BARIS. tttt. (Winston Chucill)

BARIS

tttt

Tujuan Pembelajaran

Dengan mempelajari materi barisan dan deret diharapkan siswa dapat : 1. Menjelaskan pengertian barisan dan deret

2. Menemukan konsep barisan aritmatika 3. Menemukan konsep deret aritmatika

4. Menentukan suku tengah barisan aritmatika 5. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika 6. Menghitung jumlah n suku deret aritmatika 7. Menemukan konsep barisan geometri 8. Menemukan konsep deret geometri

9. Menentukan suku tengah barisan geometri 10. Menentukan suku ke-n barisan geometri 11. Menghitung jumlah n suku deret geometri

12. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmatika. 13. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret geometri.

Mind Map

A. Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan

dan Deret

Aritmatika

Deret Aritmatika 𝑈1+ 𝑈2+ ⋯ + 𝑈𝑛= 𝑆𝑛 𝑆_𝑛=𝑛 2(𝑎 + 𝑈𝑛) 𝑆𝑛= 𝑛 2(2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 Definisi 𝑈𝑛− 𝑈𝑛−1= 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝 = 𝑏 2𝑈𝑛= 𝑈𝑛−1+ 𝑈𝑛+1 Barisan Aritmatika 𝑈₁, 𝑈₂, 𝑈₃, … , 𝑈_𝑛. 𝑈𝑛= 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 Suku Tengah 𝑈𝑡= 𝑎+𝑈𝑛 2 ,𝑡 = 𝑛+1 2 𝑈1, … , 𝑈𝑡, … , 𝑈𝑛 Sisipan 𝑏∗₌ 𝑏 𝑘 + 1 𝑎, … , 𝑎 + 𝑘𝑏∗ , 𝑎 + 𝑏

B. Barisan dan Deret Geometri

Barisan

dan Deret

Geometri

Deret Geometri tak hingga (konvergen) •𝑆 =_1−𝑟𝑎 •−1 < 𝑟 < 1 berhingga •𝑆𝑛= 𝑎(𝑟𝑛₋₁₎ 𝑟−1 Definisi 𝑈𝑛 𝑈𝑛−1 = 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝 = 𝑟 (𝑈𝑛)2= 𝑈𝑛−1. 𝑈𝑛+1 Barisan Geometri 𝑈1, 𝑈2, … , 𝑈𝑛. 𝑈𝑛 = 𝑎. 𝑟𝑛−1 Suku Tengah 𝑈𝑡 = 𝑎. 𝑈𝑛,𝑡 = 𝑛+1 2 𝑈𝑎, … , 𝑈𝑡, … , 𝑈𝑛 Sisipan 𝑟′= (𝑟)𝑘+11 𝑎, … , 𝑎(𝑟′)𝑘, 𝑎𝑟

BARISAN DAN DERET

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu.Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku.Perubahan di antara suku-suku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan.

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan yang tetap,maka barisan ini disebut barisan aritmatika, misal :

a. 2, 6, 10, 14, ………….. ditambah 4 dari suku di depannya b. 112, 107, 102, 97, …… dikurangi 5 dari suku di depannya

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,maka barisan ini disebut barisan geometri, misal :

a. 3, 6, 9, 12, ……….. dikalikan 3 dari suku di depannya b. 100, 50, 25, ……… dikalikan 1

2 dari suku di depannya

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan, missal : Deret aritmatika ( deret hitung ) : 3 + 6 + 9 + 12 = 39

Deret geometri ( deret ukur ) : 3 + 9 + 27 + 81 = 120

A. Barisan dan Deret Aritmatika 1. Barisan Aritmatika

Barisan aritmetika adalah barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap.

