PEMODELAN DINAMIKA PROSES ORDER SATU

(1)

DI NPRO / I I I / 1 Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY

PEMODELAN & DINAMIKA

PROSES ORDER SATU

• Tujuan: Mhs mampu menjelaskan respon dinamik sistem order satu terhadap berbagai perubahan input (misalnya: step, ramp, sinus).

• Materi:

1. Respon Sistem Order Satu (respon-respon: step, ramp, sinus, dead-time, lead-lag)

2. Fungsi Transfer dan Diagram Blok (Penyederhanaan diagram blok)

3. Dinamika Proses Order Satu (proses termal pada tangki, dinamika volume (liquid level), proses tangki pencampur, dll.)

III

DI NPRO / I I I / 2 Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY

3.1. Respon Sistem Order Satu

PertimbangkanPD order satu linearberikut:

( )

t

bX

t

Y

a

dt

t

dY

a

₁

+

₀

=

( )

c

t

bx

t

y

a

dt

t

dy

a

₁

+

₀

=

+

( )

c

bx

y

a

dt

dy

a

₁

0

+

₀

0

=

0

+

… (3.1.1)

Pada kondisi tunak (initial steady state):

… (3.1.2)

=0 Pers. (3.1.1) – Pers. (1.1.2):

… (3.1.3)

3.1 Respon Sist em Or der Sat u

dimana: Y(t) = y(t) –y(0) danX(t) = x(t) –x(0) adalah term deviasi

0 1

a a

=

τ

( ) ( )

s

Y

s

KX

( )

s

sY

+

=

τ

Pers (3.1.3) dibagi dengana₀menghasilkan:

dimana:

( ) ( )

Y

t

K

X

( )

t

dt

t

dY

+

=

τ

0

a b K=

… (3.1.4)

adalah konstanta waktu (time constant) adalah Gain kondisi tunak (steady state gain) Transformasi Laplace Pers (3.1.4) :

… (3.1.5)

( )

X

( )

s

K

s

Y

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

1

(2)

Step Response

3.1. Respon Sist em Or der Satu

Jika X(t) = ∆x u(t) ; dari Tabel 2.2.1 diperoleh X(s) = ∆x/s, dan disubstitusikan ke pers. (3.1.6) lalu diekspansi parsial menghasilkan:

( )

[

( )

tτ

]

e

t

u

x

K

t

Y

=

∆

−

( )

s

x

K

s

x

K

s

x

s

K

s

Y

+

∆

+

∆

−

=

∆

+

=

τ

1

Kebalikan Laplace berdasarkan Tabel 2.2.1 menghasilkan:

… (3.1.7)

dimana: u(t) adalahunity (=1)

∆x adalah besarnya perubahan input (magnitude)

1.000 ∞

… …

0.993 5.0

0.982 4.0

0.950 3.0

0.865 2.0

0.632 1.0

0 0

τ

t

x K

t Y

∆

) (

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

x K

t Y

∆

) (

τ

t

Gambar 3.1.1 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsi tahap

Ramp Response

(

s

)

s Kr Kr s A

s + =

=

→ 2

2

0 2

1 lim

τ

Rampadalah kenaikan input secara linear dengan waktu mulai dari nol. Fungsi input: X(t) = rt, dimana r adalah slope dariRamp. Dari Tabel 2.2.1 diperoleh bentuk laplaceX(s) = r/s2_{, disubstisusikan ke pers. (3.1.6)}

lalu dengan ekspansi parsial menghasilkan:

(

τ

)

τ

τ _s _s Kr

Kr s

A

s ⎟⎠ + =

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

−

→₁ 2

1

1 1 lim

( )

s A s A s

A s

r s

K s

Y 3

2 2 1

2 ₁

1 = + + +

+ =

τ τ

A₁dicari dengan pers. (2.3.9) danA₂, A₃berdasarkan per. (2.3.13)

(

τs

)

s Krτ Kr

s ds

d A

s ⎥_⎦=−

⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ =

→ 2

2 0 3

(3)

