Akar-akar berbeda dengan selisih bilangan bulat. 163

7.4 Metode Frobenius

7.4.2 Akar-akar berbeda dengan selisih bilangan bulat. 163

dengan N bilangan bulat positif. Karena m + N akar dari persamaan kuadrat (7.80), akar ini memenuhi

(m + N)(m + N − 1) + b₀(m + N) + d₀= 0. (7.91)

Sekarang bandingkan (7.91) dan suku pertama koefisien x^m+n persa-maan (7.79). Membandingkan ini dapat kita simpulkan bahwa, jika ki-ta mulai mencari koefisien deret Frobenius dengan akar terkecil mulai dari ci dengan i < N maka penentuan koefisien deret Frobenius akan berhenti pada pada c_N. Karena koefisien c_N pada persamaan (7.79) akan menjadi nol. Dengan kata lain persamaan (7.79) akan dipenuhi untuk sebarang nilai cN. Akibatnya, untuk akar lebih kecil, koefisien-koefisien deret Frobenius akan dinyatakan dalam c₀dan c_N. Jadi kita perlu membahas dua kasus berikut.

7.4.2.1 Koefisien cN sama dengan nol dan jumlah suku-suku lain dari xm+N sama dengan nol.

Akar m + N akan memperoleh koefisien-koefisien deret Frobenius yang dinyatakan dalam c0. Sedangkan akar yang lebih kecil akan memperoleh koefisien-koefisien deret Frobenius yang dinyatakan oleh

c0dan cN.

Contoh 7.4.2 Tentutkanlah penyelesaian umum persamaan diferensi-al x²y⁰⁰+ xy⁰+ µ x²− ¹ 22 ¶ y = 0. (7.92)

Penyelesaian: Berdasarkan definisi (7.3.3) kita peroleh bahwa x = 0 adalah titik regular singularity. Berarti kita akan mencari penyelesaian persamaan diferensial (7.4.2.1) menggunkan deret Frobenius, yaitu

y(x) = x^m(c₀+ c₁x + c₂x²+ · · ·). (7.93)

Seperti dalam contoh (7.4.1) kita peroleh f1(x) = 1 dan f2(x) = −¹₄+

x2, b₀= 1, c₀= −¹₄, c₁= 0, dan c₂= 1. Persamaan indeks dari (7.79) diberikan oleh

m²−¹

4 ^{= 0. (7.94)}

Akar-akar persamaan indeks (7.94) adalah m = ¹₂ dan m = −¹₂. Se-hingga selisih kedua akar ini adalah 1. Kita catat bahwa untuk m =

−1/2, jika kita substitusikan nilai ini kepersamaan (7.79) dan

kemu-dian menyamakan koefisien x^m+1 dengan nol akan diperoleh persa-maan c₁ · (¹ 2⁾⁽⁻ 1 2^{) +} 1 2⁻ 1 4 ¸ + c₀0 = 0, 0c₁+ 0c₀= 0. (7.95)

Catatlah bahwa koefisien c0 dan c1 sama dengan nol. Berarti untuk sebarang nilai c₀ dan c₁akan memenuhi persamaan (7.79). Selanjut-nya dengan mensubstitusikan akar m = −1/2 kekoefisien x^m+n dan menyamakannya dengan nol diperoleh persamaan

(n²− n)c_n= −c_n−2, n ≥ 2. (7.96)

Dari persamaan (7.96) kita dapat menentukan c2, c3, · · ·.

Menggunak-an (7.96) akMenggunak-an diperoleh y(x) = c0x^−1/2 µ 1 −¹ 2^x 2+ ¹ 24^x 4− ¹ 720^x 6+ · · · ¶ +c1x^1/2 µ 1 −^x 2 6 ⁺ x4 120⁻ x6 5040^{+ · · ·} ¶ . (7.97)

Karena deret memuat dua penyelesain bebas linier dengan dua kon-stanta maka deret ini merupakan penyelesaian umum persamaan dife-rensial .

7.4.2.2 Koefisien c_N sama dengan nol dan jumlah suku-suku lain dari x^m+N tidak sama dengan nol.

Jika moefisien c_Nsama dengan nol tetapi jumlah suku-suku lain xm+N

dari persamaan (7.79) tidak sama dengan nol kama akar m + N dari persamaan (7.80) akan menentukan koefisien deret Frobenius (7.72) yang dinyatakan dalam c₀. Olehkarenanya, dalam kasus ini hanya ada satu deret Frobenius yang akan diperoleh.

