Barisan Dan Deret Tak Hingga Infinite

A

R

IS

A

N

D

A

N

D

E

R

E

A

thari

BA RISA N

 De finisi

Barisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal merupakan bilangan asli.

Notasi: f: N  R

n f(n ) = a_n

Fungsi tersebut dikenal sebagai b a risa n b ila ng a n riil {a_n} dengan a_n adalah suku ke-n.

 Bentuk penulisan dari barisan : 1. bentuk e ksp lisit suku ke-n

2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya. 3. bentuk rekursi

Contoh: _a

n =

n 1

   



 _{, ...} 4 1 , 3 1 , 2 1

,1 n n

a a a

a

 

 _

1

,1 ₁

1

KEKO NVERG ENA N BA RISA N

• De finisi:

Barisan {a_n} dikatakan ko nve rg e n menuju L atau berlimit L

dan ditulis sebagai

Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga dinamakan d ive rg e n.

Jika untuk tiap bilangan positif , ada bilangan positif N sehingga untuk

L a_n

n 

lim



  

 N a L

C A TA TA N

• Akan kita jumpai banyak persoalan konvergensi barisan. Kita akan menggunakan fakta berikut.

Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakai kaidah I’Hospital untuk soal peubah kontinu.

L x

f

x ( )  lim

Jika _{f n L}

n ( )  lim

, maka

SIFA T LIMIT BA RISA N

• Sifat dari limit barisan, jika barisan {a_n} konvergen ke L dan barisan {b_n} konvergen ke M, maka

1. lim



a b



lim

 

a lim

 

b_n L M

n n n

n n

n       

2. lim



a .b



lim

 

a .lim

 

b_n L.M

n n n

n n

n    

3.

 

_{ }

M L b

lim a lim b

a lim

n n

n n

n n

n _  

 

 

 

  

 , untuk M 0

 Barisan {a_n} dikatakan

a.

Monoton naik bila a

n+1



a

n

C O NTO H

Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:

2

artinya barisan a_n konvergen menuju ½. Jawab:

Dalam hal ini, menurut kaidah I’Hospital,

e

Dalam hal ini, menurut kaidah I’Hospital,

LA TIHA N

Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:

DERETTA K HING G A

Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengan notasi sigma, sebagai berikut:

dengan a_n adalah suku ke-n.

1 2 3

1

...

...

n n

n

a

a

a

a

a





 



 



BA RISA N JUMLA H PA RSIA L

Misalkan S_n menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret , maka

1 i i

a







Barisan {S_n}, dinamakan barisan jumlah parsial deret

1

i i

a 





Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa S_n – S_n-1 = a_n. S₁ = a₁

S₂ = a₁ + a₂ .

. .

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …+ a_n =

1 n

i i

a





KEKO NVERG ENA N DERET TA K HING G A

Deret tak hingga ko nve rg e n dan mempunyai jumlah S jika barisan jumlah-jumlah parsialnya {S_n} ko nve rg e n ke S. Sebaliknya, apabila {S_n} dive rg e n maka deret dive rg e n.

1 i i

a



DERET G EO METRI

• Bentuk umum deret geometri adalah









1 n

1 n

ar = a +ar +a r2 + ... + a rn-1 + ...

dengan a  0.

 Jumlah parsial deret ini adalah

Sn =



 

n

1 i

1 i

ar = a +ar +a r2 + ... + a rn-1

dan dapat ditulis sebagai

S

_n

=





r 1

r 1

a n





_{, r}

_

_1.

SIFA T DERETG EO METRI

1. Jika r

< 1

_{maka barisan {r}n_{} konvergen ke 0 karena}

n

nlimr

= 0,

maka deretnya konvergen ke 1 r

a



2. Jika maka barisan {rn_{} divergen karena} maka deretnya juga divergen.

r

> 1

n

C O NTO H [1]

(SELIDIKI KEKO NVERG ENA NNYA )

. . . 32

1 16

1 8 1 4 1 2

1 _{    }

1.

Jawab:

Kalau kita perhatikan

S

1

=

2

1

_{= 1}

-2

1 _S

2 = 1₂  1₄ = ₄3 = 1 – ( 1₂ )2

S

3

=

1₂  1₄  1₈

=

₈7

= 1 – (

₂1

)

3

Sehingga kita peroleh jumlah parsial ke-n-nya

S

n

= 1 – (

₂1

)

n

dan

n

nlimS

=

nlim

(1 – (

2

1

₎

n

_{) = 1}

Jadi karena barisan jumlah-jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.

