RELASI DAN FUNGSI
A. RELASI
1. Pengertian RelasiAntara elemen-elemen dari dua buah himpunan seringkali terdapat suatu relasi atau hubungan tertentu.
Misalnya :
A = { 2, 3, 5 }
B = { 1, 4, 7, 10, 14 }
Akan kita tinjau relasi “ adalah faktor dari “ antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa :
2 adalah faktor dari 4 2 adalah faktor dari 10 2 adalah faktor dari 14 5 adalah faktor dari 10
Sedangkan 3 A tidak berrelasi dengan suatu elemenpun dari himpunan B.
Relasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram panah. Gambarlah Diagram Panah tersebut! Relasi itu dikatakan sebagai suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B. Perhatikan bahwa suatu relasi mempunyai arah tertentu. Dalam diagram diatas arah itu dinyatakan dengan anak panah. Relasi tersebut juga dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut. Elemen dari himpunan A yang berrelasi dengan elemen dari himpunan B di susun menjadi suatu pasangan terurut, diman elemen dari A pada urutan pertama dan elemen dari B pada urutan yang kedua. Jadi kalau relasi “ adalah faktor dari “ tersebut diberi nama R, maka :
R = { (2, 4), (2, 10), (2, 14), (5, 10) } Jelaslah bahwa R A x B
Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan himpunan bagian dari AXB (produk Cartesius A dan B). sehingga dapat didefinisikan:
A disebut daerah asal (domain) dan B disebut daerah kawan (kodomain) dari relasi R tersebut.
Jika (x,y) R, maka dikatakan bahwa ”x berelasi dengan y” (ditulis ”xRy”). Jika R
adalah suatu relasi dari B ke A dengan R1 = {(y, x) (x,y) R}, maka jelaslah bahwa R
1
B x A
Contoh :
A = { -3, 3, 4, 7, 10 } B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Relasi “berselisih 2 dengan” antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B dapat disajikan sebagai himpunan bagian dari A x B, yaitu :
R = { ( x,y ) x A, y B, xy = 2 }
= { (3,5), (4,2), (4,6),(7,5),(10,8) } A X B
( 4,6 ) R, maka dikatakan bahwa “ 4 berelasi dengan 6 “ ( 4 berselisih 2 dengan 6 )
atau 4R6.
R1 = { (5,3),(2,4),(6,4),(5,7),(8,10)}
2. Relasi-relasi Khusus
Jika A = B maka relasinya disebut sebagai relasi pada himpunan A.
a) Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi refleksif bhb setiap elemen dari A berrelasi R dengan dirinya sendiri.
R refleksif pada A bhb. ( xA). (x,x) R
( xA). x R x
Contoh :
A adalah suatu keluarga himpunan. R adalah relasi ”himpunan bagian” yaitu:
R adalah relasi refleksif pada A karena untuk setiap xA berlakulah bahwa
x x, yaitu (xA). (x,x) R
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi non- refleksif bhb. ada elemen dari A yang tidak berrelasi R dengan dirinya sendiri.
R non-refleksif pada A bhb. (xA).( x,x) R
(xA). x R x
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi irrefleksif bhb. setiap elemen dari A tidak berelasi R dengan dirinya sendiri.
R irrefleksif pada A bhb. (xA).( x,x) R
(xA). x R x
Perhatikan bahwa suatu relasi yang irrefleksif dengan sendirinya adalah non-refleksif, tetapi sebaliknya belum tentu.
Contoh :
A = himpunan semua bilangan nyata.
Relasi “ > “ adalah suatu relasi yang irrefleksif (jadi juga non- refleksif ) pada A karena setiap bilangan nyata tidak lebih besar dari pada dirinya sendiri.
A = himpunan semua manusia
Relasi “ dapat menguasai” adalah relasi yang non – refleksif pada A ( karena ada orang yang tidak dapat menguasai dirinya sendiri), tetapi bukan relasi yang irrefleksif ( karena tidak semua orang tidak dapat menguasai dirinya sendiri)
b) Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi simetris bhb. Untuk setiap dua elemen x dan y dalam A, jika x berrelasi R dengan y, maka y berrelasi R dengan x.
R simetris pada A bhb. (x,yA) (x,y) R (y,x) R
(x,yA) (x,y) R (x,y) R1
(x,yA) xRy yRx
Contoh :
A = himpunan semua garis lurus pada bidang datar.
