DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

MATEMATIKA II

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

sugengpb.lecture.ub.ac.id ananda.lecture.ub.ac.id

¡  Barisan merupakan kumpulan suatu bilangan (atau bentuk aljabar) yang disusun sehingga membentuk suku-suku yang dipisahkan dengan tanda koma dan memiliki pola tertentu.

¡  Bentuknya disusun sebagai berikut : 

¡  Keterangan : 

u₁ artinya suku ke-1 (suku pertama)  u₂ artinya suku ke-2 (suku kedua)  dan seterusnya....

BARISAN

u

₁

,u

₂

,u

₃

,u

₄

,u

₅

,u

₆

,u

₇

,....

¡  1). Barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, .... 

Keterangan : 

- suku ke-1 (suku pertama) adalah 1 (u₁=1),  - suku ke-2 (suku kedua) adalah 3 (u₂=3),  - suku ke-3 (suku ketiga) adalah 5 (u₃=5),  - dan seterusnya .... 

2). Barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, .... 

3). Barisan sebarang : 1, 5, 3, -2, 5, 7, ... 

CONTOH BARISAN

BARISAN

ARITMETIKA BARISAN GEOMETRI BARISAN

Rasio “r”

Beda “b”

¡  Barisan Aritmetika merupakan suatu barisan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan.

¡  Nilai selisih yang sama itu dinamakan “bedanya” yang disimbulkan dengan huruf b . 

¡  Misal barisannya : u₁,u₂,u₃,u₄,u₅,u₆,u₇,....  

Cara menghitung bedanya (b) adalah  b=u₂−u₁=u₃−u₂=u₄−u₃=...=u_n−u_n−1 

1. BARISAN ARITMETIKA

¡  Adapun rumus suku ke-n nya adalah u_n=a+(n−1)b  

¡  Dengan: a = suku pertamanya (u₁),  b = bedanya

u_n = suku ke-n

BARISAN ARITMETIKA (2)

¡  1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan aritmetika? 

a). 1, 3, 5, 7, ...

b). 2, 5, 8, 11, 14, .... 

c). 1, 2, 5, 7, 8, ....

d). 3, 5, 6, 2, 12, ....

e). 4, 2, 0, -2, -4, .... 

CONTOH BARISAN ARITMETIKA

Ø  Deret dibentuk oleh jumlah dari suku-suku suatu barisan.

Ø  Contoh:

¡  (a) 1, 3, 5, 7, …… (barisan)

¡  (b) 1 + 3 + 5 + 7 + …… (deret)

Ø  Suku-suku suatu deret sbb:

§  u₁ (suku pertama), u₂ (suku kedua), u₃ (suku ketiga), dst.

§  u_r (suku ke-r), u_r+1 (suku ke-(r+1)), dst.

§  S_n : jumlah dari n suku pertama.

Ø  Deret Aritmetik dan Deret Geometrik ….???

BARISAN DAN DERET

¡  Deret aritmetika merupakan jumlahan dari suku-suku pada barisan aritmetika.

¡  Jumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan untuk beberapa suku berhingga ( n  suku

pertama).

¡  Simbol yang digunakan adalah s

_n

 yang artinya jumlah  n  suku pertama. 

1A.DERET ARITMETIKA

¡  Rumus Umum:

1A.DERET ARITMETIKA

( ) ( ² ) ( ³ ) ^...

1

+ +

+ +

+ +

+

∑ =

∞

=

b a

b a

b a

a a

n

n

Ø  Dimana:

§  a = suku pertama

§  b = beda

§  Suku ke-n : a + (n-1) b

§  Jumlah dari n suku pertama :

​𝑆↓𝑛 =​𝑛/2 (2𝑎+(𝑛−1)𝑏)

¡  Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya

langsung.

DERET ARITMETIKA (2)

¡  Berikut rumus jumlah  n  suku pertama berdasarkan : 

¡  Ketiga rumus s

_n

 di atas memberikan hasil yang sama

DERET ARITMETIKA (3)

CONTOH

¡  Barisan Geometri merupakan suatu barisan yang memiliki perbandingan yang sama

antara dua suku-suku yang berdekatan.

¡  Nilai perbandingan yang sama itu dinamakan rasionya yang disimbulkan dengan huruf  (r)  . 

¡  Misal barisannya : u

₁

,u

₂

,u

₃

,u

₄

,u

₅

,u

₆

,u

₇

,.... 

