Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial Orde Tinggi

PG2101 Analisis Matematik Teknik Proses

[Persamaan Diferensial Orde Tinggi]

Program Studi Teknik Pangan Fakultas Teknologi Industri – ITB

Dr. Ir. M.T.A.P. Kresnowati Dr. Ir. Dian Shofinita

PDB orde 1 pangkat 2

𝑑𝑦 𝑑𝑥

2

− 2 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥 − 1 Merupakan persamaan diferensial biasa

Merupakan orde satu

Merupakan pangkat dua ➔ tidak linier Pemisalan, 𝑝 = ^𝑑𝑦

𝑑𝑥

➔ 𝑝² − 2𝑝 + 𝑦 = 𝑥 − 1

➔ 𝑝² − 2𝑝 + 𝑦 − 𝑥 + 1 = 0

PDB orde 1 pangkat 2

• ^𝑝2 − 2𝑝 + 𝑦 − 𝑥 + 1 = 0

• 𝑝 = 1 ± 𝑥 − 𝑦

Apabila kita misalkan 𝑢 = 𝑥 − 𝑦, maka

𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 1 − 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = ± 𝑢 Yang apabila diintegrasikan menghasilkan solusi umum

2 𝑢 = ± 𝑥 + 𝐶 Sehingga

4 𝑥 − 𝑦 = 𝐶 ± 𝑥 ² 4𝑦 = 4𝑥 − 𝐶 ± 𝑥 ²

Yang merupakan bentuk yang biasa ditemukan dalam persamaan tak linier

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

ORDE TINGGI

Persamaan diferensial orde n

Bentuk umum persamaan diferensial linier orde n

𝑑^𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛 + 𝑎_𝑛−1 𝑥 ^{𝑑𝑛−1𝑦}

𝑑𝑥^𝑛−1 + ⋯ + 𝑎₁ 𝑥 ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑎₀ 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Jika f(x) = 0, maka disebut persamaan diferensial homogen

Jika f(x)  0, maka disebut persamaan diferensial tak homogen

orde

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

ORDE DUA

Persamaan diferensial orde 2

• ^𝑑2𝑦

𝑑𝑥² + ²

𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑦^∝ = 0 (Lane-Emden)

• ^𝑑2𝜓

𝑑𝑡² + 𝜔²𝑠𝑖𝑛𝜓 = 0 (pendulum non linier)

• ^𝑑2𝑦

𝑑𝑥² + 𝑎 𝑦² − 1 ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑦 = 0(Van der Pol)

• Nonlinier ➔ ubah jadi linier dulu

Persamaan diferensial orde 2

• Nonlinier ➔ ubah jadi linier dulu

• Pendekatan yang umum digunakan:

• Metode subtitusi derivatif (derivative substitution method) ➔ dy/dx = p,

• Dilakukan bila y atau x tidak eksplisit

• Metode fungsi homogen (homogeneous function method) ➔ v = y/x

• Bila persamaan dapat dituliskan sebagai fungsi homogen

• 𝑥 ^𝑑2𝑦

𝑑𝑥² = 𝑓 ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 ,^𝑦

𝑥

Metode Subtitusi Derivatif

• x atau y tidak eksplisit

𝑑²𝑦

𝑑𝑥² + 𝜔² sin 𝑦 = 0 Subtitusi ➔ p = dy/dx

𝑑𝑝

𝑑𝑥 + 𝜔² sin 𝑦 = 0

Metode Substitusi Derivatif

x tidak eksplisit 𝑑𝑝(𝑦)