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi non – simetris bhb. Ada sepasang elemen x dan yA dimana x berrelasi R dengan y tetapi y tidak berrelasi R dengan x.
R non- simetris pada A bhb. (x,yA). (x,y) R ( y,x ) R
(x,yA). (x,y) R ( y,x ) R1
(x,yA). xRy yR x
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi asimetris bhb. Untuk setiap pasangan elemen x dan yA di mana x berrelasi R dengan y, maka y tidak berrelasi R dengan x.
R asimetris pada A bhb. (x,yA). (x,y) R ( y,x ) R
(x,yA). (x,y) R ( y,x ) R1
(x,yA). xRy yRx
Jelas bahwa suatu relasi yang asimetris pada himpunan A pasti juga non-simetris pada A, tetapi sebaliknya belum tentu.
Contoh:
A = Keluarga himpunan.
Relasi “ himpunan bagian sejati” adalah suatu relasi yang asimetris pada A (jadi juga non-simetris ) karena untuk setiap dua himpunan x dan yA dimana xy, maka pastilah
bahwa yx
A = himpunan semua manusia.
Relasi “mencintai” adalah relasi yang non simetris pada A, tetapi bukan relasi yang asimetris pada A.
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi anti-simetris bhb. Untuk setiap pasang elemen x dan yA, jika x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan x, maka x = y. R antisimetris pada A bhb.
(x,yA). (x,y) R ( y,x ) R x = y
(x,yA). (x,y) R ( y,x ) R1 x = y
(x,yA). xRy yR x x = y
Contoh:
A = keluarga himpunan.
c). Suatu relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb. Untuk setiap tiga elemen x,y dan zA, jika x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan z , maka x berrelasi R dengan z. R transitif pada A bhb.
(x,yzA). (x,y) R ( y,z ) R (x,z) R
(x,yzA). xRy yR z x Rz
Contoh:
A = himpunan semua bilangan nyata.
Relasi “adalah faktor dari” adalah relasi yang transitif pada A.
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi non-transitif bhb. Ada tiga elemen x,y dan z
A dimana x berrelasi R dengan y dan y berrelasi z, tetapi x tidak berrelasi R dengan z.
R non-trasitif pada A bhb :
(x,yzA). (x,y) R ( y,z ) R (x,z) R
(x,yzA). xRy yR z x Rz
Jelaslah bahwa relasi yang intransitif pada himpunan A pasti juga non-transitif pada A. Contoh:
A = himpunan semua garis lurus pada bidang datar.
Relasi “ tegaklurus” adalah relasi yang intransitif pada A (jadi juga non-transitif) karena untuk setiajp tiga garis x,y dan z, jika x tegak lurus y dan y tegaklurus z maka pastilah bahwa x tidak tegak lurus z.
A = himpunan semua manusia.
Relasi “ mengenal” adalah relasi yang non – transitif tetapi bukan relasi yang intransitif pada himpunan A tersebut.
d) Suatu relasi R pada himpunan A yang sekaligus bersifat refleksif,simetris dan transitif disebut relasi ekuivalensi pada A.
Contoh:
A = himpunan semua segitiga.
Relasi “sebangun” adalah relasi ekuvalensi pada A sebab relasi tersebut sekaligus bersifat refleksif, simetris dan transitif pada A
Relasi “kongruen” (lambangnya “”) dalam suatu modulo m (m = bilangan asli ) yang
didefinisikan sbb :
x y ( mod.m ) bhb. x – y = k. m, dimana k adalah suatu bilangan bulat, adalah
suatu relasi ekuivalensi pada A, karena: (1) Untuk setiap bilangan bulat x :
x – x = 0.m, sehingga x x ( mod.m )
Jadi relasi kongruensi bersifat refleksif.
(2) Untuk setiap pasang bilangan bulat x dan y dimana
x y ( mod.m ), maka :
x – y = k.m(k = bilangan bulat) Sehingga y – x = - (k.m) = (-k).m
Dimana –k adalah bilangan bulat sebab k adalah bilangan bulat.
Jadi : x x ( mod.m ).
Maka : (x,yA). x y y x
Jadi relasi kongruensi bersifat simetris.