Jadi diperolehramp response:

… (3.1.8)

( )

t Kr e

(

Krt Kr

) ( )

ut Kr e Kr

( ) ( )

t ut

Y =

τ

−tτ+ −

τ

=

τ

−tτ+ −

τ

0 1 2 3 4 5 6 7 8

) (t X

K t Y()

Gambar 3.1.2 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsiramp

τ _terlambatOutput

(lag) setelah waktuτ

Sinusoidal Response

(

)(

)

(

2 2

)

2

1 2 1

lim

ω τ

τω ω

τ ω

ω ₊

− − = + + =

→

i KA i s s

KA A

i s

Pertimbangkan X(t) = A sin(ωt), dimana A adalah amplitude dan

ω adalah frekuensi (radian/waktu). Dari Tabel 2.2.1 diperoleh bentuk laplace X(s) = Aω/(s2₊ω2_{), disubstisusikan ke pers. (3.1.6) lalu dengan}

ekspansi parsial menghasilkan:

(

)

(

2 2

)

2 2 1

1

1 1

1 lim

ω τ

ω ω

τ ω τ

τ ⎟_⎠ ₊ ₊ = ₊

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

− →

KA

s s

KA s

A

s

( )

ω ω

τ ω

ω

τ s i

A i s

A s

K s Y

+ + − + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

+

= 1 2 3

2

2 ₁

1

Ingat (s2₊ω2₎₌₍_s_–_iω_{) (}_s₊_iω_{), dan}_A

1, A2, A3dicari dengan pers. (2.3.9)

(

)(

)

(

2 2

)

3

1 2 1

lim

ω τ

τω ω

τ ω

ω ₊

+ − = − + =

− →

i KA i s s

KA A

i s

Dengan pers. (2.4.11) diperolehsinusoidal response:

… (3.1.9)

( )

(

ω

θ

)

ω

τ

ω

τ

ωτ

τ ₊

+ + +

= −

t KA

e KA t

Y t sin

1

1 2 2 2 2

dimana: θ = arctan(–ωτ)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0 5 10 15 20 25

) (t X

) (t Y

(4)

Response with Time Delay

( )

(

)

(

( )/τ

)

1 t tD

D e

t t u x K t

Y = ∆ − − − −

Pertimbangkan Proses denganFirst Order Plus Dead-Timeberikut:

Jika dikenai perubahan step inputmenghasilkan respon:

( )

X

( )

s

s Ke s Y

D

st

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+

= −

1

τ

Dimanat_Dadalahtime delayataudead time

… (3.1.10)

… (3.1.11)

Dimanau(t–t_D) menunjukkan bahwa responnya nol untuk t < t_D

FOPDT

Gambar 3.1.4 Respon sistem order satu dengantime delay

terhadap perubahan input fungsi tahap

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8t

K∆x

0

∆x

t = 0 t = t D

t

D

X(t)

Y(t)

Time delayataudead-time

0

( ) (

)

( )

[

(

)

]

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

+ − +

+ +

−

= − − _ω _θ

ω τ ω

τ

ωτ τ

D t

t

D t t

KA e

KA t t u t

Y D _sin

1

1 2 2

/ 2 2

Respon FOPDT terhadapRamp Input

( ) (

₌ ₋

)

[

τ

−(− )τ ₊

(

₋ ₋

τ

)

]

D t

t

D Kr e Kr t t

t t u t

Y D /

… (3.1.12)

… (3.1.13) Respon FOPDT terhadapSinusoidal Input

TUGAS 02

Buat grafik respon untuk pers. (3.1.12) dan pers. (3.1.13) !

(5)

Respon Untuk Unit Lead-Lag

Pertimbangkan FT Lead-Lagberikut:

( )

X

( )

s

Y

ld

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

1

τ

Dimana:

τ

ldadalah konstanta waktu untuknumerator(lead)

τ

lgadalah konstanta waktu untukdenominator(lag)

Lead-Lag diaplikasikan untuk kompensasi dinamik FFC (Feed Forward Control) Ædibahas pada pertemuan y.a.d.