𝑑𝑥 = 𝑑𝑝 𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑑𝑝 𝑑𝑦 𝑝 𝑝 𝑑𝑝

𝑑𝑦 + 𝜔² sin 𝑦 = 0 𝑝 𝑑𝑝 = −𝜔² sin 𝑦 𝑑𝑦

𝑝² = 2𝜔² cos 𝑦 + 𝐶₁

𝑝 = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = ± 2𝜔² cos 𝑦 + 𝐶₁

න 𝑑𝑦

2𝜔² cos 𝑦 + 𝐶₁ = ±𝑥 + 𝐶₂

Metode Fungsi Homogen

• Mirip dengan penyelesaian PDB orde 1 homogen

• 𝑥 ^𝑑2𝑦

𝑑𝑥² = 𝑓 ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 , ^𝑦

𝑥

• Persamaan Euler*

• 𝑥^{2 𝑑2𝑦}

𝑑𝑥² + 𝐴𝑥 ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝐵𝑦 = 0; A,B konstanta

*disebut juga persamaan Euler-Cauchy atau persamaan ekuidimensional

Metode Fungsi Homogen

𝑥^{2 𝑑2𝑦}

𝑑𝑥² + 𝐴𝑥^𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝐵𝑦 = 0; A,B konstanta

• Untuk x = e^tatau t = ln(x)

• ^{𝑑𝑦(𝑥)}_𝑑𝑥 ^{= 𝑑𝑦}_{𝑑𝑡 𝑑𝑥}^{𝑑𝑡 =𝑑𝑦(𝑡)}_𝑑𝑡 ¹_𝑥

• ^𝑑_𝑑𝑥^2𝑦₂ ⁼ _𝑑𝑥^{𝑑 𝑑𝑦(𝑡)}_𝑑𝑡 ¹_𝑥 ⁼ _𝑑𝑡^{𝑑 𝑑𝑦}_𝑑𝑡 ^{𝑒−𝑡 𝑑𝑡}_𝑑𝑥⁼_𝑑𝑡^{𝑑 𝑑𝑦}_𝑑𝑡 ^{𝑒−𝑡 1}_𝑥

• ^𝑑_𝑑𝑥^2𝑦2= ^𝑑2𝑦

𝑑𝑡² 𝑒^−𝑡 − ^𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑒^{−𝑡 1}

𝑥

Subtitusi ke persamaan awal

𝑥² 𝑑²𝑦

𝑑𝑡² 𝑒^−𝑡 − 𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑒^−𝑡 1

𝑥 + 𝐴𝑥 𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡 𝑒^−𝑡 + 𝐵𝑦 = 0 𝑑²𝑦

𝑑𝑡² + 𝐴 − 1 𝑑𝑦

𝑑𝑡 + By = 0

Contoh 1

Gas A melarut ke permukaan cairan reagen yang dalam, dimana A bereaksi secara ireversibel dan tak linier

𝑅_𝐴 = 𝑘_𝑛𝐶_𝐴^𝑛

Lakukan peneracaan pada koordinat z, dengan permukaan z = 0 𝐴_𝑛 𝐽_𝑧 𝑧 − 𝐴_𝑛𝐽_𝑧 𝑧 + ∆𝑧 − 𝑘_𝑛𝐶_𝐴^𝑛 𝐴_𝑛∆𝑧 = 0

Contoh 1

𝐴_𝑛 𝐽_𝑧 𝑧 − 𝐴_𝑛𝐽_𝑧 𝑧 + ∆𝑧 − 𝑘_𝑛𝐶_𝐴^𝑛 𝐴_𝑛∆𝑧 = 0 Dibagi A_n, Limit z→0

− 𝑑𝐽_𝑧

𝑑𝑧 − 𝑘_𝑛𝐶_𝐴^𝑛 = 0 Hukum Fick untuk difusi

𝐽_𝑧 = −𝐷 𝑑𝐶_𝐴 𝑑𝑧 Sehingga

𝐷 𝑑²𝐶_𝐴

𝑑𝑧² − 𝑘_𝑛𝐶_𝐴^𝑛 = 0

Persamaan diferensial orde n

Bentuk umum persamaan diferensial linier orde n

𝑑^𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛 + 𝑎_𝑛−1 𝑥 ^{𝑑𝑛−1𝑦}

𝑑𝑥^𝑛−1 + ⋯ + 𝑎₁ 𝑥 ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑎₀ 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Jika f(x) = 0, maka disebut persamaan diferensial homogen

