SOLUSI POSITIF DARI PERSAMAAN LEONTIEF DISKRIT

(1)

Vol. No. Hal. 103 – 108 ISSN : 2303–2910

c

Jurusan Matematika FMIPA UNAND

SOLUSI POSITIF DARI PERSAMAAN LEONTIEF

DISKRIT

RASITA ANAS

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

[email protected]

Abstrak._{Pada tulisan ini akan diuraikan tentang bagaimanakah solusi dari persamaan}

Leontief diskrit dengan menggunakan invers Drazin dan sistem singular diskrit. UntukC

singular sistemCxn+1= (I−L+C)xn−dn, tidak mempunyai solusi. Hal ini disebabkan adanya kondisi awal yang tidak dapat memberikan solusi untuk sistem. Kondisi awal yang dapat memberikan solusi untuk sistem disebut sebagai kondisi awal yang konsisten [4]. Perlu diperhatikan bahwa solusixn untuk sistem mungkin positif atau mungkin saja non positif. Solusixn dikatakan positif jikaxin >0 untuk setiap i= 1,2,· · ·, ndan

dikatakan non positif jikaxin ≤0 untuk setiap i = 1,2,· · ·, n. Jika solusi xn untuk

sistem adalah positif makaxndikatakan solusi positif dari persamaan Leontief. Dengan Teorema yang diberikan, diperoleh syarat cukup untuk kepositifan dari solusi persamaan Leontief diskrit.

Kata Kunci: Invers Drazin, persamaan Leontief, sistem singular diskrit

1. Pendahuluan

Diberikan suatu sistem persamaan beda linier (linear difference equation) sebagai berikut:

Cxn+1= (I−L+C)xn−dn, n∈Z+,

di manaI ∈Rr×r _{adalah matriks identitas,} _{C, L}_∈_Rr×r _dan_d

n,xn ∈Rr. Sistem

di atas dapat ditulis sebagai:

Cxn+1=Exn−dn, n∈Z+ (1.1)

di mana E = (I−L+C). Notasi Rr×r _{menyatakan himpunan matriks-matriks}

riil berukuran r×r, Rr×r

+ menyatakan himpunan matrik-matriks riil berukuran

r×ryang entri-entrinya non negatif,Rr×r

− menyatakan himpunan matrik-matriks

riil berukuran r×r yang entri-entrinya non positif, Rr×r₊₊ _{menyatakan himpunan} matriks-matriks riil berukuran r×r di mana entri-entrinya adalah bilangan riil positif,Rr _{menyatakan himpunan vektor berdimensi}_r_,_Z

+ menyatakan himpunan bilangan bulat non negatif, dan C_{menyatakan himpunan bilangan kompleks.}

Jika matriksL= [lij] memenuhi:

0≤lij≤1, 1≤i, j≤r,

Σr

i=1lij≤1, 1≤j≤r.

(2)

Maka persamaan (1.1) disebut sebagai persamaan Leontief.

JikaC adalah matriks non singular, maka solusi dari sistem (1.1) adalah :

xn =C −1

[(I−L+C)nx0+

n−1

X

i=0

(I−L+C)n−i−1_d

i], (1.2)

untuk suatu vektorv∈R_.

UntukC singular, sistem (1.1) mungkin tidak mempunyai solusi. Hal ini dise-babkan adanya kondisi awal yang tidak dapat memberikan solusi untuk sistem (1.1). Kondisi awal yang dapat memberikan solusi untuk sistem (1.1) disebut sebagai kon-disi awal yang konsisten.

Perlu diperhatikan bahwa solusi xn untuk sistem (1.1) mungkin positif atau

mungkin saja non positif. Solusi xn dikatakan positif jika xin > 0 untuk setiap

i= 1,2,· · ·, ndan dikatakan negatif jikaxin<0 untuk setiapi= 1,2,· · · , n. Jika

solusi xn untuk sistem (1.1) adalah positif maka xn dikatakan solusi positif dari

persamaan Leontief.

2. Solusi Positif dari Persamaan Leontief Diskrit

Asumsikan bahwa matriks C adalah singular dan det(λC −E) 6= 0 untuk suatu

λ∈C_{, maka ada}λ∈C_{sedemikian sehingga (}λC−E)−1 _{ada. Dengan mengalikan} sistem (1.1) dengan (λC−E)−1_{, maka}

(λC−E)−1

Cxn+1 = (λC−E)

−1

Exn−(λC−E)−1dn

b

Cxn+1 =Ebxn−dbn (2.1)

dengan Cb= (λC−E)−1

C, Eb= (λC−E)−1

E,bdn = (λC−E)−1dn.