𝑈₁, 𝑈₂, 𝑈₃, 𝑈₄… … , 𝑈_𝑛−1, 𝑈_𝑛. 𝑈1 = 𝑎

𝑈₂ = 𝑎 + 𝑏

𝑈4 = (𝑎 + 2𝑏) + 𝑏 = 𝑎 + 3𝑏

𝑈_𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏

Jika 𝑈₂− 𝑈₁ = 𝑈₃− 𝑈₂ = ⋯ = 𝑈_𝑛− 𝑈_𝑛−1 ,maka barisan tersebut adalah barisan aritmatika.

Jika 𝑈_𝑛− 𝑈_𝑛−1 disebut beda atau 𝑏 maka barisan aritmatika adalah barisan yang mempunyai beda tetap.

a. Syarat barisan aritmatika

b. Rumus suku ke-n barisan aritmatika

Jika 𝑈1= 𝑎 dan maka 𝑈2 − 𝑈1 = 𝑈𝑛− 𝑈𝑛−1 = 𝑏

suku

dimana :

⋃ 𝑛 = Suku ke-n 𝑎 = suku pertama 𝑏 = beda antar suku 𝑛 = banyaknya suku

2𝑈

₂

= 𝑈

₁

+ 𝑈

₃

atau 2𝑈

_𝑛

=

𝑈

_𝑛−1

+ 𝑈

_𝑛+1

Contoh soal :

Tentukan suku ke 100 dari barisan 7,9,11,13! Jawab : 7,9,11,13, … . , 𝑈₁₀₀ 𝑈_𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 𝑈100 = 7 + (100 − 1)(9 − 7) 𝑈₁₀₀ = 7 + (99)(2) 𝑈₁₀₀ = 7 + 198 𝑈100 = 205

2. Suku Tengah Barisan Aritmatika Misal 𝑈𝑡 adalah suku tengah.

𝑈₁, 𝑈₂, 𝑈₃, 𝑈₄, … , 𝑈_𝑡, … , 𝑈_𝑛−2, 𝑈_𝑛−1, 𝑈_𝑛. Maka 𝑡 = 𝑛+1 2 sehingga 𝑈𝑡= 𝑎 + (𝑡 − 1)𝑏 menjadi 𝑈𝑡 = 𝑎 + [( 𝑛 + 1 2 ) − 1] 𝑏 = 1 2𝑎 + 1 2𝑎 + 1 2(𝑛 − 1)𝑏 = 1 2𝑎 + 1 2(𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) Jadi Contoh soal :

Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut : 5,8,11, … ,131. Tentukan suku keberapakah suku tengahnya!

Jawab : 𝑈𝑡 = 𝑎 + 𝑈𝑛 2 𝑈𝑡 = 5 + 133 2 𝑈𝑡 = 𝑎 + 𝑈𝑛 2

𝑈𝑡 = 136 2 = 68 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 68 = 5 + (𝑛 − 1)3 66 = 3𝑛 22 = 𝑛 3. Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah barisan aritmatika yang dijumlahkan.

Jika 𝑈₁+ 𝑈₂ + 𝑈₃+ ⋯ + 𝑈_𝑛 = 𝑆_𝑛 dan 𝑆_𝑛 disebut jumlah 𝑛 suku pertama deret aritmatika,maka : 𝑆_𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + ⋯ + (𝑈_𝑛− 2𝑏 + 𝑈_𝑛− 𝑏) + 𝑈_𝑛 𝑆𝑛= 𝑈𝑛+ (𝑈𝑛− 𝑏) + (𝑈𝑛− 2𝑏) + ⋯ + (𝑎 + 2𝑏) + (𝑎 + 𝑏) + 𝑎 + 2𝑆𝑛 = (𝑎 + 𝑈𝑛) + (𝑎 + 𝑈𝑛) + … … … + (𝑎 + 𝑈𝑛) + (𝑎 + 𝑈𝑛) + (𝑎 + 𝑈𝑛) Sebanyak n kali 2𝑆𝑛 = 𝑛(𝑎 + 𝑈𝑛) Karena 𝑈_𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏, maka Contoh soal :

Terdapat 60 suku dalam barisan aritmetika yang mana suku pertama adalah 9 dan suku terakhir adalah 127. Tentukan 𝑆60 !

