DERET PANGKAT
DERET PANGKAT
DERET PANGKAT
DERET PANGKAT
DERET PANGKAT
DERET PANGKAT
DERET PANGKAT
DERET PANGKAT
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TAK HINGGA
TEOREMA-TEOREMA PENTING
TERKAIT DERET PANGKAT
TEOREMA-TEOREMA PENTING
1.
Integrasi dan diferensiasi deret pangkat dapat dilakukan per suku,
yaitu:
∑
∑
∫ ∑
∑∫
∞ = ∞ = ∞ = ∞ =−
=
−
≤
−
∈
−
=
−
0 0 0 0)
(
)
(
,
,
)
(
)
(
n n n n n n q p n n q p n n n ndx
a
x
C
dx
d
a
x
C
dx
d
r
a
x
q
p
dx
a
x
C
dx
a
x
C
Selang konvergensi seragam deret pangkat yang dihasilkan,
sama seperti yang semula. Untuk kedua titik ujungnya, perlu
diselidiki.
2.
Dua deret pangkat dapat di-jumlah/kurang-kan, dan diperkalikan;
deret yang dihasilkan memiliki selang konvergensi
masing-masing deret. Jadi, misalkan I
1dan I
2selang konvergensi
masing-masing deret, maka selang konvergensi deret yang dihasilkan
adalah
(
lambang teori himpunan bagi irisan).
2 1
I
I
∩
∩
= =0 n 0 ndx
dx
3. Dua deret pangkat dapat pula dibagi asalkan
penyebutnya tak-nol di x = a, atau nol di x = a,
tetapi tercoretkan (seperti
pada 2.22).
Selang konvergensinya harus dicari kembali.
xx)
1 ln( +
4. Suatu deret pangkat dapat disisipkan ke dalam
deret pangkat lainnya, asalkan selang
konvergensi deret yang disisipkan terkandung
dalam deret lainnya. Jadi, misalkan I
1
selang
konvergensinya I
2
, maka
(
lambang
teori himpunan bagi himpunan bagian).
2 1
I
5. Pernyataan suatu fungsi f(x) dalam deret
pangkat konvergen, adalah tunggal.
Artinya ada satu pernyataan deret
pangkat untuk satu fungsi, sejauh
pangkat untuk satu fungsi, sejauh
variabel x berada dalam selang
konvergensi deret.
URAIAN TAYLOR SEBUAH FUNGSI
• Suatu fungsi S(x) yang diketahui, dapat pula dinyatakan
dalam
suatu
deret
pangkat.
Kenyataan
ini
menguntungkan, karena deret pangkat sangat mudah
ditangani secara analitis, ketimbang fungsi S(x) sendiri.
Misalnya, dalam perhitungan integral dari fungsi S(x),
bila seandainya S(x) adalah suatu fungsi rumit yang
bila seandainya S(x) adalah suatu fungsi rumit yang
integralnya tak terdapat dalam tabel integral.
• Sebagai contoh, integral tentu berikut:
• Muncul dalam praktik, yaitu pada persoalan difraksi
Fresnel gelombang cahaya oleh sebuah celah. Integral
jenis ini tak terdaftarkan dalam tabel integral, karena
hasilnya tak dapat diungkapkan dalam pernyataan suatu
∫
01 2sin
x
dx
hasilnya tak dapat diungkapkan dalam pernyataan suatu
fungsi primitif tertentu. Dalam pasal ini akan dibahas
bagaimana integral jenis ini dan perhitungan numerik
(secara angka) lainnya dengan menggunakan metode
deret pangkat.
• Menguraikan sebuah fungsi f(x) yang diketahui
atas deret pangkat. Secara umum, kita tulis
L
L
+
−
+
+
−
+
−
+
=
na
x
C
a
x
C
a
x
C
C
x
f
(
)
(
)
(
)
2(
)
• Tetapan a dapat pula bernilai nol.
L
L
+
−
+
+
−
+
−
+
=
n nx
a
C
a
x
C
a
x
C
C
x
f
(
)
0 1(
)
2(
)
2(
)
•
Masalah selanjutnya adalah:
a. Menentukan nilai-nilai koefisien C
n
,
sebagai fungsi dari n, sehingga
sebagai fungsi dari n, sehingga
penulisan di atas berupa suatu identitas
(berlaku bagi semua nilai x).
b. Menentukan selang konvergensi deret
pangkatnya dalam identitas (a) berlaku.