Pernyataan 7.11 Penyelesaian kedua dari persamaan diferensial (7.74) berbentuk

y2(x) = u(x) − bNy1(x) log(x), x > 0, (7.98) dimana N harga mutlak selisih akar-akar persamaan indeks, y₁deret Frobenius penyelesaian persamaan diferensial (7.74) yang berpadan-an dengberpadan-an akar m + N, dberpadan-an u(x) adalah deret Frobenius berbentuk

u(x) = x^m(e0+ e1x + e2x²+ · · ·). (7.99) Deret Frobenius (7.99) diperoleh dengan menggunakan akar m.

Menggunakan persamaan (7.98) dan (7.99) ke persamaan diferensial (7.74) akan diperoleh

x²u⁰⁰+ x f₁u⁰+ f₂u = b_N(2xy⁰₁+ ( f₁− 1)y₁). (7.100) Contoh 7.4.3 Tentukan penyelesaian persamaan diferensial

x²y⁰⁰− x(2 − x)y⁰+ (2 + x²)y = 0. (7.101)

Penyelesaian: Membagi persamaan (7.101) dengan x² dan menggu-nakan definisi (7.3.3) diperoleh bahwa titik x = 0 adalah titik regular singularity. Karenanya kita kan mencari penyelesaian persamaan di-ferensial (7.101) dengan deret Frobenius berbentuk

y = x^m(c₀+ c₁x + c₂x²+ · · ·). (7.102)

Dalam soal ini, kita ketahui bahwa f₁(x) = −2 + x dan f₂(x) = 2 + x2. Sehubungan dengan itu, dengan (7.75) dan (7.76) kita ketahui pula bahwa b0= −2, b1= 1, d0= 2, d1= 0, dan d2= 1. Persamaan indeks (7.94) menjadi

m²− 3m + 2 = 0. (7.103)

Persamaan (7.103) mempunyai akar-akar m = 1 dan m = 2. Selisih mutlak dari akar-akar ini adalah 1. Menggunakan akar terkecil m = 1 dan menyamakan koefisien x^m+1 persamaan (7.79) sama dengan nol, diperoleh persamaan 0c1+ c0= 0. Tetapi hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa c₀6= 0. Olehkarenanya, kita dapat menggunakan akar m = 1 dengan cara ini.

Menggunakan akar persamaan indeks (7.103) terbesar, yaitu m = 2, dan menyamakan koefisien x^m+1dari persamaan (7.79) sama dengan nol, kita peroleh persamaan

c1(3.2 − 2.3 + 2) + 2c0= 0, c1= −c0. (7.104)

Untuk mendapatkan kofisien deret Frobenius (7.102) yang lainnya, kita substitusikan akar m = 2 kekofisien x^m+npada persamaan (7.79) kemudian menyamakannya dengan nol. Dengan melakukan ini akan diperoleh formula rekursi berikut

(n²+ n)cn= −(n + 1)cn−1− cn−2, n ≥ 2. (7.105)

Mensubstitusikan m = 2 dan fomula rekursi (7.105) kepersamaan (7.102) kita peroleh deret Frobenius pertama, yaitu

y₁(x) = c₀x² µ 1 − x +^x 2 3 ⁻ x³ 36^{− · · ·} ¶ (7.106)

Selanjutnya kita kan menentukan persamaan (7.99). Dengan me-nentukan (7.99) dan mensubstitusikannya ke (7.33) kita peroleh pe-nyelesaian kedua persamaan diferensial (7.101). Tentunya penyelesa-ian umum dari persamaan diferensial (7.101) adalah kombinasi linier kedua penyelesaian ini.

7.4.3 Akar-akar sama.

Jika selisih mutlak kedua akar persamaan indeks (7.79) sama dengan nol maka tentunya hanya satu deret Frobenius, sebagai penyelesaian pertama persamaan diferensial (7.74), yang dapat diperoleh. Penyele-saian keduanya dapat diperoleh dengan menggunakan formula pada persamaan (7.98).