𝑆𝑛=

𝑛

2(𝑎 + 𝑈𝑛)

𝑆_𝑛 =𝑛

Jawab : 𝑆𝑛= 𝑛 2(𝑎 + 𝑈𝑛) 𝑆60= 60 2 (9 + 127) 𝑆60= 30(136) 𝑆60= 4080

B. Barisan dan Deret Geometri 1. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah perbandingan dua suku berurutan selalu tetap (konstan). Misal ada barisan sebagai berikut :

𝑈₁, 𝑈₂, 𝑈₃, 𝑈₄… … , 𝑈_𝑛−1, 𝑈_𝑛. 𝑈₁ = 𝑎 𝑈2 = 𝑎 𝑥 𝑟 = 𝑎𝑟 𝑈₃ = 𝑎𝑟 𝑥 𝑟 = 𝑎𝑟2 𝑈₄ = 𝑎𝑟2 _{𝑥 𝑟 = 𝑎𝑟}3 𝑈_𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 Jika 𝑈2 𝑈1

=

𝑈3 𝑈2

= ⋯ =

𝑈𝑛

𝑈𝑛−1 maka barisan tersebut adalah barisan

geometri. Jika 𝑈𝑛

𝑈𝑛−1 disebut rasio (𝑟) maka barisan geometri adalah barisan yang

mempunyai rasio tetap. a. Syarat Barisan Geometri

b. Rumus suku ke-n Barisan Geometri (𝑈₂)2 _{= 𝑈}

1. 𝑈3 atau (𝑈𝑛)2 = 𝑈𝑛−1. 𝑈𝑛+1

Jika 𝑈₁ = 𝑎 dan 𝑈2

𝑈₁

=

𝑈_𝑛

𝑈_𝑛−1

= 𝑟 ,

maka

Contoh soal :

1. Diketahui barisan geometri 3, 9, 27, 81, ... Tentukan :

a. Suku pertama b. Rasio

c. Rumus suku ke-n d. Suku ke 10 Jawab : a. Suku pertama = 𝑈₁ = 3 b. Rasio = 𝑟 = 𝑈2 𝑈1 = 9 3= 3

c. Rumus suku ke-n = 𝑎𝑟𝑛−1 = (3)(3)𝑛−1 = (3)1+(𝑛−1) = 3𝑛 d. Suku ke 10 = 310= 59049 2. Supaya barisan (2𝑘 − 5), (𝑘 − 4),1 5(𝑘 − 4), … menjadi barisan

geometri maka tentukanlah nilai 𝑘!

Jawab : (2𝑘 − 5), (𝑘 − 4),1 5(𝑘 − 4)

𝑈

₁

, 𝑈

₂

, 𝑈

₃ 𝑈₂ =𝑈3

𝑘 − 4 2𝑘 − 5= 1 5 (𝑘 − 4) (𝑘 − 4) 𝑘−4 2𝑘−5= 1 5 5(𝑘 − 4) = 2𝑘 − 5 5𝑘 − 20 = 2𝑘 − 5 5𝑘 − 2𝑘 = 20 − 5 3𝑘 = 15 𝑘 =15 3 𝑘 = 5

2. Suku Tengah Barisan Geometri

Misal 𝑈₁ adalah suku tengah dari barisan sebagai berikut: jg jj

𝑈1, 𝑈2, 𝑈3,…, 𝑈𝑡,… 𝑈𝑛−2, 𝑈𝑛−1. 𝑈𝑛 Maka 𝑡 =𝑛+1 2 sehingga 𝑈𝑡= 𝑎. 𝑟 𝑡−1 _{menjadi :} Contoh soal :

