KEMAMPUAN GENERALISASI DAN ANALOGI SISWA

(1)

KEMAMPUAN GENERALISASI DAN ANALOGI SISWA DALAM

PEMEROLEHAN KONSEP JAJARGENJANG DAN KESEBANGUNAN SEGITIGA Retno Kusuma Ningrum

Jurusan Matematika, FMIPA, Unesa email : [email protected]

A. Pendahuluan

Tujuan diberikan pelajaran matematika di jenjang sekolah seperti yang tercantum dalam Standart Isi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan tingkat SMP antara lain menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika. Jika melihat pada tujuan tersebut, tampak bahwa kemampuan penalaran memegang peran penting dalam proses – proses dalam pembelajaran matematika. Penting bagi seorang guru untuk mengetahui kemampuan penalaran peserta didiknya sebagai salah satu persiapan pelaksanaan pembelajaran matematika. Pembelajaran matematika melibatkan dua aspek penalaran yaitu penalaran deduktif dan penalaran induktif. Dalam makalah ini akan dibahas mengenai penalaran induktif siswa, khususnya pada kemampuan generalisasi dan analogi siswa dalam submateri jajargenjang dan kesebangunan segitiga pada dua orang siswa kelas IX SMP.

B. Penalaran induktif

Penalaran merupakan suatu proses berpikir , dimana terjadi pengorganisasian pengetahuan – pengetahuan untuk membentuk sebuah konsep baru berdasarkan sistematika pemikiran yang logis. Menurut Fatima (2008:27) terdapat beberapa tipe dari penalaran, salah satunya adalah penalaran induktif.

(2)

umum, dapat dikatakan bahwa penalaran induktif bergerak dari hal – hal yang khusus untuk mendapatkan sebuah kesimpulan yang bersifat umum.

Menurut Soekadijo (1991), konklusi atau kesimpulan yang dihasilkan oleh penalaran induktif bersifat lebih luas daripada fakta- fakta yang ada. Misalkan pada contoh di bawah ini, terdapat beberapa fakta – fakta tentang segitiga ( dalam Geometri Euclid)

- _{Segitiga sama kaki memiliki jumlah sudut 180}0 - Segitiga sama sisi memiliki jumlah sudut 1800 - _{Segitiga tumpul memiliki jumlah sudut 180}0 - _{Segitiga sebarang memiliki jumlah sudut 180}0

Pengamatan tersebut dilakukan terhadap 10 jenis segitiga yang lain. Dari kesamaan – kesamaan yang ada pada fakta – fakta yang telah diketahui, dapat dibuat sebuah hipotesis sebagai kesimpulan awal bahwa segitiga kesepuluh juga memiliki jumlah sudut sebesar 1800. Selain itu, untuk jenis – jenis segitiga yang lain juga diharapkan memiliki jumlah sudut 1800 juga. Proses pengambilan konklusi inilah yang merupakan proses penalaran induktif. Hal ini sesuai dengan definisi penalaran induktif yang dikemukakan oleh Aristoteles (dalam Soekadijo,1991), bahwa pengambilan kesimpulan merupakan suatu proses peningkatan dari hal – hal yang bersifat individual menuju ke sebuah kesimpulan yang bersifat universal.

Menurut Soekadijo (1991:132), terdapat 3 ciri – ciri utama dari penalaran induktif, yaitu :

1. Premis – premis dari induksi adalah proposisi empirik yang langsung kembali pada suatu observasi atau proposisi dasar yang menunjuk pada suatu fakta. Jadi pikiran tidak dapat mempersoalkan bagaimana kebenarannya namun hanya bisa menerimanya.

2. Konklusi – konklusi dari penalaran induktif lebih luas daripada apa yang dinyatakan dalam premis – premisnya

3. Meskipun konklusi tidak bersifat mengikat, namun dapat diterima oleh pikiran dan dipercaya kebenarannya. Konklusi – konklusi ini tidak mengandung nilai kebenaran, hanya berupa probabilitas atau kemungkinan.

