DERET PANGKAT
DERET PANGKAT
DERET PANGKAT
DERET PANGKAT
DERET PANGKAT
DERET PANGKAT
DERET PANGKAT
DERET PANGKAT
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
DERET PANGKAT
DERET PANGKAT
Definisi deret pangkat :
(
)
1(
) (
2)
2 3(
)
3...
0+
−
+
−
+
−
+
=
−
∑
∞ =a
x
c
a
x
c
a
x
c
c
a
x
C
o n n n adalah konstanta nc
dimana
x
adalah variabel dana
Perhatikan bahwa dalam notasi deret pangkat telah sengaja memilih indeks nol untuk menyatakan suku pertama deret, c0, yang selanjutnya disebut suku ke-nol. Hal ini dilakukan untuk memudahkan penulisan, terutama ketika membahas pernyataan suatu fungsi dalam deret pangkat
Selang konvergensi deret pangkat
Selang konvergensi deret pangkat
Deret pada contoh (a)
Selang konvergensi deret pangkat dapat ditentukan dengan menggunakan konsep uji rasio (uji nisbah), sbb :
Menurut syarat uji nisbah suatu deret akan konvergen jika :
1
<
Sehingga :
1
2
<
=
x
ρ
atau :2
<
x
atau :2
2
<
<
−
x
Jadi selang konvergensinya adalah untuk nilai x antara - 2 dan 2
Pertanyaannya
Pertanyaannya sekarangsekarang adalahadalah apakahapakah untukuntuk titiktitik--titiktitik ujungujung selang
selang yaituyaitu padapada nilainilai x=x=--22 dandan x=x=22 deretderet konvergenkonvergen atauatau divergendivergen ???
Untuk x = -2, deret menjadi :
....
....
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
Deret ini akan tak hingga jumlahnya, maka untuk x = 2 deret menjadi divergen. Dengan demikian 2 tidak termasuk dalam selang konvergensi deret (a)
Untuk x = 2, deret menjadi :
Sehingga selang konvergensi deret pangkat (a) adalah Untuk x = 2, deret menjadi :
....
....
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
+
Merupakan deret bolak-balik dengan |an| = 1. karena |an+1| = |an| maka deret ini juga divergen. Dengan demikian 2 juga tidak termasuk dalam selang konvergensi deret (a)
2
2
<
<
TUGAS
TUGAS
Tentukan selang konvergensi deret pangkat pada
contoh (b), (c), dan (d)
TEOREMA
TEOREMA--TEOREMA PENTING
TEOREMA PENTING
TERKAIT DERET PANGKAT
TEOREMA-TEOREMA PENTING
1.
Integrasi dan diferensiasi deret pangkat dapat dilakukan per suku,
yaitu:
∑
∑
∫ ∑
∑∫
∞ = ∞ = ∞ = ∞ =−
=
−
≤
−
∈
−
=
−
0 0 0 0)
(
)
(
,
,
)
(
)
(
n n n n n n q p n n q p n n n ndx
a
x
C
dx
d
a
x
C
dx
d
r
a
x
q
p
dx
a
x
C
dx
a
x
C
Selang konvergensi seragam deret pangkat yang dihasilkan,
sama seperti yang semula. Untuk kedua titik ujungnya, perlu
diselidiki.
2.
Dua deret pangkat dapat di-jumlah/kurang-kan, dan diperkalikan;
deret yang dihasilkan memiliki selang konvergensi
masing-masing deret. Jadi, misalkan I
1dan I
2selang konvergensi
masing-masing deret, maka selang konvergensi deret yang dihasilkan
adalah
(
lambang teori himpunan bagi irisan).
2 1
I
I
∩
∩
= =0 n 0 ndx
dx
3.
Dua deret pangkat dapat pula dibagi asalkan
penyebutnya tak-nol di x = a, atau nol di x = a,
tetapi
tercoretkan
(seperti
).
Selang
konvergensinya harus dicari kembali.
