DERET Matematika Industri I

(1)

DERET

Matematika Industri I

TIP – FP – UB

(2)

Pokok Bahasan

• Barisan • Deret

• Deret aritmetik • Deret geometrik

• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli • Deret tak berhingga

• Nilai-nilai limit

• Deret konvergen dan deret divergen • Uji konvergensi

(3)

Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

(4)

Barisan

• Barisan

– Suatu set kuantitas, u₁, u₂, u₃, …, yang

dinyatakan dalam suatu urutan dan setiap sukunya terbentuk menurut pola tertentu, dengan kata lain u_r = f (r)

– Barisan berhingga hanya mengandung suku-suku yang berhingga banyaknya

– Barisan tak berhingga tidak mempunyai suku terakhir

(5)

Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

(6)

Deret

• Suatu deret dibentuk oleh jumlah dari

suku-suku suatu barisan

• Jika u

₁

, u

₂

, u

₃

, … adalah barisan, maka

merupakan deret

1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 n n S u S u u S u u u S u u u u             

(7)

Pokok Bahasan

• Deret aritmetik

• Deret geometrik

(8)

Deret Aritmetik (Deret Hitung)

• Suku ke-n suatu deret aritmetik didefinisikan sebagai:

• Dimana a adalah suku pertama dan d adalah beda.

• Jumlah dari n suku pertama deret aritmetik Sn adalah:

(

1)

n

u

 

a

n



d



2 [ 1]



2 n n S  a  n  d

(9)

Deret Aritmetik (Deret Hitung)

• Rata-rata aritmetik

– Rata-rata aritmetik dua bilangan P dan Q adalah sebuah bilangan A sdrs

– Membentuk deret aritmetik, sehingga

– Rata-rata aritmetik dari dua bilangan adalah rata-rata kedua bilangan tersebut

P  A Q and so that A  P d Q  A d A   P Q A 2 giving 2 P Q A  P Q A  

(10)

Deret Aritmetik (Deret Hitung)

• Rata-rata aritmetik

– Penyisipan tiga rata-rata aritmetik, A, B, dan C, diantara dua bilangan P dan Q sdrs

– Membentuk deret aritmetik, maka P    A B C Q 4 so 4 Q P Q  P d d   4 2 3 4 Q P A P Q P B P Q P C P         

(11)

Pokok Bahasan

• Deret aritmetik

• Deret geometrik

(12)

Deret Geometrik (Deret Ukur)

• Bentuk umum deret geometik dengan suku

ke-n

• Dimana a adalah suku pertama dan r adalah

rasio

• Jumlah n suku pertama deret geometrik Sn

1 n n

u



ar

 (1 ) 1 n n a r S r   

(13)

Deret Geometrik (Deret Ukur)

• Rata-rata geometrik

– Rata-rata geometrik dari dua bilangan, P dan Q, adalah A sdrs

– Membentuk deret geometrik, sehingga

– Rata-rata geometrik dari dua bilangan adalah akar dari hasilkali kedua bilangan

P  A Q and so that A Q A Q r r P  A  P  A 2 giving A  PQ A  PQ

(14)

Deret Geometrik (Deret Ukur)

• Rata-rata geometrik

– Penyisipan 3 rata-rata geometrik antara P dan Q sdrs membentuk deret geometrik

P    A B C Q 4 ₄ so Q Q r r P   P 4 2 4 3 4 Q A P P Q B P P Q C P P               

(15)

Pokok Bahasan

• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli

• Deret tak berhingga • Nilai-nilai limit

(16)

Deret Pangkat dari

Bilangan-bilangan Asli

• Deret

• Merupakan deret aritmetik dengan a=1

dan d=1, sehingga

1 1 2 3 4 5 n r n r       



1 ( 1) (2 [ 1] ) 2 2 n r n n n r a n d      



(17)

Deret Pangkat dari

Bilangan-bilangan Asli

• Deret semisal

• Dinotasikan

• sehingga

2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 5 n r n r        



3 3 2 (r 1)  r  3r  3r 1 3 3 2 1 1 1 1 ( 1) 3 3 1 n n n n r r r r r r r r             



 

(18)

Deret Pangkat dari

Bilangan-bilangan Asli

• Jika dilanjutkan

3 3 3 3 3 2 1 1 ( 1) ( 1) 1 3 3 and 1 n n r r r r n n n n n               



2 3 2 1 1 1 ( 1) 3 3 3 3 where 2 n n n r r r n n r r n n n n r          



2 1 ( 1)(2 1) 6 n r n n n r    



(19)

Deret Pangkat dari

Bilangan-bilangan Asli

• Jumlah dari pangkat tiga-pangkat tiga

menggunakan identitas

2 3 1 ( 1) 2 n r n n r      _ _ 

(20)

Pokok Bahasan

• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli

• Deret tak berhingga

(21)

Deret Tak Berhingga

• Deret tak berhingga

merupakan deret dengan

banyak sukunya tak

berhingga

• Deret geometrik dengan

a=1 dan r=1/2 dengan

jumlah n suku pertama

1 1 1 1, , , , 2 4 8 

 









1 1 1 1 1 , , 2 4 8 2 1 1 1/ 2 1 1/ 2 2 1 1/ 2 n n n S           

(22)

Deret Tak Berhingga

• Jika n sangat besar,

maka

1

/

₂n

akan sangat

kecil dan mendekati nol

• Dengan kata lain

• Kita katakan limit Sn

seiring n mendekati tak

berhingga adalah 2

1 as so 0 2n n    1 0 so 2(1 1/ 2 ) 2 2 n n n  S    2 n n Lim S S_   

(23)

Deret Tak Berhingga

• Terkadang deret tak

berhingga tidak

memiliki limit

• Sebuah deret

aritmetik dengan a=1

dan d=2 :

1, 3, 5, 7, 









2

1 3

5 7,

, 2

1

2 1 2

2

n

S

n

   















2

as

n

 

so

S

_n



n

 

n n

Lim S

S

_ 



 

(24)

Pokok Bahasan

(25)

Nilai-nilai Limit

( ) ( ) n f n Lim g n

 Lim f nn ( )  0 and Lim g nn ( )  0

( ) and ( ) n n Lim f n Lim g n       1 as n so 0 n    5 3 5 3 /

dividing top and bottom by

2 7 2 7 / 5 0 2 0 5 2 n n n n Lim Lim n n n           

(26)

Pokok Bahasan

• Deret konvergen dan deret divergen

• Uji konvergensi

(27)

Deret Konvergen dan Deret

Divergen

• Suatu deret dimana jumlah (S

_n

) dari n

suku dari deret tersebut cenderung

mendekati suatu nilai tertentu, yaitu ketika,

disebut deret konvergen

• Jika S

_n

tidak mendekati suatu nilai tertentu

ketika

, deret ini disebut deret

divergen

• Uji konvergensi diperlukan jika sulit

mencari rumus untuk S

_n





n





n

(28)

Pokok Bahasan

• Deret konvergen dan deret divergen

• Uji konvergensi

(29)

Uji Konvergensi

• Uji 1: Suatu deret tidak mungkin

konvergen terkecuali suku-sukunya

akhirnya mendekati nol; lebih tepatnya,

terkecuali

• Jika

• Maka Sn divergen jika

• Pengecualian:

1 2 3 n n

S



u



u



u







u

 

_n

0

n

Lim u





 

_n

0

n

Lim u





1 1 1 1 1 2 3 4 n S n       1 0 n Lim n      

(30)

Uji Konvergensi

• Uji 2: Uji Komparasi (Comparasion Test)

– Suatu deret yang terdiri dari suku-suku positif akan konvergen jika suku-sukunya lebih kecil daripada suku-suku padanannya dari suatu deret positif lain yang sudah diketahui

konvergen. Dengan cara serupa, suatu deret akan divergen jika suku-sukunya lebih besar daripada suku-suku padanannya dari suatu deret lain yang diketahui divergen.

(31)

Uji Konvergensi

• Uji 2:

– Konvergen jika p > 1 – Divergen jika p  1 1 1 1 1 1 1 1 1p 2p 3p 4p np _r r p        



1 1 1 1 1 1 1 1p 2p 3p 4p np r r p         



(32)

Uji Konvergensi

• Uji 3: Uji rasio D’Alembert untuk suku-suku

positif

• Jika

merupakan deret dengan suku-suku positif

1 2 3 4 1 n r r u u u u u u        



1 1 1

1, the series converges 1, the series diverges

1, the series may converge or diverge

n n n n n n n n n u Lim u u Lim u u Lim u         

(33)

Pokok Bahasan

(34)

Deret Secara Umum

Konvergensi Mutlak

• Jika deret

konvergen, maka deret

sangat mungkin tidak konvergen

• Jika

deret konvergen, maka

dipastikan konvegen

• Jika

konvergen, maka deret

dikatakan konvergen mutlak

• Jika

tidak konvergen, tapi

konvergen, maka

konvergen

bersyarat

1 r r u    1 r r u    1 r r u    1 r r u    1 r r u    1 r r u    1 r r u    1 r r u    1 r r u   

(35)

Hasil Pembelajaran

• Menggunakan deret aritmetik dan deret geometrik

• Menggunakan deret pangkat dan bilangan-bilangan asli • Menentukan nilai limit dari deret aritmetik dan deret

geometrik

• Menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tak tentu yang sederhana

• Menerapkan berbagai uji konvergensi pada deret tak berhingga

• Membedakan antara konvergensi mutlak dan konvergensi bersyarat