BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA (3)

28 

Loading.... (view fulltext now)

Teks penuh

(1)

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

Banjar/Barisan Tak Hingga

Barisan tak hingga {Sn} = S1, S2, S3, … , Sn, … adalah suatu fungsi dari n dimana daerah domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli).

Contoh:

banjar ini disebut Banjar Tak Berhingga untuk

menunjukkan bahwa tak ada suku terakhir. Fungsi n11 disebut suku umum atau

ke-n dari banjar.

Suatu banjar tak berhingga dinyatakan dengan menutup suku umum dalam kurung

kurawal seperti

, atau dapat ditulis :

...

Contoh lain:

(2)

8. 0.999, 0.999, 0.999, 0.999, …  dn = 0.999, n ≥ 1

Barisan {Sn} dikatakan terbatas jika terdapat bilangan-bilangan P dan Q

sehingga : P  Sn  Q untuk semua n.

Contoh:

... , 2n

1 n 2 , ... , 6 7 , 4 5 , 2

3 

adalah terbatas karena untuk semua n : 1  Sn 

2

Tetapi 2, 4, 6, ... , 2n, ... adalah tidak terbatas.

Barisan {Sn} dikatakan tidak turun jika S1  S2  …  Sn  …

Dan dikatakan tidak naik jika S1 ≥ S2 ≥ … ≥ Sn ≥ …

Contoh: Barisan

1. , ...

5 16 , 4 9 , 3 4 , 2 1 1 n

n2

   

  

 adalah barisan tidak turun.

2. {2n - (-1)n} = 3, 3, 7, 7, … adalah barisan tidak turun.

3. , ...

4 1 , 3 1 , 2 1 1, n 1

      

adalah barisan tidak naik.

4. {-n} = -1, -2, -3, -4, … adalah barisan tidak naik

Limit Barisan

Jika titik-titik berurutan yang diperoleh dari barisan :

(*) ... , n 1 -2 ...., , 5 9 , 4 7 , 3 5 , 2 3 1,

(3)

 Jika x adalah peubah yang jangkauannya barisan (*), maka dikatakan bahwa x

mendekati 2 sebagai limit atau x menuju 2 sebagai limit dan ditulis : x → 2

 U lim (2-n1) 2

lim

n n n

 

  

Kekonvergenan

Barisan {Sn} dikatakan konvergen ke bilangan berhingga S sebagai limit,

lim Sn S

n  , jika untuk setiap bilangan positif , bagaimanapun kecilnya, terdapat

bilangan bulat positif m sehingga untuk n > m akan berlaku

S

-

S

n

Jika suatu barisan memiliki limit, maka disebut barisan konvergen. Jika suatu barisan tidak memiliki limit, maka disebut barisan divergen.

Barisan {Sn} dikatakan divergen ke ∞,

n limSn 

, jika untuk setiap

bilangan positif M, bagaimanapun besarnya, terdapat bilangan bulat positif m sehingga

untuk n> m maka Sn  M.

Jika Sn > M maka n limSn  .

Jika Sn < -M maka n limSn  -.

Jadi dapat disimpulkan: Definisi

- Barisan {an} dinamakan konvergen menuju L atau berlimit L dan ditulis

sebagai: n liman  L

- Apabila untuk tiap bilangan positif

ε

, ada bilangan positif N sehingga untuk  n ≥ N => | an – L | <

ε

(4)

Teorema-Teorema Barisan

1. Setiap barisan tidak turun atau tidak naik dan terbatas adalah konvergen. 2. Setiap barisan yang tidak terbatas adalah divergen.

3. Barisan konvergen atau divergen akan tetap konvergen atau divergen sesudah n suku pertama dihapus.

4. Limit dari barisan konvergen adalah tunggal.

 Andaikan {sn} dan {tn} barisan-barisan yang konvergen dan k sebuah konsatanta, maka

Jika n limsn  s dan n lim tn  t

5. Lim (k.sn) = k n limsn  ks dimana k konstanta

6. n lim

sn  tn

n limsn  n limtn  s t

7. n lim

sn. tn

n limsn. n limtn  s. t

8.

t s t lim

s lim t s lim

n n

n n n

n

n  

   

  

  

 jika t ≠ 0 dan tn ≠ 0 untuk semua n

9. Jika {sn} adalah barisan suku-suku tidak nol dan jika :

   

 s

lim n

n , maka lim Sn 0 1 n  

10. Jika a > 1, maka n liman  

11. Jika r < 1, maka lim rn 0

n  

Jumlah :

  s

s s s

S 1 2 3 n

1 n

n      

 

... (1)

Dan barisan tak hingga {Sn} disebut deret tak hingga. Untuk setiap deret terdapat sebarisan jumlah parsial : S1 = s1

(5)

Sn = s1 + s2 + s3 + … + sn

Jika n limSn  s suatu bilangan hingga, maka deret (1) dikatakan konvergen dan s

disebut jumlahnya.

Jika n limSn  tidak ada, maka deret (1) dikatakan divergen.

Suatu deret adalah divergen karena n limSn   atau jika n membesar maka Sn

membesar dan mengecil tanpa mendekati suatu limit.

Contoh :

Deret : 1 – 1 + 1 – 1 + ...

