MINGGU 2 DERET HITUNG DAN UKUR

TOPIK 2

DERET HITUNG DAN DERET UKUR

Nur Aida Arifah Tara, M.Si., Ph.D

DERET:

Rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu

JUMLAH SUKU YANG MEMBENTUK:

• Deret Terhingga  deret yang jumlah suku-sukunya tertentu

• Deret Tak Terhingga  deret yang jumlah suku- sukunya tidak terbatas

SEGI POLA PERUBAHAN BILANGAN PADA SUKU-SUKUNYA:

• Deret Hitung

• Deret Ukur

• Deret Harmoni

Konsep Deret

A. Deret Hitung:

• Deret yang perubahan suku-sukunya

berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu

• Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan  PEMBEDA

Contoh:

1) 7, 12, 17, 22, 27, 32 (pembeda = 5) 2) 93, 83, 73, 63, 53, 43 (pembeda = -10)

Deret Hitung

1. Suku ke-n dari Deret Hitung Contoh:

Deret Hitung

7, 12, 17, 22, 27, 32

S¹ S² S³ S⁴ S⁵ S⁶

S1 = 7 = a

S2 = 12 = a + b = a + (2 – 1)b S3 = 17 = a + 2b = a + (3 – 1)b S4 = 22 = a + 3b = a + (4 – 1)b S5 = 27 = a + 4b = a + (5 – 1)b S6 = 32 = a + 5b = a + (6 – 1)b

Sⁿ = a + (n – 1) b

a : suku pertama atau S1 b : pembeda

n : indeks suku

S10 = a + (n – 1)b = 7 + (10 - 1)5 = 7 + 45 = 52 S23 = a + (n – 1)b = 7 + (23 - 1)5 = 7 + 110 = 117

2. Jumlah n Suku

Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu  jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S1 atau a) sampai dengan suku ke-n (Sn) yang bersangkutan.

a.

Deret Hitung

J4 = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b)

= 4a + 6b

J5 = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b)

= 5a + 10b

b.

c.

d.

atau

atau

atau

Sn = a + (n – 1) b

B. Deret Ukur:

• Perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu

• Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan  PENGGANDA

Contoh:

1) 5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda = 2) 2) 512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda = 0,5)

Deret Ukur

1. Suku ke-n dari Deret Ukur Contoh:

1) 5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda = 2) 2) 512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda = 0,5)

Deret Ukur

S1 = 5 = a

S2 = 10 = a p = ap S3 = 20 = app = ap S4 = 40 = appp = ap S5 = 80 = apppp = ap

Sⁿ = ap

a : suku pertama b : pengganda n: indeks suku

S10 = (5)(2) = (5)(2) = (5)(512) = 2560

S10 = (512)(0,5) = (512)(0,5) = (512)(1/512) = 1

2-1

3-1

4-1

5-1

n-1

10-1 9

10-1 9

2. Jumlah n Suku

Jumlah sebuah deret ukur sampai dengan suku tertentu  jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S1 atau a) sampai dengan suku ke-n (Sn) yang bersangkutan.

Deret Ukur

1) 5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda = 2), a = 5 dan p = 2 Jumlah sampai dengan suku ke-10 adalah:

2) 512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda = 0,5) a = 512 dan p = 0,5

Dalam bidang Ekonomi, teori atau prinsip=prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan.

1. Model Perkembangan Usaha

Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam

kegiatan usaha (produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, penanaman modal, dsb) berpola seperti

deret hitung.

Penerapan Ekonomi

Kasus 1*)

Perusahaan genteng “Sokajaya” menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan

peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah tiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkannya pada bulan kelima? Berapa buah yang dihasilkannya sampai dengan bulan tersebut?

Diketahui:

a : 3.000 S5= a + (n – 1)b = 3000 + (5 - 1)500 = 5000 b : 500

n : 5

Jumlah produksi pda bulan kelima adalah 5.000 buah, sedangkan jumlah seluruh genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut 20.000 buah

Penerapan Ekonomi

Kasus 2*) LATIHAN

Besarnya penerimaan PT “Cemerlang” dari hasil penjualan barangnya Rp. 720 juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penerimaannya per tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar 460juta?

Diketahui:

1. S7 = 980  a + 6b = 980 S5 = 720  a + 4b = 720

2b = 260  b =130

Perkembangan penerimaan penjualan per tahun Rp. 130 juta 2. a + 4b = 720  a + 4(130) = 720  a +520 = 720  a = 200

Penerimaan pada tahun pertama Rp. 200 juta 3. Sn = a + (n-1)b  460 = 200 + (n-1) 130

460 = 200 + 130n – 130

460 – 200 + 130 = 130n  390 = 130n  n = 3 Penerimaan sebesar Rp. 460 juta diterima pada tahun ketiga

Penerapan Ekonomi

Sⁿ = a + (n – 1) b

2. Model Bunga Majemuk

• Penerapan deret ukur dalam kasus simpan-pinjam dan kasus investasi.

• Dapat dihitung misalnya, besarnya pengembalian kredit di masa datang berdasarkan tingkat bunganya, mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa datang.

Setelah 1 tahun : F1 = P + P. i = P(1+ i ) Setelah 2 tahun : F2 = P(1+ i ) + P(1+ i )

• Jika pembayaran bunga di anggap 1 kali:

p : jumlah sekarang

i : tingkat bunga per tahun n : jumlah tahun

Penerapan Ekonomi

2

• Jika pembayaran bunga di anggap lebih dari 1 kali:

p : jumlah sekarang

i : tingkat bunga per tahun n : jumlah tahun

m : frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

• Nilai present value

Penerapan Ekonomi

Kasus 3*)

Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah seluruh perhitungan

pembayaran bunga tiap tahun, melainkan setiap semester, berapa jumlah yang harus ia kembalikan?

Diketahui:

P = 5.000.000 Fn = P(1+i )

n = 3 F3 = 5.000.000 (1+0,02)

i = 2% = 0,02 = 5.000.000 (1,061208) = 5.306.040

Jadi pada saat pelunasan, setelah tiga tahun, nasabah tadi secara keseluruhan harus mengembalikan sebanyak Rp. 5.306.040,00. Seandainya bunga diperhitungkan

dibayarkan tiap semester, m = 2, maka:

Fn = P(1+ i/m)

F3 = 5.000.000 (1+0,01)

= 5.000.000 (1,06152) = 5.307.600

Jadi jumlah yang harus dikembalikan menjadi lebih besar, Rp. 5.306.600,00

Penerapan Ekonomi

n

3

mn

2x3

Kasus 4*)

Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar Rp. 532.400,00 tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% per tahun, berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini?

Diketahui:

F = 532.400

n = 3 i = 10% = 0,01

Jadi besarnya tabungan sekarang adalah Rp. 400.000,00

Penerapan Ekonomi

2. Model Pertumbuhan Penduduk

P1 : jumlah penduduk pada tahun pertama Pt : jumlah penduduk pada tahunt

R : persentase pertumbuhan per tahun : 1 + r

t : indeks waktu (tahun)

Kasus 5*)

Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian?

Diketahui:

P1 = 1 juta P tahun 2006 = P16 = 1.000.000 (1,04)

r = 0,04 = 1.000.000 (1,800943) = 1.800.943 jiwa R = 1,04

P1 = 1.800.943 P 11 tahun kemudian = P11 = 1.800.943 (1,025) = 2.305.359 jiwa r = 0,025

R = 1,025

Penerapan Ekonomi

15

11

TERIMAKASIH