Pertemuan-2: Model Matematika dalam Sistem Kontrol
Tujuan Instruksional Khusus (TIK):
Review model matematika untuk menganalisa model fisik sebuah sistem kontrol
Pokok Pembahasan:
1. Persamaan diferensial/transformasi Laplace 2. Transfer function
3. Diagram blok
4.
Diagram aliran sinyal (signal flow diagram1. Latar belakang
Dipakai matematika sebagai media analisa system control dikarenakan karekteristik system control yang perubahannya dan sifat prosesnya yang hanya dapat dilihat dengan besaran matematika. Proses analisis dilakukan apabila ada penyimpangan keluaran (output) yang tidak sesuai dengan harapan atau karena kualitas output yang tidak sesuai dengan yang diinginkan.
Control problem adalah masalah menentukan set point agar diperoleh target output yang diinginkan. Untuk menetapkan set point tersebut dibutuhkan pemahamam sifat-sifat fisis sistem yang didapat dari model system dalam keluaran sistem fungsi waktu. Hal ini hanya bisa dijelaskan dan dipahami dengan menggunakan pendekatan matematika.
2. Model matematika dalam system control:
Beberapa pendekatan matematika yang lazim digunakan utk menganalisa system control atau pemodelan system adalah:
1. Persamaan diferensial/transformasi Laplace 2. Diagram blok
Proses atau siklus aplikasi matematika dapat digambarkan dengan gambar-2. Problem system control diformulasikan ke dalam persamaan matematika yang kemudian dilakukan transformasi atau penyederhanaa agar dapat diselesaikan secara matematika. Terakhir persamaan tersebut ditranslasikan ke bentuk semula untuk melihat respond dan kestabilannya.
2.1. Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalaha persamaan matematika untuk sebuah fungsi yang tidak diketahui dengan satu atau beberapa variable yang berhubungan dengan fungsi itu sendiri dimana turunannya dalam beberapa order. Persamaan diferensial sangat penting dan dipakai luas dalam bidang keteknikan (engineering), fisika, ekonomi dan disiplin ilmu yang lain.
Gambar-1: Proses pendekatan matematika dalam penyelesaian problem system kontrol
Gambar-2. Visualisasi aliran udara dalam sebuah saluran yang dimodelkan menggunakan
Problem
Formulasi Matematika
Matematika
problem/solusi
Formulasi
Bentuk persamaan diferensial sederhana:
Model persamaan diferensial adalah model persamaan system dinamik dengan bentuk:
Y= output/respn, X= input dalam bentuk Laplace: s y
s dtTransformasi laplace dalam system control digunakan untuk:
o Memodelkan system dalam variable Laplace (P Diff Laplace)
o Memudahkan solusi lengkap persamaan diferensial karena persamaan diferensial sangat mudah diselesaikan dengan transformasi laplace.
Sebuah fungsi Transformasi Laplace f(t) for t > 0 didefiniskan dengan sebuah integral 0 hingga ∞:
{ f(t)} =
2.3. Diagram Blok
Sebuah system sering dimodelkan secara sederhana dengan bentuk grafis dimana sebuah proses disimbolkan dengan blok atau kotak:
Jika system H memiliki respon impuls h(t) dalam domain waktu (time), dapat dinyatakan dengan persamaa y(t) sbb:
y(t) = x(t) * h(t)
Simbol asterisk ( * ) sebagai bentuk penyatuan (convolution).
Apabila system H adalah sebuah fungsi transfer dalam domain Laplace (H(s)), maka hubungan antara input dan output digambarkan dengan diagram blok sbb:
Y(s) = X(s)H(s)
2.3.1. Sistem Dirangkai Seri
Apabila dua sistem atau lebih dirangkai seri, maka sistem keseluruhan dapat dinyatakan dengan sebuah fungsi transfer dimana solusinya merupakan penjumlahan dari masing-masing sistem.
Dua systems, f(t) dan g(t) terangkai seri sehingga output sistem f(t) adalah input sistem g(t).
Jika output sistem pertama dinyatakan sebagai h(t), maka:
h(t) = x(t) * f(t)
dan output sistem y(t) dalam h(t):
y(t) = h(t) * g(t)
sehingga dikembangkan persamaan keseluruhan sistem:
Diagram blok gabungan menjadi:
2.3.2. Sistem Dirangkai Paralel
Blok terangkai parallel harus dipasangkan sebuah blok penambah (adder) . Blok dihubungkan dengan adder memiliki total fungsi transfer sebagai berikut:
Y(s) = X(s)[F(s) + G(s)]
Karena Transformasi Laplace adalah linear maka transformasi ke domain waktu dapat dilakukan dengan sederhana dengan mengganti perkalian ke penggabungan (convolution)
y(t) = x(t) * [f(t) + g(t)]
2.3.3. Model Variable State (State Space Model)
Pada gambar tersebut, blok asing ditengah dapat berupa sebuah blok penggabungan atau blok penundaan (delaying) dimana dalam domain transfer dinyatakan:
atau
Tergantung karakteristik waktu system. Jika hanya memperhitungkan waktu system belanjut, kita dapat menggantik blok asing tersebut dengan sebuah blok penggabungan (integrator):
2.3.4. Penyederhanaan Diagram Blok
Transformation Equation Block Diagram Equivalent Block Diagram
1 Cascaded Blocks
2
Junction
2.4. Fungsi Transfer (FT)
Fungsi transfer (FT) adalah perbandingan output terhadap input dalam variable laplace. System dalam variable Laplace yang telah diturunkan dari persamaan diferensial system dituliskan dengan persamaan:
a
s
2
a
1s
a
2
.
X
s
bU
s
0Maka fungsi transfer system menjadi:
2.4.1. Fungsi Transfer Loop Terbuka dan Loop Tertutup
Loop terbuka:
Fungsi transfernya dinyatakan dengan persamaan:
G(s)
Loop tertutup:
Fungsi transfernya dinyatakan dengan persamaan:
2.4.2. Series Transfer Functions
If two or more systems are in series with one another, the total transfer function of the series is the product of all the individual system transfer functions.
In the time domain we know that:
y(t) = x(t) * [f(t) * g(t)]
Y(s) = X(s)[F(s)G(s)]
We can represent our system in the frequency domain as:
2.5. Diagram Aliran Sinyal