4.
Suatu deret pangkat dapat disisipkan ke dalam
x x)
1 ln( +
4.
Suatu deret pangkat dapat disisipkan ke dalam
deret
pangkat
lainnya,
asalkan
selang
konvergensi deret yang disisipkan terkandung
dalam deret lainnya. Jadi, misalkan I
1selang
konvergensinya I
2, maka
(
lambang
teori himpunan bagi himpunan bagian).
2 1
I
5.
Pernyataan suatu fungsi f(x) dalam deret pangkat
konvergen, adalah tunggal. Artinya ada satu
pernyataan deret pangkat untuk satu fungsi,
sejauh
variabel
x
berada
dalam
selang
konvergensi deret.
URAIAN TAYLOR SEBUAH FUNGSI
• Seperti telah diungkapkan di atas, bahwa suatu fungsi
f(x) yang dapat dinyatakan dalam deret pangkat.
Kenyataan ini menguntungkan, karena deret pangkat
sangat mudah ditangani secara analitis, ketimbang
fungsi f(x) itu sendiri. Misalnya, dalam perhitungan
integral dari fungsi f(x), bila seandainya f(x) adalah
suatu fungsi rumit yang integralnya tak terdapat
suatu fungsi rumit yang integralnya tak terdapat
dalam tabel integral, maka penyelesaiannya akan
sulit. Penanganan dalam pernyataan deret dari f(x)
mungkin dapat lebih mudah ditangani.
• Sebagai contoh, integral tentu berikut:
• Muncul dalam persoalan fisika, yaitu pada persoalan
difraksi Fresnel gelombang cahaya oleh sebuah
celah. Integral jenis ini tak terdaftarkan dalam tabel
integral, karena hasilnya tak dapat diungkapkan
∫
01 2sin
x
dx
integral, karena hasilnya tak dapat diungkapkan
dalam pernyataan suatu fungsi primitif tertentu.
Sehingga sulit diselesaikan secara analitik dengan
menggunakan teknik dasar integral.
• Integral seperti ini dapat dengan mudah diselesaikan
dengan metode aproksimasi menggunakan metode
deret pangkat.
• Misalkan kita ingin menyatakan sebuah fungsi f(x)
yang diketahui dalam pernyataan deret pangkat,
maka mula-mula kita tulis bentuk umum seperti
berikut :
L
L
+
−
+
+
−
+
−
+
=
n nx
a
C
a
x
C
a
x
C
C
x
f
(
)
0 1(
)
2(
)
2(
)
•
Tetapan a dapat pula bernilai nol. Masalah
selanjutnya adalah:
a.
Menentukan nilai-nilai koefisien C
n, sebagai fungsi
dari n, sehingga penulisan di atas berupa suatu
identitas (berlaku bagi semua nilai x).
identitas (berlaku bagi semua nilai x).
b.
Menentukan selang konvergensi deret pangkatnya
dalam mana identitas (a) berlaku.
• Dengan
menerapkan teorema diferensiasi deret
pangkat, kita peroleh:
n n n n n n
C
C
n
n
C
a
f
C
nC
C
C
a
f
C
C
C
C
C
a
f
...
...
...
...
...
...
...
...
!
2
)
0
(
)
1
(
1
.
2
0
0
)
(
"
)
0
(
)
0
(
2
0
)
(
'
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
2 2 2 1 1 2 1 0 2 2 1 0=
+
−
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
=
− −L
L
L
L
L
L
n n nC
n
C
n
a
f
(
)
0
0
0
!
0
!
...
...
...
...
...
...
...
...
=
+
+
+
+
+
+
=
L
L
)
(
!
1
( )a
f
n
C
n=
nJadi:
• Dengan demikian,
n na
x
a
f
n
a
x
a
f
a
x
a
f
a
f
x
f
1
)
)(
(
!
1
)
)(
(
"
!
