DERET TAK HINGGA INFITITE SERIES (3)

MATEMATIKA II

DERET TAK HINGGA

(INFITITE SERIES)

¡  Barisan merupakan kumpulan suatu bilangan (atau bentuk aljabar) yang disusun sehingga membentuk suku-suku yang dipisahkan dengan tanda koma dan memiliki pola ter tentu.

¡  Bentuknya disusun sebagai berikut : 

¡  Keterangan : 

u₁ ar tinya suku ke-1 (suku per tama)  u₂ ar tinya suku ke-2 (suku kedua)  dan seterusnya....

BARISAN

¡  1). Barisan bilangan ganjil : 1 , 3, 5, 7, ....  Keterangan : 

- suku ke-1 (suku per tama) adalah 1 (u₁=1),  - suku ke-2 (suku kedua) adalah 3 (u₂=3),  - suku ke-3 (suku ketiga) adalah 5 (u₃=5),  - dan seterusnya .... 

2). Barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, ....  3). Barisan sebarang : 1 , 5, 3, -2, 5, 7, ... 

BARISAN

ARITMETIKA

BARISAN

GEOMETRI

BARISAN

¡  Barisan Aritmetika merupakan suatu barisan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan.

¡  Nilai selisih yang sama itu dinamakan “bedanya” yang

disimbulkan dengan huruf b . 

¡  Misal barisannya : u₁,u₂,u₃,u₄,u₅,u₆,u₇,....   Cara menghitung bedanya (b) adalah 

b=u₂₋u₁=u₃₋u₂=u₄₋u₃=...=u_n−u_n−1 

¡  Adapun rumus suku ke-n nya adalah u_n=a+(n₋1)b  

¡  Dengan: a = suku per tamanya (u₁),  b = bedanya

u_n = suku ke-n

¡  1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan aritmetika? 

a). 1, 3, 5, 7, ...

b). 2, 5, 8, 11, 14, ....  c). 1, 2, 5, 7, 8, .... d). 3, 5, 6, 2, 12, .... e). 4, 2, 0, -2, -4, .... 

Ø  Deret dibentuk oleh jumlah dari suku-suku suatu barisan.

Ø  Contoh:

¡  (a) 1 , 3, 5, 7, …… (barisan)

¡  (b) 1 + 3 + 5 + 7 + …… (deret)

Ø  Suku-suku suatu deret sbb:

§  u₁ (suku per tama), u₂ (suku kedua), u₃ (suku ketiga), dst.

§  u_r (suku ke-r), u_{r + 1} (suku ke-(r+1)), dst.

§  S_n : jumlah dari n suku per tama.

Ø  Deret Aritmetik dan Deret Geometrik ….???

¡

 

Deret aritmetika merupakan jumlahan dari

suku-suku pada barisan aritmetika.

¡

 

Jumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan

untuk beberapa suku berhingga (

n

 

suku

pertama).

¡

 

Simbol yang digunakan adalah

 

s

_n

 

yang artinya

jumlah

 

n

 

suku pertama.

 

¡

 

Rumus Umum:

1A.DERET ARITMETIKA

¡

 

Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak

sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya

langsung.

¡

 

Berikut rumus jumlah

 

n

 

suku pertama berdasarkan :

 

¡

 

Ketiga rumus

 

s

_n

 

di atas memberikan hasil yang sama

¡

 

Barisan Geometri

 

merupakan suatu barisan

yang memiliki perbandingan yang sama

antara dua suku-suku yang berdekatan.

¡

 

Nilai perbandingan yang sama itu dinamakan

rasionya yang disimbulkan dengan huruf

 

(r)

 

.

 

¡

 

Misal barisannya :

 

u

₁

,u

₂

,u

₃

,u

₄

,u

₅

,u

₆

,u

₇

,....

 

¡

 

Cara menghitung rasio (

r

) adalah:

�=​​�↓2 /​�↓1   =​​�↓3 /​�↓2   =​​�↓4 /​�↓3   =… =​​�↓� /​�↓�−1  

¡  Adapun rumus suku ke-n nya adalah u_n = arn₋1  

dengan a = suku per tamanya (u₁), r = rasionya, dan u_n = suku ke-n 

¡  Dari rumus suku ke-n nya, dapat disusun barisan geometrinya:

¡

 

1). Dari barisan berikut ini, manakah yang

merupakan barisan Geometri?

 

a). 1, 2, 4, 8, ...

b).

 

1/3, 1, 3, 9, 27, ....

 

c). 1, 2, 6, 8, 16, ....

d). 3, 4, 8, 2, 12, ....

e). 16, 8, 4, 2, 1, ....

 

¡

 

Deret geometri merupakan jumlahan dari

suku-suku pada barisan geometri.

¡

 

Jumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan

untuk beberapa suku berhingga (n suku

pertama).

¡

 

Simbol yang digunakan adalah s

_n

yang artinya

jumlah n suku pertama.

¡

 

Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya

banyak sekali, maka kita akan menggunakan

rumusnya langsung

¡

 

Berikut rumus jumlah

 

n

 

suku pertama deret

geometri.

 

¡

 

Sebenarnya kedua rumus

 

s

_n

 

di atas nilainya sama

saja untuk semua jenis rasionya, sehingga cukup

diingat salah satu saja.