C O NTO H [2]

Kalau kita perhatikan

Dan

Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1, )

Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya

S

n

=



C O NTO H [3]

3.

Jawab:

Dari sini kita dapatkan

Sehingga akan kita dapatkan limit untuk S_n untuk n menuju tak hingga harganya adalah tak hingga juga. Jadi deret harmonik di atas adalah





(Deret Harmonik)

Apabila

1 n n

a





konvergen, maka ,

lim

0

n n

a





ekivalen

lim

_n

0

n

a





maka deret divergen.

C a ta ta n:

Jika , maka belum tentu deret konvergen

(bisa konvergen atau divergen) sehingga perlu pengujian deret positif.

lim

_n

0

n

a





_{n 1} an





Contoh:

Buktikan bahwa





1  

n 2

2

4 n 3 n

3 n

divergen. Bukti :

4 n 3 n

3

n

lim ₂ 2

n _{ } =

2 n

n

4

n

3

3

1

lim







 3

1

= (Tidak Nol)

Jadi terbukti bahwa



divergen.



1  

n 2

2

4 n 3 n

3 n

MA SA LA H BA RU

Dalam banyak kasus bahwa _n

nlima = 0, tetapi dari sini

kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen.

Sebagai contoh deret harmonik,



 1 n n

1

=1 +

n 1 . . . 8

1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2

1 _{       }

+ . . .

Jelas bahwa _n

n

lim



a

= 0, tetapi deret harmonik adalah

deret yang divergen.

UJI DERETPO SITIF

1. Te s Inte g ra l

Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x) > 0 pada selang [1,)

a. Jika integral tak wajar

b. Jika integral tak wajar



1f(x) dx konvergen, maka deret





1 n

) n (

f konvergen.

divergen, maka deret





1 n

) n (

f divergen.

C O NTO H

1. Selidiki kekonvergenan dari





Kita ambil

2



konvergen, maka





C O NTO H

2. Selidiki kekonvergenan dari Jawab:

Kita ambil , sehingga

LA TIHA N





2

n

n

ln

2

n

1





1



n

2

n

1

1





1



n

4

n

2

1

1









1



n

4

3

n

₂3

1

2.

4.

5.

3.

1.

Selidiki kekonvergenan deret berikut:









3



n

n

2

2

UJI DERETPO SITIF

2. Uji De re t - P

Deret-p atau deret hiperharmonik mempunyai bentuk umum





1

1

i

p

i

Dengan menggunakan tes integral, kita dapatkan

1 1

1 1 ₁

1

_lim

1

_lim

_lim

1

1

1

t

p p

t

p _t p _{t t}

x

t

dx

dx

p

p

x

x

 



  





_





_

_















Kalau kita perhatikan, untuk

1. p = 1 diperoleh deret harmonik, sehingga untuk p = 1 deret divergen.

2. p > 1 maka 1 p

t

lim

t

 

3. p < 1 maka 1 p

t

lim

t

 

 =∞, sehingga diperoleh deret yang divergen.

4. p < 0, suku ke-n deret



 n

i P

i

1

1

, yaitu, _P tidak menuju 0.

n

1

Jadi deret divergen menurut Uji Suku ke-n

Sehingga dapat kita simpulkan untuk uji deret-p, yaitu:

C O NTO H

Apakah deret berikut konvergen atau divergen? 1.





1 1,001

1

n n

Berdasarkan uji deret-p, deret





1 1,001

1

n n

konvergen karena p = 1,001 > 1

2.

Berdasarkan uji deret-p, deret divergen karena p = ½ < 1





1 12

1

n n





1 12

1

n n

3. Te s Pe rb a nd ing a n d e ng a n d e re t la in

Andaikan





1` n n

a





1` n n

b

dan deret positif, jika a_n  b_n maka

1. Jika konvergen, maka





1` n n

b





_1`

n n

b





1` n

n

a





1` n n

a konvergen

C O NTO H

Selidiki Kekonvergenan deret berikut:

1.





3  n n2 5

n

Jawab:

Akan kita bandingkan deret ini dengan a_n =

n

1 _dan

2 ₅

n

n b

n





kita tahu bahwa

,





1 n n

1

adalah deret harmonik dan

5 n

n

2 _  _n1 , sehingga karena





1 n n

1





2  n n2 5

n

deret divergen, maka

deret yang divergen.