Contoh 7.4.4 Tentukanlah penyelesaian persamaan diferensial x²y⁰⁰+ xy⁰+ x²y = 0. (7.107)

Penyelesaian: Membagi persamaan (7.107) dengan x2 dan menggu-nakan definisi (7.3.3) kita dapatkan bahwa titik x = 0 merupakan titik

regular singularity. Jadi kita kan mencari penyelesaian persamaan di-ferensial (7.107) dengan deret Frobenius dalam bentuk

y(x) = x^m(c0+ c1x + c2x²+ · · ·). (7.108)

Membandingkan persamaan (7.107) dengan persamaan (7.74) kita peroleh f1(x) = 1 dan f2(x) = x². Sehubungan dengan ini pula kita dapatkan bahwa b₀= 1, d₀= 0, d₁= 0, dan d₂= 1. Akar-akar Persa-maan indeks adalah m = 0.

Menggunakan akar m = 0 kita dapatkan c1= 0 dan formula rekursi

c_n= ^−cn−2

n2 , n ≥ 2. (7.109)

Mensubstitusikan nilai m = 0, a₁ = 0 dan menggunakan formulasi rekursi (7.109) maka seret (7.108) menjadi

y1(x) = a0 µ 1 −^x 2 22+ ^x 4 22.42− ^x 6 22.42.62+ ^x 8 22.42.62.82 ¶ . (7.110)

Penyelesaian kedua diperoleh menggunakan formula (7.98) de-ngan N = 0. Setelah diperoleh penyelesaian kedua, kama penyelesaian umum persamaan diferensial (7.107) diberikan oleh

y(x) = c1y1(x) + c2 Ã x2 22+^{1 +} 1 2 22.42x⁴+^{1 +} 1 2+¹₃ 22.42.62 x⁶+ · · · + (−1)^{n+11 +} 1 2+ · · · +¹_n 22.42· · · (2n)nx²ⁿ ! , x > 0, (7.111)

dimana y₁diberikan oleh (7.110).

Soal-soal latihan

7.1.Tentukan interval kekonvergenan masing-masing deret berikut.

a). x²+^x_2!⁴ +^x_3!⁶+ · · · +^x_n!²ⁿ + · · ·.

c). 1 +^x+3₂₂ +^(x+3)₃₂ ²+ · · · +^(x+3)_n2ⁿ⁻¹+ · · ·.

d). ∑^∞_n=1^(x−x0)ⁿ

n .

e). _∑n+1∞^n!x_nnⁿ.

7.2.Tentukan deret Taylor dan interval kekonvergenan dari fungsi ber-ikut dengan titik yang diberikan.

a). sin(x), x₀= 0.

b). e^x, x₀= 0.

c). ln(x), x0= 1.

d). _1+x¹ , x₀= 0.

e). _1−x¹ , x₀= 2.

7.3.Tentukan a_nsedemikian hingga memenuhi persamaan ∞

∑

0 nanxⁿ⁻¹+

∑

n=0 ∞anxⁿ= 0. (7.112) 7.4.Selesaikan persamaan diferensial linier dengan nilai awal di ba-wah ini menggunakan metode deret. Kemudian tentukan juga interval kekonvergenan penyelesaian yang diperoleh.

a). y0− xy + x2= 0, y(0) = 2.

b). x²y⁰⁰ = x + 1, y(1) = 1, y⁰(1) = 0.

c). y⁰⁰+ 3xy⁰+ e^xy = 2x, y(0) = 1, y⁰(0) = −1.

d). x2y00+ (1 + x)y0+ 3(ln(x))y = 0, y(1) = 2, y0(1) = 0.

7.5.Persamaan Chebyshev diberikan oleh

(1 − x²)y⁰⁰− xy⁰+αy = 0, (7.113)

dimana α konstan. Tentukan dua penyelesaikan bebas linier dalam bentuk deret pangkat dari x dengan |x| < 1

7.6.Tentukan penyelesaian masalah nilai awal berikut ini.

a).

y⁰= x²− y², y(0) = 1.

b). y⁰= x²+ sin(y), y(0) = f racπ2. c). y⁰= x + e^y, y(0) = 0. d). y⁰= cos(x) + sin(y), y(0) = 0.

7.7.Tentukan penyelesaian masalah nilai awal berikut dengan meng-gunakan metode deret pangkat.

a). y0= x2− y2, y(0) = 1. b). y⁰= x²− y², y(1) = 1. c). y⁰= x²− xy, y(0) = 2. d). y0= x2+ sin(y), y(0) =π/2. e). (1 − x − y)y⁰= 1, y(1) = −2.

f). y⁰= sin(xy), y(0) = 3.

g). y0= cos(x + y), y(0) =π/2. h). y⁰= y²+ e^x−1, y(1) = 1.

i). y⁰=^√1 + xy, y(0) = 1.

j). y0= 1 + xy2, y(0) = 1.

k). y⁰= cos(x) + sin(x), y(0) = 1.