• Dengan menerapkan teorema diferensiasi deret
pangkat pada (2.31), kita peroleh:
n n n n
C
nC
C
C
a
f
C
C
C
C
C
a
f
)
0
(
)
0
(
2
0
)
(
'
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
1 1 2 1 0 2 2 1 0=
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
=
−L
L
L
L
n n n n n nC
n
C
n
a
f
C
C
n
n
C
a
f
C
nC
C
C
a
f
!
0
!
0
0
0
)
(
...
...
...
...
...
...
...
...
!
2
)
0
(
)
1
(
1
.
2
0
0
)
(
"
)
0
(
)
0
(
2
0
)
(
'
2 2 2 1 2 1=
+
+
+
+
+
+
=
=
+
−
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
=
−L
L
L
L
L
L
)
(
!
1
( )a
f
n
C
n=
nJadi:
• Dengan demikian,
a
x
a
f
a
x
a
f
a
f
x
f
1
)
)(
(
"
!
2
1
)
)(
(
'
)
(
)
(
=
+
−
+
−
2+
L
n n n n na
x
a
f
n
x
f
a
x
a
f
n
)
)(
(
!
1
)
(
)
)(
(
!
1
0−
=
+
−
+
∑
∞ =L
Pernyataan deret dari fungsi
Selang konvergensi
...,
!
7
!
5
!
3
.
1
7 5 3+
−
+
−
=
x
x
x
x
x
Sin
Semua nilai x
...,
!
6
!
4
!
2
1
.
2
6 4 2+
−
+
−
=
x
x
x
x
Cos
Semua nilai x
...,
1
.
3
4 3 2+
+
+
+
+
=
x
x
x
x
e
x...,
Semua nilai x
!
4
!
3
!
2
1
.
3
e
x=
+
x
+
x
+
x
+
x
+
Semua nilai x
(
)
...,
4
3
2
1
ln
.
4
4 3 2+
−
+
−
=
+
x
x
x
x
x
-1 < x
≤
1
(
)
(
)
(
)(
)
...,
!
3
2
1
!
2
1
1
1
.
5
3 2+
−
−
+
−
+
+
=
+
x
ppx
p
p
x
p
p
p
x
|x| < 1
Disebut deret Binomial, dengan p adalah bilangan real positif atau negatifTeknik-teknik untuk mendapatkan pernyataan deret suatu fungsi
A. Perkalian suatu deret dengan suatu polinomial atau perkalian deret dengan deret
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari :
(
x
+
1
)
sin
x
Maka kita lakukan perkalian
(
x
+
1
)
Dengan deretsin
x
Sbb :(
)
(
)
(
)
L
L
!
3
!
3
sin
1
!
5
!
3
1
sin
1
4 3 2 5 3x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
+
=
+
−
+
−
+
=
+
Contoh 2
Untuk mencari pernyataan deret dari :
e
xcos
x
B. Pembagian suatu deret dengan deret lainnya atau dengan suatu polinomial
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari :
(
x
)
x
ln
1
+
1
Contoh 2
Untuk mencari pernyataan deret dari :
x
+
1
1
Contoh 3
Untuk mencari pernyataan deret dari :
tan
x
Maka kita lakukan pembagian deret dengan deret
cos
x
Sbb :
x
C. Menggunakan deret Binomial
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari :
1
1
+
x
Digunakan deret Binomial Sbb :
(contoh B2)
D. Substitusi suatu polinomial atau suatu deret untuk variabel dalam deret lain
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari :
e
−x2Contoh 2
E. Metode Kombinasi
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari :
arc tan
x
Digunakan metode Sbb :karena
Kita tuliskan
1
Sebagai deret Binomial sbb : Kita tuliskan2
1
1
t
+
Sebagai deret Binomial sbb :Soal latihan
x
e
x−
1
.
1
x
sec
.
2
.
sec
x
2
∫
−
=
−
+
xt
dt
x
x
0 21
1
1
ln
.