C O NTO H

Jawab:

Akan kita bandingkan deret ini dengan b_n= dan a_n=

kita tahu bahwa adalah deret hiperharmonik dengan

 , Sehingga karena

konvergen, maka deret yang konvergen. 2.





1  n n2 5

1





1  n n2 5

1

2 n

1

5 n

1

2 _

5 n

1

2 _

2 n

1





1 n n2

1

p = 2 >1 dan





1 n n2

1

LA TIHA N

Selidiki kekonvergenan deret berikut





₁



n

n

2

5

n





3



n

n

2

5

1





₁



n

2

n

1

1









3



n

n

2

2

1





1



n

2

n

1

1

2.

4.

5.

3. 1.

UJI DERETPO SITIF

4. Te s Ba nd ing lim it

Andaikan a_n dan b_n deret positif dan

n n n b

a lim



 = L

1. Jika 0 < L <  maka dan sama-sama

konvergen atau divergen

2. Jika L = 0 dan

1`

n n

b







konvergen maka konvergen.

1`

n n

b







1`

n n

a







1`

n n

a





C O NTO H

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :





Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan

sehingga

deret tersebut, suku umumnya mirip dengan b_n=

n

2 _konvergen.

= 2

konvergen, maka deret

C O NTO H

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut : 2.

Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan

sehingga

deret tersebut, suku umumnya mirip dengan b_n=

n n n b

a lim

 

divergen. = 1

Jadi karena L=1 dan Jawab:

divergen, maka deret





1  n n2 4

1





1  n n2 4

1 n

1

n

1 4

n 1

lim 2

n

 

 n 4

n lim ₂ 2

n 

= =



 1

1

LA TIHA N

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:





1





n

n

2

2

n

3

n

_









1

n

n

3

4

1

n

3





1



n

n

n

1

1









1

n

n

2

3

n

2





1 n

n

2

n

ln

2.

4.

5.

3. 1.

UJI DERETPO SITIF

5. Te s Ha sil Ba g i





1

k k

a

   

 _k

1 k

k a

a lim

Diketahui merupakan suatu deret dengan suku-suku yang positif.







1 k k

a

1. Jika < 1 maka deret konvergen

Misalkan



_



1 k k

a _divergen

2. Jika > 1 maka deret



_{= 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.}

C O NTO H

Selidiki kekonvergenan deret berikut: 1.



, maka suku ke-n+1

adalah a_n+1=



1

!

n konvergen

C O NTO H

, maka suku ke-n+1

adalah a_n+1=





2

n divergen

LA TIHA N

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:





1

!

n

n

n

n



 



1

!

5

n

n

n

 





₁

2

!

n

n

n

n









1

!

4

n

n

n

n

 





1

3

!

2

n

n

n

2.

4.

5.

3. 1.

6. Te s A ka r

a a

k k k 

lim



1

k k

a





1 k k

a



 1 k k

a

Diketahui merupakan suatu deret dengan

1. Jika a< 1 maka deret konvergen

divergen

= 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan. suku-suku yang positif, misalkan

C O NTO H

Selidiki kekonvergenan deret

1.



maka nilai limitnya adalah

C O NTO H

maka nilai limitnya adalah

LA TIHA N

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

DERET G A NTI TA NDA DA N

KEKO NVERG ENA N MUTLA K

• De re t G anti Tanda

Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut

 

1 a a₁ a₂ a₃ a₄ . ..

1

n n

1

n _{    }





 



dengan a_n > 0, untuk semua n.

Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu

 

. ..

4 1 3

1 2

1 1

n 1 1

1 n

1

n _{    }









UJI DERETG A NTI TA NDA

Andaikan deret ganti tanda, deret tersebut dikatakan konvergen jika

1. a_n+1< a_n

0

lim 

  n

n a

2.

C o nto h

Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut

.. . 4 1 3 1 2 1

1   

1.

2. . ..

! 4 1 ! 3

1 ! 2

1

1   

C O NTO H

1. Ja wa b (uji g a nti ta nd a )

Dari soal diatas kita punya a_n=

n

1

, dan a_n+1 = 1_1

n

tersebut konvergen jika

, deret

a. 1 1 1 1

1 1

1

1

      

 n n

n

n n a

a

n

n  _a

n >an+1

b. lim  lim 1 0

  

 an n _n n

C O NTO H

2. Ja wa b (uji g a nti ta nd a )

Dari soal diatas kita punya a_n=

! 1

n , dan an+1 =



1



!

1



n

deret tersebut konvergen jika a.