7.8.Tentukanlah singularitas dan nyatakan juga jenis singularitas dari masing-masing persamaan diferensial berikut ini.

a). (x − 1)³x²y⁰⁰− 2(x − 1)xy⁰− 3y = 0. b). (x − 1)²x⁴y⁰⁰+ 2(x − 1)xy⁰− y = 0. c). (x + 1)2y00+ xy0− (x − 1)y =.

7.9.Buktikan bahwa titik asal adalah titik regular singularity untuk masing-masing persamaan diferensial berikut. Buktikan pula bahwa selisih mutlak akar-akar persamaan indeksnya bukan bilangan bulat.

Kemudian tentukan penyelesaian persamaan umum diferensial meng-gunakan deret Frobenius serta tentukan interval kekonvergenan pe-nylesaiannya itu. a). x²y⁰⁰+ x(x +¹₂)y⁰+ xy = 0. b). 2x²y⁰⁰+ 3xy⁰+ (2x − 1)y = 0. c). 2xy⁰⁰+ (x + 1)y⁰+ 3y = 0. d). 2x2y00− xy0+ (1 − x2)y = 0. e). 2(x²+ x³)y⁰⁰− (x − 3x²)y⁰+ y = 0.

7.10.Buktikan bahwa titik asal adalah titik regular singularity untuk masing-masing persamaan diferensial berikut. Buktikan pula bahwa selisih mutlak akar-akar persamaan indeksnya bilangan bulat. Kemu-dian tentukan penyelesaian persamaan umum diferensial menggunak-an deret Frobenius serta tentukmenggunak-an interval kekonvergenmenggunak-an penylesai-annya itu. a). x²y⁰⁰− x²y⁰+ (x²− 2)y = 0. b). x2y00+ (1 + x3)xy0− y = 0. c). x²y⁰⁰+ xy⁰+ (x²−¹₉)y = 0. d). x2y00+ xy0+ (x2− 1)y = 0. e). x²y⁰⁰− x²y⁰+ (x²− 4)y = 0. f). x²y⁰⁰− 3xy⁰+ 4(x + 1)y = 0. g). xy00+ (1 − x)y0+¹₂y = 0.

Pustaka

1. Tenenbaun, M., Pollard, H.: Ordinary Differential Equations. Dover, New York (1985)

2. Goode, S. W.: Diffrenetial Equations and Linear Algebra. Prentice Hall, New Jersey (2000)

3. Boyce, W.E., DiPrima, R.C.: Elementary Differential Equations and Bounary Value Pro-blems. Wiley, New York (2004)

akar kompleks konjugat, 76 analitik, 152 Bernoulli, 48 Convolution, 129 Cramer, 115 deret Frobenius, 159 deret Maclaurin, 149 deret pangkat, 145 deret Taylor, 145 derivatif, 1 derivatif parsial, 1 diferensial eksak, 28 diferensial homogen, 19 divergen, 146 faktor integrasi, 32 fungsi elementer, 145 fungsi Heaviside, 131 fungsi homogen, 18 fungsi implisit, 4 fungsi periodik, 125 fungsi primitif, 7 fungsi tangga, 131 fungsi-fungsi fundamental, 145 garis normal, 60 integral taktentu, 124

invers transfomasi Laplace, 127 irregular singularity, 157 kalkulus, 1

keluarga ellip, 65 keluarga kurva, 57

keluarga penyelesaian n parameter, 8 koefisien linier, 24 koefisien taktentu, 78 koefisien variabel, 145 konvergen, 146 koordinat polar, 66 Laplace, 123 linier order 2, 73

linier tak homogen order 2, 73 model persamaan massa-pegas, 100 Order, 2 penyelesaian, 2 penyelesaian eksplisit, 2 penyelesaian fundamental, 145 penyelesaian implisit, 4 penyelesaian khusus, 17 persamaan indeks, 160 persamaan karakteristik, 74 persamaan Riccati, 49 regular singularity, 157 sistem persamaan diferensial, 97 solusi nontrivial, 107 tangen kurva, 57 titik singular, 157 transformasi Laplace, 123 transformasi linier, 123 translasi fungsi, 132 trayektori isogonal, 63 trayektori ortogonal, 65 uji banding, 146 variabel terpisah, 16 variasi parameter, 89 Wronskian, 115 173