3
2
cosh
.
4
x xe
e
x
−+
=
E. Uraian Taylor melalui uraian Mc-Laurin
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret taylor dari fungsi
ln
x
disekitar x = 1, kita tuliskan:Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :
(
+
)
=
−
x
2+
x
3−
x
4+
(
)
...,
4
3
2
1
ln
4 3 2+
−
+
−
=
+
x
x
x
x
x
Kemudian ganti x dengan (x-1), didapat :
( )
(
) ( ) ( ) ( ) ( )
...,
4
1
3
1
2
1
1
1
1
ln
ln
4 3 2+
−
−
−
+
−
−
−
=
−
+
=
x
x
x
x
x
x
Contoh 2
Cari uraian Taylor dari fungsi
cos
x
di sekitar2
3
π
=
x
Kita tuliskan:Lalu gunakan uraian McLaurin untuk : Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :
...,
!
7
!
5
!
3
7 5 3+
−
+
−
=
x
x
x
x
x
Sin
Kemudian ganti x dengan (x - 3ππππ/2), didapat :
(
) (
) (
) (
)
...
!
5
2
3
!
3
2
3
2
3
2
3
5 3+
−
+
−
−
−
=
−
=
Sin
x
π
x
π
x
π
x
π
x
Cos
Soal Latihan
Cari uraian Taylor dari fungsi-fungsi berikut melalui uraian McLaurin :
1
1
)
(
.
1
=
disekitar
a
=
x
x
f
25
)
(
.
2
f
x
=
x
disekitar
a
=
Beberapa penggunaan deret
A. Perhitungan secara numerik Contoh 1
Contoh 2
hitunglah
B. Penjumlahan deret Contoh 1
hitunglah
Mulai dengan deret :
Ambil x = 1 Jadi
69
,
0
....
4
1
3
1
2
1
1
−
+
−
+
=
Soal latihan
...
....
7
1
5
1
3
1
1
.
1
−
+
−
+
=
...
....
!
7
!
5
!
3
.
2
6 4 2=
−
+
−
π
π
π
Gunakan
arc tan
x
Gunakan
x
x
sin
!
7
!
5
!
3
( ) ( )
....
...
!
3
3
ln
!
2
3
ln
3
ln
.
3
3 2=
+
+
+
x
Gunakane
x−
1
C. Menghitung integral tertentu Contoh :
hitunglah
Mulai dengan deret :
Integral Fresnel, dijumpai pada persoalan Difraksi Fresnel
....
!
5
!
3
sin
10 6 2 2=
−
x
+
x
−
x
x
Jadi!
5
!
3
D. Menghitung Limit
Contoh :
hitunglah Jawab :
Soal latihan
dt
e
t
−t∫
01 , 0 0.
1
01
,
0
1
.
2
2 3 3=
−
x
di
x
e
x
dx
d
x1
3
−
x
dx
( )
x
x
x−
→1
ln
lim
.
3
0E. Menentukan nilai e
Gunakan pernyataan deret pangkat untuk
e
x dengan x = 1...,
!
4
!
3
!
2
1
4 3 2+
+
+
+
+
=
x
x
x
x
e
x...,
1
1
1
1
1
4 3 2+
+
+
+
+
=
e
...,
!
4
1
!
3
1
!
2
1
1
1
+
+
+
+
+
=
e
..
718
,
2
...
,...
0
17
,
0
5
,
0
2
+
+
+
+
=
=
e
F. Menentukan akar suatu bilangan
Tentukanlah niali
9
dengan deret BinomialKita tidak bisa menulis Deret Binomial :
(
)
(
)
(
)(
)
...,
!
3
2
1
!
2
1
1
1
3 2+
−
−
+
−
+
+
=
+
x
ppx
p
p
x
p
p
p
x
9
dengan1
+
8
atau( )
1
+
8
1/2 Kita tidak bisa menulis9
dengan1
+
8
atau( )
1
+
8
1/2 Karena konvergensi deret Binomial adalahx
<
1
Untuk menyelesaikan ini gunakan resep berikut :
( )
n n nb
c
a
c
b
a
/ 1 / 1
=
Dengan b >> cJadi nilai
9
( )
2 / 1 2 2 / 110
2
9
2
10
9
=
( )
(
)
1/2 2 / 1 2 / 1 2 / 164
,
0
1
5
100
64
100
100
5
100
36
5
9
=
−
−
=
=
Itulah hasilnya( )
(
) (
)
...