Jika f(x)  0, maka disebut persamaan diferensial tak homogen

orde

Persamaan diferensial homogen

𝑑^𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛 + 𝑎_𝑛−1 𝑥 ^{𝑑𝑛−1𝑦}

𝑑𝑥^𝑛−1 + ⋯ + 𝑎₁ 𝑥 ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑎₀ 𝑥 𝑦 = 0 Jika y(x) merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut

➔ c.y(x) juga merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut

Persamaan diferensial homogen

Misal P adalah operator linier 𝑃 = ^𝑑𝑛

𝑑𝑥^𝑛 + 𝑎_𝑛−1 𝑥 ^𝑑𝑛−1

𝑑𝑥^𝑛−1 + ⋯ + 𝑎₁ 𝑥 ^𝑑

𝑑𝑥 + 𝑎₀ 𝑥 Maka untuk persamaan diferensial homogen,

➔P[y] = 0

➔P[cy] = cP[y] = 0

Persamaan diferensial orde n

𝑑^𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛 + 𝑎_𝑛−1 𝑥 𝑑^𝑛−1𝑦

𝑑𝑥^𝑛−1 + ⋯ + 𝑎₁ 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑎₀ 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) P[y] = P[y_c + y_p] = P[y_c] + P[y_p] = 0 + f(x)

Persamaan diferensial orde n

• Solusi homogen atau solusi komplementer (y_c) 𝑑^𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛 + 𝑎_𝑛−1 𝑥 𝑑^𝑛−1𝑦

𝑑𝑥^𝑛−1 + ⋯ + 𝑎₁ 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑎₀ 𝑥 𝑦 = 0

• Solusi partikular atau solusi khusus (y_p)

𝑑^𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛 + 𝑎_𝑛−1 𝑥 𝑑^𝑛−1𝑦

𝑑𝑥^𝑛−1 + ⋯ + 𝑎₁ 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑎₀ 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)

• y = y_c + y_{p Forcing}

function

Solusi Komplementer

• Persamaan Orde Dua Homogen

PDB orde 2 Homogen

Bentuk umum PDB orde 2 homogen:

d²y

dx² + a₁ ^dy

dx + a₀y = 0 Solusi komplementer:

misalkan : ^y_c ^{= Cerx} C = konstanta integrasi

r = akar persamaan karakteristik (konstanta, eigenvalue) d²

dx² Ce^rx + a₁ d

dxCe^rx + a₀Ce^rx = 0 hasil:

C[r² + a₁r + a₀]e^rx = 0

21

PDB orde 2 Homogen

Persamaan Karakteristik:

𝑟² + 𝑎₁𝑟 + 𝑎₀ = 0 Akar persamaan karakteristik:

𝑟₁ = 1

2 (−𝑎₁ + 𝑎₁² − 4𝑎₀) dan 𝑟₂ = 1

2(−𝑎₁ − 𝑎₁² − 4𝑎₀) Solusi PDB orde 2 homogen:

𝑦₁ = 𝐶𝑒^𝑟1𝑥 dan 𝑦₂ = 𝐶𝑒^𝑟2𝑥

22

PDB orde 2 Homogen

3 jenis akar-akar persamaan karakteristik:

1. dua nilai akar bilangan ril yang berbeda

2. dua nilai akar bilangan kompleks yang berbeda

3. dua nilai akar bilangan ril yang kembar

23

Kasus 1: dua nilai akar bilangan ril yang berbeda

Persamaan Karakteristik:

𝑟² + 𝑎₁𝑟 + 𝑎₀ = 0, Di mana 𝑎₁² − 4𝑎₀ > 0

Persamaan karakteristik ini akan memberikan 2 nilai akar bilangan ril yang berbeda, sehingga solusi komplementernya adalah:

𝑦_𝑐 = 𝐶₁𝑒^𝑟1𝑥 + 𝐶₂𝑒^𝑟2𝑥

24

Kasus 2: dua nilai akar bilangan kompleks yang berbeda

Persamaan Karakteristik:

𝑟² + 𝑎₁𝑟 + 𝑎₀ = 0, Di mana 𝑎₁² − 4𝑎₀ < 0

Persamaan karakteristik ini akan memberikan 2 nilai akar bilangan kompleks yang berbeda,

𝑟_1,2 = 𝛼 ± 𝑖𝛽 di mana 𝛼 = − ¹

2 𝑎₁ dan 𝛽 = 𝑎₀ − ¹

4 𝑎₁²

25

Kasus 2: dua nilai akar bilangan kompleks yang berbeda

Sehingga solusi komplementernya adalah 𝑦_𝑐 = 𝐶₁𝑒^𝑟1𝑥 + 𝐶₂𝑒^𝑟2𝑥 ቋ

𝑟_1,2 = 𝛼 ± 𝑖𝛽 𝑦_𝑐 = 𝐶₁𝑒 ^{𝛼+𝑖𝛽 𝑥} + 𝐶₂𝑒 ^{𝛼−𝑖𝛽 𝑥} 𝑦_𝑐 = 𝑒^𝛼𝑥 𝐶₁𝑒^𝑖𝛽𝑥 + 𝐶₂𝑒^{−𝑖𝛽𝑥}

Euler 𝑒^𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥

𝑦_𝑐 = 𝑒^𝛼𝑥 𝐶₁[cos 𝛽𝑥 + 𝑖 sin 𝛽𝑥] + 𝐶₂[cos 𝛽𝑥 − 𝑖 sin 𝛽𝑥]

𝑦_𝑐 = 𝑒^𝛼𝑥 (𝐶₁ + 𝐶₂) cos 𝛽𝑥 + (𝐶₁ − 𝐶₂)𝑖 sin 𝛽𝑥 𝑦_𝑐 = 𝑒^𝛼𝑥 𝐶₁ cos 𝛽𝑥 + 𝐶₂ sin 𝛽𝑥

26

Kasus 3: dua nilai akar bilangan ril yang kembar

Persamaan Karakteristik:

𝑟² + 𝑎₁𝑟 + 𝑎₀ = 0, Di mana 𝑎₁² − 4𝑎₀ = 0

Persamaan karakteristik ini akan memberikan 2 nilai akar bilangan ril yang kembar,

𝑟_1,2 = 1 2 𝑎₁

Solusi komplementer: 𝑦_𝑐 = 𝐶₁𝑒^𝑟𝑥 + 𝐶₂𝑥𝑒^𝑟𝑥

27

Persamaan diferensial orde n

Bentuk umum persamaan diferensial linier orde n

𝑑^𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛 + 𝑎_𝑛−1 𝑥 ^{𝑑𝑛−1𝑦}

𝑑𝑥^𝑛−1 + ⋯ + 𝑎₁ 𝑥 ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑎₀ 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Jika f(x) = 0, maka disebut persamaan diferensial homogen

Jika f(x)  0, maka disebut persamaan diferensial tak homogen

orde

Persamaan diferensial orde n

• Solusi homogen atau solusi komplementer (y_c) 𝑑^𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛 + 𝑎_𝑛−1 𝑥 𝑑^𝑛−1𝑦

𝑑𝑥^𝑛−1 + ⋯ + 𝑎₁ 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑎₀ 𝑥 𝑦 = 0

• Solusi partikular atau solusi khusus (y_p)

𝑑^𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛 + 𝑎_𝑛−1 𝑥 𝑑^𝑛−1𝑦

𝑑𝑥^𝑛−1 + ⋯ + 𝑎₁ 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑎₀ 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)

• y = y_c + y_{p Forcing}

function

Solusi Partikular

Metode penyelesaian:

• Koefisien tak tentu

• Operator inversi

• Koefisien konstan

• Variasi parameter

• koefisien tak konstan

Koefisien Tak Tentu

• Menebak fungsi y_p, dengan koefisien yang nilainya ditentukan melalui subtitusi persamaan tersebut ke persamaan diferensial asal.