2
1
)
)(
(
'
)
(
)
(
2−
=
+
−
+
+
−
+
−
+
=
∑
∞L
L
n n na
x
a
f
n
x
f
(
)(
)
!
1
)
(
0−
=
∑
∞ =Uraian Taylor dari fungsi f(x) disekitar x = a
Khusus untuk x = 0, uraian deret pangkat dari fungsi f(x) disebut
deret McLaurin
Misalkan kita ingin menyatakan fungsi sinus x
dalam deret pangkat disekitar x = 0
Bentuk umum :
Tugas kita adalah mencari a
0, a
1, a
2, a
3, .... dst
Turunan pertama dari fungsi sin x terhadap x adalah :
Turunan pertama dari fungsi sin x terhadap x adalah :
Pada x = 0,
Jadi : a
1= 1
( )
0
3
( )
0
...
2
0
=
a
1+
a
2+
a
3 2+
Cos
Turunan kedua dari fungsi sin x terhadap x adalah :
pada x = 0
Jadi : a = 0
...
3
.
4
2
.
3
2
sin
=
2+
3+
4 2+
−
x
a
a
x
a
x
( )
0
4
.
3
( )
0
...
2
.
3
2
0
sin
=
2+
3+
4 2+
−
a
a
a
Jadi : a
2= 0
Dst...lakukan proses yang sama untuk turunan ke-tiga,
ke-empat, ke-lima, akan didapat :
Interval konvergensi deret sin x
Notasi umum :
(
2
1
)
!
1 2−
−n
x
nDengan uji nisbah didapat :
(
2
n
−
1
)
!
(
)
(
2 1)
1 2 12
1
!
!
1
2
− + +×
−
+
=
=
n n n n nx
n
n
x
a
a
ρ
(
) ( )(
)
(
)
(
n
)( )
n
x
x
n
n
n
n
x
n n n2
1
2
!
1
2
1
2
2
!
1
2
2 1 2 1 2+
=
−
×
+
−
=
+ −ρ
didapat :
1
0
<
=
ρ
(
2
1
)( )
2
0
lim
2=
+
=
∞ →n
n
x
nρ
Untuk x berapa pun, jadi selang konvergensi untuk deret sin x
adalah semua nilai x. Dengan kata lain deret sin x konvergen
untuk semua nilai x.
Pernyataan deret dari fungsi
Selang konvergensi
...,
!
7
!
5
!
3
.
1
7 5 3+
−
+
−
=
x
x
x
x
x
Sin
Semua nilai x
...,
!
6
!
4
!
2
1
.
2
6 4 2+
−
+
−
=
x
x
x
x
Cos
Semua nilai x
...,
1
.
3
4 3 2+
+
+
+
+
=
x
x
x
x
e
x...,
Semua nilai x
!
4
!
3
!
2
1
.
3
e
x=
+
x
+
x
+
x
+
x
+
Semua nilai x
(
)
...,
4
3
2
1
ln
.
4
4 3 2+
−
+
−
=
+
x
x
x
x
x
-1 < x
≤
1
(
)
(
)
(
)(
)
...,
!
3
2
1
!
2
1
1
1
.
5
3 2+
−
−
+
−
+
+
=
+
x
ppx
p
p
x
p
p
p
x
|x| < 1
Teknik-teknik untuk mendapatkan pernyataan deret suatu fungsi
A. Perkalian suatu deret dengan suatu polinomial atau perkalian deret dengan deret
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari :
(
x
+
1
)
sin
x
Contoh 2
Untuk mencari pernyataan deret dari :
e
xcos
x
B. Pembagian suatu deret dengan deret lainnya atau dengan suatu polinomial
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari :
(
x
)
x
ln
1
+
1
Contoh 2
Untuk mencari pernyataan deret dari :
x
+
1
1
Contoh 3
Untuk mencari pernyataan deret dari :
tan
x
Maka kita lakukan pembagian deret dengan deret
cos
x
Sbb :
x
sin
C. Menggunakan deret Binomial
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari :
1
1
+
x
Digunakan deret Binomial Sbb :
(contoh B2)
D. Substitusi suatu polinomial atau suatu deret untuk variabel dalam deret lain
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari :
e
−x2Contoh 2
E. Metode Kombinasi
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari :
arc tan
x
Digunakan metode Sbb :karena
Kita tuliskan
1
Sebagai deret Binomial sbb : Kita tuliskan2
1
1
t
+
Sebagai deret Binomial sbb :Soal latihan
x
e
x−
1
.