(3)

1. Generalisasi Induktif

Generalisasi merupakan suatu proses penalaran, dimana pengambilan kesimpulan berdasarkan pada hal- hal atau fakta – fakta yang bersifat umum. Keraf (1987:43) mendefinisikan penalaran generalisasi sebagai sebuah proses penalaran yang beracuan pada fenomena – fenomena individual untuk mendapatkan sebuah kesimpulan yang bersifat umum, yang mencakup semua fenomena tadi.

Menurut Soekadijo (1991:134) prinsip utama yang menjadi dasar penalaran generalisasi adalah sesuatu yang terjadi beberapa kali dalam suatu kondisi tertentu dapat diharapkan selalu terjadi pada kondisi – kondisi lain yang serupa. Dalam contoh diatas misalnya, sebanyak empat kali pengamatan, didapatkan fakta bahwa jumlah sudut dari segitiga adalah 1800, meskipun segitiga – segitiga tersebut berbeda jenis. Maka ketika ditemui segitiga kelima dan seterusnya, dengan jenis segitiga yang berbeda dari keempat segitiga yang ada, dapat disimpulkan segitiga tersebut juga memiliki jumlah sudut 1800. Tetapi konklusi yang didapatkan hanya berupa sebuah harapan/ kemungkinan. Hal ini sesuai dengan ciri – ciri dari penalaran induktif, konklusi yang dihasilkan hanya berupa suatu kemungkinan yang belum dapat dipastikan nilai kebenarannya.

Menurut Soekadijo (1991:134), syarat – syarat yang harus dipenuhi oleh sebuah proses penalaran generalisasi antara lain :

a. _{Generalisasi tidak terbatas secara numerik, artinya sebuah kesimpulan hasil} generalisasi tidak terbatas pada jumlah tertentu. Sebagai contoh, jika dikatakan sebuah segitiga memiliki jumlah sudut 1800, berarti hal tersebut berlaku untuk semua bangun dengan kondisi yang sama dengan kondisi segitiga pada geometri Euclid.

b. _{Generalisasi tidak terbatas secara spasio-temporal. Artinya, kesimpulan} tersebut berlaku secara umum, tidak terbatas pada ruang dan waktu.

(4)

Euclid, maka bangun a dan b memiliki jumlah sudut 1800. Generalisasi yang bisa dijadikan pengandaian seperti itulah yang memenuhi syarat ketiga ini.

Kesimpulan yang dihasilkan oleh generalisasi ini merupakan sebuah proposisi universal

2. Analogi Induktif

Analogi adalah membandingkan dua hal yang memiliki banyak persamaan. Kesimpulan yang diambil dengan jalan analogi adalah dengan cara membandingkan situasi yang satu dengan yang telah ada sebelumnya. Dalam bukunya, Keraf (1987:48) juga menyebutkan bahwa hasil dari analogi adalah sebuah kesimpulan yang didapatkan dari dua peristiwa khusus yang mirip satu sama lain.

Menurut Soekadijo (1991: 139) yang dimaksud dengan analogi adalah membicarakan mengenai dua hal yang berlainan, namun saling diperbandingkan satu sama lain. Dalam melakukan perbandingan, yang dilihat adalah persamaan dan perbedaan dari dua hal yang diperbandingkan tersebut. Analogi dapat dijadikan sebagai penjelasan atau sebagai dasar penalaran.

Dalam contoh misalnya, dikatakan bahwa

a. Sebuah bangun datar yang memiliki tiga sisi dan salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul, memiliki jumlah sudut 1800.

b. Sebuah bangun datar yang memiliki tiga sisi dan salah satu sudutnya merupakan siku – siku memiliki jumlah sudut 1800

c. Sebuah bangun datar yang memiliki tiga sisi dan ketiga sisinya memiliki panjang yang sama memiliki jumlah sudut 1800

(5)

Hasil kesimpulan berdasarkan proses analogi bergantung dari subjek – subjek yang dibandingkan, tidak selalu berupa proposisi universal. Subjek – subjek itu sendiri dapat bersifat individual, partikular maupun universal. Namun, seperti halnya penalaran induktif yang lain, konklusi yang didapatkan juga lebih luas daripada premis – premisnya.

D. Kesesatan Penalaran Generalisasi dan Analogi

Selain beberapa faktor objektif (faktor yang berhubungan dengan premis yang akan diambil konklusinya) yang mempengaruhi probabilitas konklusi, pengambilan kesimpulan atau sebuah konklusi juga dipengaruhi oleh faktor lain yang bergantung pada individu pengambil kesimpulan, yang disebut faktor subjektif. Faktor subjektif ini bersifat personal , dalam artian bergantung pada masing – masing individu pembuat konklusi dan biasanya tidak disadari oleh individu tersebut. Biasanya jika setelah mengambil kesimpulan yang kurang tepat, ketika dikaji lagi, pengambil konklusi akan dapat menemukan ketidaksesuaian konklusi yang diambil dengan kaidah penalaran yang berlaku. Kesimpulan atau konklusi yang salah inilah yang dinamakan dengan suatu kesesatan.

Menurut Soekadijo (1991:140), terdapat beberapa jenis kesesatan yang dapat terjadi, antara lain :

a. Kesesatan karena tergesa – gesa

Jenis kesesatan ini dapat terjadi jika pengambilan konklusi dilakukan secara tergesa – gesa, dalam artian hanya berdasarkan pada beberapa premis ( dalam jumlah kecil).

b. Kesesatan karena kecerobohan

Jenis kesesatan ini terjadi akibat kecerobohan pembuat konklusi dalam menganalisis faktor yang penting yang terdapat dalam proses penalaran.

c. Kesesatan karena prasangka

Jenis kesesatan ini terjadi akibat adanya asumsi tertentu yang dimiliki oleh pembuat konklusi, yang menyebabkan pengambil konklusi tidak mengindahkan fakta – fakta yang tidak bersesuaian dengan hasil konklusi, meskipun fakta tersebut bertentangan dengan kaidah yang ada.

(6)

a. Generalisasi / analogi sepintas lalu

Jenis kesesatan ini terjadi akibat pembuat koklusi tidak mau menganalisis lebih mendalam mengenai fakta yang ada sebelum membuat sebuah kesimpulan tentang sebuah topik yang sedikit rumit.

b. Analogi yang pincang

Jenis kesesatan ini bisa terjadi akibat ketidaktelitian pembuat konklusi dalam menganalogikan dua hal, dalam artian pembuat konklusi salah menganalogikan dua hal yang sebenarnya berlainan untuk mengambil sebuah kesimpulan.

E. Hasil Penelitian Dan Pembahasan

Berdasarkan data yang diperoleh dari dua orang siswa yang menjadi subjek penelitian :

1. Soal generalisasi

Berdasarkan hasil penugasan dan wawancara kepada dua orang siswa kelas IX SMP, diperoleh ringkasan sebagai berikut :

• Siswa 1

Ciri – ciri pada bangun yang termasuk jajargenjang

1. Mempunyai 2 sisi panjang dengan panjang yang sama (ditemukan pada 2 bangun, yaitu jajargenjang dan persegi panjang)

2. Mempunyai 2 sisi lebar dengan panjang yang sama (ditemukan pada 2 bangun, yaitu jajargenjang dan persegi panjang)

3. Mempunyai 4 sisi yang sama panjang (ditemukan pada 2 bangun, yaitu persegi dan belah ketupat)

4. Masing – masing sudut yang berhadapan besarnya sama (ditemukan pada keempat bangun)

5. Perpotongan kedua diagonalnya membagi bangun menjadi 4 segitiga siku – siku (menggambarkan pada bangun jajargenjang)

Dalam mendefinisikan jajargenjang, siswa melakukan pengguguran beberapa ciri – ciri, yaitu :

(7)

2. Perpotongan kedua diagonalnya membagi bangun menjadi 4 segitiga siku – siku

Alasan siswa melakukan pengguguran ciri pertama adalah karena menurut siswa tidak semua bangun dalam soal memiliki 4 sisi yang sama panjang.sedangkan pengguguran ciri yang kedua adalah karena diagonal dari masing – masing bangun tidak semua nampak pada gambar.

Gambar 1. Definisi Jajargenjang siswa 1

Pendefinisian diatas telah memenuhi ketiga syarat dalam proses penggeneralisasian, yaitu :

1. Generalisasi tidak terbatas secara numerik. Dalam hal ini siswa dapat menunjukkan bahwa ada bangun lain yang berbeda dengan bangun yang telah diberikan, yaitu bangun ketiga dalam soal selanjutnya yang memenuhi definisi jajargenjang yang telah dibuat.

2. Generalisasi tidak terbatas secara spasio-temporal.

(8)

Gambar 2. Bangun lain yang termasuk jajargenjang sesuai definisi siswa 1

• Siswa 2

Ciri – ciri pada bangun yang termasuk jajargenjang

1. Mempunyai 2 sisi yang berhadapan dengan panjang yang sama (ditemukan pada 2 bangun, yaitu jajargenjang dan persegi panjang) 2. Mempunyai 4 sisi dengan panjang yang sama ( ditemukan pada

bangun persegi)

3. Masing – masing sudut yang berhadapan besarnya sama (ditemukan pada keempat bangun)

4. Memiliki sisi yang sejajar dan jumlah sudut yang sama ( ditemukan pada bangun belah ketupat)

(9)

Gambar 3. Definisi jajargenjang siswa 2

Namun dalam pendefinisian bangun lain yang termasuk jajargenjang, siswa melakukan kesalahan. Siswa menunjuk bangun trapesium sebagai bangun yang merupakan jajargenjang, karena trapesium tersebut memiliki sepasang sisi yang sejajar, meskipun panjang kedua sisi tersebut tidak sama. Berdasarkan faktor kesesatan yang telah dibahas sebelumnya, kesalahan yang dilakukan siswa termasuk dalam kesesatan karena prasangka. Siswa mengabaikan ketaksamaan panjang sisi yang sejajar dalam trapesium karena menganggap panjang rusuk yang tidak sama tidak mempengaruhi kesejajarannya . (dalam hal ini siswa melupakan tentang syarat pada sisi yang sejajar yang harus sama panjang , yang telah disebutkan dalam definisi jajargenjang yang telah dibuat).

Gambar 4. Bangun lain yang termasuk jajargenjang berdasarkan definisi siswa 2

(10)

1. Generalisasi tidak terbatas secara numerik. Dalam hal ini siswa dapat menunjukkan bahwa ada bangun lain yang berbeda dengan bangun yang telah diberikan. (ketika ditanya mengenai gambar ketiga pada soal ketiga, siswa dapat menyebutkan bahwa bangun tersebut memenuhi definisi jajargenjang yang dibuatnya)

2. Generalisasi tidak terbatas secara spasio-temporal.

3. Generalisasi harus dapat dijadikan sebagai dasar pengandaian. Bentuk pengandaiannya adalah : misalkan terdapat layang – layang ABCD. Andaikan layang - layang ABCD memiliki sisi yang sama panjang dan sejajar, maka layang – layang ABCD juga merupakan jajargenjang.

2. Soal analogi

Berdasarkan hasil penugasan dan wawancara kepada dua orang siswa kelas IX SMP, diperoleh ringkasan sebagai berikut :

- _{Soal no.1} Gambar 5. Jawaban siswa 1

Gambar 6. Jawaban siswa 2

(11)

Siswa menyatakan bahwa kedua bangun tersebut sebangun dan mengetahui bahwa soal tersebut sejenis dengan pengetahuan ke 2 yang diberikan. Alasannya adalah karena kedua bangun tersebut sama – sama memiliki empat sisi yang panjangnya sama. Siswa juga menyebutkan bahwa dua bangun yang memiliki panjang sisi yang sama pasti sebangun.

• Siswa 2 (kesimpulan benar)

Siswa menyatakan bahwa kedua bangun tersebut sebangun dan menganggap soal tersebut sejenis dengan pengetahuan ke 1 dan ke 2. Di dalam alasannya siswa menyebutkan bahwa kedua bangun memiliki sudut yang sama jumlahnya. Disini sudut yang dimaksudkan siswa adalah sudut yang berhadapan pada masing – masing bangun sama besar.

- _{Soal no.2} Gambar 7. Jawaban siswa 1

(12)

Siswa mengetahui bahwa soal tersebut sejenis dengan pengetahuan ke 1 yang diberikan dan mengatakan bahwa kedua bangun tersebut sebangun. Alasannya adalah karena kedua segitiga tersebut memiliki sudut – sudut dengan ukurann yang sama. Sebelum mengambil kesimpulan, siswa menghitung dulu sudut ketiga dari masing – masing segitiga.

• Siswa 2 (kesimpuan benar)

Siswa menyebutkan bahwa kedua bangun tersebut sebangun. Tetapi siswa menyimpulkan hal tersebut hanya berdasarkan pada bentuk kedua bangun yang sama, bukan berdasarkan sifat dari dua bangun datar yang sebangun (dalam soal ini diharapkan perhatian siswa ada pada besar sudut pada masing – masing bangun) . Hal ini dapat terlihat dari alasan dari siswa tentang kesebangunan kedua segitiga tersebut, yaitu siswa menyatakan dua bangun tersebut sebangun meskipun memiliki sudut yang tidak sama besar. Menurut siswa, soal ini hampir sama dengan pengetahuan pertama, terdapat dua buah bangun yang sama bentuknya, hanya saja pada soal ini besar sudut yang diketahui berbeda. Dalam proses penalaran ini, kesalahan penganalogian siswa termasuk dalam kategori analogi sepintas lalu karena siswa tidak menganalisis secara mendalam mengenai suatu faktor analogi.

(13)

• Siswa 1 ( kesimpulan benar)

Siswa mengaku bingung melihat soal no. 3 dan tidak dapat menemukan bentuk analogi dari pengetahuan yang diberikan. Untuk menentukan 2 bangun tersebut sebangun atau tidak, siswa menghitung luas bangun tersebut terlebih dahulu. Lalu siswa melihat pada sisi DC = EH, dan AD ≠ EH. Setelah melakukan hal tersebut, siswa menyimpulkan bahwa kedua bangun tersebut tidak sebangun

• Siswa 2 (kesimpulan salah)

Siswa mengatakan bahwa kedua bangun tersebut sebangun karena kedua bangun tersebut sama – sama berbentuk trapesium siku – siku. Ketika ditanya bagaimana dengan panjang sisinya, siswa menjawab kedua trapesium tersebut memiliki panjang sisi yang berlainan, namun hal tersebut tidak mempengaruhi kesebangunannya, karena menurut siswa kasus soal tersebut sama seperti kasus dalam pengetahuan ke 3. Kesalahan pengambilan kesimpulan ini dapat dikategorikan dalam kesalahan yang disebabkan oleh faktor analogi yang pincang, karena siswa menganalogikan faktor yang salah dalam proses penalaran (dalam hal ini seharusnya siswa melihat kepada perbandingan sisi dari kedua bangun, bukan hanya berdasarkan bentuk bangunnya saja).

(14)

Siswa mengaku bingung menganalogikan soal tersebut dengan pengetahuann yang mana. Siswa hanya bisa mengidentifikasi bahwa keduanya merupakan bangun layang – layang, dan menganggap kondisi tersebut analogi dengan pengetahuan kedua.

Siswa mengatakan bahwa kedua bangun tersebut sebangun dengan alasan kedua bangun tersebut memiliki sudut siku – siku yang letaknya sama, sama dengan kesebangunan pada pengetahuan ketiga yang memilikii salah satu sudut yang sama besar. Ketika ditanya bagaimana sisinya, siswa menjawab bahwa sisi – sisi yang sama tempatnya memang berbeda panjangnnya, tapi kedua bangun tersebut tetap dikatakan sebangun. Dalam soal ini, diharapkan siswa melihat kesebangunan dari perbandingan sisi – sisi layang – layang, bukan pada letak sudut siku – siku pada perpotongan diagonalnya. Kesalahan pengambilan faktor analogi ini dapat dikategorikan kedalam bentuk kesesatan karena kecerobohan, karena siswa tidak menganalisis lebih dalam faktor analogi yang penting.

(15)

Siswa menyatakan bahwa soal ini sejenis dengan pengetahuan ketiga dan menyimpulkan bahwa kedua bangun tersebut sebangun setelah melihat kedua bangun tersebut sama – sama memiliki sudut yang besarnya 500. Namun ada informasi yang tidak dihiraukan oleh siswa dari pengetahuan ke 3, yaitu mengenai nilai perbandingan sisi - sisinya yang sama. Kesalahan siswa dalam mengambil faktor analogi ini dapat dikategorikan ke dalam faktor kesesatan akibat tergesa – gesa karena siswa hanya menganalisis satu faktor saja dan tidak menghiraukan faktor penting lainnya.

Siswa menyatakan bahwa soal ini sejenis dengan pengetahuan ke 3 dan menyatakan bahwa kedua bangun tersebut sebangun. Ketika ditanya tentang panjang sisi yang tidak sama besar, siswa mengatakan bahwa bangun tersebut tetap sebangun karena memiliki sudut yang sama besar, ukuran sisi pada bangun tidak berpengaruh

(16)

Siswa menyatakan bahwa soal ini sejenis dengan pengetahuan ke 3. Siswa menyatakan bahwa kedua bangun tersebut sebangun setelah melihat besar sudut yang diketahui pada bangun tersebut dan menghitung sudut lain yang ada. Kemudian siswa menghitung luas dari kedua bangun. Kesalahan pengambilan kesimpulan ini dapat dikategorikan ke dalam faktor kesesatan karena kecerobohan, karena siswa salah melakukan perhitungan sudut pada bangun tersebut.

Siswa menyatakan bahwa kedua bangun tersebut sebangun, karena memiliki bentuk bangun yang sama. Ketika ditanya mengenai sudut, siswa mengatakan bahwa sudut keduanya memang tidak sama, tetapi bangun tersebut memiliki panjang salah satu sisi yang sama. Oleh karenanya siswa tetap mengatakan bahwa kedua bangun tersebut sebangun. Kesalahan tersebut dapat dikategorikan dalam kesesatan karena prasangka, karena siswa menganggap bahwa jika ada dua bangun yang sama, kedua bangun tersebut tetap sebangun meskipun sudut dalam kedua bangun tersebut besarnya tidak sama.

F. Penutup

(17)

DAFTAR PUSTAKA

Fatima, Sk. 2008. Reasoning Ability of Adolescents Students. New Delhi : Discovery Publishing House

Keraf, Gorys. 1987 . Argumentasi dan Narasi . Jakarta : Gramedia

Soekadijo, R.G. 1991. Logika Dasar Tradisional, Simbolik dan Induktif. Jakarta : Gramedia Pustaka Utama

Surajiyo, dkk. 2006. Dasar – Dasar Logika. Jakarta : PT Bumi Aksara