• Terutama untuk persamaan polinomial

contoh

𝑑²𝑦

𝑑𝑥² − 𝑦 = 𝑥² 𝑦" − 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒^𝑥 𝑑²𝑦

𝑑𝑥² − 8 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 16𝑦 = 6𝑥𝑒^4𝑥

Operator Inversi

• Operator diferensial ➔ D

• (operator Heaviside)

• ^𝑑𝑦

𝑑𝑥=Dy

• ^𝑑2𝑦

𝑑𝑥² = 𝐷 𝐷𝑦 = 𝐷²𝑦

• ^𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛 = 𝐷^𝑛𝑦

Operator Inversi

• Operator linier ➔ dapat dijumlahkan dan difaktorkan 𝑑²𝑦

𝑑𝑥² − 8 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 16𝑦 = 0 𝐷²𝑦 − 8𝐷𝑦 + 16𝑦 = 0 𝐷² − 8𝐷 + 16 𝑦 = 0

𝐷 − 4 ²𝑦 = 0

Operator Inversi

• Mengikuti hukum aljabar

• Hukum Distributif

• A(B+C)=AB+BC

• ^𝐷2𝑦 − 8𝐷𝑦 + 16𝑦 = 𝐷² − 8𝐷 + 16 𝑦

• Hukum Komutatif → tidak berlaku umum

• AB=BA

• (tidak diikuti) 𝐷𝑦 ≠ 𝑦𝐷

• 𝐷 + 4 𝐷 + 2 = 𝐷 + 2 𝐷 + 4

• Hukum Asosiatif → tidak berlaku umum

• A(BC)=(AB)C

• (tidak diikuti) 𝐷 𝑥𝑦 ≠ 𝐷𝑥 𝑦

• 𝐷 𝐷𝑦 = 𝐷𝐷 𝑦

Operator Inversi

• Untuk eksponensial

• 𝐷 𝑒^𝑟𝑥 = 𝑟𝑒^𝑟𝑥

• 𝐷² 𝑒^𝑟𝑥 = 𝑟² 𝑒^𝑟𝑥

• 𝐷^𝑛 𝑒^𝑟𝑥 = 𝑟^𝑛 𝑒^𝑟𝑥

• 𝑃 𝐷 𝑒^𝑟𝑥 = 𝑃 𝑟 𝑒^𝑟𝑥

➔ 𝐷² + 5𝐷 + 4 𝑒^𝑟𝑥 = 𝑟² + 5𝑟 + 4 𝑒^𝑟𝑥

• 𝐷^𝑛 𝑓(𝑥)𝑒^𝑟𝑥 = 𝑒^𝑟𝑥 𝐷 + 𝑟 ^𝑛𝑓 𝑥

• 𝑃 𝐷 𝑓(𝑥)𝑒^𝑟𝑥 = 𝑒^𝑟𝑥𝑃 𝐷 + 𝑟 𝑓 𝑥

Operator Inversi

• Integral merupakan inversi dari turunan

• ^𝜕

𝜕𝑥 ׬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐷 ׬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥

• ׬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐷⁻¹𝑓 𝑥

• 𝑃 𝐷 𝑒^𝑟𝑥 = 𝑃 𝑟 𝑒^𝑟𝑥

• 𝑃(𝐷)(𝑓(𝑥)𝑒^𝑟𝑥) = 𝑒^𝑟𝑥𝑃(𝐷 + 𝑟)𝑓(𝑥)

