MATEMATIKA II
DERET TAK HINGGA
(INFITITE SERIES)
¡ Barisan merupakan kumpulan suatu bilangan (atau bentuk aljabar) yang disusun sehingga membentuk suku-suku yang dipisahkan dengan tanda koma dan memiliki pola ter tentu.
¡ Bentuknya disusun sebagai berikut :
¡ Keterangan :
u1 ar tinya suku ke-1 (suku per tama) u2 ar tinya suku ke-2 (suku kedua) dan seterusnya....
BARISAN
¡ 1). Barisan bilangan ganjil : 1 , 3, 5, 7, .... Keterangan :
- suku ke-1 (suku per tama) adalah 1 (u1=1), - suku ke-2 (suku kedua) adalah 3 (u2=3), - suku ke-3 (suku ketiga) adalah 5 (u3=5), - dan seterusnya ....
2). Barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, .... 3). Barisan sebarang : 1 , 5, 3, -2, 5, 7, ...
BARISAN
ARITMETIKA
BARISAN
GEOMETRI
BARISAN
¡ Barisan Aritmetika merupakan suatu barisan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan.
¡ Nilai selisih yang sama itu dinamakan “bedanya” yang
disimbulkan dengan huruf b .
¡ Misal barisannya : u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,.... Cara menghitung bedanya (b) adalah
b=u2−u1=u3−u2=u4−u3=...=un−un−1
¡ Adapun rumus suku ke-n nya adalah un=a+(n−1)b
¡ Dengan: a = suku per tamanya (u1), b = bedanya
un = suku ke-n
¡ 1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan aritmetika?
a). 1, 3, 5, 7, ...
b). 2, 5, 8, 11, 14, .... c). 1, 2, 5, 7, 8, .... d). 3, 5, 6, 2, 12, .... e). 4, 2, 0, -2, -4, ....
Ø Deret dibentuk oleh jumlah dari suku-suku suatu barisan.
Ø Contoh:
¡ (a) 1 , 3, 5, 7, …… (barisan)
¡ (b) 1 + 3 + 5 + 7 + …… (deret)
Ø Suku-suku suatu deret sbb:
§ u1 (suku per tama), u2 (suku kedua), u3 (suku ketiga), dst.
§ ur (suku ke-r), ur + 1 (suku ke-(r+1)), dst.
§ Sn : jumlah dari n suku per tama.
Ø Deret Aritmetik dan Deret Geometrik ….???
¡
Deret aritmetika merupakan jumlahan dari
suku-suku pada barisan aritmetika.
¡
Jumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan
untuk beberapa suku berhingga (
n
suku
pertama).
¡
Simbol yang digunakan adalah
s
nyang artinya
jumlah
n
suku pertama.
¡
Rumus Umum:
1A.DERET ARITMETIKA
¡
Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak
sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya
langsung.
¡
Berikut rumus jumlah
n
suku pertama berdasarkan :
¡
Ketiga rumus
s
ndi atas memberikan hasil yang sama
¡
Barisan Geometri
merupakan suatu barisan
yang memiliki perbandingan yang sama
antara dua suku-suku yang berdekatan.
¡
Nilai perbandingan yang sama itu dinamakan
rasionya yang disimbulkan dengan huruf
(r)
.
¡
Misal barisannya :
u
1,u
2,u
3,u
4,u
5,u
6,u
7,....
¡
Cara menghitung rasio (
r
) adalah:
�=�↓2 /�↓1 =�↓3 /�↓2 =�↓4 /�↓3 =… =�↓� /�↓�−1
¡ Adapun rumus suku ke-n nya adalah un = arn−1
dengan a = suku per tamanya (u1), r = rasionya, dan un = suku ke-n
¡ Dari rumus suku ke-n nya, dapat disusun barisan geometrinya:
¡
1). Dari barisan berikut ini, manakah yang
merupakan barisan Geometri?
a). 1, 2, 4, 8, ...
b).
1/3, 1, 3, 9, 27, ....
c). 1, 2, 6, 8, 16, ....
d). 3, 4, 8, 2, 12, ....
e). 16, 8, 4, 2, 1, ....
¡
Deret geometri merupakan jumlahan dari
suku-suku pada barisan geometri.
¡
Jumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan
untuk beberapa suku berhingga (n suku
pertama).
¡
Simbol yang digunakan adalah s
nyang artinya
jumlah n suku pertama.
¡
Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya
banyak sekali, maka kita akan menggunakan
rumusnya langsung
¡
Berikut rumus jumlah
n
suku pertama deret
geometri.
¡
Sebenarnya kedua rumus
s
ndi atas nilainya sama
saja untuk semua jenis rasionya, sehingga cukup
diingat salah satu saja.