Diketahui barisan geometri sebagai berikut : 1

4, 1

2, 1, … ,64.Tentukan

suku ke berapakah suku tengahnya! Jawab : 𝑈_𝑡 = √1 4 . 64 𝑈_𝑡 = √16 𝑈_𝑡= 𝑎. 𝑟(𝑛+12 )−1_{= 𝑎. 𝑟}( 𝑛−1 2 ) _{= √𝑎. 𝑎𝑟}𝑛−1 _{= √𝑎. 𝑈} 𝑛

𝑈𝑡 = 4 𝑈_𝑡 = 𝑎𝑟𝑡−1 4 = 1 4 . 2 𝑡 _.1 2 4 = 1 8 . 2 𝑡 32 = 2𝑡 25 _{= 2}𝑡 5 = 𝑡 3. Deret Geometri

Deret Geometri adalah barisan geometri yang dijumlahkan. a. Deret Geometri Berhingga

Jika 𝑈₁+ 𝑈₂ + 𝑈₃+ ⋯ + 𝑈_𝑛 = 𝑆_𝑛 adalah deret geometri dan 𝑆_𝑛 disebut jumlah 𝑛 suku pertama deret geometri, maka :

Conto soal :

Pada deret geometri diketahui 𝑈₂= 6 dan 𝑈₅ = 162 maka tentukanlah jumlah 6 suku pertama!

Jawab : 𝑆_𝑛 = 𝑎(𝑟 𝑛_{− 1)} 𝑟 − 1 𝑆₆ =2(3 6_{− 1)} 3 − 1

𝑆

₆

=

36 − 1

𝑆

₆

=

729 − 1

𝑆

_𝑛

=

𝑎(𝑟𝑛−1) 𝑟−1 atau

𝑆

𝑛

=

𝑎 1−𝑟

−

𝑎 1−𝑟

. 𝑟

𝑛

b. Deret Geometri Tak Hingga 𝑈1+ 𝑈2+ 𝑈3+ ⋯ = 𝑆…

Ada (konvergen) untuk −1 < 𝑟 < 1 yaitu 𝑆 = 𝑎

1−𝑟

𝑆 =

~ (divergen) untuk 𝑟 ≤ −1 dan 𝑟 ≥ 1

C. Aplikasi Barisan dan Deret dalam Kehidupa Sehari-hari

Barisan dan deret banyak digunakan dalam bidang bisnis dan ekonomi, terutama menyangkut dalam perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan penad (relevant) diterapkan untuk menganalisisnya.

Model perkembangan usaha merupakan penerapan teori baris dan deret. Perkembangan usaha adalah sejauh mana usaha-usaha yang pertumbuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung. Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal yang berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prsinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variable tersebut. Berpola seperti deret hitung maksudnya di sini ialah bahwa variable yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.

D. Soal Latihan Pilihan Ganda

1. Suku ke-3 dan ke-7 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 88 dan 212.Suku ke-8 barisan aritmatika tersebut adalah …

a. 243 c. 232 e. 220

b. 234 d. 222

2. Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit,sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16 adalah …

a. 45.760 c. 16.960 e. 9.760

b. 45.000 d. 16.000

3. Suku tengah barisan aritmatika adalah 41. Jika beda adalah 5 dan suku ketujuh adalah 56, maka jumlah semua suku barisan tersebut adalah …

a. 539 c. 387 e. 187

b. 437 d. 287

4. Barisan geometri dengan 𝑈₇ = 384 dan rasio 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah …

a. 1920 c. 4052 e. 6144

b. 3072 d. 4608

5. Suku ke-3 dan suku ke-7 suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah …

a. 500 c. 508 e. 516

b. 504 d. 512

6. Jumlah ke-10 dari barisan : 3, 5, 7, 9, …. adalah ….

a. 11 b. 12 c. 19 21 e. 27

7. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 2,5 meter dan memantul dengan ketinggian 3

