Deret Ukur dan Deret Hitung
A. Deret Hitung
1. Pengertian Deret Hitung
Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda. Pembeda dapat ditentukan dari selisih 2 suku yang berurutan.
Contoh :
a. 4,7,10,13,16,19 (pembeda = 3) b. 45,40,35,30,25 (pembeda = -5)
2. Suku ke-n dari Deret Hitung
Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah derert hitung dapat dihitung melaluhi rumus.
S1 = 4 = a
S2 = 7 = a + (2 – 1)b
S3 = 10 = a + (3 – 1)b
S4 = 13 = a + (4 – 1)b
S5 = 16 = a + (5 – 1)b
S6 = 19 = a + (6 – 1)b
Berdasarkan rumus diatas, dengan mudah dan cepat kita dapat menghitung nilai-nilai suku tertentu. Sebagai contoh, nilai-nilai suku ke-25 dari deret hitung diatas masing-masing adalah:
S
n
= a + (n – 1)b
Dimana :
a : suku pertama atau S
1
b : pembeda
n : indeks suku
S25 = a + (n – 1)b = 4 + (25 - 1) 3 = 4 + 72 = 76
S25 = a + (n – 1)b = 45 + (25 – 1) -5 = 45 + (-120) = - 75
3. Jumlah suku ke-n
Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S1 atau a) sampai dengan suku ke-n (Sn) yang
bersangkutan.
Si=¿S1+S2+…+Sn
Jn=
∑
i=1
n
¿
Si=¿S1+S2+S3+S4
J4=
∑
i=1 4
¿
Si=¿S1+S2+S3+S4+S5
J4=
∑
i=1 4
¿
Berdasarkan rumus Sn = a + (n-1) b, maka masing-masing S dapat diuraikan:
J4 = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) = 4a + 6b
J5 = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b)= 5a + 10b
Kemudian masing-masing J dapat ditulis ulang dalam bentuk :
J4=4a+6b=4a+4
2(4−1)b
J5=5a+10b=5a+5
2(5−1)b
Jn=na+n
Jn=n
2
{
2a+(n−1)b
}
Jn=n
2
{
a+Sn
}
B. Deret Ukur
1. Pengertian Deret Ukur
Deret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membeda-bedakan suku –suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda , yaitu merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku di depannya.
2. Suku ke-n deret ukur
Contoh :
a) 3,9,27,81 (pengganda p= 3)
2. Suku ke-n deret ukur S1 = 3 = a
S2 = 9 = ap = ap2-1
S3 = 27 = app = ap2 = ap3-1
S4 = 81 = appp = ap3 = ap4-1
Maka didapat rumus
Berdasarkan rumus di atas, dapat di hitung nilai suku ke-8 dari deret ukur dalam contoh a dan b di atas.
S
n
= ap
n-1
Dimana :
a
: suku pertama atau S
1
b
: pembeda
a) S8 = (3)(3)8-1 = (3)(2187)= 6561
3. Jumlah n Suku
Jumlah sebuah deret ukur sampai suku tertentu adalah jumlah nilai sukunya sejak suku pertama sampai suku ke-n yang bersangkutan.
Si=¿S1+S2+…+Sn
Jn=
∑
i=1
n
¿
Berdasarkan rumus Sn = apn-1, maka masing-masing S dapat diuraikan:
Jn=a+ap+ap
2
+ap3+…+apn−2
+apn−1 (pers. 1)
pJn=ap+ap2+ap3+ap4+…+apn−1+apn (pers. 2)
Maka selisih dari kedua persamaan diatas adalah
Jn−p Jn=a−ap n
Jn(1−p)=a(1−pn)
Jn=a(1−p
n
)
1−p jika |p| < 1 dan Jn=
a(pn−1)
p−1 jika |p| > 1
C. Pengaplikasian Deret Hitung dan Deret Ukur dalam Ekonomi
Dalam masalah ekonomi, tak jarang ditemukan suatu permasalahan yang berhubungan matematika. Masalah tersebut lah yang nantinya akan diselesaikan dengan pengaplikasian ilmu matematika dalam ekonomi, atau yang sering disebut “Matematika Ekonomi”.
Salah satu ilmu yang ada pada matematika ekonomi ialah deret hitung dan deret ukur. Bagaimana pengaplikasiannya? Perhatikan contoh dibawah ini!
TEXTIL mampu menambah produksinya sebanyak 30 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa banyak baju yang dihasilkan pada bulan ketujuh? Dan berapa banyak baju yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?
Jawab:
Diketahui: a= 200
b = 30
n = 7
S7 = 200 + ( 7 – 1) 30 = 380
J7 = 7/2 ( 200 + 380) = 2030
Jadi jumlah produksi baju pada bulan ketujuh 380 baju dan jumlah keseluruhan yang
dihasilkan sampai bulan tersebut adalah 2030 baju.
Model Bunga Majemuk
Model Bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus Investasi. Dengan model ini bisa dihitung pengembalian kredit dimasa akan datang berdasarkan tingkat bunganya.
Modal Pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga per tahun setingkat i, maka jumlah akumulatif modal tersebut di masa datang setelah n
tahun (Fn) dapat di hitung sebagai berikut:
Setelah 1 tahun : F1 = P + P.i = P (1+i)
Setelah 2 tahun : F2 = P (1+i) + P (1+i) = P (1 + i )2
Setelah 3 tahun : F3 = P (1 + i )2 + P (1+i)2 i = P (1 + i )3
Fn= P (1 + i )n
P = Jumlah sekarang
I = tingkat bunga per tahun
n = jumlah tahun
Contoh soal:
1. Nadhia meminjam uang di BCA sebanyak Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah uang yang dikembalikan pada saat pelunasan? ? Seandainya perhitungan pembayar bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, Berapa jumlah yang harus dikembalikan Nadhia?
Jawab:
P = 5.000.000
N = 3
i = 2 % = 0,02
Fn= P (1 + i )n
F3 = 5.000.000 P (1 + 0,02 )3
= 5.000.000 (1,061208)
= 5.306.040
Jadi pada saat pelunasan, setelah 3 tahun Nadhia harus membayar Rp. 5.306.040
F3 = 5.000.000 (1 + 0,01)(2)(3)
= 5.000.000 (1.0615) = 5.307.500
Jadi jumlah yang harus dibayar lebih besar yaitu Rp. 5.307.500 Deret dipakai untuk kasus perkembangan dan pertumbuhan.1
DAFTAR PUSTAKA
http://blog.uin-malang.ac.id/syahirulalim/2013/02/28/materi-deret-hitung-deret-ukur/ diakses pada 18 September 2014 pukul 07.05
http://wartailmu.blogspot.com/2013/02/deret-hitung-dan-ukur.html diakses pada 18 September pukul 08.16