… (3.1.14)

Lead-Lag Unit

( ) ( )

τ

/

1 t

ld _e

t u t

Y _⎟⎟ −

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− + =

0 0.5 1 1.5 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

t

Y(

t)

Gambar 3.1.5 ResponLead-Lag Unitterhadap perubahan input fungsi tahap

… (3.1.15) ResponLead-Lag Unitterhadapstep input

2

=

τ

ld

1

0.5

0

( )

t =

(

τ

−

τ

)

e− τ +t+

τ

−

τ

Y _ld t/

ResponLead-Lag Unitterhadapramp input

… (3.1.16)

Gambar 3.1.6 ResponLead-Lag Unitterhadap perubahan input fungsiramp

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t

Y

(t) _X(t)

(a)

(b)

(τ_ld− τ_lg)

(τ_lg− τ_ld)

(6)

3.2 Fungsi Transfer dan

Diagram Blok

Fungsi Transfer

( )

) 1 (

1 1

1

1 1

1

+ + + +

=

= ₋

−

− −

−

s b s

b s b

e s a s

a s a K s X

s Y s G

n n n n

s t m

m m

m D

L L

… (3.2.1)

Dimana: n ≥m

G(s) = fungsi transfer (secara umum)

Y(s) = transformasi laplace variabel output

X(s) = transformasi laplace variabel input

K, a, b= konstanta t_D= deadtime

Diagram Blok

3.2 Fungsi Tr ansfer & Diagr am Blok

Diagram blok dibentuk oleh kombinasi 4 elemen dasar:

1. panah (arrow): informasi arah, yang menggambarkan variabel proses atau sinyal kontrol

2. titik penjumlahan(summing point) : penjumlahan aljabar input panah 3. titik percabangan(branch point) : posisi dimana panah bercabang menuju

ke titik penjumlahan atau blok yang lain

4. blok(block) : operasi matematis dalam fungsi transfer

E(s)

R(s) M(s)

C(s)

GC(s)

M(s)

+ − Summing point Block

Branch point Arrow Arrow

M(s) = G_c(s).E(s) = G_c(s).{R(s) –C(s)}

G(s)

X(s) Y(s)

Satu-Input-Satu-Output (SISO)

Diagram Blok Sederhana

Dua-Input-Satu-Output

G1(s)

X₁(s)

Y(s)

G2(s)

X₂(s)

+

G1(s)

X₁(s)

Y(s) G2(s)

X₂(s)

+ +

+

Gn(s)

X_n(s)

. . .

(7)

( )

1

+ =

s s U

s Y

τ Contoh 3.2.1: Gambarkan diagram blok untuk pers:

U(s) Y(s)

1 1

+

s

τ

( )

s

s K s s

K

s _i Γ_S

+ + Γ + = Γ

1 1

2 1

τ

Contoh 3.2.2: Gambarkan diagram blok untuk pers:

Γi(s)

Γs(s)

Γ(s)

+

K₁

K₂

1 1

+

s

τ Γi(s)

Γs(s)

Γ(s)

+

1

2 +

s K

τ

1

1 +

s K

τ

atau

Contoh 3.2.3: Tentukan Fungsi Transfer hubunganYterhadapX₁danX₂ berdasarkan diagram blok berikut:

G1

G2 G3

G4 +

−

X1(s)

Y1

+

+ +

−

X2(s)

Y(s) Y3

Y2

Penyelesaian dengan manipulasi aljabar:

Y= Y₃+ Y₂

+

+ Y(s) Y3

Y2

Y= Y₁G₃+ Y₂

G3

Y1 Y3

dari diperoleh:

MencariY1

G1

G2 +

−

X1(s)

Y1

Z1

Z2

Y₁= Z₁+ Z₂ Y₁= X₁G₁ – X₁G₂ Y₁= X₁(G₁ – G₂)

G4 +

−

X2(s)

Y2

MencariY₂

Z3 Y₂= Z₃– X₂ Y₂= X₂G₄ – X₂ Y₂= X₂(G₄ – 1)

(8)

( ) (

s G G

)

G X

( ) (

s G

) ( )

X s

Y = ₁− ₂ ₃ ₁ + ₄−1 ₂

SubstitusiY₁danY₂keY:

Diagram blok sederhana untuk soal 3.2.3:

X1(s)

X2(s)

(G₁–G₂)G₃

(G₄–1)

Y(s)

+ +

Contoh 3.2.4: Tentukan Fungsi Transfer hubunganCterhadapLdanC set

berdasarkan diagram blok berikut, dan sederhanakan diagram bloknya:

G₁ G₂ G4

G₅

L(s)

C set(s)

−

+

C(s)

G₆

G₃

G_c +

+

Penyelesaiandengan manipulasi aljabar: E

X

C(s) = G₄X(s)

X(s) = G_cG₂G₃E(s) + G₅L(s) E(s) = G₁C set_{(s) –} _G

6C(s)

X(s) = GcG2G3[G1C set(s) – G6C(s)] + G5L(s)

C(s) = G₄{G_cG₂G₃[G₁C set_{(s) –} _G

6C(s)] + G5L(s)}

( )(

s G G GG G

)

GGG GG C

( )

s G G L

( )

s C 1+ _c ₂ ₃ ₄ ₆ = ₁ _c ₂ ₃ ₄ set + ₄ ₅

Penyusunan persamaan untuk mendapatkan hubungan C terhadap perubahanCset_dan_L:

( )

s GG G GG C

( )

s GG GG G C

( )

s G G L

( )

s

C = ₁ _c ₂ ₃ ₄ set − _c ₂ ₃ ₄ ₆ + ₄ ₅

( )

L

( )

s

G G G G G

G G s

C G G G G G

G G G G G s C

c set

c c

6 4 3 2

5 4

6 4 3 2

4 3 2 1

1

1+ + +

=

Jadi, diperoleh dua fungsi transfer:

( )

2 3 4 6

4 3 2 1

1 GG G G G

G G G G G s C

s C s G

c c set

sp = = ₊

( )

6 4 3 2

5 4

1 G G GG G

G G s

L s C s G

(9)

6 4 3 2

4 3 2 1

1 G G GG G

G G G G G

c c +

6 4 3 2

5 4

1 G G GG G

G G

c + C set_(s)

L(s)

C(s)

+ +

Diagram blok sederhana (Contoh 3.2.4) hubungan dua input: Cset_{(s) dan}

L(s), dengan satu output C(s) adalah:

3.3 Dinamika Proses Order Satu

Pemodelan Untuk Proses-Proses Industri

Mengapa perlu pemodelan?

1) Pelatihan operator (Operator training) 2) Perancangan proses (Process design) 3) Keselamatan sistem (Safety system) 4) Pengendalian proses (Process control)

1. variabel-variabel bebas (independent variables) dan tidak bebas (state variables) dari sistem

2. persamaan-persamaan hubungan antara variabel proses yang dapat menggambarkan kelakuan dinamik proses terhadap perubahan waktu Untuk mempelajari karakteristik sistem proses (tangki, reaktor, menara distilasi, penukar panas, dll) dan kelakuaannya, diperlukan:

Tiga kuantitas fundamental dalam Proses Kimia: (1) MASA, (2) ENERGI, dan (3) MOMENTUM

PRINSIP KEKEKALAN DARI KUANTITAS S

3.3 Dinam ika Proses Or der Sat u

waktu periode

sistem dlm konsumsi

ter yg S Sejumlah

waktu periode

sistem dlm bangkitkan

ter yg S Sejumlah

waktu periode

sistem keluar

S aliran Laju

waktu periode

sistem masuk

S aliran Laju

waktu periode

sistem dalam

S Akumulasi

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

… (3.3.1)

S dapat berupa:

Massa Energi Momentum

(10)