• Aturan 1 ➔ ¹

P(D) 𝑒^𝑟𝑥 = ¹

𝑃(𝑟) 𝑒^𝑟𝑥

• Aturan 2 ➔ ¹

P(D) (𝑓(𝑥)𝑒^𝑟𝑥) = ¹

𝑃(𝐷+𝑟) (𝑓(𝑥)𝑒^𝑟𝑥)

integrato r

contoh

𝑑𝑦

𝑑𝑥 − 2𝑦 = 𝑒^𝑥

• 𝐷 − 2 𝑦 = 𝑒^𝑥

• Solusi komplementer

𝑦_𝑐 = 𝐴 𝑒𝑥𝑝 2𝑥

• Solusi partikular

𝑦_𝑝 = 1

𝐷 − 2𝑒^𝑥

contoh

Hukum 1 operator inversi

1

𝑃(𝐷) 𝑒^𝑟𝑥= ¹

𝑃(𝑟) 𝑒^𝑟𝑥

• 𝑦_𝑝 = 𝐷 − 2 ⁻¹𝑒^𝑥 = −𝑒^𝑥

• 𝑦 = 𝑦_𝑐 + 𝑦_𝑝 = 𝐴𝑒^2𝑥 + −𝑒^𝑥

contoh

𝑑²𝑦

𝑑𝑥² − 4 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 4𝑦 = 𝑥𝑒^2𝑥

• 𝐷² − 4𝐷 + 4 𝑦 = 𝑥𝑒^2𝑥

• 𝐷 − 2 𝐷 − 2 𝑦 = 𝑥𝑒^2𝑥

• Solusi komplementer

𝑦_𝑐 = 𝐴 𝑒𝑥𝑝 2𝑥 + 𝐴 𝑥 𝑒𝑥𝑝 2𝑥

• Solusi partikular

𝑦_𝑝 = 1

𝐷 − 2 ² 𝑥𝑒^2𝑥

contoh

𝑦_𝑝 = 1

𝐷 − 2 ² 𝑥𝑒^2𝑥

• Hukum 2 operator inversi

➔ ¹

P D 𝑓 𝑥 𝑒^𝑟𝑥 = ¹

𝑃 𝐷+𝑟 𝑓 𝑥 𝑒^𝑟𝑥

➔𝑦_𝑝 = ¹

𝐷−2 ² 𝑥𝑒^2𝑥 = ¹

𝐷−2+2 ² 𝑥𝑒^2𝑥 = ¹

𝐷² 𝑥𝑒^2𝑥

➔𝑦_𝑝 = 𝑒^{2𝑥 1}

𝐷³ 1 = ^𝑥3

3! 𝑒^2𝑥

Variasi Parameter

• Paling umum

• Juga berlaku untuk koefisien variabel

𝑑²𝑦

𝑑𝑥² + 𝑎₁ 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑎₀ 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)

• Asumsikan solusi komplementer

𝑦_𝑐 = 𝐶₁𝑦₁ 𝑥 + 𝐶₂𝑦₂ 𝑥

• Metode variasi parameter mengganti C₁ dan C₂ oleh fungsi-fungsi u(x) dan v(x)

𝑦_𝑝 = 𝑢(𝑥)𝑦₁ 𝑥 + 𝑣(𝑥)𝑦₂ 𝑥

Variasi Parameter

• 𝑦_𝑝 = −𝑦₁ ׬ ^𝑦_𝑊^2𝑓 𝑑𝑥 + 𝑦₂ ׬ ^𝑦_𝑊^1𝑓 𝑑𝑥

• W adalah Wronskian dari y₁ dan y₂

• 𝑊 = 𝑦₁ 𝑦₂

𝑦₁′ 𝑦₂′ = 𝑦¹𝑦₂’− 𝑦₁′𝑦₂

contoh

𝑑²𝑦

𝑑𝑥² + 𝑦 = sec 𝑥

• Solusi komplementer

• 𝑦_𝑐 = 𝐶₁ cos 𝑥 + 𝐶₂ sin 𝑥

• 𝑊 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥

−𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

• W = cosx cos x − −sin x sinx = 1

• 𝑦_𝑝 = − cos 𝑥 ׬ 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑑𝑥 + sin 𝑥 ׬ 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑑𝑥