Definisi Barisan Tak Terhingga

(1)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Beberapa Bentuk Deret Sederhana

Uji Konvergensi Deret Tak Berhingga

Uji Integral

Uji Komparasi Teorema Uji Komparasi Langsung Uji Limit Komparasi

Uji Rasio

Uji Akar

Deret Tak Terhingga

Ayundyah Kesumawati

Prodi Statistika FMIPA-UII

(2)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Barisan Tak Hingga

Barisan

a1,a2,a3,a4, ...

adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif.

(3)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Definisi Barisan Tak Terhingga

Definisi 1. Barisan an dikatakan konvergenmenujuL, dan

ditulis sebagai

lim

n→∞an=L

Jika untuk tiap bilangan positifε terdapat sebuah bilangan positif N yang bersesuaian, sedemikian rupa sehingga

n_≥N _{⇒ |}an−L|< ε

(4)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Teorema Sifat-Sifat Limit Pada Barisan

Misalkanan danbn adalah barisan-barisan konvergen dan k

adalah konstanta. Maka:

1. limn→∞k =k

2. limn→∞kan=klimn→∞an

3. limn→∞(a_n±b_n) =lim_n→∞a_n±Lim_n→∞b_n

4. limn→∞(a_n.b_n) =lim_n→∞a_n.Lim_n→∞b_n

5. limn→∞

limn→∞an

limn→∞bn

(5)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Deret Tak Terhingga

Ekspresi matematika yang berbentuk

a1+a2+a3+a4+...

atau dalam notasi

∞

X k=1

ak

disebutderet tak terhinggadan bilangan real ak disebut suku

(6)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Ilustrasi

Perhatikan

S1 =a1

S2 =a1+a2= 2 X k=1

ak

S3 =a1+a2+a3= 3 X k=1

ak

.. .

Sn=a1+a2+a3+...+an= n X k=1

(7)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Barisan (Sn) disebut jumlah parsial ke n deret. Deret P

∞

k=1ak

dikatakan konvergen dengan jumlah S jika barisan (Sn)

konvergen ke S, yaitu:

S =

∞

X k=1

ak := lim

n→∞Sn= lim_n→∞

n X k=1

ak

Jika barisan (Sn) tidak konvergen maka deret

∞

P k=1

disebut

(8)

Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Sebelum masuk pada pendalaman teori lebih lanjut, perhatikan pengaruh suku-suku (ak). Agar deret konvergen maka

suku-suku ini haruslah menuju nol, ini merupakan syarat perlu bagi suatu deret konvergen. Tetapi sebaliknya, jikaak tidak

(9)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Deret Konvergen

ContohTunjukkan bahwa deret

∞

X k=1

1 2k

konvergen. Perhatikan jumlahan parsial berikut

(10)

Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Berdasarkan definisi jumlah deret tak terhingga diperoleh:

lim

n→∞Sn= limn→∞

1₋ 1

2n

(11)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Deret Divergen

Kita tunjukkan deret

Σ∞

k=1(−1)k

divergen. Diperhatikan bahwa deret ini dapat diekspansi sebagai berikut

Σ∞

k=1(−1)k =−1 + 1−1 + 1−...

sehingga jumlah parsialnya diperoleh

Sn:= (

−1 jika n ganjil

0 jika n genap

karenaSn tidak mempunyai limit (divergen) maka disimpulkan

deret Σ∞

(12)

Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Deret Teleskoping

Kita tunjukkan deret

∞

X k=1

1

k2₊_k

(13)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Dengan menggunakan pecahan parsial kita dapat menyajikan

ak =

Jadi, jumlah parsial n sukunya dapat disajikan sebagai berikut

(14)

Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Jadi, jumlah deret adalah

Sn= n X k=1

1

k2₊_k = lim_n→∞

1₋ 1

n+ 1

(15)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Deret GeometriDeret geometri mempunyai bentuk umum

∞

X k=1

ark−1_:=_a₊_ar ₊_ar

2+ar3+...

dengan a disebut suku pertama dan r disebut rasio. Diperhatikan jumlah parsial deret geometri ini

Sn:=a+ar+ar2+ar3+...+arn−1

Selanjutnya, dengan mengalikan kedua ruas dengan r, diperoleh

rSn=ar+ar2+ar3+...+arn

−₁

+arn

Bila kedua kesamaan ini dikurangkan maka akan diperoleh:

Sn−rSn=a−arn⇔(1−r)Sn=a(1−rn)⇔Sn=

a(1₋rn₎

(16)

Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Sekarang kita amati nilaiSn untuk n→ ∞). Bila r = 1 maka

Sn tidak terdefinisi karena muncul pembagian dengan nol. Jika

r>1 maka sukurn_{→ ∞} dan (1₋rn)_{→ −∞} sehinggaSn

tidak konvergen. Demikian juga bilar <₋1 makaSn tidak

konvergen. Sekarang, bila₋1<r<1 makarn _→0 sehingga lim

n→∞Sn= limn→∞

a(1₋rn₎

(1₋r) = limn→∞

a(1₋0) (1₋r) =

a

(1₋r)

Jadi deret geometri konvergen jika_|r_|<1 dengan jumlah

S = a

(17)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Latihan

Sederhanakan bentuk jumlah parsialSn sehingga tidak memuat

lambang Σ lagi. Bila deret ini konvergen, hitunglah jumlahnya

1. P∞

k=2

1 √

k −

1 √

k+ 1

2. P∞

k=0

1 (k+ 1)(k+ 2)

(18)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Konvergensi Deret Tak Berhingga

Dua pertanyaan yang berkaitan dengan deret tak berhingga

P∞

k=1ak adalah

1 Apakah deret konvergen

2 Bila konvergen, berapakah jumlahnya.

Kecuali deret-deret khusus seperti yang telah diberikan sebelumnya, untuk mengetahui kekonvergenan suatu deret bukanlah pekerjaan yang mudah. Bahkan, deret yang sudah dipastikan konvergen tidaklah terlalu mudah untuk

(19)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Sebagai contoh, perhatikan contoh berikut

ContohDiberikan deret

∞

X k=1

1

k

Selidikilah kekonvergenan deret ini.

Untuk melihat secara intuitif dan visualisasi jumlah deret ini, kita perhatikan jumlah parsial ke n

Sn:= 1 +

1

2 +

1

3 +...+ 1

n

Komputasi numerik memberikan data sebagai berikut:

(20)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Terlihat bahwa kenaikan jumlah parsialnya sangat lambat sehingga berdasarkan data ini ”seolah-olah” jumlah deret akan menuju bilangan tertentu atau konvergen.

Dilihat dari polanya, suku-suku pada deret ini yaituak = 1_k

(21)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Penyelesaian

(22)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Deret yang mempunyai suku-suku positif menjadi bahasan pada uji integral ini. Uji integral ini menggunakan ide dimana suatu integral didefinisikan melalui bentuk jumlahan. Memang, kedua notasi Σ danR

ini mempunyai kaitan yang erat.

Teorema

Jikaak =f(k) dimana f(x) fungsi positif, kontinu dan turun

padax_≥1 maka kedua ekspresi berikut

∞

X k=1

ak dan Z ∞

1

f(x)dx

(23)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Bukti

Perhatikan ilustrasi grafik berikut ini

(24)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Luas persegipanjang pada gambar di atas adalah

L1 =A1,L2 =A2, ....,LN =An−1

Luas persegipanjang pada gambar dibawah adalah

A1 =a1,A2 =a2, ....,AN =an

Luas daerah yang dibatasi oleh kurvay =f(x) darix = 1 sampai denganx =n adalah

In= Z n

1

f(x)dx

Dari ketiga luasan tersebut berlaku hubungan

(25)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Jadi,

Sn−a1≤In≤Sn−an (1)

Misalkan integralR∞

1 f(x)dx <∞ (konvergen), maka

berdasarkan persamaan di atas didapatkan

Z ∞

1

f(x)dx := lim

n→∞In≥_nlim→∞Sn−a1

dan

S =

∞

X k=1

ak := lim

n→∞Sn≤

Z ∞

1

(26)

Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Sebaliknya, jika deretP∞

k=1ak konvergen maka limn→∞an= 0

dan berdasarkan (3.1) diperoleh

Z ∞

1

f(x)dx := lim

n→∞In≤_nlim→∞(Sn−an) =S −0<∞

(27)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Contoh

Lakukan uji integral untuk melihat bahwa deretS =P∞

k=1 1 k

divergen.

Penyelesaian

Diambilf(x) := _x1,x _≥1.Fungsi f(x) kontinu, positif dan turun padax _≥1 dan f(k) = 1

k. Selanjutnya, Z ∞

1

f(x)dx =

Z ∞

1

xdx =lnx| ∞

1 =ln∞ −ln1 =∞(divergen)

DeretS =P∞

k=1k1 disebutDeret Harmonik. Lebih umum,

(28)

Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Contoh

Tentukan harga p agar deret-p berikutS =P∞

k=1 k1p

konvergen.

Penyelesaian

Diambilf(x) = 1

xp

,x _≥1.Fungsi f(x) kontinu, positif, turun

padax_≥1 dan f(k) = 1

kp. Telah diperoleh pada Bab Integral

Tak Wajar bahwa

Z ∞

1

xpdx =   

1

p₋1,p>1

divergen,p_≤1

Oleh karena itu deretS =P∞ ₁

(29)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

(30)

Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Contoh

Ujilah kekonvergenan deret berikut Σ∞

k=1

k

ek/5, dan jika

konvergen hitunglah jumlahnya secara aproksimasi.

Penyelesaian

Bila diambil fungsif(x) = x

(31)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Diperhatikan grafiknya pada gambar berikut

(32)

Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Berdasarkan gambar tersebut, fungsif(x) = _exx/5 pada awalnya naik kemudian turun terus. Untuk memastikan titik dimana fungsi mulai turun, digunakan materi pada kalkulus elementer,

f turun jika dan hanya jikaf′

(x)<0.

f′

(x) =e−_x_/5

−x

1 5e

−_x_/5

<0

⇔e−_x_/5

(33)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Karenae−x/5 ₆_{= 0 maka diperoleh harga nolnya,}

(1₋x/5) = 0_⇔x = 5. jadi fungsif(x) turun untuk x>5. Selanjutnya, kekonvergenan deret diperiksa dengan menghitung integral tak wajar.

Z ∞

5

xe−x/5_dx

(34)

Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

(35)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Komparasi

Teorema Uji Komparasi Langsung Uji Limit Komparasi

Uji Rasio

Uji Akar

Uji Komparasi

(36)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Komparasi Langsung

Misalkan ada dua deret tak berhinggaP∞

k=1ak danP

∞

k=1bk

dengan 0_≤ak ≤bk untuk setiap k ≥N,N suatu bilangan asli. i. Jika deret P∞

k=1bk konvergen maka deret P∞

k=1ak

konvergen

ii. Jika deretP∞

k=1ak divergen maka deretP

∞

(37)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Bukti

i. Karena P∞

k=1bk konvergen makaP

∞

yang berarti deretP∞

(38)

Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Akhirnya didapat,

(39)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Untuk menggunakan uji ini dibutuhkan deret lain sebagai pembanding. pekerjaan memilih deret yangtepat yang akan digunakan sebagai bahan perbandingan tidaklah sederhana, sangat bergantung dari pengalaman. Namun dua deret penting yaitu deret p dan deret geometri sering digunakan sebagai deret pembanding.

Contoh

Ujilah kekonvergenan deret

∞

X k=1

k

(40)

Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

. Diperhatikan bahwa P∞

k=1

1 2

k

merupakan deret geometri yang konvergen sebab r = 1/2. jadi,

deretP∞

k=1

k

(k+ 2)2k juga konvergen. Dengan menggunakan

(41)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

LatihanGunakan uji integral untuk mengetahui kekonvergenan deret di bawah ini. Bila konvergen, tentukan nilai untuk aproksimasi jumlahnya

1. P∞

k=2

1 (2 + 3k)2.

2. P∞

k=2

(42)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Limit Komparasi

Teorema Uji Limit Komparasi

Misalkanak >0 dan bk >0 untuk k cukup besar, diambil

I := lim

k→∞

ak

bk

Jika 0<L<_∞ maka kedua deretP∞

k=1ak danP

∞

k=1bk

sama-sama konvergen atau sama-sama divergen.

Untuk melakukan uji ini dalam menguji kekonvergenan deret

P∞

k=1ak dilakukan prosedur sebagai berikut:

1. Temukan deret P∞

k=1bk yang sudah diketahui sifat

kekonvergenannya, dan bentuk suku-sukunya bk ”mirip”

dengana_k

2. Hitunglah limit L= limk→∞ ak

bk

, pastikan nilainya positif.

3. Sifat kekonvergenan deret P∞

(43)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Dalam kasus dimana L = 0 maka pengujian dengan alat ini dinyatakan gagal, sehingga harus dilakukan dengan uji yang lain.

Latihan

Lakukan uji komparasi limit untuk mengetahui sifat kekonvergenan deret, nila konvergen, hitunglah jumlahnya secara aproksimasi

(44)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Secara intuitif, deretP∞

k=1ak dengan suku-suku positif akan

konvergen jika kekonvergenan barisanak ke nol cukup cepat.

Bandingkan kedua deret ini

∞

X k=1

1

kdan ∞

X k=1

1

k2

Telah diketahui bahwa deret pertama divergen sedangkan deret

kedua konvergen. Faktanya, kekonvergenan barisan 1

k2 menuju

nol lebih cepat dari barisan 1

k. Selain daripada itu, untuk

(45)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Teorema

Diberikan deretP∞

k=1ak denganak >0, dan dihitung

L= lim

k→∞

ak+1

ak

diperoleh hasil pengujian sebagai berikut:

1 Jika L<1 maka deret P∞_k=1ak konvergen

2 Jika L>1 atau L=∞ maka deret P∞_k=1a_k divergen 3 L = 1 maka pengujian gagal (tidak dapat diambil

kesimpulan)

Contoh

Dengan menggunakan uji rasio, ujilah kekonvergenan deret berikut

∞

X k=1

(46)

Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Penyelesaian

Karenaak =

kk

k! maka diperoleh

(47)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

Latihan

Dengan menggunakan uji rasio, ujilah kekonvergenan deret berikut

∞

X k=1

(48)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Akar

Pada bahasan sebelumnya kita dapatkan bahwa limk→∞a_k = 0

belumlah menjamin bahwa deret konvergen, karena dapat saja deret tersebut divergen. Pada uji akar ini akan dilihat

kekonvergenan deret melalui suku-suku√k_a k.

Teorema

Diberikan deretP∞

k=1ak denganak ≥0 dan dihitung

L= lim

k→∞

k

√_a

k

diperoleh hasil pengujian sebagai berikut:

1 Jika L<1 maka deret P∞_k=1a_k konvergen

(49)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

LatihanGunakan uji akar untuk mengetahui apakah deret

∞

X k=1

1 +1

k

−_k2

(50)

Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Pemilihan uji merupakan masalah tersendiri yang juga

(51)

Deret Tak Terhingga

Ayundyah

Barisan Tak Hingga

Deret Tak Terhingga

Uji Integral

Uji Rasio

Uji Akar

LatihanGunakan uji rasio atau uji akar untuk mengetahui kekonvergenan deret dibawah ini, jika konvergen hitung nilainya.

a. P∞

k=1

k

3k+ 1

k

b. P∞

k=1

k5+ 100

k!

c. P∞

k=1

k! 2k