Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa

APLIKASI PERSAMAAN

APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASADIFERENSIAL BIASA

Aplikasi persamaan diferensial Aplikasi persamaan diferensial

Dalam teori

Dalam teori persampersamaan aan diferdiferensialensial, , masalah masalah utama yang utama yang dihadadihadapi pi adalah mengetahuadalah mengetahuii adanya penyelesaian persamaan diferensial (adanya suatu fungsi terdiferensialkan dan memenuhi adanya penyelesaian persamaan diferensial (adanya suatu fungsi terdiferensialkan dan memenuhi  persamaan

 persamaan diferensial). diferensial). Oleh Oleh karena karena itu, itu, diperlukan diperlukan teorema teorema yang yang menjamin menjamin adanya adanya suatusuatu  penyelesaian (Siswanto, 199).

 penyelesaian (Siswanto, 199).

!ersamaan diferensial eksak yang merupakan "agian dari persamaan diferensial memiliki !ersamaan diferensial eksak yang merupakan "agian dari persamaan diferensial memiliki  penyelesaian se"agai "erikut#

 penyelesaian se"agai "erikut# 1.

1. F F (( x x,, y y) $ % $) $ % $ cc !ilih se"arang titik (

!ilih se"arang titik ( x x&,&, y y&&) se'ara "ijaksana pada daerah dimana fungsifungsi) se'ara "ijaksana pada daerah dimana fungsifungsi M  M ,, N  N , turunan, turunan

turunan parsial

turunan parsial M  M  y ydandan N  N  y y kontinu. itik ( kontinu. itik ( x x&,&, y y&&) diperoleh se'ara "ijaksana, tetapi hal terse"ut) diperoleh se'ara "ijaksana, tetapi hal terse"ut

tidaklah mudah (*ini+io dan adas, 19--). tidaklah mudah (*ini+io dan adas, 19--). 

.. !!eennggeelloommppookkaann

/enyelesaikan persamaan diferensial eksak dengan mengelompokkan kem"ali sukusukunya, /enyelesaikan persamaan diferensial eksak dengan mengelompokkan kem"ali sukusukunya, har

harus us dikdiketaetahui hui "ah"ahwa wa masmasingingmamasinsing g kelkelompompok ok adalah adalah difdifereerensinsial al tottotal al dardari i suasuatu tu funfungsigsi (Ayres, 19-1).

(Ayres, 19-1). 0.

0. F F (( x x,, y y) $ %) $ % cc(( y y)) c

c(( y y) $ (oss, 19-2)) $ (oss, 19-2)

Dari ketiga 'ara penyelesaian persamaan diferensial eksak, 'ara ketiga merupakan 'ara Dari ketiga 'ara penyelesaian persamaan diferensial eksak, 'ara ketiga merupakan 'ara yang sistematik (*ini+io dan adas, 19--). Ditam"ahkan oss (19-2), 'ara ketiga merupakan yang sistematik (*ini+io dan adas, 19--). Ditam"ahkan oss (19-2), 'ara ketiga merupakan 'ara yang standar dalam menyelesaikan persamaan diferensial eksak.

'ara yang standar dalam menyelesaikan persamaan diferensial eksak. !

!eenynyeelleessaaiiaan n ppeerrssamamaaan an ddiiffeerreennssiial al eekkssak ak ddeennggaan n mmeenngggguunanakkaan n rruummuuss standar

maka peneliti tertarik agar rumus penyelesaian persamaan diferensial eksak disederhanakan sehingga langkahlangkah penyelesaian soalsoal persamaan diferensial eksak le"ih sederhana. 4ksistensi suatu rumus untuk menyelesaikan persamaan diferensial eksak merupakan hal yang esensial untuk di"uktikan dan dijelaskan. 5agi yang awam tentang matematika, persoalan ini  "ukan merupakan pemikiran "agi mereka, artinya mereka hanya menggunakan hasil  penyederhanaan terse"ut tanpa pernah mun'ul pertanyaan dalam pikirannya mengapa  penyelesaian itu 'aranya "er"eda. Sementara "agi orang matematika hal terse"ut harus dapat

di"uktikan dan dijelaskan.