1
x
sec
.
2
.
sec
x
2
∫
−
=
−
+
xt
dt
x
x
0 21
1
1
ln
.
3
2
cosh
.
4
x xe
e
x
−+
=
E. Uraian Taylor melalui uraian Mc-Laurin
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret taylor dari fungsi
ln
x
disekitar x = 1, kita tuliskan:Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :
(
+
)
=
−
x
2+
x
3−
x
4+
(
)
...,
4
3
2
1
ln
4 3 2+
−
+
−
=
+
x
x
x
x
x
Kemudian ganti x dengan (x-1), didapat :
( )
(
) ( ) ( ) ( ) ( )
...,
4
1
3
1
2
1
1
1
1
ln
ln
4 3 2+
−
−
−
+
−
−
−
=
−
+
=
x
x
x
x
x
x
Contoh 2
Cari uraian Taylor dari fungsi
cos
x
disekitar2
3
π
=
x
Kita tuliskan:
Lalu gunakan uraian McLaurin untuk : Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :
...,
!
7
!
5
!
3
7 5 3+
−
+
−
=
x
x
x
x
x
Sin
Kemudian ganti x dengan (x - 3ππππ/2), didapat :
(
) (
) (
) (
)
...
!
5
2
3
!
3
2
3
2
3
2
3
5 3+
−
+
−
−
−
=
−
=
Sin
x
π
x
π
x
π
x
π
x
Cos
Soal Latihan
Cari uraian Taylor dari fungsi-fungsi berikut melalui uraian McLaurin :
1
1
)
(
.
1
=
disekitar
a
=
x
x
f
25
)
(
.
2
f
x
=
x
disekitar
a
=
Beberapa penggunaan deret
A. Perhitungan secara numerik Contoh 1
Contoh 2
hitunglah
B. Penjumlahan deret Contoh 1
hitunglah
Mulai dengan deret :
Ambil x = 1 Jadi
69
,
0
....
4
1
3
1
2
1
1
−
+
−
+
=
Soal latihan
...
....
7
1
5
1
3
1
1
.
1
−
+
−
+
=
...
....
!
7
!
5
!
3
.
2
6 4 2=
−
+
−
π
π
π
Gunakan
arc tan
x
Gunakan
x
x
sin
!
7
!
5
!
3
( ) ( )
....
...
!
3
3
ln
!
2
3
ln
3
ln
.
3
3 2=
+
+
+
x
Gunakane
x−
1
C. Menghitung integral tertentu
Contoh :
hitunglah
Mulai dengan deret :
Integral Fresnel, dijumpai pada persoalan Difraksi Fresnel
....
!
5
!
3
sin
10 6 2 2=
−
x
+
x
−
x
x
Jadi!
5
!
3
D. Menghitung Limit
Contoh :
hitunglah
Soal latihan
dt
e
t
−t∫
01 , 0 0.
1
01
,
0
1
.
2
2 3 3=
−
x
di
x
e
x
dx
d
x1
3
−
x
dx
( )
x
x
x−
→1
ln
lim
.
3
0E. Menentukan nilai e
Gunakan pernyataan deret pangkat untuk
e
x dengan x = 1...,
!
4
!
3
!
2
1
4 3 2+
+
+
+
+
=
x
x
x
x
e
x...,
1
1
1
1
1
4 3 2+
+
+
+
+
=
e
...,
!
4
1
!
3
1
!