¡
Secara umum, rumus eksplisit barisan dapat ditulis:
¡
Contoh:
BARISAN TAK HINGGA
{ }
a
1a
1,
a
2,
a
3,...
n
n
=
∞
¡
Deret aritmatika yang penjumlahannya sampai suku ke
tak hingga.
¡
Rumus Umum:
¡
Contoh: Diketahui suatu deret 1 + 3 + 5 + 7 + …….
§
a
= 1,
b
= 2
§
Jika n besar maka nilai Sn akan sangat besar.
§
Jika
n
à
∞maka Sn
à
∞(bukan merupakan nilai
numerik yang berhingga.
3. DERET ARITMATIKA TAK HINGGA
¡
Deret geometri yang penjumlahannya sampai
suku ke tak hingga.
¡
Jumlah deretnya mengikuti deret geometri
¡
Misalkan ada deret u
1+u
2+u
3+u
4...
yang
dijumlahkan sampai tak hingga yang disimbolkan
dengan
s
∞. Hasil jumlah tak hingganya (s
∞)
tergantung dari nilai rasionya (r).
4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
¡
Rumus Umum:
Ø
Dimana:
§
r
= rasio (memilih salah satu suku dan dibagi dengan
suku sebelumnya)
¡
Pada penjumlahan deret geometri tak hingga,
ada dua istilah yaitu :
§
1). Konvergen (deret konvergen)
syaratnya
−
1<r<1,
artinya jumlah sampai tak
hingganya memberikan hasil angka tertentu
(hasilnya bukan
+
∞
atau
−∞
)
§
2). Divergen (deret divergen)
syaratnya
r<
−
1
atau
r>1,
artinya jumlah sampai
tak hingganya memberikan hasil
+
∞
atau
−∞
¡
Tentukan hasil penjumlahan dari deret
geometri tak hingga:
PENYELESAIAN:
¡
Rasio deretnya :
�=�↓2 /�↓1 =4/2 =2
¡
Karena nilai rasionya = 2 (r>1), maka deret ini
termasuk divergen dan hasilnya
+
∞
¡
Jadi, nilai
2+4+8+16+...=
∞
¡
Tentukan hasil penjumlahan dari deret
geometri tak hingga:
PENYELESAIAN:
¡
Rasio deretnya :
�=�↓2 /�↓1 =1/2
¡
Karena nilai rasionya =
1/2 (−1<�<1),
maka
deret ini termasuk konvergen
¡
Hasilnya :
¡
Tentukan hasil penjumlahan dari deret
geometri tak hingga:
PENYELESAIAN:
¡
Rasio deretnya :
�=�↓2 /�↓1 =1/2
¡
Karena nilai rasionya =
1/2 (−1<�<1),
maka
deret ini termasuk konvergen
¡
Hasilnya :
¡
Carilah jumlah sampai dengan tak berhingga dari
deret berikut ini: 20 + 4 + 0,8 + 0,16 + ………….
¡
Jawab:
§
a
= 20
§
r
= 0,8/4 = 0,2 = 1/5
§
S
∞= 20 / (1 – 0,2) = 25
1.
Diketahui sebuah persegi berukuran 4x4 cm
2.
Setiap titik tengah suatu sisi dihubungkan dengan
t i t i k t e n g a h s i s i y a n g b e r d e k a t a n s e h i n g g a
terbentuk persegi baru. Proses ini dilanjutkan
terus.
a.
Apabila proses dilanjutkan 9 kali, berapakah
jumlah semua persegi yang terbentuk?
b.
Apabila proses dilanjutkan tanpa berhenti,
b e r a p a k a h j u m l a h s e m u a p e r s e g i y a n g
terbentuk?
MATEMATIKA II
UJI KONVERGENSI
DERET TAK HINGGA
¡ K O N V E R G E N:
Jika barisan {an} memenuhi persamaan:
L adalah bilangan berhingga.
UJI KONVERGENSI
{ }
a
L
n n
=
∞→
lim
DIVERGEN
Ø SIFAT LIMIT BARISAN
SIFAT LIMIT
§
{
a
n} dan {
b
n} adalah
barisan konvergen.
CONTOH (2)
Contoh 2:
Diketahui sebuah barisan sebagai berikut.
1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …
Ditanyakan: a). Nyatakan barisan tsb dalam rumus eksplisit
b). Ujilah konvergensi dari barisan di atas
Jawab:
a). Rumus eksplisit:
b). Uji konvergensi:
CONTOH (3)
1.
Tentukan konvergensi jumlah deret berikut:
Jawab:
... 81
4
27 4
9 4
3 4
+ +
LATIHAN SOAL
¡ Tu l i s k a n l i m a s u k u p e r t a m a b a r i s a n b e r i k u t , s e r t a t e n t u k a n a p a k a h b a r i s a n t e r s e b u t k o n v e r g e n a t a u divergen.