BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Peramalan (Forceasting)
2.1.1 Pengertian Peramalan
Untuk memajukan suatu usaha harus memiliki pandangan ke depan yakni pada masa yang akan datang. Hal seperti ini yang harus dikaji oleh seorang pengusaha ataupun pemimpin perusahaan untuk menambah pendapatan perusahaan. Kajian dalam berbagai hal harus dilakukan misalnya dalam pemasaran atau hal lainnya. Sesuatu hal akan berkembang jika ada tinjauan untuk menetapkan langkah berikutnya. Sesuai dengan itu perlu dilakukan suatu peramalan yang mengkaji rencana di kemudian hari.
Dalam melakukan peramalan harus dilihat situasi dan kondisi apa yang harus diramal . Dengan melihat perlu atau tidaknya dilakukan perubahan atau pengembangan demi meningkatkan hasil produksi atau hasil pemasaran. Seiring dengan permintaan dan kemajuan teknologi seorang pengusaha harus melakukan peramalan. Peran peramalan sangat dibutuhkan untuk waktu yang berkesinambungan
2.1.2 Konsep Dasar Peramalan
Dalam melakukan peramalan harus deketahui terlebih dahulu persoalan yang akan dibahas. Pada hakekatnya peramalan hanya merupakan suatu perkiraan tetapi dengan teknik – teknik tertentu. Setiap pengambilan keputusan yang menyangkut masa yang akan datang maka pasti ada peramalan yang melandasi pengambilan keputusan tersebut (Sofyan Assauri , 1984, hal. 1).
Menurut Makridakis (1991) Forecasting (peramalan) yaitu prediksi nilai-nilai sebuah peubah berdasarkan kepada nilai yang diketahui dari peubah tersebut atau peubah yang berhubungan.
Menurut Aritonang, peramalan adalah perpaduan dalam pernerapan model dari data yang sudah lewat dengan masa yang akan datang.
Stok pengamanan dapat digunakan untuk mengatasi ketidakpastian permintaan yang relatif dengan ramalan yang dibuat. Kesalahan hasil peramalan dijadikan sebagai dasar pelengkapan stok. Dengan demikian semakin kecil kesalahan peramalan yang diperoleh maka semaikin sedikit juga stok pengamanan yang disediakan.
2.1.3 Tujuan Peramalan
Bertambahnya populasi manusia akan mempengaruhi pertambahan kendaraan baik itu roda empat, roda dua dan juga kendaraan lainnya. Pertambahan permintaan itu akan membuat pengusaha untuk melakukan suatu kajian dalam memberikan kepuasan bagi para pelanggan. Dalam persediaan barang di gudang merupakan suatu bagian dari perencanaan yang besar.
2.1.4 Jenis – Jenis Peramalan
Dilihat dari jangkauan waktu ramalan yang disusun, peramalan dapat dibedakan atas dua macam, yaitu:
1. Peramalan jangka panjang, yaitu peramalan yang dilakukan untuk penyusunan hasil ramalan yang jangka waktunya lebih dari satu setengah tahun atau tiga semester. Lebih tegasnya peramalan jangka panjang ini berorientasi pada dasar atau perencanaan.
2. Peramalan jangka pendek, yaitu peramalan yang dilakukan untuk penyusunan hasil ramalan yang dilakukan kurang dari satu setengah tahun atau tiga semester.
2.1.5 Metode Peramalan
Metode peramalan adalah suatu cara untuk memperkirakan secara kuantitatif apa yang akan terjadi pada masa yang akan datang yang berhubungan dengan masa lalu. Metode peramalan sangatlah berguna untuk menentukan besar kecil perbedaan hasil perhitungan dengan kenyataan.
Pada dasarnya metode peramalan kuantitatif ini dapat dibedakan atas:
1. Metode peramalan yang didasarkan atas penggunaan analisis pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel waktu, yang merupakan deret waktu, atau “ Time Series”.
2.2 Analisis Deret Berkala
Dalam menghadapi hidup perekonomian suatu masyarakat atau perusahaan, kita harus sering melakukan peramalan mengenai keadaan masyarakat/ perusahaan itu pada waktu yang akan datang. Di dalam kehidupan perusahaan, peramalan harus dilakukan dan sering memainkan peranan yang sangat penting dalam menentukan persediaan barang. Metode peramalan yang digunakan seharusnya melakukan observasi dalam beberapa periode yang menjadi dasar peramalan di masa yang akan datang.
Box dan Jenkin (1976) dan fuller (1976) mengemukakan sebagai akibat adanya komponen – komponen tersebut maka antar data dalam deret waktu terjadi hubungan fungsional (istilah lain: berautokorelasi atau berautoregresi), dan bentuk hubungannya ditelaah berdasarkan teori analisis data deret waktu.
