Pembahasan Penting Dalam Barisan Dan Deret Geometri

Pembahasan Penting Dalam Barisan dan

Deret Geometri

Posted On August 20, 2013 | Under Category: Barisan dan Deret advertisements

Barisan dan deret aritmatika telah kita ketahui bersama, baik definisi maupun rumusnya karena telah kita bahas pada artikel sebelumnya di rumus matematika ini. Dan sekarang yang akan kita bicarakan mengenai barisan dan deret geometri. Apa yang menjadi perbedaan diantara keduanya?

BARISAN GEOMETRI

Yang dimaksud dengan barisan geometri yaitu sederetan bilangan yang berupa suku / unit yang ditulis secara berurutan dengan perbandingan dua buah suku yang berurutan mempunyai harga yang konstan (tetap). Perbandingan dua buah suku yang berurutan ini biasanya dinamakan dengan rasio dan dilambangkan dengan huruf r. Sehingga bentuk umum untuk barisan geometri yaitu

U1, U2, U3, ……., Un-1, Un

U1/U2 = U3/U2 = …. = Un / Un-1 r=Un / Un-1

Jika untuk suku pertama disebut dengan a maka bentuk umum untuk barisan geometrinya sebagai berikut

Jadi berdasarkan deret diatas Un=arn-1

1. Jika r>1 maka suku-suku barisan tersebut semakin besar nilainya / naik sehingga disebut barisan geometri naik.

2. Jika r<1 yang artinya -1<r<1 maka suku-suku barisan tersebut semakin kecil nilainya / turun sehingga disebut barisan geometri turun.

3. Jika r<0 maka suku barisan berganti tanda sehingga disebut barisan naik turun.

DERET GEOMETRI

Jika a, ar, ar2, ar3, … arn-1 merupakan suatu barisan geometri, maka a + ar + ar2 + ar3 + … arn-1 merupakan deret geometri.

Jadi Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri. Apabila jumlah n suku pertama dari deret geometri kita lambangkan dengan Sn, maka Sn dapat ditulis sebagai berikut Sn = a + ar + ar2 + ar3 + … arn-1

Jika kita kalikan persamaan diatas dengan r akan diperoleh r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + … arn-1 + arn

selanjutnya kita kurangkan kedua persamaan tersebut Sn = a + ar + ar2 + ar3 + … arn-1 r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + … arn-1 + arn __________________________________- Sn – r Sn = a – arn (1 – r)Sn = a(1 – rn) Sn=a(1 – rn)/(1 – r) jika r<1

untuk r>1 dengan cara yang sama rumus Sn dapat diperoleh, yaitu

Keterangan :

1. Rasio dari dua buah suku yang berurutan tetap 2. Barisan geometri akan naik jika Un > Un-1

3. Barisan geometri akan turun jika Un < Un-1

4. Barisan geometri akan bergantian naik turun jika r < 0 5. Terdapat hubungan Un = Sn – Sn-1

6. Jika banyaknya suku ganjil maka suku tengahnya Ut=√U1.Un

7. Apabila terdapat 3 bilangan membentuk deret geometri, maka untuk memudahkan perhitungan kita misalkan saja bilangan tersebut dengan a/r,a,ar.

contoh soal :

tentukanlah jumlah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374 ? Penyelesaian :

Diketahui Barisan geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374 Sehingga a = 2 dan r = 3 Un = arn-1 4374=2 . 3n-1 4374/2=3n-1 2187=3n-1 37=3n-1 n – 1 = 7 n = 8 Sn=a(1 – rn)/(1 – r) S8= 2(1 – 32)/(1 – 3) = 6560

Jadi, jumlah 8 suku pertama deret geometri tersebut adalah 6560. DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Suatu deret geometri jika n menuju tak hingga maka deret tersebut disebut deret geometri tak berhingga. Sehingga deret geometri tak berhingga merupakan penjumlahan dari

Jenis deret geometri tak hingga :

1. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Deret dikatakan termasuk dalam deret geometri tak hingga konvergen jika deret tersebut memiliki rasio |r| <1 atau -1< r <1. Dan jumlah deret geometri yang konvergen dirumuskan dengan pendekatan

Sn=a/(1 – r)

2. Deret Geometri Tak Hingga Divergen (menyebar)

Deret dikatakan termasuk dalam deret geometri tak hingga divergen jika deret tersebut memiliki rasio |r| >1 atau r >1 atau r < -1. Dan jumlah deret geometri divergen tidak didefinisikan. contoh : 1+3+9+27+…

Catatan:a + ar + ar2 _{+ ar}3 _{+ ar}4 _{+ …….……….}

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil a+ar2 _+ar4_{+ ……. S}

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap a + ar3 + ar5 + …… Sgenap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r

PENGGUNAAN DALAM PERBANKAN

1. Untuk Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal) M0, M1, M2, …………., Mn M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0 M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0 . . . . Mn =M0 + P/100 (n) M0  Mn = {1 + P/100 (n) } M0

2. Untuk Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir) M0, M1, M2, ………., Mn M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0 M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0 = (1 + P/100)² M0 . . . Mn = {1 + P/100}n _M 0 Keterangan : M0 = Modal awal

p = Persen per periode atau suku bunga n = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah

penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

Barisan dan Deret Geometri – Ketika sobat belajar matematika SMA, ada dua macam barisan dan deret yaitu aritmatika dan geometri. Buat sobat yang ingin belajar lebih jauh tentang barisan dan deret aritmatika silahkan baca postingan barisan dan deret aritmatika. Kali ini rumushitung.com ingin mengajak sobat untuk belajar dan mengenal lebih jauh tentang barisan dan deret geometri.

Apa itu Barisan Geometri?

Barisan geometri atau sering diistilahkan ―barisan ukur‖ adalah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan adalah bernilai konstan. Misal barisan geometri tersebut adalah a,b, dan c maka c/b = b/a = konstan. Hasil bagi suku yang berdekatan tersebut disebut dengan rasio barisan geometri (r).

Misalkan sobat punya sebuah deret geometri

U1, U2, U3, …, Un-1, Un

Maka

U2/U1 = U3/U2=U4/U3 = … Un/Un-1 = r (konstan) lalu bagaimana menetukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri? coba ambil contoh

U3/U2 = r maka U3 = U2. r = a.r.r = ar2

U4/U3 = r maka U4 = U3. r = a.r2.r = ar3 sejalan dengan Un/Un-1 = r maka Un = Un-1. r = arn-2.r = arn-2+1 = arn-1

jadi dari penjelasan di atas sobat bisa menyimpulkan

Rumus Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan

Un

=

ar

n-1

dengan a = suku awal dan r = rasio barisan geomteri

contoh soal

Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, …. jawab :

kalau ditanya suku ke lima atau suku yang masih ke-sekian yang masih kecil mungkin sobat bisa meneruskan barisan geometri tersebut tapi kalau ditanyakan suku ke-10, ke-50, atau ke-100 akan sangat merepotkan dan mau tidak mau harus pakai rumus di atas.

r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 –> rasio a = 1/8

Un = arn-1 = 1/8 2(10-1) = 1/8 . 29 = 2-3.29 = 26 = 64 contoh soal berikutnya

Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?

a = 2 r = 2

n = 1 jam/ 6 menit = 10 Un = arn-1

U10 = 2.210-1 = 210 = 1024 buah amoeba. Apa itu Deret Geometri?

Deret geometri didefinisikan sebagai jumlah n buah suku pertama dari barisan geometri. Nilai dari n suku pertama dari sebuah barisan geometri dapat ditentukan dengan

Sn = a + ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1

r Sn = ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1 + arn (keduanya kita kurangkan)

———————————————————————————

Sn – rSn = a – arn

Sn (1-r) = a (1-rn)

Sn

=

a

(1-r

n

)/

(1-r)

dengan a = suku pertama dan r = rasio barisan geometri

Contoh Soal

tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan 1,3,9,… Jawab

a = 1

r = 3 dan n = 6

Sn = a (1-rn)/ (1-r) = 1 (1-36) / (1-3) = 1 (1-729) / -2 = -728/-2 = 364 Sisipan pada Barisan Geometri

dalam barisan geometri dikenal adanya sisipan. Misalkan di antara p dan q sobat sisipkan k buah bilangan dan terdjadi barisan geometri, maka rasio barisan geometri adalah

Suku Tengah Barisan Geometri

jika U1, U2, U3, … Un merupakan barisan geometri dengan n ganjil maka suku tengah barisan geometri tersebut adalah

Deret Geometri tak Hingga

Ketika sobat menjatuhkan bola bekel dari ketinggian satu meter dan bola tersebut akan memantul ke atas sejauh 0,8 tinggi jatuh sebelumnya berpa jarak yang ditempuh bola bekel tersebut hingga berhenti? heheh susah ya. Itu adalah contoh dari deret geomerti tak hingga yaitu deret yang banyak suku-sukunya tak terhingga. Jumlah suku-suku dari deret tak hingga ada kemungkinan hingga tau tak hingga. Jika deret itu hingga maka deretnya disebut deret konvergen dan jika tak hingga disebut dere divergen. Gampangnya jika jumlah deret tak hingga menuju ke suatu harga tertentu yang berhingga maka disebut konvergen (mengerucut). Sebaliknya, deret geometri yang menuju bilangan tak hinggaa disebut divergen.

Deret tak hingga yang rasionya r ≥ 1 atau r ≤ 1 disebut deret divergen dan yang mempuyai rasio -1< r < 1 disebut deret konvergen. Untuk menghitung deret tak hingga ada dua rumus tergantung pada nilai r

nama deret

rasio (r)

rumus

divergen

r ≥ 1 atau r ≤ 1

s = ∞

konvergen

-1< r < 1

s = a/ 1-r

Contoh Soal

Tentukan jumlah suku-suku deret geometri tak hingga dari 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + …. Jawab

a = 1

r = 0,5

S∞ = a/1-r = 1/1-0,5 = 1/0,5 = 2

42 Responses to “Barisan Geometri dan Deret Geometri”

January 29, 2014 at 08:16

Maaf mau nanya kalau ada soal yang nanyain ‗apakah menentukan suatubarisan geometri cukup dengan menentukan rasio dua suku berurutan?‘ itu gimana?

Reply

o rumus hitung says:

January 30, 2014 at 05:54

tidak bisa mb… jangan cuma 2 suku berurutan, 3 atau 4 suku berurutan untuk memastikan deret tersebut benar2 deret geometri…

Reply

2. hendra says:

February 22, 2014 at 08:32

kak, ane ad tgas ni,

cra ngerjainnya cemana yah? Dik, S2=6 S4=30,

Hitunglah U10? Pusink ane kak, mhn bantuannya,

Reply

o rumus hitung says:

February 22, 2014 at 09:00

kita coba anggap itu sebagai barisa aritmatika dulu ya… S2 = u1 + u2 = a + a + b = 2a + b = 6 ..

(persamaan 1)

S4 = 1/2 . 4 (2a+3b) = 4a + 6b = 30… (persamaan 2)

ingat rumus Sn = 1/2 n (2a+(n-1)b)

kita eliminasikan persxamaan 1 dan persamaan 2 2a + b = 6

4a + 2b = 12 4a + 6b = 30 ———————- - - 4b = – 18 b = 4,5 2a + b = 6 2a + 4,5 = 6 2a = 1,5 a = 0,75 U10 = a + 9 b = 0,75 + 9 (4,5) = 0,75 + 40,5 = 41,25

mohon mmasukan sobat yang lain jika ada yang tidak pas…

Reply

 Hendra says:

February 23, 2014 at 13:19

kak, itukan pke rumus deret aritmatika, soal ane pke rumus deret geometri,

ada cara yg lain kak? yang menggunakan rumus deret geometri? mohon pencerahaanya

Reply

 rumus hitung says:

February 23, 2014 at 14:47

oh ya maaf kak hendra tak kira deret aritmatika.. untuk geometri jawabannya sebagai berikut

S2=6 S4=30, Hitunglah U10?

rumus Sn = a (1-rn)/1-r kita bagi S4 dengan S2 S4/S2 = a (1-r4)/

(1-r) dibagi a (1-r2) / (1-r) –> kita coret a dan (1-r) didapat

S4/S2= (1-r4)/ (1-r2) –> ingat aturan a2

-b2 = (a+b) (a-b)

S4/S2= (1+r2) (1-r2)/ (1-r2) S4/S2= (1+r2) 30/6 = (1+r2) 5 = 1+r2 4 = r2 r =2

setelah ketemu r kita cari a, kita masukkan ke salah satu persamaan S2= a (1-22)/1-2 S2= a (-3)/-1 6 = a .3 a = 2.. jadi nilai r = 2 a = 2 U10 = arn-1 = 2.29= 1024

jangan lupa ya follow @rumushitung dan like fanpage kita.. semoga bermanfaat.

Reply

3. Hendra says:

February 23, 2014 at 18:55

wew, PF jawabannya kak,

thx yah, ngomong‖ mau ngelike dimana?

Kgk keliatan , sori g bisa follow, g main twit kak

Reply

o rumus hitung says:

February 23, 2014 at 19:06

PF itu apa ya kak hendra? di sidebar blog mas.. ada box like.. monggo kalau berkenan… terima kasih yak..

Reply

February 23, 2014 at 19:25

Kak, monggo dibantu sekali lg, Uda ane like nih fage kok,

1. Dalam Barisan Geometri diketahui U1+u6=244 dan U3.U4=243. Tentukan r! 2. Suatu jenis mobil mengalami depresiasi (oenurunan harga jual) sebesar 15% pada setiap akhit tahun. Jika harga mobul baru adalah Rp150jt, Berapakah harga jual mobil pada akhit tahun ketiga?

3.Rizky menabung uangnya sebesar Rp.5jt di bank. Bunga bank yg diterima nasabah adalah 5% pertahun. Berapakah

A.Pada thun keberapa tabungan rizki melebihi Rp7,5jt (asumsi tanpa pengambilan dan pembayaran)

B.Total tabungan Rizki selaama 8thun tanapa pengambian,

kak, mohon bantuan sekali lg buat 3 soal diatas,

Reply

o rumus hitung says:

February 23, 2014 at 21:12

wew.. ayo kak hendra dicoba dulu dong.. kalau mentok baru ke saya..

Reply

 hendra says:

February 24, 2014 at 08:34

Ud mentok kak, tolongi dong,

Reply

5. Hendra says:

ok kak, nanti ane sebar ke temen‖

Reply

o rumus hitung says:

February 23, 2014 at 21:17

heheheh terima kasih…

Reply

6. Hendra says:

February 23, 2014 at 19:26

PF= Perfect manyos dah

Reply

7. Hendra says:

February 23, 2014 at 20:05

Kak, monggo dibantu sekali lg, Uda ane like nih fage kok,

1. Dalam Barisan Geometri diketahui U1+u6=244 dan U3.U4=243. Tentukan r! 2. Suatu jenis mobil mengalami depresiasi (oenurunan harga jual) sebesar 15% pada setiap akhit tahun. Jika harga mobul baru adalah Rp150jt, Berapakah harga jual mobil pada akhit tahun ketiga?

3.Rizky menabung uangnya sebesar Rp.5jt di bank. Bunga bank yg diterima nasabah adalah 5% pertahun. Berapakah

A.Pada thun keberapa tabungan rizki melebihi Rp7,5jt (asumsi tanpa pengambilan dan pembayaran)

B.Total tabungan Rizki selaama 8thun tanapa pengambian,

o hendra says:

February 24, 2014 at 09:00

krana ud mentok kak, makanya di tanya ke sini, help me again dong kak,

Reply

8. Hendra says:

February 24, 2014 at 19:34

up up up, dibantu dong,

Reply

9. gaby says:

April 14, 2014 at 22:35

Saya mau tanya dong,rumusnya jumlah suku dari barisan geometri apa ya? Atau rumusnya sama kyk yg deret geometri.trims

Reply

10. a.sholih says:

April 20, 2014 at 00:54

Bantu dong kak selesaikan soal ini a*b=ab+b+c dan 3*5=2*x maka nilai X+3 =…… mohon deh share gimana jawabnya

thanks

Reply

o rumus hitung says:

a*b=ab+b+c dan 3*5=2*x maka nilai X+3 =…… 3*5=2*x (3.5)+5+c = (2x) + x + c (c kita coret) 20 = 3x x = 20/3 x + 3 = 20/3 + 3 = 29/3 Reply

11. Enrico Akbar says:

April 22, 2014 at 18:57

diketahui pola ke-1=2, pola ke-2=5, pola ke-3=9, pola ke-4=14.banyak pola ke-17=?? bisakah dijawab sekarang? ini penting!

Trimakasih

Reply

o rumus hitung says:

May 1, 2014 at 06:10

diketahui pola ke-1=2, pola ke-2=5, pola ke-3=9, pola ke-4=14.banyak pola ke-17=??

n1 = 2

n2 = 5 –> n1 + 3 n3 = 9 –> n1 + 3 + 4 n4 = 14 –> n1 + 3 + 4 + 5

jadi polanya itu suku ke n = n + [deret aritmatika dengan a= 2 beda 1, sebanyak (n-1) buah]

silahkan baca deret aritmatika

jadi n17 = 2 + deret aritmatika dengan a= 2 beda 1, sebanyak 16 buah,

= 2 +[1/2 n (2a+(n-1)b)]

= 2 +[1/2 16 (2+(15)1)]

= 2 + [8 (17)]

Reply

12. khairil says:

April 23, 2014 at 22:56

ada soal seperti ini

-2^2012 – (- 2^2011 – 2^2010 – … – 2^3 – 2^2 – 2^1 – 1)

ini sebenarnya yang jadi pembanding itu pangkatnya n-1 atau Un = n-1 ? aduh bingung saya

Reply

13. Bahlul says:

May 3, 2014 at 18:36

Di ktahui barisan geometri 16,8,4,2…tentukan Rumus suku ke-n barisan tersebut…

Klo anda bsa, tlong ya

Reply

o rumus hitung says:

May 7, 2014 at 19:57

itu deret geometri.. a = 16 r = 1/2 Un = arn-1

Un = 16 (1/2)n-1

Reply

14. Stupid says:

May 3, 2014 at 18:45

Tentukan lima suku pertama dari rumus barisan geometri n-1

Un=4 …..?

Reply

o Stupid says:

May 3, 2014 at 18:47

Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 8+4+2+1….

Reply

 rumus hitung says:

May 7, 2014 at 19:53

s = a/ 1-r = 8/1-1/2 = 16…

Reply

o rumus hitung says:

May 7, 2014 at 19:54

bisa diperjelas kak soalnya..

Reply

15. nadien says:

May 4, 2014 at 10:42

Min kalo ada soal yg seperti ini gimana caranya ?

‖ seutas tali dibagi mnjadi 4 bagian dgn pnjang membentuk barisan geometri. Jika tali terpendek 16 dan tepanjang 54 mka panjang tali mula2 ?

Reply

May 7, 2014 at 19:16

suku pertama (tali paling pendek = a = 16 suku ke 4 = a r3 = 54

kita bagi ketemu r3 = 54/16 r3 = 3,75 r = 1,5

Kita cari nilai a a r3 = 54

a (3/2)3 = 54 a (9/8) = 54 a = 54 x 8/9 = 40

jumlah tali mula-mula = S4 Sn = a (1-rn)/ (1-r) S4 = 40 (1-(3/2)n)/ (1-[3/2]) S4 = 40 (1-(3/2)4)/ (1-[3/2])

karena jumlah sukunya sedikit lebih mudah langsung = 40 + 60 + 90 + 135 = 325…

Reply

16. Wheny says:

June 9, 2014 at 14:31

Kak kalau soalnya tentukan suku ke 11 dari barisan geometri berikut 2,4, 8 ,16, 32 , -46…

Caranya bagaimana kak

Reply

o rumus hitung says:

June 14, 2014 at 11:08

Reply

17. Nur Anisa says:

June 13, 2014 at 15:09

kak bantu ya ..

jumlah dan rasio dari deret geometri tak hingga adlaj 75 dan 2/3 .suku pertama deret ta hingga tersebut adalah .

besuk di kumpulin kak bntu ya:‘(:‘(:‘(

Reply

o rumus hitung says:

June 14, 2014 at 10:32

jumlah dan rasio dari deret geometri tak hingga adlaj 75 dan 2/3 Jumlah suku dalam deret geometri tak hingga

S = a/1-r 75 = a/(1-2/3) 75 = a/(1/3) 75 = 3a a = 75/3 = 25 Reply

18. Dian Siti J says:

July 14, 2014 at 14:17

Tolongin dong kak .. ini tugas buat besok .. :‘(

Tentukanlah jumlah 8 suku pertama dari deret berikut ini 8 + 4 + 2 + 1 + 0.5 + ….

Reply

o rumus hitung says:

a = 8 r = 1/2

merupakan deret geometri

Sn = a

(1-r

n

_{)/ (1-r)}

Sn =

8 (1-½

8

_{)/ (1-½)}

Sn

= 8 (1-1/256)/ (½)

Sn

= (8-1/32)

x2

Sn

= (16-1/16)

Sn

= 255/16 =

15 15/16

Reply 19. Muchlish says: July 14, 2014 at 14:21

Tolong dong, aku gak ngerti maksud soalnya.. gimana sih cara pengerjaannya? Carilah jumlah tak hingga dari deret geometri berikut ini:

a.0.583333… b.0.266666…

Reply

o rumus hitung says:

July 20, 2014 at 17:09

maaf kak muchlish soalnya bisa diperjelas.. kalau soal deret minimal harus ada 3 buah suku anggota deret tersebut…

20. AlvinChaidrata says:

August 2, 2014 at 09:45

Kak tolong saya dong, kalau ditanya ―Rumus suku ke-n dari barisan : 1,6,15,28″ dan ―Suku ke-15 dari barisan: 1,3,6,10,15″ itu gmna ya jawabnya?

Tolong dibantu ya kak aku udh stuck sama pertanyaan ini hampir seminggu

Reply

o rumus hitung says:

August 2, 2014 at 19:00

kakak alvin itu adalah deret aritmatika tapi bertingkat.. saya bantu yang pertama nanti bisa jadi acuan buat mengerjakan yang kedua yak ini pakai rumus deret aritmatika bertingkat 2.. lihat gambar di bawah ini

cara di atas bisa kakak pakai untuk mencari jawaban soal kedua… semoga bermanfaat

Reply

 AlvinChaidrata says:

August 2, 2014 at 23:54

Wahhhh terima kasihhhh yg sangatt banyak buat kka pintar ya sekali lagi trima kasih buat rumusnya, akhirnya saya mengerti

Reply

1. BARISAN GEOMETRI

U1, U2, U3, ..., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = Un / Un-1

a, ar, ar² , ...arn-1 U1, U2, U3,...,Un

Suku ke n Un = arn-1 fungsi eksponen (dalam n)

2. DERET GEOMETRI

a + ar² + ... + arn-1_{disebut deret geometri} a = suku awal

r = rasio

n = banyak suku Jumlah n suku

Sn = a(rn_{-1)/r-1 , jika r>1}

= a(1-rn_{)/1-r , jika r<1  Fungsi eksponen (dalam n)}

Keterangan:

a. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap b. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku

Un > Un-1

c. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku

Un < Un-1

Bergantian naik turun, jika r < 0 d. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1

e. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah _______ __________

Ut =  U1xUn = U2 X Un-1 dst.

f. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk

memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar 3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U1 + U2 + U3 + ...

 

 Un = a + ar + ar² ...

n=1

dimana n  dan -1 < r < 1 sehingga rn_{ 0}

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r <

1

Catatan:

a + ar + ar2 _{+ ar}3 _{+ ar}4 _{+ ...}

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar2 _+ar4_{+ ... S}

ganjil = a / (1-r²) Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar3 _{+ ar}5 _{+ ... S}

genap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r

PENGGUNAAN

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal) M0, M1, M2, ..., Mn M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0 M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0 . . . . Mn =M0 + P/100 (n) M0 Mn = {1 + P/100 (n) } M0

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir) M0, M1, M2, ..., Mn M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0 M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0 = (1 + P/100)² M0 . . . Mn = {1 + P/100}n _M 0

Keterangan : M0 = Modal awal

Mn = Modal setelah n periode

p = Persen per periode atau suku bunga n = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman,

perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).