(3) Untuk setiap tiga bilangan bulat x,y dan z diman x y ( mod.m ) dan y z
( mod.m ) maka : x – y = k1.m (k1= bilangan bulat).
y – z= k2.m (k2= bilangan bulat).
( x – y ) + ( y – z ) = k1.m + k2.m
x– z = (k1 + k2).m
x– z = k3.m
dimana k3= k1 + k2 = bilangan bulat sebab k1 dan k2 masing-masing adalah
bilangan bulat. Jadi x z ( mod.m ).
Maka (x,yzA). x y y z x z
Jadi relasi kongruensi bersifat transitif.
B. Fungsi
1. Pengertian FungsiAntara anggota-anggota dari suatu himpunan dapat terjadi suatu relasi dengan anggota-anggota dari himpunan yang lain. Misalnya antara anggota-anggota himpunan semua pria dengan anggota-anggota semua wanita dapat diadakan relasi “ suami “.
Secara matematis suatu relasi R antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B dapat dipandang sebagai himpunan bagian dari produk Cartesius kedua himpunan itu.
R A x B.
Misalnya : A = { 1, 3, 5 } dan B = { 2, 0, 4 }, maka relasi ”lebih kecil” antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B dapat disajikan dengan: R = { (1, 2), (1, 4), (3, 4) } A x B.
Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi khusus antara anggota-anggota dua buah himpunan. Sehingga fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut.
Suatu relasi antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B disebut Fungsi (pemetaan) bhb relasi itu mengkaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
Suatu fungsi biasanya disajikan dengan lambang f. Jika fungsi f mengkaitkan anggota-anggota himpunan A, maka dikatakan bahwa f adalah fungsi dari A ke B dan disajikan dengan lambang:
f : A B
A disebut daerah asal (daerah sumber, domain ) dari fungsi f, sedangkan B disebut daerah kawan. (daerah jajahan , kodomain) dari fungsi f. Jika xA oleh fungsi f dikaitkan
dari x” dan disajikan dengan lambang ”f(x)”. f(x) seringkali juga disebut ”nilai fungsi” untuk x.
Secara simbolis matematis, definisi fungsi f dapat disajikan sbb.
f : A B bhb. (xA).(! yB) . y = f (x)
Perhatikan bahwa suatu fungsi f dari A ke B adalah suatu relasi yang mempunyai dua sifat khusus, yaitu:
a. Setiap anggota himpunan A (daerah asal) dikawankan dengan anggota himpunan B (Seringkali dikatakan bahwa ”daerah asal dihabiskan”
b. Kawan dari anggota-anggota himpunan A (daerah asal) adalah tunggal. Sifat ini dapat dinyatakan secara simbolis:
(x1, xA). x1 = x2 f (x1) = f (x2)
Pada umumnya, untuk suatu fungsi f : A B, anggota-anggota dari himpunan B (daerah kawan ) tidak perlu mempunyai kawan anggota himpunan A (daerah kawan tidak perlu di habiska), dan jika anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, kawannya diA itu tidak harus tunggal.
Suatu fungsi f dari A ke B dapat diilustrasikan dengan diagram panah sebagai berikut.
Himpunan semua anggota himpunan B yang merupakan bayangan dari suatu anggota
himpunan A disebut daerah hasil (range) dari fungsi f dan disajikan dengan Rf . Jadi:
Rf = { yB ( xA). y = f (x) }
A B
f
Misalnya untuk fungsi f : A B yang disajikan dengan diagram panah sebagai berikut.
f (1) = f (2) = 7 ; f (3) = 9 ; F (4) = f (5) = 10
Rf = { 7, 9, 10 }
Seperti telah diuraikan di atas, jika suatu anggota dari daerah kawan mempunyai kawan anggota dari daerah asal, maka kawannya itu tidak harus tunggal. Himpunan semua anggota dari daerah asal yang merupakan kawan dari suatu anggota daerah kawan disebut
bayangan invers dari y dan disajikan dengan lambang f1(y). Jadi:
f1(y) = {xA y = f (x) }
2. Cara menyajikan fungsi
Ada dua macam cara untuk menyajikan suatu fungsi , yaitu :
a. Cara aturan : fungsi itu disajikan dengan cara menyatakan aturan yang menentukan relasi antara angggota – anggota daerah asal dengan anggota – anggota daerah kawannya.