¡  Cara menghitung rasio ( r) adalah:

𝑟=​​𝑢↓2 /​𝑢↓1   =​​𝑢↓3 /​𝑢↓2   =​​𝑢↓4 /​𝑢↓3   =… =​​𝑢↓𝑛 /​𝑢↓𝑛−1  

2. BARISAN GEOMETRI

¡  Adapun rumus suku ke-n nya adalah u_n = arⁿ⁻¹  

dengan a = suku pertamanya (u₁), r = rasionya, dan u_n = suku ke-n 

¡  Dari rumus suku ke-n nya, dapat disusun barisan geometrinya:

2. BARISAN GEOMETRI

¡  1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan Geometri? 

a). 1, 2, 4, 8, ...

b). 1/3, 1, 3, 9, 27, .... 

c). 1, 2, 6, 8, 16, ....

d). 3, 4, 8, 2, 12, ....

e). 16, 8, 4, 2, 1, .... 

CONTOH

¡  Deret geometri merupakan jumlahan dari suku-suku pada barisan geometri.

¡  Jumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan untuk beberapa suku berhingga (n suku

pertama).

¡  Simbol yang digunakan adalah s

_n

yang artinya jumlah n suku pertama.

DERET GEOMETRI

¡  Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya langsung

DERET GEOMETRI

¡  Berikut rumus jumlah n suku pertama deret geometri. 

¡  Sebenarnya kedua rumus s

_n

 di atas nilainya sama saja untuk semua jenis rasionya, sehingga cukup diingat salah satu saja. 

DERET GEOMETRI

CONTOH

¡  Secara umum, rumus eksplisit barisan dapat ditulis:

¡  Contoh:

BARISAN TAK HINGGA

{ } a

_n ^∞_n=1

= a

1

^, a

2

^, a

3

^,...

¡  Deret aritmatika yang penjumlahannya sampai suku ke tak hingga.

¡  Rumus Umum:

¡  Contoh: Diketahui suatu deret 1 + 3 + 5 + 7 + …….

§  a = 1, b = 2

§  Jika n besar maka nilai Sn akan sangat besar.

§  Jika n à

^∞

maka Sn à

^∞

(bukan merupakan nilai numerik yang berhingga.

3. DERET ARITMATIKA TAK HINGGA

( ) ( ² ) ( ³ ) ^...

1

+ +

+ +

+ +

+

∑

^∞

=

=

b a

b a

b a a

a

n

n

( )

[ ^{2 1 .} ] ₂ [ ^{2 2 2} ]

²

2 n n n

b n

n a

S

_n

= + − = + − =

¡ Deret geometri yang penjumlahannya sampai suku ke tak hingga.

¡ Jumlah deretnya mengikuti deret geometri

¡  Misalkan ada deret u

₁

+u

₂

+u

₃

+u

₄

... yang

dijumlahkan sampai tak hingga yang disimbolkan dengan s

_∞

. Hasil jumlah tak hingganya (s

_∞

)

tergantung dari nilai rasionya (r). 

4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA

4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA

¡  Rumus Umum:

Ø  Dimana:

§  r = rasio (memilih salah satu suku dan dibagi dengan suku sebelumnya)

§  Jumlah dari n suku pertama :

...

3 2

1

+ +

+ +

∑ =

=

ar ar

ar a

a

n

n

n

n

1

ke

Suku = ar

ⁿ⁻

( )

r r S a

n

n

−

= −

1

1

4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA

¡  Rumus Umum:

...

3 2

1

+ +

+ +

∑ =

∞

=

ar ar

ar a

a

n

n

( ) ( )

( )

1 1 ,

1 ,

0 1 1

1 1

1 1 1

1

...

lim

lim lim

3 2

⎟ <

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

<

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

−

= −

+ +

+ +

=

∞

→

∞

→

∞

→

∞

r r jika

a

r r jika

a r r a

r r a r

r a

ar ar

ar a

S

n n

n n

n

n

divergen maka

1 b).Jika

konvergen maka

1 Jika

a).