2
1
1
1
+
+
+
+
+
=
e
..
718
,
2
...
,...
0
17
,
0
5
,
0
2
+
+
+
+
=
=
e
F. Menentukan akar suatu bilangan
Tentukanlah niali
9
dengan deret BinomialKita tidak bisa menulis Deret Binomial :
(
)
(
)
(
)(
)
...,
!
3
2
1
!
2
1
1
1
3 2+
−
−
+
−
+
+
=
+
x
ppx
p
p
x
p
p
p
x
9
dengan1
+
8
atau( )
1
+
8
1/2 Kita tidak bisa menulis9
dengan1
+
8
atau( )
1
+
8
1/2 Karena konvergensi deret Binomial adalahx
<
1
Untuk menyelesaikan ini gunakan resep berikut :
( )
n n nb
c
a
c
b
a
/ 1 / 1
=
Dengan b >> cJadi nilai
9
( )
2 / 1 2 2 / 110
2
9
2
10
9
=
( )
(
)
1/2 2 / 1 2 / 1 2 / 164
,
0
1
5
100
64
100
100
5
100
36
5
9
=
−
−
=
=
Itulah hasilnya( )
(
) (
)
...
3
8
64
,
0
1
64
,
0
5
,
0
1
5
9
2 2 / 1=
+
−
−
+
=
Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan Fisika
Contoh 1
Selesaikan dengan menggunakan metode deret pangkat yang cocok !
Sebuah kereta luncur bermassa m berada pada sebuah jalur tanjakan dengan sudut kemiringan θ terhadap horizontal. Di dekat bagian bawah jalur terdapat sebuah tiang bermuatan listrik positif. Muatan positif yang sama ditempatkan pula di atas kereta. Jika gesekan kereta luncur dengan lintasan diabaikan dan diasumsikan percepatan gravitasi g, berapakah besar gaya tolak Coulomb (F) yang diperlukan agar kereta luncur tersebut tetap diam di tolak Coulomb (F) yang diperlukan agar kereta luncur tersebut tetap diam di tempatnya. Petunjuk tuliskan F dalam deret pangkat dari θ.
Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan Fisika
Solusi : Agar kereta tetap di tempatnya, maka :
∑
F
=
0
θ sin w CF
F
C=
F
wsinθF
=
θ
sin
mg
F
C=
+
+
−
=
....
!
5
!
3
5 3θ
θ
θ
mg
F
CSolusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan
Metode Deret Pangkat
Cari solusi PDB berikut :
xy
y
'
=
2
Dengan metode pemisahan variabel
xy
dy
2
=
xy
dy
=
2
xdx
dx
=
2
y
=
2
xdx
∫
∫
=
xdx
y
dy
2
c
x
y
ln
ln
=
2+
2 xCe
y
=
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan
Metode Deret Pangkat
Mencari solusi dengan metode deret pangkat, dimulai dengan :
PDB yang dicari solusinya berorde satu (y’), maka perlu dicari y’ :
...
4 4 3 3 2 2 1 0+
+
+
+
+
=
a
a
x
a
x
a
x
a
x
y
...
4
3
2
'
=
a
1+
a
2x
+
a
3x
2+
a
4x
3+
y
1 2 3 4xy
y
'
=
2
PDB :0
2
'
−
xy
=
y
...
2
2
2
2
=
−
0−
1 2−
2 3+
−
xy
a
x
a
x
a
x
...
4
3
2
'
=
a
1+
a
2x
+
a
3x
2+
a
4x
3+
y
+
....
...
...
...
....
0
=
+
x
+
x
2+
x
3+
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan
Metode Deret Pangkat
Buat matriks seperti berikut :
2
2
2
0
−
a
−
a
−
a
4 3 2 12
a
3
a
4
a
a
3 2 0x
x
x
x
'
y
xy
2
−
0
−
2
a
0−
2
a
1−
2
a
2+
(
0
) (
2
2
) (
3
2
) (
4
2
)
....