Untuk deret ini : s1 = 1, s2 = 0, s3 = 1, s4 = 0 , ……

Contoh-Contoh:

1. Gunakan Teorema 1 untuk memperlihatkan bahwa barisan

1-n1

adalah

konvergen. Penyelesaian :

Barisan

1-n1

adalah terbatas karena 0  Sn  1 untuk semua n. Karena :

Jika Sn =

1-n1

, maka :

1) n(n

1 S

1) n(n

1 n 1 1

1 n

1 1 S

n 1

n

 

 

 

(6)

Jadi barisan ini konvergen ke s = 1

2. Gunakan Teorema 1 untuk memperlihatkan bahwa barisan

   

 

..(2n) 2.4.6.8...

1) -..(2n 1.3.5.7...

adalah konvergen.

Penyelesaian :

Barisan 1.3.5.7...2.4.6.8.....(2n..(2n)-1) adalah terbatas, karena 0  Sn  1 untuk semua

n.

Karena :

Jika Sn  1.3.5.7...2.4.6.8.....(2n..(2n)-1)

Maka :

n 1

n

S . 2 2n

1 2n

2) ..(2n 2.4.6.8...

1) ..(2n 1.3.5.7...

S

  

  

Berarti barisan ini tidak naik, jadi barisan konvergen ke s = 0

3. Limit dari barisan konvergen adalah tunggal. Misalkan berlaku kebalikannya sehingga:

s S lim n

n   dan n limSn  t , dimana s- t  2ε  0

Lingkungan

ε

dari s dan t mempunyai sifat-sifat yang saling berkontradiksi : i) Tidak memiliki titik-titik persekutuan

ii) Masing-masing memiliki semua suku-suku barisan kecuali sejumlah berhingga dari suku-suku tersebut.

Jadi s = t dan limitnya adalah tunggal.

4. Jika a > 1, maka n liman  

(7)
(8)

Jumlah bagiannya adalah : S4 > 2

S8 > 2 ½ S16 > 3 S32 > 3 ½ S64 > 4

Jadi barisan jumlah-jumlah bagiannya tidak terbatas dan divergen, Jadi deretnya divergen.

Uji Konvergensi dan Divergensi dari Deret Positif

I. Uji Integral

Misalkan f(n) menyatakan suku umum Sn dari deret ∑ Sn yang suku-sukunya semua positif. Jika f(x) > 0 dan tidak pernah naik dalam interval x > ξ , dimana ξ suatu bilangan bulat positif, maka deret ∑ Sn konvergen atau divergen tergantung kepada

apakah



dx

f(x) ada atau tidak ada.

II. Uji Banding untuk Konvergensi

Suatu deret positif ∑ Sn adalah konvergen jika setiap suku (mungkin sesudah sejumlah berhingga) adalah lebih kecil atau sama dengan suku yang bersesuaian dari suatu deret positif konvergen yang diketahui ∑ cn

III. Uji Banding untuk Divergensi

Suatu deret positif ∑ Sn adalah divergen jika setiap suku (mungkin sesudah sejumlah berhingga) adalah sama dengan atau lebih besar dari suku yang bersesuaian dari suatu deret positif divergen yang diketahui ∑ dn

(9)

Deret positif ∑ Sn konvergen jika S 1 S

lim n

1 n

n 

 

 , dan divergen jika

1 S S lim

n 1 n

n 

 

 . Jika S 1

S lim

n 1 n

n 

 

 uji ini tidak dapat dipakai.

Contoh :

Selidiki konvergensi dari :  9

1 7 1 5 1 3 1

 

 

Dengan menggunakan uji integral.

Penyelesaian :

f(n) = Sn =

1 2n

1

 , n = 1, 2, 3, ...

Ambil f(x) =

1 2x

1 

Pada interval x > 1, f(x) > 0 dan menurun jika x naik. Ambil ξ = 1 dan pandang :

  

 

 

 

  

 

3 1 2u lim

1 2x lim 1 2x

dx lim

dx f(x)

u

u

1 u

1 u

u 1

Nilai integralnya tidak ada, jadi deret divergen.

Soal :

(10)

1. ...

Uji Banding

Suku umum dari deret yang diketahui yang akan diuji konvergensinya akan dibandingkan dengan suku umum dari deret yang diketahui konvergensinya atau divergensinya. Deret-deret berikut akan berguna sebagai deret uji :

a) Deret geometri a + ar + ar2 + ….. + arn + ….., dimana a ≠ 0 akan konvergen jika

Contoh :

Selidiki konvergensi dari :  

Dengan menggunakan uji banding.

Penyelesaian :

Jadi suku-suku deret ini adalah lebih kecil dari suku-suku deret :

(11)

Jadi deret yang diketahui juga konvergen. (Uji integral juga dapat digunakan disini)

Lanjut Soal :

Dengan menggunakan uji banding, selidiki konvergensi dari :

4. 

Selidiki konvergensi dari deret-deret dengan menggunakan uji banding :

1. 

Uji Rasio

Deret positif ∑ Sn konvergen jika S 1

(12)

Dengan menggunakan uji rasio, selidiki konvergensi dari :

Penyelesaian :

Suku umum n n

Lanjut Soal :

Dengan menggunakan uji rasio, selidiki konvergensi dari :

6. 

1. Tentukan apakah konvergen atau divergen dengan uji integral :

a).

2. Tentukan apakah konvergen atau divergen dengan uji banding :

a).

(13)

a).



n!

2 n 1 n

b).

n! 5n

c).

2n 2

n

d).

n n

3 2

1 -2n

4. Tentukan apakah konvergen atau divergen :

a). 

13 1 10

1 7

1 4

1

2 2

2

2    

b). 

4 3 3 3 2 3

3  333

c). 

5.6.7.8 1 4.5.6

1 3.4

1 2 1

 

 

d)    

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...