>

<

r r

¡  Pada penjumlahan deret geometri tak hingga, ada dua istilah yaitu : 

§  1). Konvergen (deret konvergen)

syaratnya −1<r<1, artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil angka tertentu (hasilnya bukan +∞ atau −∞)

§  2). Divergen (deret divergen)

syaratnya r<−1 atau r>1, artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil +∞ atau −∞

KONVERGEN DAN DIVERGEN

¡  Tentukan hasil penjumlahan dari deret geometri tak hingga: 

PENYELESAIAN:

¡  Rasio deretnya : 

𝑟=​​𝑢↓2 /​𝑢↓1  =​4/2 =2

¡  Karena nilai rasionya = 2 (r>1), maka deret ini termasuk divergen dan hasilnya +∞ 

¡  Jadi, nilai 2+4+8+16+...=∞ 

CONTOH (1)

¡  Tentukan hasil penjumlahan dari deret geometri tak hingga: 

PENYELESAIAN:

¡  Rasio deretnya : 

𝑟=​​𝑢↓2 /​𝑢↓1  =​1/2 

¡  Karena nilai rasionya = 

​1/2  (−1<𝑟<1),

maka deret ini termasuk konvergen 

¡  Hasilnya : 

CONTOH (2)

¡  Tentukan hasil penjumlahan dari deret geometri tak hingga: 

PENYELESAIAN:

¡  Rasio deretnya : 

𝑟=​​𝑢↓2 /​𝑢↓1  =​1/2 

¡  Karena nilai rasionya = 

​1/2  (−1<𝑟<1),

maka deret ini termasuk konvergen 

¡  Hasilnya : 

CONTOH (3)

¡  Carilah jumlah sampai dengan tak berhingga dari deret berikut ini: 20 + 4 + 0,8 + 0,16 + ………….

¡  Jawab:

§  a = 20

§  r = 0,8/4 = 0,2 = 1/5

§  S

^∞

= 20 / (1 – 0,2) = 25

CONTOH (2)

1.  Diketahui sebuah persegi berukuran 4x4 cm

²

. Setiap titik tengah suatu sisi dihubungkan dengan t i t i k te n g a h s i s i ya n g b e r d e k a t a n s e h i n g g a terbentuk persegi baru. Proses ini dilanjutkan terus.

a.  Apabila proses dilanjutkan 9 kali, berapakah jumlah semua persegi yang terbentuk?

b.  Apabila proses dilanjutkan tanpa berhenti, b e r a p a k a h j u m l a h s e m u a p e r s e g i ya n g terbentuk?

TUGAS KELOMPOK

MATEMATIKA II

UJI KONVERGENSI DERET TAK HINGGA

sugengpb.lecture.ub.ac.id ananda.lecture.ub.ac.id

¡  KONVERGEN:

Jika barisan {a_n} memenuhi persamaan: L adalah bilangan berhingga.

UJI KONVERGENSI

{ } ^a

n

^L

n

=

∞

lim

→

DIVERGEN

Jika TIDAK

Ø  SIFAT LIMIT BARISAN

SIFAT LIMIT

§  {a

_n

} dan {b

_n

} adalah barisan konvergen.

§  K adalah konstanta.

CONTOH (1)

¡  Contoh 1: Cari

¡  Jawab:

¡  Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat terbesar dari n , maka:

( ) ( )

5 . 0 0

2 1 3

2 1

3 2

3 2

lim lim lim

+ = + =

=

= + +

∞

→

∞

→

∞

→

n

n n

n n n n

n

n n n

3

lim 2 ₊

∞

→

n

n

n

CONTOH (2)

Contoh 2: Diketahui sebuah barisan sebagai berikut.

1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …

Ditanyakan: a). Nyatakan barisan tsb dalam rumus eksplisit b). Ujilah konvergensi dari barisan di atas

Jawab:

a). Rumus eksplisit:

b). Uji konvergensi:

+ 1

= n a

_n

n

{ }

¹

0 1

1 1

1

lim lim

lim

lim

⁼ ₊ ⁼ ₊ ⁼ ₊ ⁼

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→ n n n n

n n n n

n n n

a n

Karena hasilnya merupakan bilangan berhingga, maka {a

_n

}

konvergen menuju 1.

CONTOH (3)

1.  Tentukan konvergensi jumlah deret berikut:

Jawab:

...

81 4 27

4 9

4 3

4 + + + +

LATIHAN SOAL

¡  Tuliskan lima suku per tama barisan berikut, ser ta te n t u ka n a p a ka h b a r i s a n te r s e b u t ko nve r g e n a t a u divergen.

¡  Carilah rumus eksplisit a_n untuk setiap barisan dan te n t u ka n a p a ka h b a r i s a n te r s e b u t ko nve r g e n a t a u divergen.

CONTOH KASUS