Sumber 1
Barisan aritmatika dan deret aritmatika sangat berhubungan, di mana jika suku-suku pada barisannya dijumlahkan, akan membentuk deret.
Ciri umum barisan aritmatika adalah selisih dari setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama, yang biasa disebut dengan beda atau ‘b’.
Sebagai contoh, 3, 6, 9, 12, … , merupakan barisan aritmatika, karena selisih dari setiap suku yang berurutan selalu sama, yaitu 6 – 3 = 9 – 6 = 12 – 9 = 3. 3 ini lah yang disebut dengan selisih atau beda (b).
Untuk mencari suku ke-n dari barisan tersebut, dapat digunakan rumus:
= a + (n – 1)b, dengan a merupakan suku pertama atau suku awal, b merupakan beda atau selisih setiap suku yang berurutan, sedangkan n merupakan nilai suku yang ke berapa yang akan kita hitung.
Contoh Soal: Tentukan suku ke 11 dari barisan berikut: 11, 18, 25, 32, … Jawaban:
Perhatikan bahwa 18 – 11 = 25 – 18 = 7, sehingga barisan tersebut merupakan barisan aritmatika, sehingga:
= 11 + (15 – 1).7 = 11 + 98 = 109 Deret Aritmatika
Pada deret aritmatika, kita akan menghitung jumlah setiap suku pada barisan tersebut.
Sebagai contoh, 9 + 15 + 21 + 27 + … merupakan deret aritmatika, karena selisih dari setiap suku yang berurutan selalu sama, yaitu 15 – 9 = 21 – 15 = 6, dan merupakan bentuk
penjumlahan.
Untuk mencari jumlah suku-sukunya hingga suku ke-n, dapat kita gunakan rumus:
Dengan merupakan jumlah suku-suku hingga suku ke n, merupakan suku dengan urutan ke-n, a suku awal, dan b beda atau selisih barisan tersebut.
Contoh Soal: Tentukanlah jumlah dari 17 + 30 + 43 + … + 329. Jawaban:
Akan tetapi, nilai n belum kita ketahui, sehingga harus kita hitung terlebih dahulu dengan menggunakan seperti pada barisan aritmatika.
Dengan demikian, = 17 + (n – 1).13 = 329. 17 + 13n – 13 = 329
13n = 329 – 4 = 325
Maka
Selain barisan dan deret aritmatika di atas, ada juga barisan dan deret geometri di mana rasio dari setiap suku-sukunya yang berurutan selalu sama.
Sumber2
A. BARISAN ARITMATIKA
U1, U2, U3, ...Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ... , a+(n-1)b U1, U2, U3 ..., Un
Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) Fungsi linier dalam n
B. DERET ARITMATIKA
a + (a+b) + (a+2b) + . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika. a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un) = 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n Fungsi kuadrat (dalam n)
Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn") 2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn" 4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst. 5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt Ut = Sn / n
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b
Sumber 3
BARISAN ARITMATIKA
Pertama kita mulai dari barisan, barisan bilangan adalah urutan dari bilangan yang dibuat berdasarkan aturan tertentu. Sedangkan untuk barisan aritmatika adalah sebuah barisan bilangan dimana setiap pasangan suku-suku yang berurutan memiliki selisih yang sama. contoh : 6,9,12,15,…
Selisih bilangan pada barisan aritmatika disebut beda yang biasa disimbolkan dengan huruf b, untuk contoh diatas memiliki nilai beda 3. Dan bilangan yang menyusun suatu barisan disebut suku, dimana suku ke n dari suatu barisan disimbolkan dengan Un sehingga untuk
suku ke 5 dari suatu barisan biasa disebut dengan U5. Khusus untuk suku pertama dari suatu
barisan biasa disimbolkan dengan huruf a.
Jadi bentuk umum untuk suatu barisan aritmatika yaitu U1,U2,U3, … ,Un-1 atau a, a+b, a+2b, … , a+(n-1)b
Menentukan Rumus Suku ke-n suatu barisan
Pasangan suku-suku berurutan dari suatu barisan aritmatika mempunyai beda yang sama, maka
U2 = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
Berdasarkan pola tersebut, dapatkah sobat menentukan suku ke-7, suku ke-26 hingga suku ke-90? Dengan menggunakan pola diatas kita dapat mengetahui dengan mudah suku-suku tersebut.
U7 = a + 6b
U26 = a + 25b
U90 = a + 89b
Un = a + (n – 1)b, untuk n bilangan asli
DERET ARITMATIKA
Yang dimaksud dengan deret aritmatika adalah penjumlahan dari semua anggota barisan aritmatika secara berurutan. Contoh dari deret aritmatika yaitu 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + … Misalnya kita ambil n suku pertama, jika kita ingin menentukan hasil dari deret aritmatika sebagai contoh untuk 5 suku pertama dari contoh deret diatas. Bagaimana caranya?