Contoh 3.3.1: Tentukan Fungsi Transfer hubungan input (f₁danf₂) dan output (h) untuk sistem proses tangki cairan berikut:

f : laju alir volumetrik, [m3_/menit] ρ : densitas cairan, [kg/m3_]

h : ketinggian cairan di dalam tangki [m] A : luas penampang tangki

R : tahanan aliran cairan

h(t), [m]

f₁(t), ρ f₂(t), ρ

ρ

( ) ( )

R t h t

f₃ = ⎥⎦

⎤ ⎢⎣ ⎡

2

m menit

Asumsi: densitas cairan umpan, ρ tetap dan suhu cairan tetap

( )

dt t dh A dt

V d t f t f t

f₁

ρ

+ ₂

ρ

− ₃

ρ

=

ρ

=

ρ

Penyelesaian:

N.M. kondisi tidak tunak:

… (3.3.2)

( )

( ) ( )

( )

dt t dh A R

t h t f t

f₁ + ₂ − =

3.3 Dinam ik a Proses Or der Sat u

… (3.3.3)

N.M. kondisi tunak:

dt dh A R h f

f₁_s+ ₂_s− s = s … (3.3.4)

Pers. (3.33) – pers. (3.3.4) menghasilkan:

( )

[

]

[

( )

]

[

( )

]

( )

dt h t dh A R

h t h f t f f t

f s s s s

− =

− − − +

− ₁ ₂ ₂

1 … (3.3.5)

Persamaan keadaan (model matematik) dalam term deviasi adalah:

( )

H

( )

t

dt t dH t

F K t F

Kp 1 + p 2 =

τ

p + … (3.3.6)

( )

t f

( )

t fs

F₁ = ₁ − ₁

dimana:

( )

t f

( )

t f _s

F₂ = ₂ − ₂

( ) ( )

t ht hs

H = −

R K_p =

AR

p =

τ

Term deviasi

: Gain proses

: Konstanta waktu proses

Karena pers. (3.3.6) adalah linear, maka dapat dilakukan TL:

( )

s K F

( )

s sH

( )

s H

( )

s F

K_p ₁ + _p ₂ =

τ

_p +

( )

F

( )

s

s K s F s K s H

p p

2 1

1

1 + +

+ =

τ

… (3.3.10)

… (3.3.7)

… (3.3.8)

(11)

Jika laju volumetrik f₁(t)berubah, dan f₂(t) tetap, maka F₂(s) = 0, sehingga pers. (3.3.7) menjadi:

( )

F

( )

s

s K s H

p p

1 1

+ =

τ

Fungsi transfer pengaruh f₁(t) terhadap h(t):

… (3.3.11)

( )

1 1

1 = = ₊

s K s F

s H s G

p p

τ

… (3.3.12)

Jika laju volumetrik f₂(t)berubah, dan f₁(t) tetap, maka F₁(s) = 0, sehingga pers. (3.3.7) menjadi:

( )

F

( )

s

s K s H

p p

2 1

+ =

τ

… (3.3.13)

Fungsi transfer pengaruh f₂(t) terhadap h(t):

( )

1 2

2 = = ₊

s K s F

s H s G

p p

τ

… (3.3.14)

1

+

s K

p p

τ

H

(s) F1(s)

F2(s)

+

Diagram blok proses tangki cairan (Contoh 3.3.1)

H(s) F1(s)

F2(s)

1

+

s K

p p

τ

+ +

1

+

s K

p p

τ

atau

Contoh 3.3.2: Linearisasi persamaan laju aliran tak-linear

Tinjau kembali Contoh 3.3.1, jika laju alir keluar tangki dinyatakan dengan pers. tak-linear:

( )

t h

( )

t f₃ =

β

( )

dt t dh A t h t f t

f₁ + ₂ −

β

=

… (3.3.15)

Substitusi pers. (3.3.12) ke (3.3.2):

… (3.3.16)

tak-linear

Linearisasi pers. tak-linear:

( )

[

() (0)

]

) 0 ( 2

1 )

0 (

3 ht h

h h

t

f =

β

+

β

−

( )

[

]

s

s s

s

s ht h

h h

t h h h t f

2 ) ( 2 )

( 2 3

β

+ − = +

(12)

dt dh A h h

h f

f _s _s s

s s

s+ − − =

2 2

2 1

β

( )

H

( )

t

h dt

t dH A t F t F

s

2 2

1

β

+ =

+

Maka diperoleh persamaan linear:

… (3.3.18)

N.M. pada kondisi tunak:

( )

dt t dh A h t

h h t f t

f s

s

= −

− +

2 2

2 1

β

… (3.3.19)

Pers. (3.3.14) – Pers. (3.3.15):

( )

[

]

[

( )

]

[

( )

]

[

( )

]

dt h t h d A h t h h f

t f f t

f _s s

s s

s

− =

− −

− + −

2 2 2 1 1

β

( )

H

( )

t

dt t dH t

F K t F

K_p ₁ + _p ₂ =

τ

_p +

β

τ

s

p

h A

2

=

β

s p

h K = 2

Persamaan keadaan dalam term deviasi:

… (3.3.20)

… (3.3.21)

… (3.3.22)

( )

F

( )

s

s K s F s K s H

p p

2 1

1

1 + +

+ =

τ

Dengan cara yang sama diperoleh transformasi laplace: dimana:

Contoh 3.3.3: Respon dinamik tangki cairan terhadap perubahanstep input Tinjau kembali Contoh 3.3.1, jika diketahui data sebagai berikut:

menit m f _s

3

1 =0.2 ;

menit m f _s

3

2 =0.3 ;

2 2

m menit R=

( ) ( )

R t h t f3 =

f₃(t) dinyatakan dengan pers. linear: , dengan

Tinggi cairan:h_s= 1 [m]

( )

[ ]

m menit m

menit RA

p 2 1 2

2

2 ⎥⎦ =

⎤ ⎢⎣ ⎡ = =

τ

Luas alas:A= 1 [m2_{] ; Tinggi tangki = 2 [m]}

Parameter kondisi tunak:

2 2

m menit R

K_p = =

(13)

Jika tiba-tiba laju alir volumetrik f₁(t) berubah menjadi

menit m3

6 . 0

sedangkan laju alir volumetrik f₂(t) tetap, maka F₂(s) = 0 magnitude: menit m menit m menit m f f

M _s _snew

3 3

3

1

1 − =0.6 −0.2 =0.4

=

Persamaan respon dinamiklevelcairanh(t):

( )

s M s F1 =

( )

s M s K s H p p 1 + =

τ

… (3.3.23)

Laplace inversepers. (3.3.23):

( )

[

]

+ _⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − − − − s Q s P s M s K s H p p p

p 1 1

1 1

1

L

τ

M K M K s s M s K s P p p p p p p p p p − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − → =

τ

1 1 1

1 lim

MencariPdanQ

( )

M K M

K s s M s K s Q _p p p p p p p = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + → =

τ

1 0 1 0 lim

( )

[

]

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = − − − − s M K s M K s M s K s H p p p p p p 1 1 1 1 1

1

L

τ

maka:

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = + −

= − p − p

t p

p t

pMe K M K M e

K t

H τ 1 τ

Karena H

( ) ( )

t =ht −h_s

Jadi diperoleh respon dinamik level cairan terhadap perubahan input:

( )

(

t p

)

p s K M e

h t

h = + 1− − τ

… (3.3.24) … (3.3.25)

( ) ( )

[ ]

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +

= − 2

3

2 0,4 1

2

1 e t

menit m m menit m t h

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − +

=₁ ₀_,₈₁ _e−t2

t

(14)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 2 4 6 8 10 12

time (mnt)

f

1

(

t

) [m

3 /m

n

t]

0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

0 2 4 6 8 10 12

time (mnt)

Li

qui

d

Le

ve

l (

m

)