen. Jadi
himpunan bebas linier dari koefisien taktentu adalah {x2, x, 1, xe2x}.
Olehkarenanya bentuk umum solusi khusus persamaan diferensial (4.36) diberikan oleh
Y = Ax2+ Bx +C + Dxe2x. (4.38)
Mensubstituskan fungsi (4.38) kedalam (4.36) kita peroleh hubungan berikut
Dengan membandingkan ruas kanan dan ruas kiri (4.39) kita dapatkan
A = 1, B = 3,C = 7/2, dan D = 3. Setelah diketahui koefisien taktentu
maka solusi umum persamaan diferensial (4.36) dapat kita tentukan, yaitu
y = x2+ 3x +7 2+ 3xe
2x+C1ex+C2e2x. (4.40) Contoh 4.2.4 Tentukanlah solusi umum persamaan diferensial
y00− 3y0+ 2y = xe2x+ sin x. (4.41)
Solusi homogen yang berpadanan dengan persamaan diferensial (4.41) diberikan oleh
yh= C1ex+C2e2x. (4.42)
Membandingkan ruas sebelah kanan (4.41) dengan ruas kanan (4.42) kita lihat bahwa xe2x= xu(x), dimana u(x) = e2x salah satu suku pa-da yh. Sehubungan dengan ini, himpunan bebas linier koefisien tak-tentu diberikan oleh {x2e2x, xe2x, sin x, cos x}. Olehkarenanya, bentuk
umum solusi khusus persamaan diferensial (4.41) diberikan oleh
Y = Ax2e2x+ Bxe2x+C sin x + D cos x. (4.43)
Mensubstituskan fungsi (4.43) kedalam (4.42) kita peroleh hubungan berikut
2Axe2x+ (2A + B)e2x+ (C + 3D) sin x + (D − 3C) cos x ≡ xe2x + sin x (4.44) Dengan membandingkan ruas kanan dan ruas kiri (4.44) kita dapatk-an A = 1/2, B = −1,C = 1/10, ddapatk-an D = 3/10. Setelah ketahui koe-fisien taktentu maka solusi umum persamaan diferensial (4.41) dapat kita tentukan, yaitu
y = 1 2x 2e2x− xe2x+ 1 10sin x + 3 10cos x +C1e x+C2e2x. (4.45)
Sebagai panduan untuk menentukan himpunan bebas linier dari koe-fisien taktentu dari suku takhomogen dapat dilihat dari tabel berikut;
Dari tabel 4.1 kita dapatkan bahwa jika suku takhomogen q(x) =
x5+ sin x + x2e3xmaka himpunan bebas linier koefisien taktentu dibe-rikan oleh
No. Suku takhomogen Himpunan koefisien taktentu 1 xn {xn, xn−1, · · · , x, 1} 2 eax {eax} 3 sin(bx + c), {sin(bx + c), } cos(bx + c) cos(bx + c) 4 eaxsin(bx + c), {eaxsin(bx + c), eaxcos(bx + c) eaxcos(bx + c)} 5 xneax {xneax, xn−1eax, · · · , xeax, eax}
6 xnsin (bx + c), {xnsin (bx + c), xncos (bx + c),
xncos (bx + c) xn−1sin(bx + c), xn−1cos(bx + c)
· · · , x sin(bx + c), x cos(bx + c),
sin(bx + c), cos(bx + c)}
7 xneaxsin(bx + c), {xneaxsin(bx + c), xneaxcos(bx + c),
xneaxcos(bx + c) xn−1eaxsin(bx + c), xn−1eaxcos(bx + c),
· · · , xeaxsin(bx + c), xeaxcos(bx + c),
eaxsin(bx + c), eaxcos(bx + c)} 8 xneaxsin(bx + c), {xneaxsin(bx + c), xneaxcos(bx + c),
xneaxcos(bx + c) xn−1eaxsin(bx + c), xn−1eaxcos(bx + c),
· · ·,
xeaxsin(bx + c), xeaxcos(bx + c),
eaxsin(bx + c), eaxcos(bx + c)} Tabel 4.1 Himpunan bebas linier koefisien taktentu dari suku takhomogen.
Sehingga solusi khususnya akan mempunyai bentuk
Y = C1x5+C2x4+C3x3+C4x2+C5Ex +C6F +C7sin x +C8cos x +C9x2e3x+C10xe3x+C11e3x,
dimana C1, · · · ,C11 adalah konstanta riil.