5erdasarkan uraianuraian yang telah dipaparkan, peneliti akan mengadakan penelitian dengan  judul# 6!enyederhanaan penyelesaian persamaan diferensial eksak.7

5atasan /asalah

!ada penelitian ini pem"ahasan diferensial eksak di"atasi yaitu#

1. !ersamaan diferensial tingkat satu dan derajat satu untuk dua 8aria"el dengan "entuk  umum persamaan diferensial M ( x, y) dx % N ( x, y) dy $ 0

. = M ( x, y), = N ( x, y) dan =

0. umus penyelesaiannya adalah F ( x, y)$% c( y) atau F ( x, y) $ % c( x)

1. umusan /asalah

5erdasarkan latar "elakang dan "atasan masalah, peneliti merumuskan masalah se"agai  "erikut#

5agaimana 'ara menyederhanakan rumus F ( x, y) $ % c( y) dan F ( x, y) $ % c( x), sehingga c( y) $ % c dan c( x) $ % c.

!ada prinsipnya penelitian ini "erusaha untuk menjawa" masalahmasalah yang dipaparkan pada latar "elakang dan rumusan masalah yaitu untuk menyederhanakan  penyelesaian persamaan diferensial eksak.

0. /anfaat asil !enelitian

asil penelitian ini diharapkan dapat "ermanfaat se"agai "erikut#

1. Dari peneliti, manfaat yang dapat diam"il adalah untuk mengem"angkan pengetahuan yang ada pada peneliti.

. Dalam kaitannya dengan pengem"angan pendidikan tinggi di :ndonesia, penelitian ini diharapkan dapat mem"erikan tinjauan "aru dalam teori persamaan diferensial eksak.

0. :nformasi yang di"erikan dalam penelitian ini akan mem"uka peluang diadakan  penelitian le"ih lanjut dengan meli"atkan "entuk"entuk persamaan diferensial yang lain.

!4SA/AA; D:*44;S:A

!ersamaan diferensial pada matematika diskrit khususnya adalah !ersamaan suatu fungsi matematika yang memiliki satu 8aria"el atau le"ih, dimana fungsi terse"ut saling "erhu"ungan antara fungsi itu sendiri dan turunanya. Selain dalam matematika diskrit, !ersamaan diferensial ini juga digunakan dalam ilmu hitung lainya "aik dari ilmu fisika, ekonomi dan ilmu lainya

!ersamaan diferensial adalah persamaan matematika yang memepelajari fungsi yang tidak  diketahui nilai dari satu atau "e"erapa 8aria"el yang saling "erhu"ungan, nilainilai fungsi itu sendiri dan turunannya dari "er"agai operasi matematika. !ersamaan diferensial memainkan  peran penting dalam aplikasi matematika pada "idang teknik, fisika, ekonomi, dan disiplin

lainnya.!ersamaan diferensial kerap mun'ul dalam "anyak "idang ilmu pengetahuan dan teknologi, khususnya setiap kali terdapat hu"ungan deterministik yang meli"atkan "e"erapa elemen yang terus menerus "er8ariasi (dapat di"uat model matematika dengan menggunakan fungsi) dan tingkat peru"ahan elemenelemen terse"ut dalam ruang dan < atau waktu (dinyatakan se"agai turunan).