7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 65
Nah untuk 5 suku pertama, masih mungkin kita menghitung manual seperti diatas. Seandainya kita akan menentukan jumlah dari 100 suku pertama, apakah masih mungkin kita menghitung manual seperti itu. Walaupun bisa tetapi pastinya akan memakan waktu yang cukup lama. Nah kali ini akan kita tunjukkan cara menentukannya, sebagai contohnya untuk mennetukan jumlah 5 suku pertama dari contoh diatas.
Misalkan S5=7 + 10 + 13 + 16 + 19, sehingga
Walaupun dengan cara yang berbeda tetapi menunjukkan hasil yang sama yaitu 65. Perhatikan bahwa S5 tersebut dapat dicari dengan mengalikan hasil penjumlahan suku
pertama dan suku ke-5, dengan banyaknya suku pada barisan, kemudian dibagi dengan 2. Analogi dengan hasil ini, jumlah n suku pertama dari suatu barisan dapat dicari dengan rumus berikut:
Sn = (a + Un) × n : 2
Dikarenakan Un = a + (n – 1)b, sehingga rumus di atas menjadi
Sn = (2a + (n – 1)b) × n : 2
SISIPAN DAN DERET ARITMATIKA
Sisipan pada deret aritmatika yaitu menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmatika sehingga diperoleh deret aritmatika yang baru. Sebagai contoh :
Setelah disisipi = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 +……
Untuk beda dari deret baru ini biasanya dinyatakan dengan b1, dapat ditentukan dengan rumus berikut :
b1 = b/(k+1)
b1 = beda deret baru b = beda deret mula-mula
k = banyak bilangan yang disisipkan
Sumber 4
BARISAN DAN DERET (ARITMATIKA dan GEOMETRI) A. Barisan aritmatika
U1, U2, U3, ...Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ... , a+(n-1)b U1, U2, U3 ..., Un
Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n B. Deret aritmatika
a + (a+b) + (a+2b) + . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika. a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un) = 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n) Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn") 2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn" 4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
6. Jika 3 bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan, misal bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b
C. Barisan Geometri
U1, U2, U3, ..., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r) Rasio r = Un / Un-1
Suku ke-n barisan geometri a, ar, ar² , ...arn-1
U1, U2, U3,...,Un
Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n) D. Deret Geometri
a + ar² + ... + arn-1 disebut deret geometri a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku Jumlah n suku
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n) Keterangan:
a. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap b. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku Un > Un-1
c. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0 d. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
e. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah _______ __________
Ut = Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst.
f. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
Sumber 5
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret.. Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan, setiap suku diberi nama sesuai dengan nomor urutnya.
Secara umum barisan bilangan dapat ditulis:
U1, U2, U3, ………, Un. dengan Un sering disebut f(n) yang menyatakan suku ke-n, .
Sedangkan untuk deret bilangan dapat di tulis :
U1 + U2 + U3 + ……+ Un.
A. BARISAN ARITMETIKA
Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b, sedangkan suku yang pertama (U1) dilambangkan dengan a.
Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b, dengan b = Un – Un – 1
Contoh Soal :
Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …
a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!
b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?
Jawab :
a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.
Un = a + (n – 1)b
U10 = 3 + (10 – 1)5
= 3 + 9 x 5
= 3 + 45
= 48
= 3 + (n – 1)5
= 3 + 5n – 5
= 5n – 2
b. Misalkan Un = 198, maka berlaku :
Un = 198
5n – 2 = 198
5n = 200
n = 40
Jadi 198 adalah suku ke- 40
B. DERET ARITMETIKA
Deret aritmetika disebut juga deret hitung.
Apabila suku-suku di dalam barisan aritmetika dijumlahkan, maka didapat deret aritmetika. Jadi, bentuk baku deret aritmetika adalah a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + ... +
(a + (n – 1)b).
Jika jumlah n suku deret aritmetika dinyatakan dengan Sn. Maka didapat rumus :
karena Un = a + (n – 1)b maka Sn didapat rumus Sn :
Contoh soal :
Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika 3 + 5 + 7 + …..
Jawab :
A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka :
S20 = 10( 6 + 19.2)
= 10 ( 6 + 38)
= 440
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut! b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?
Jawab :
a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.
Jadi 198 adalah suku ke- 40
2. Diketahui U1 = a = 3 , U5 = 19 , Un = 31
b = 16/4 b = 4
b. Gunakan rumus Un = a + (n - 1)b = 31 (diketahui Un = 31) : Un = 31
a + (n - 1)b = 31 3 + (n - 1)4 = 31 3 + 4n - 4 = 31 4n - 1 = 31 4n = 31 + 1 n = 32/4 n = 8
c. suku ke-20 , dik: a = 3 , b = 4 : Un = a + (n - 1) b
U20 = 3 + (20 - 1) 4 U20 = 3 + 80 - 4 U20 = 80 - 1 U20 = 79
d. Jika Un = 51 : Un = 51