1

1

! _{1 1}

1 ( 1)! n

n

a _n

n a

n



   



 a_n >a_n+1

b. 0

! 1 lim

lim  

  

 an n _n n

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.

LA TIHA N

Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut:

KO NVERG EN MUTLA K DA N

KO NVERG EN BERSYA RA T

Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga

1

n n

b







Atau dengan kata lain :

dikatakan konvergen mutlak jika

1

n n

b







konvergen.

1

n n

b







divergen,





1 n n

b _konvergen.

Dan dikatakan konvergen bersyarat jika tetapi

mutlak deret tersebut konvergen.

PENG UJIA N KEKO NVERG ENA N MUTLA K

Misalkan

1

n n

a







dengan a_n



0 dan lim n 1 n

n

a

r a



 

Maka

1. Jika r < 1, maka deret konvergen mutlak 2. Jika r > 1, maka deret divergen

C O NTO H

Selidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergen mutlak atau divergen

1.



 

Menurut uji hasil bagi mutlak, deret ini konvergen mutlak sehingga

0



C O NTO H

2.

 

1

1

1 1 n

n n





 



Jawab:

 









 1

1 1 1

n

n

n

Dengan uji deret ganti tanda deret

 

1

1

1 1 n

n n



 





adalah deret divergen

1 1

1 n

n n

a

n

 

 







Jadi deret

konvergen

(buktikan!!),

(karena merupakan deret-p dengan p= ½ < 1)

LA TIHA N

Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergen bersyarat atau divergen:

DERETPA NG KA T

Deret pangkat secara umum ada dua bentuk 1. Deret pangkat dalam x didefinisikan





0

n

n nx

a _{= a0 + a1 x + a2 x}2 _{+ . . .}

2. Deret pangkat dalam (x – b) didefinisikan

 







 0

n

n n x b

a _{= a0 + a1 (x-b) + a2 (x-b)}2 _{+ . . .}

SELA NG KEKO NVERG ENA N

Selang kekonvergenan ditentukan dengan uji hasil bagi mutlak sebagai berikut:

Misalkan







 



0

n

n n x b

a dan _n

n

n n

n a x b

b x a

L

) (

) (

lim

1 1

 

  

 

1. Jika L < 1, maka deret konvergen.

2. Jika L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan  gunakan uji deret sebelumnya.

SO A L

Tentukan selang kekonvergenan deret

0 ( 1)2

n n n

x

n



 



0 ( 1)! n

n

x n



 



0

( 1)! n n

n x









1.

2.

JA WA B [1]

1. Kita akan gunakan Uji Hasil Bagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

Jadi deret tersebut konvergen mutlak apabila L< 1, yaitu –2 < x < 2

Kemudian akan kita cek untuk titik ujung intervalnya, yaitu x = 2 atau x = -2 .

 Pada x = 2

1 1

( 1)

lim : lim

2 ( 2) 2 2 ( 2) ( 1)2

n n

n n

n n

x x x n x

L

n

n n





 



  



 









1 1

2 1

1 1 2

n n

n n n n

 

 



 





deret ini adalah deret harmonik yang divergen.

JA WA B [2]

 Pada x = –2

Sehingga selang kekonvergenannya adalah –2  x < 2

deret ini adalah deret harmonik berganti tanda yang konvergen.

 







 



1 1

2 1

1 1 2

n n

n

n n n n

 

 

 



 

JA WA B [3]

Karena L = 0 < 1, maka deret selalu konvergen untuk semua nilai x. 2. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk

menyelidiki kekonvergenan mutlak.



 







1

lim : lim 0

2 ! 1 ! 2

n n

n n

x x x

L

n n n



 

  

  

Jadi selang kekonvergenannya adalah (-,)

JA WA B [4]

3. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.













1 _{0, 0}

2 !

lim lim 2

, 0

1 ! n

n

n n

jika x

n x

L n x

jika x

n x



 



 

   _{ }

 

TEO REMA 1

Himpunan kekonvergenan deret pangkat

0

n n n

a x







selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut: 1. satu titik x = 0

2. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau keduanya titik ujungnya.

3. seluruh himpunan bilangan riil

berbentuk

TEO REMA 2

Himpunan kekonvergenan deret pangkat









0 n

n n(x b)

a

berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut :

1. satu titik x = b

2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau keduanya titik ujungnya.

LA TIHA N

Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut:















0

1

2

)

1

(

n

n

n

x



_{2 ln 2}



2



_{2 ln 3}



3



_{2 ln 4}



4

...

2.9

3.27

4.81

x



x



x











 

 



.