al ini kerap diilustrasikan dalam mekanika klasik, di mana gerakan digam"arkan oleh posisi dan ke'epatan yang dipengaruhi oleh waktu. ukum ;ewton memungkinkan seseorang (mengingat posisi, ke'epatan, per'epatan dan "er"agai kekuatan "ertindak pada tu"uh) untuk 

menyatakan 8aria"el8aria"el dinamis se"agai persamaan diferensial untuk posisi yang tidak  diketahui tu"uh se"agai fungsi waktu. Dalam "e"erapa kasus, persamaan diferensial (dise"ut  persamaan gerak) dapat dipe'ahkan =ontoh aplikasi matematika menggunakan persamaan

diferensial adalah penentuan ke'epatan "ola jatuh melalui udara, jika 8aria"el yang digunakan hanya gra8itasi dan ham"atan udara. !er'epatan "ola ke arah tanah dihiung dari per'epatan gra8itasi dikurangi perlam"atan karena ham"atan udara. Diasumsikan gra8itasi dianggap konstan, dan ham"atan udara dapat dimodelkan se"agai "er"anding lurus dengan ke'epatan "ola. al ini mengindikasikan per'epatan "ola, yang merupakan turunan dari fungsi ke'epatannya, yang tergantung pada ke'epatan. /en'ari ke'epatan se"agai fungsi atas waktu mem"utuhkan  peme'ahan se"uah persamaan diferensial.

!ersamaan diferensial se'ara matematis dipelajari dari perspektif yang "eranekaragam, se"agian  "esar mereka peduli dengan solusihimpunan fungsi yang memenuhi persamaan (tujuannya

hanya "erupa perkem"angan ilmu). anya persamaan diferensial sederhana umumnya mendapatkan hasi formula se"uah formula eksplisit. ;amun, "e"erapa sifatsifat dari solusi dari  persamaan diferensial yang di"erikan dapat ditentukan tanpa menemukan solusi yang tepat dari  peme'ahan persamaan diferensial terse"ut. 3ika solusi analitik tidak dapat ditemukan, solusi dapat diestimasi se'ara numerik menggunakan komputer. eori sistem dinamik menekankan  pada analisis kualitatif sistem dijelaskan oleh persamaan diferensial, sementara metode numerik 

yang telah dikem"angkan untuk menentukan solusi dengan tingkat galat tertentu.

!ersamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak  diketahui adalah fungsi dari "anyak 8aria"el "e"as, dan persamaan terse"ut juga meli"atkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial "iasa, namun klasifikasi le"ih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiper"olik, dan para"olik, terutama untuk   persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. 5aik persamaan diferensial "iasa

maupun parsial dapat digolongkan se"agai linier atau nonlinier. >lasifikasi lain adalah tergantung pada "anyaknya fungsifungsi yang tidak diketahui.3ika hanya terdapat fungsi tunggal yang akan ditentukan maka satu persamaan sudah 'ukup. Akan tetapi jika terdapat dua atau le"ih fungsi yang tidak diketahui maka se"uah sistem dari  persamaan diperlukan. ?ntuk 'ontohnya, persamaan otka@olterra atau predatorpray adalah 'ontoh sistem persamaan yang sangat penting yang merupakan model dalam ekologi. !ersamaan terse"ut mempunyai "entuk# d<dt $ a  aydy<dt $ 'y% By

!ersamaan diferensial sendiri dapat di"agi menurut #

1. /enurut jenis atau tipe # yaitu persamaan diferensial "iasa dan persamaan diferensial  parsial.

. /enurut orde# orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan. d0y<d0 adalah orde tiga dy<d adalah orde dua dy<d adalah orde satu.

3. _{/enurut derajat# derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari}

turunan fungsi orde tertinggi. Se"agai 'ontoh# ( d0y<d0) % ( dy < d)C % y<%1 $e adalah persamaan diferensial "iasa, orde tiga, derajat dua.

!enerapan persamaan diferensial pada kehidupan seharihari dan /atematika diskrit Dalam penerapanya !ersamaan Diferensial ini dalam matematika adalah pen'arian nilai fungsi turunan untuk memudahkan perhitungan, sedangkan untuk penerapan lain ilmu yang dipengaruhi oleh !ersamaan diferensial ini adalah :lmu *isika misal dalam hukum newton, !er'epatan dan >e'epatan, !erhitungan adio ;uklir dan masih "anyak  lagi.