Contoh :
f: R R dimana f (x) = x2
R = himpunan semua bilangan nyata.
b. Cara himpunan : Seperti halnya relasi, maka fungsi f dari A ke B dapat dipandang sebagai himpunan bagian ( khusus ) dari A x B.
Maka fungsi f : R R dimana f ( x ) = x2 dapat juga disajikan sebagai suatu
himpunan, yaitu himpunan bagian dari R x R :
f = { (x,y) x R, y R y = x2 }
Fungsi f : A B yang digambarkan dengan diagram panah pada contoh diatas dapat juga disajikan sebagai :
f = { (1,7),(2,7),(3,9),(4,10),(5,10)}
Perhatikan bahwa dalam penyajian fungsi dengan cara himpunan, setiap anggota dari daerah asalnya muncul tepat satu kali sebagai komponen yang pertama dari anggota – anggota himpunan itu.
3. Kesamaan dua buah fungsi.
Dua buah fungsi f : A B dan g : A B dikatakan sama jika kedua fungsi itu mengkaitkan anggota-anggota dari daerah asalnya dengan anggota- anggota yang sama di daerah kawannya.
f = g bhb (xA). f(x) = g (x)
Contoh :
f : R R dengan f (x) = 2(x+1) (x-2), dan g : R R dengan g(x) = 2 x2-2x-4
4. Fungsi – fungsi Khusus.
Beberapa fungsi khusus yang diberi sebutan karena sifat-sifat/ karakteristiknya adalah sebagai berikut.
a. Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif dari A kepada (onto) B jika setiap anggota B merupakan bayangan dari suatu anggota A. Jadi pada fungsi yang surjektif, daerah hasilnya berimpit dengan daerah kawan (atau daerah kawannya dihabiskan ). f : A B adalah fungsi surjektif bhb.
(yB) (xA). y = f (x) bhb Rf = B bhb (yB) f 1 (y)
Contoh :
A = {x x = bilangan bulat }
B = {x x = bilangan cacah}
f : A B dimana f(x) = x
b. Suatu fungsi f : A B disebut fungsi injektif bila anggota – anggota dari B yang merupakan bayangan dari A, merupakan bayangan dari tepat satu anggota A. Dengan
perkataan lain f : A B adalah fungsi injektif bhb.(x1, x2A ). x1 x2 f(x1
) f (x2) bhb. (x1 , x2A ). f(x1) = f (x2) x1 = x2
Contoh:
A = {x x = bilangan asli}
B = {x x = bilangan nyata}
Fungsi f ini adalah fungsi yang injektif, karena jika f (x1) = f (x2), maka x1 -1 =
x2 -1 sehingga x1 = x2.
Fungsi f ini tidak surjektif karena ada anggota B yang tidak merupakan bayangan dari suatu anggota A, misalnya ½ B.
Contoh :
A = {x x = bilangan positif}
B = {x x = bilangan nyata}
f : A B di mana f (x) = log x
Fungsi f surjektif karena setiap yB merupakan bayangan suatu xA, yaitu x =
10y.
Fungsi f ini injektif karena jika f (x1) = f (x2), maka log x1 = log x2, sehingga
10logx1 = 10logx2
x1 = x2.
Dengan demikian f adalah fungsi bijektif. Mudah dibuktikan bahwa f adalah fungsi
bijektif bhb. f1 merupakan fungsi.
Invers dari suatu fungsi bijektif disebut fungsi invers.
Jadi jika f : A B adalah fungsi bijektif, maka fungsi inversnya adalah f1: B
A.
Pada contoh diatas fungsi invers dari fungsi bijektif f : A B di mana f (x) =
log x ialah f1: B A dimana f1 ( y )= 10y.
d. Suatu fungsi f : A B disebut fungsi konstan jika bayangan semua anggota A adalah satu anggota yang sama dari B.
f : A B adalah fungsi konstan bhb (!cB) (xA) . f ( x ) = c
e. Suatu fungsi f : A B disebut fungsi indentitas jika bayangan dari setiap anggota dari A ialah dirinya sendiri. ( Daerah asal dan saerah kawan dari suatu fungsi identits adalah himpunan yang sama ).
f : A A adalah fungsi indentitas bhb.(xA). f ( x ) = x