 

¡

 

Secara umum, rumus eksplisit barisan dapat ditulis:

¡

 

Contoh:

BARISAN TAK HINGGA

{ }

a

₁

a

₁

,

a

₂

,

a

₃

,...

n

n

=

∞

¡

 

Deret aritmatika yang penjumlahannya sampai suku ke

tak hingga.

¡

 

Rumus Umum:

¡

 

Contoh: Diketahui suatu deret 1 + 3 + 5 + 7 + …….

§

 

a

= 1,

b

= 2

§

 

Jika n besar maka nilai Sn akan sangat besar.

§

 

Jika

n

_à

∞

maka Sn

à

∞

(bukan merupakan nilai

numerik yang berhingga.

3. DERET ARITMATIKA TAK HINGGA

¡

 

Deret geometri yang penjumlahannya sampai

suku ke tak hingga.

¡

 

Jumlah deretnya mengikuti deret geometri

¡

 

 

Misalkan ada deret u

₁

+u

₂

+u

₃

+u

₄

...

 

yang

dijumlahkan sampai tak hingga yang disimbolkan

dengan

 

s

_∞

. Hasil jumlah tak hingganya (s

_∞

)

tergantung dari nilai rasionya (r).

 

4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA

¡

 

Rumus Umum:

Ø 

Dimana:

§

 

r

= rasio (memilih salah satu suku dan dibagi dengan

suku sebelumnya)

¡

 

Pada penjumlahan deret geometri tak hingga,

ada dua istilah yaitu :

 

§

 

1). Konvergen (deret konvergen)

syaratnya

 ₋

1<r<1,

 

artinya jumlah sampai tak

hingganya memberikan hasil angka tertentu

(hasilnya bukan

 

+

_∞ 

atau

 _−∞

)

§

 

2). Divergen (deret divergen)

syaratnya

 

r<

₋

1

 

atau

 

r>1,

 

artinya jumlah sampai

tak hingganya memberikan hasil

 

+

_∞ 

atau

 _−∞

¡

 

Tentukan hasil penjumlahan dari deret

geometri tak hingga:

 

PENYELESAIAN:

¡

 

Rasio deretnya :

 

�=​​�↓2 /​�↓1  =​4/2 =2

¡

 

Karena nilai rasionya = 2 (r>1), maka deret ini

termasuk divergen dan hasilnya

 

+

_∞ 

¡

 

Jadi, nilai

 

2+4+8+16+...=

_∞ 

¡

 

Tentukan hasil penjumlahan dari deret

geometri tak hingga:

 

PENYELESAIAN:

¡

 

Rasio deretnya :

 

�=​​�↓2 /​�↓1  =​1/2 

¡

 

Karena nilai rasionya =

 

​1/2  (−1<�<1),

maka

deret ini termasuk konvergen

 

¡

 

Hasilnya :

 

¡

 

Tentukan hasil penjumlahan dari deret

geometri tak hingga:

 

PENYELESAIAN:

¡

 

Rasio deretnya :

 

�=​​�↓2 /​�↓1  =​1/2 

¡

 

Karena nilai rasionya =

 

​1/2  (−1<�<1),

maka

deret ini termasuk konvergen

 

¡

 

Hasilnya :

 

¡

 

Carilah jumlah sampai dengan tak berhingga dari

deret berikut ini: 20 + 4 + 0,8 + 0,16 + ………….

¡

 

Jawab:

§

 

a

= 20

§

 

r

= 0,8/4 = 0,2 = 1/5

§

 

S

∞

= 20 / (1 – 0,2) = 25

1.



Diketahui sebuah persegi berukuran 4x4 cm

2

_.

Setiap titik tengah suatu sisi dihubungkan dengan

t i t i k t e n g a h s i s i y a n g b e r d e k a t a n s e h i n g g a

terbentuk persegi baru. Proses ini dilanjutkan

terus.

a.



Apabila proses dilanjutkan 9 kali, berapakah

jumlah semua persegi yang terbentuk?

b.



Apabila proses dilanjutkan tanpa berhenti,

b e r a p a k a h j u m l a h s e m u a p e r s e g i y a n g

terbentuk?

MATEMATIKA II

UJI KONVERGENSI

DERET TAK HINGGA

¡  K O N V E R G E N:

Jika barisan {a_{n} memenuhi persamaan:}

L _{adalah bilangan berhingga.}

UJI KONVERGENSI

{ }

a

L

n n

=

∞

→

lim

DIVERGEN

Ø  SIFAT LIMIT BARISAN

SIFAT LIMIT

§

 

{

a

_n

} dan {

b

_n

} adalah

barisan konvergen.

CONTOH (2)

Contoh 2:

Diketahui sebuah barisan sebagai berikut.

1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …

Ditanyakan: a). Nyatakan barisan tsb dalam rumus eksplisit

b). Ujilah konvergensi dari barisan di atas

Jawab:

a). Rumus eksplisit:

b). Uji konvergensi:

CONTOH (3)

1.



Tentukan konvergensi jumlah deret berikut:

Jawab:

... 81

4

27 4

9 4

3 4

+ +

LATIHAN SOAL

¡  Tu l i s k a n l i m a s u k u p e r t a m a b a r i s a n b e r i k u t , s e r t a t e n t u k a n a p a k a h b a r i s a n t e r s e b u t k o n v e r g e n a t a u divergen.