3
8
64
,
0
1
64
,
0
5
,
0
1
5
9
2 2 / 1=
+
−
−
+
=
Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan Fisika
Contoh 1
Selesaikan dengan menggunakan metode deret pangkat yang cocok !
Sebuah kereta luncur bermassa m berada pada sebuah jalur tanjakan dengan sudut kemiringan θ terhadap horizontal. Di dekat bagian bawah jalur terdapat sebuah tiang bermuatan listrik positif. Muatan yang positif yang sama ditempatkan pula di atas kereta. Jika gesekan kereta luncur dengan lintasan diabaikan dan diasumsikan percepatan gravitasi g, berapakah besar gaya tolak Coulomb (F) yang diperlukan agar kereta luncur tersebut besar gaya tolak Coulomb (F) yang diperlukan agar kereta luncur tersebut tetap diam di tempatnya. Petunjuk tuliskan F dalam deret pangkat dari θ.
Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan Fisika
Solusi : Agar kereta tetap di tempatnya, maka :
∑
F
=
0
θ sin w CF
F
C=
F
wsinθF
=
θ
sin
mg
F
C=
+
+
−
=
....
!
5
!
3
5 3θ
θ
θ
mg
F
CSolusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan
Metode Deret Pangkat
Cari solusi PDB berikut :
xy
y
'
=
2
Dengan metode pemisahan variabel
xy
dy
2
=
xy
dy
=
2
xdx
dx
=
2
y
=
2
xdx
∫
∫
=
xdx
y
dy
2
c
x
y
ln
ln
=
2+
2 xCe
y
=
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan
Metode Deret Pangkat
Mencari solusi dengan metode deret pangkat, dimulai dengan :
PDB yang dicari solusinya berorde satu (y’), maka perlu dicari y’ :
...
4 4 3 3 2 2 1 0+
+
+
+
+
=
a
a
x
a
x
a
x
a
x
y
...
4
3
2
'
=
a
1+
a
2x
+
a
3x
2+
a
4x
3+
y
1 2 3 4xy
y
'
=
2
PDB :0
2
'
−
xy
=
y
...
2
2
2
2
=
−
0−
1 2−
2 3+
−
xy
a
x
a
x
a
x
...
4
3
2
'
=
a
1+
a
2x
+
a
3x
2+
a
4x
3+
y
+
....
...
...
...
....
0
=
+
x
+
x
2+
x
3+
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan
Metode Deret Pangkat
Buat matriks seperti berikut :
2
2
2
0
−
a
−
a
−
a
4 3 2 12
a
3
a
4
a
a
3 2 0x
x
x
x
'
y
xy
2
−
0
−
2
a
0−
2
a
1−
2
a
2+
(
0
) (
2
2
) (
3
2
) (
4
2
)
....
0
=
a
1−
+
a
2−
a
0+
a
3−
a
1+
a
4−
a
2+
xy
2
−
didapat :0
0
1−
=
a
2
a
2−
2
a
0=
0
0 2a
a
=
0
2
3
a
3−
a
1=
0
1 3 2 3=
a
=
a
2 42
4
a
=
a
0 2 1 2 4 2 4a
a
a
=
=
0
1=
a
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan
Metode Deret Pangkat
Dengan demikian :
...
4 4 3 3 2 2 1 0+
+
+
+
+
=
a
a
x
a
x
a
x
a
x
y
....
3
1
0
2
1
0
0
0 2 3 0 4 5 0 6 0+
+
+
+
+
+
+
=
a
x
a
x
x
a
x
x
a
x
y
3
2
....
3
1
2
1
6 0 4 0 2 0 0+
+
+
+
=
a
a
x
a
x
a
x
y
+
+
+
+
=
....
3
2
1
6 4 2 0x
x
x
a
y
2 0 xe
a
Soal Latihan
x
xy
y
'
=
+
.
2
Cari solusi PDB Berikut dengan metode deret pangkat