5 kali tinggi semula dan setiap kali memantul berikutnya

mencapai ketinggi 3

5 kali tinggi pantulan sebelumnya.Maka jarak lintasan

8. Suatu deret aritmatika diketahui 5 deret suku pertama = 35 dan jumlah 4 suku yang pertama = 24. Suku yang ke-15 sama dengan ….

a. 11 b. 25 c. 31 d. 33 e. 59

9. Jumlah n suku yang pertama dari deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 3n2 – 5n. Beda dari deret tersebut adalah….

a. -6 b. -4 c. 2 d. 4 e. 6

10. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskan dengan Sn =23n Rasio deret tersebut adalah...

a. 8 b. 7 c. 4 d.- 1

8 e. -8

Essey

1. Suku ke-4 dan suku ke-7 suatu deret aritmatika berturut-turut 17 dan 29. Suku ke-25 deret tersebut adalah …

2. Jika 𝑈𝑛 = 3𝑛 − 7 merupakan barisan aritmatika maka tentukanlah

bedanya !

3. Tentukan suku ke-7 dari barisan geometri berikut :2 , 6 , 18 , 54, … ! 4. Diketahui barisan gometri sebagai berikut

:

1

6

,

1 3

,

2 3

, … ,

512 3

.

Tentukan

suku keberapakah suku tengahnya !

5. Pada deret geometri diketahui 𝑈2 = 6 dan 𝑈5 = 48 maka tentukanlah 6

suku pertama !

6. Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya adalah 2!

7. Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768!

8. Carilah suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, 19, ...

9. Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78. Tentukan suku pertama dan bedanya!

10. Carilah suku ke-21 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 adalah 41 dan suku ke-11 adalah 23!

DAFTAR PUSTAKA

Ganesha Operation (2013) Revolusi Belajar : Koding.Jakatra : Duta.

http://matematika-sma.blogspot.com/2007/07/soal-barisan-dan-deret.html Diakses :14 Oktober 2014

Alfauziah, Dini.11 Agustus 2013.Penerapan Baris dan Deret dalam Kehidupan Sehari-hari.( http://dinialfauziah.wordpress.com/2013/11/08/penerapan-baris-dan-deret-dalam-kehidupan-sehari-hari.). Diakses : 11 Oktober 2014

BIODATA

Nama Lengkap : Angga Ibnu Arsalan

NPM : 114070150

Tempat,Tanggal Lahir : Cirebon,20 maret 1996 Jenis Kelamin : Laki-laki

Agama : Islam

Cita-cita : Bisnisman

Alamat : Jalan Otista Blok Asinan Desa Tegalsari Kecamatan Plered Kabupaten Cirebon Kota Cirebon

No. Hp : 08987388921

E-mail : aibnuarsalan@gmail.com

Keanggotaan : Ketua

Deskripsi Kerja : 1. Mencari materi 2. Mendesain cover 3. Mencetak buku

Nama : Juneri

NPM : 114070078

Tempat,Tanggal Lahir : Cirebon,08 Maret 1996

Jenis Kelamin : Perempuan

Agama : Islam

Cita-cita : Guru PNS

Alamat : Blok Siseuti rt04/rw02 Desa Kedongdong Kidul Kecamatan Dukupuntang Kabupaten Cirebon

No. Hp : 083823751714

E-mail : juneri12toi2@yahoo.co.id Deskripsi Kerja : 1. Mencari materi

Nama : Norma Bertia Ningrum

NPM : 114070075

Tempat,Tanggal Lahir : Majalengka,01 Oktober 1996

Jenis Kelamin : Perempuan

Agama : Islam

Cita-cita : Guru

Alamat : Lingkungan Gandasari rt01/rw03 Kelurahan Cikasarung Kecamatan Majalengka Kabupaten Majalengka 45415

No.Hp : 087723985625

E-mail : norma.ningrum@yahoo.co.id

Keanggotaan : Anggota

Deskripsi Kerja : 1. Mencari materi 2. Menyusun materi 3. Mencetak buku