0
=
a
1−
+
a
2−
a
0+
a
3−
a
1+
a
4−
a
2+
xy
2
−
didapat :0
0
1−
=
a
2
a
2−
2
a
0=
0
0 2a
a
=
0
2
3
a
3−
a
1=
0
1 3 2 3=
a
=
a
2 42
4
a
=
a
0 2 1 2 4 2 4a
a
a
=
=
0
1=
a
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan
Metode Deret Pangkat
Dengan demikian :
...
4 4 3 3 2 2 1 0+
+
+
+
+
=
a
a
x
a
x
a
x
a
x
y
....
3
1
0
2
1
0
0
0 2 3 0 4 5 0 6 0+
+
+
+
+
+
+
=
a
x
a
x
x
a
x
x
a
x
y
3
2
....
!
3
1
!
2
1
6 0 4 0 2 0 0+
+
+
+
=
a
a
x
a
x
a
x
y
+
+
+
+
=
....
!
3
!
2
1
6 4 2 0x
x
x
a
y
2 0 xe
a
Soal Latihan
x
xy
y
'
=
+
.
2
Cari solusi PDB Berikut dengan metode deret pangkat
y
x
y
'
3
2.
1
=
x
y
y
''
4
sin
3
.
3
+
=
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan
Metode Deret Pangkat
Cari solusi PDB berikut :
x
xy
y
'
=
+
Dengan metode pemisahan variabel
(
1
)
'
=
x
y
+
y
(
+
1
)
=
x
y
dy
(
dy
+
)
=
x
dx
(
+
1
)
=
x
y
dx
(
)
dx
x
y
+
1
=
(
)
∫
∫
=
+
x
dx
y
dy
1
...
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan
Metode Deret Pangkat
Mencari solusi dengan metode deret pangkat, dimulai dengan :
PDB yang dicari solusinya berorde satu (y’), maka perlu dicari y’ :
...
4 4 3 3 2 2 1 0+
+
+
+
+
=
a
a
x
a
x
a
x
a
x
y
...
4
3
2
'
=
a
1+
a
2x
+
a
3x
2+
a
4x
3+
y
1 2 3 4 PDB :...
3 2 2 1 0−
−
+
−
=
−
xy
a
x
a
x
a
x
...
4
3
2
'
=
a
1+
a
2x
+
a
3x
2+
a
4x
3+
y
+
....
...
...
...
....
+
+
2+
3+
=
x
x
x
x
x
xy
y
'
=
+
y
'
−
xy
=
x
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan
Metode Deret Pangkat
Buat matriks seperti berikut :
0
−
a
−
a
−
a
4 3 2 12
a
3
a
4
a
a
3 2 0x
x
x
x
'
y
xy
−
2 1 00
−
a
−
a
−
a
+
(
1−
0
) (
+
2
2−
0) (
+
3
3−
1)
2+
(
4
4−
2)
3+
....
=
a
a
a
x
a
a
x
a
a
x
x
xy
−
didapat :0
0
1−
=
a
2
a
2−
a
0=
1
2
2
1
2
1
0 0 2a
a
a
=
+
=
+
0
1=
a
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan
Metode Deret Pangkat
Buat matriks seperti berikut :
0
−
a
−
a
−
a
4 3 2 12
a
3
a
4
a
a
3 2 0x
x
x
x
'
y
xy
−
2 1 00
−
a
−
a
−
a
+
(
1−
0
) (
+
2
2−
0) (
+
3
3−
1)
2+
(
4
4−
2)
3+
....
=
a
a
a
x
a
a
x
a
a
x
x
xy
−
didapat :0
3
a
3−
a
1=
0
1 3 1 3=
a
=
a
0
4
a
4−
a
2=
8
8
1
2
1
0 0 4 1 2 4 1 4a
a
a
a
=
+
+
=
=
dst
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan
Metode Deret Pangkat
Dengan demikian :