..

!

3

2

!

2

2

2





2





3





x

x

x

1.

2.

3.

O PERA SI DERETPA NG KA T

Dalam pasal sebelumnya untuk 1 x 1 deret

1

0 1 1

n n

n n

a

ax ax

x

 



 

 







Pertanyaan yang muncul mengenai sifat-sifat deret kuasa di

0 n

n

ax







atas (misal S(x)= )

didiferensialkan dan jika S(x) diintegralkan.

TEO REMA

• Andaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret pangkat pada sebuah selang I, jadi

C O NTO H

Sesuai teorema di atas,

Tentukan:

x



1 1

= 1 + x + x2 _{+ x}3 _{+ . . . untuk -1< x <1}

a.

₁ 2

1

x

 b. ln(1 –x)

Ja wa b :

a. Dengan menurunkan suku demi suku, kita peroleh









2 3

2 2

1

1 _{1 ...}

1

1 _{1 2 3 ...}

1

, 1 1

x x

n

D D x x x

x

x x

x

n x x





 _{     }

 _ 

 

   



C O NTO H

b. ln (1 – x)

Sedangkan dengan mengintegralkan suku demi suku, kita peroleh juga

2 3

0 0

1

ln(1 ) 1 ...

1

x x

x dt t t t dt

t

       







... 4

1 3

1 2

1 ...

4 1 3

1 2

1 2 3 4

0 4

3

2 _{       }



t t t t x x x x

x

, -1< x <1

1 1

ln(1 ) n

n

x x

n







 



DERET TA YLO R DA N DERET MA C LURIN

De re t Ta ylo r

• Definisi: Misalkan f(x) dapat diturunkan sampai n kali

pada x=b, maka f(x) dapat diperderetkan menjadi deret kuasa dalam bentuk





( ) 2

0

( ) ''( )( )

( ) ( ) '( )( ) ...

! 2!

n

n

n

f b f b x b

f x x b f b f b x b

n











     

deret di atas disebut De re t Ta ylo rdengan pusat x = b.

Bila b = 0, kita peroleh De re t Ma c La urin, yaitu

 

2

( )

0

''(0) (0)

( ) (0) '(0) ...

! 2!

n

n

n

f x

f

f x x f f x

n





C O NTO H

Perderetkan fungsi berikut dengan deret maclaurin: 1. f(x)= sin x

Jawab:

f(x) = sin x f ’(x) = cos x

f ’’(x) = - sin x  f’’(0) = 0  f’(0) = 1  f(0) = 0

f ’’’(x) = - cos x  f’’’(0) = -1 f lV _{(x) = sin x  f} lV_{(0) = 0}

Sehingga,

. . . ! 7 ! 5 ! 3 sin

)

(x  x  x x3  x5  x7 

f



   





  



0

1 2

! 1 2 1

n

n n

C O NTO H

2. f(x)= ex

Jawab:

f(x) = ex

f ’(x) = ex

f ’’(x) = ex _{ f’’(0) = 1}

 f’(0) = 1  f(0) = 1

f ’’’(x) = ex _{ f’’’(0) = 1}

f lV _{(x) = e}x _{ f} lV_{(0) = 1}

Sehingga,

.

.

.

!

4

!

3

!

2

1

)

(

x



e





x



x

2



x

3



x

4



f

x









0

!

n

n

n

x

C O NTO H

3. Perderetkan f(x)= ex _{dengan deret taylor dengan pusat di x=1}

Jawab:

f(x) = ex

f ’(x) = ex

f ’’(x) = ex _{ f’’(1) = e}

 f’(1) = e  f(1) = e

f ’’’(x) = ex _{ f’’’(1) = e}

f lV _{(x) = e}x _{ f} lV_{(1) = e}

Sehingga,









_.

_.

_.

!

3

1

!

2

1

)

1

(

)

(

x



e



e



e

x





e

x



2



e

x



3



f

x















0

!

1

n

n

LA TIHA N

1. Perderetkan dengan f(x) berikut deret maclaurin a. f(x) = cos x

b. f(x) = cos x2

c. f(x) = cos2 _x

a. f(x) = ex_{, a = 2} a. f(x) = cos x, a = /3

b. f(x) = sin x, a = /3

f. f(x) = sec x

e. f(x) = sin2 _x

g. f(x) = tan x

d. f(x) = ex_{+ sinx} h. f(x) = sec x

2. Perderetkan dengan f(x) berikut deret taylor dengan pusat x = a