Untukλ= 1, pada sistem

Cxn+1= (I−L+C)xn

berlakuλC−(C+I−L) = (λ−1)C+L−1 = (L−I). Karena (I−l)−1 _{ada maka} (λC−(C+I−L))−1

ada. Selanjutnya, misalkan

b

C= (λC−E)−1

C

= (λC−(C+I−L))−1

C

= (−I+L)−1

C

=−(I−L)−1

C (2.2)

b

E= (λC−E)−1

E

= (λC−(C+I−L))−1

(C+I−L) =−(I−L)−1

(I−L+C) =−I−(I−L)−1

C

(3)

Solusi umum dari (2.1) diberikan oleh:

xn = (CbD(Cb−I))nCbCbDx0−CbD n−_X1

j=0

(CbD(Cb−I))n−j−1

(I−L)−1 dj

+ (I−CbCbD₎ k−1

X

i=0

(Cb(Cb−I)D₎i₍_C_b₋_I₎D₍_I₋_L₎−1

dn+i, n≥1 (2.3)

xn pada persamaan (2.3) adalah solusi dari persamaan (2.1).

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa xn tak negatif, untuk n = 1,2,· · ·, N.

Teorema berikut merupakan syarat cukup untuk kepositifan dari solusi persamaan Leontief diskrit.

Teorema 2.1. [3]Misalkan terdapat matriksC, L, I ∈Rr×r _{sedemikian sehingga}

(i) Semua elemen diagonal dariCb tidak nol dan tidak sama dengan satu. (ii) Semua elemen diagonal dariCbD _{adalah tidak nol.}

(iii) Cb0,CbD₀_dan_Eb₀_. (iv) bd_i0_danx₀0_.

Misalkan juga

x_n₌_L_n₍x_{0) +}z_k₍_n₎_, _(2.4)

di mana

Ln(x0) = (CbDEb)nCbCbDx0+CbD

n_X−1

i=0

(CbDEb)n−i−1_b_d

i (2.5)

dan

z_k₍_n_{) =}₋₍_I₋_Cb_CbD₎

k−1

X

i=0

(CbEbD)i_b

EDbd_n₊_i_.

Makax_n_>0_untuk₁_≤_n_≤_N _{dan vektor}x₀ _memenuhi

x0

(I−CbCbD₎Pk−1

i=0(CbEb

D₎i₍_E_bD₎₍_b_d n+i) +

Pn−1

i=0[(Cb

D_)min]n−i_[(_E_b_)min]n−i−1

rn−i+1_b_d

i

(dmax(CbD₎₎n+1₍_d_max(_Eb₎₎n_d_max(_Cb₎ .

Bukti. xn>0jika dan hanya jika Ln(x0) +zk(n)0, yaitu

(CbD_E_b₎n_C_b_C_bD_x0₋_A_bD n−1

X

i=0

(CbD_E_b₎n−i−1_b

di−zk(n). (2.6)

Dari [3], diperoleh bahwaCb0danCbD_{0, sehingga}

b

CCbDdmax(Cb)dmax(CbD)I. (2.7)

Selain itu karenax00, maka diperoleh

b

CCbDx0dmax(Cb)dmax(CbD)x0. (2.8)

Dari [3] diperoleh bahwa Cb0danEb0, sehingga

(CbD_E_b₎n₍_d_max(_C_bD₎₎n₍_d

(4)

Dari (2.8) dan (2.9) diperoleh

Dari (2.10) dan (2.15) maka disimpulkan bahwa (2.6) memenuhi

(dmax(CbD))n+1

Contoh.Misalkan diberikan suatu sistem

(5)

Akan ditentukan vektorx0, sedemikian sehingga sistem tersebut adalah positif.

Untukn= 1, diperoleh

(6)

Misalkanx0=

 

36861 40116 42891



. Maka solusi untukxn dengan n= 1,2,3,4 adalah

x1

 

38455 41390 43739

 , x2=

 

39594 42615 45034

 , x3=

 

40766 43877 46367

 , x4=

 

39189 42181 44574

 .

3. Kesimpulan

Solusixn dari sistem persamaan Leontief diskrit

Cxn+1=Exn−dn, n∈Z+

adalah positif jika nilai x0memenuhi,

x0 (I−CbCb

D₎Pk−1

i=0(CbEb

D₎i₍_EbD₎₍b_d

n+i) +P n−1

i=0[(Cb

D_)min]n−i_[(_Eb_)min]n−i−1

rn−i+1_db

i

(dmax(CbD₎₎n+1₍_d_max(_Eb₎₎n_d_max(_Cb₎ ,

asalkan

(i) Semua elemen diagonal dariCb tidak nol dan tidak sama dengan satu. (ii) Semua elemen diagonal dariCbD _{adalah tidak nol.}

(iii) Cb0,CbD₀_dan_E_b₀_.

(iv) dbi0danx00.

4. Ucapan Terima kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Muhafzan, Bapak Zulakmal, M.Si, Bapak Drs. Syafruddin M.Si dan Bapak Narwen, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik.

Daftar Pustaka

[1] Anton, H. dan C. Rorres. 1991. Aljabar Linier Elementer Edisi 8. Jilid 1. Er-langga. Jakarta.

[2] Campbell, S.L. 1979. Generalized Inverses of Linear Transformations. Dover. New York.

[3] Jodar, L dan Merello, P. 2010. Positive Solution of Discrete Dynamic Leontief Input-Output Model with Possibly Singular Capital Matrix.Mathematical and Computer Modelling.52: 1081 – 1087.

[4] Kaczorek, T. 1992. Linear Control Systems Volume 1. Research Studies Press LTD, England.