Chatfield (1986) mengemukakan jika dimiliki data deret waktu maka langkah – langkah yang harus dilakukan dalam rangka menganalisis data adalah
1. Memetakan langkah – langkah atas waktu
Hal ini dilakukan untuk menelaah bentuk trend dan kestationeran data. Bentuk trend diperlukan untuk memperkirakan model regresi antara variabel pengamatan dengan variabel waktu yang harus dibangun. Sedangkan kestationeran diperlukan untuk menentukan perlu atau tidak data distationerkan melalui suatu transformasi.
2. Menghitung dan memetakan fungsi autokorelasi
Langkah ini dilakukan untuk menguji berautokorelasi atau tidak antar pengamatan baik secara visual dengan menelaah grafik fungsi autokorelasi atas lagnya atau melalui pengujian hipotesis.
2.2.1 Identifikasi pola data
Hasil analisis autokorelasi dapat digunakan untuk memilih teknik peramalan yang tepat. Ringkasan mengenai keterkaitan antara analisis autokorelasi dan pemilihan teknik peramalan itu dikemukakan oleh Hanke dan Reitsch (1995:115-7) berikut ini
Bila dari hasil analisis autokorelasi bahwa data bersifat stationer, teknik peramalan yang sesuai digunakan terdiri atas metode naif, metode rata – rata sederhana, metode rata – rata bergerak, metode eksponensial sederhana, dan metode Box-Jenkins.
Bila dari hasil analisis autokorelasi diketahui bahwa datanya bersifat nonstationer teknik peramalan yang digunakan terdiri atas metode rata – rata bergerak linier, metode penghalusan eksponensial linier brown, metode penghalusan eksponensial linier holt, metode penghalusan eksponensial kuadratik brown, analisis regresi sederhana, model gompertz, model kurva pertumbuhan dan model eksponensial lainnya. Bila dari hasil analisis autokorelasi diketahui bahwa datanya mengandung komponen musim, teknik peramalan yang sesuai digunakan terdiri atas dekomposisi klasik, sensus II, penghalusan eksponensial Winter, analisis regresi ganda runtun waktu, dan metod Box-Jenkin
Data yang mengandung komponen siklis sulit diidentifikasi melalui analisis autokorelasi karena pengulangan kejadiannya tidak terpola secara teratur dalam periode waktu dua, tiga atau empat tahun. Namun demikian ada juga teknik peramalan yang sesuai digunakan yaitu dekomposisi klasik, indikator ekonomi, model ekonometrik, analisis regresi ganda, dan metode Box-Jenkins.
Berapa komponen yang mungkin terkandung dalam suatu deret waktu adalah sebagai berikut:
1. Komponen trend ditunjukkan dengan adanya peningkatan atau penurunan dalam satu periode
3. Komponen siklis ditunjukkan dengan fluktuasi bergelombang yang biasanya dipengaruhi keadaan ekonomi secara umum. Pola siklis cenderung berulang dalam jangka waktu yang lebih dari dua tahun(jangka panjang).
4. Komponen irregular menyatakan keragaman data deret waktu setelah komponen-komponen lain disisihkan. Komponen ini disebabkan oleh faktor-faktor yang tidak terduga dan dianggap sebagai pengaruh acak. Ketidakstationeran merupakan komponen data runtun waktu yang tidak tergolong dalam tren, musim maupun siklis. Komponen ini berkaitan dengn hal – hal yang tidak terduga sebelumnya. Pola data ini tidak terjadi secara berulang dan juga tidak sistematis.
2.2.2 Teknik dalam menganalisis data deret bekala
1. Plot Data
Untuk mendapat hasil peramalan dengan error yang lebih kecil sebaiknya melakukan plot data. Dengan data masa lalu yang telah tersedia akan memberikan gambaran untuk hasil ramalan selanjutnya. Memplot data tersebut secara grafis sangat bermanfaat untuk memplot berbagai versi data moving average untuk menetapkan adanya trend (penyimpangan nilai tengah) untuk menghilangkan pengaruh musiman pada data (deseasonalize the data)
2. Koefisien Autokorelasi
Secara matematis rumus koefisien autokorelasi adalah (Arsyad, 1995)
r
k=
∑𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑖𝑖=1(𝑌𝑌𝑡𝑡−𝑌𝑌�) (𝑌𝑌𝑡𝑡+𝑘𝑘−𝑌𝑌�)
∑𝑛𝑛 (𝑌𝑌𝑡𝑡−𝑌𝑌�)2
𝑖𝑖=1
3. Distribusi Sampling Autokorelasi
Koefisien autokorelasi dari data random mendekati distribusi sampling yang mendekati kurva normal dengan nilai tengah nol dan kesalahan standar 1∕√𝑛𝑛 . sehingga dapat disimpulkan bahwa data tersebut bersifat random. Sedangkan uji Box-Pierce Portmanteau untuk sekumpulan nilai-nilai rk didasarkan pada
nilai-nilai statistik 𝒬𝒬.
Q = n ∑𝑚𝑚𝑘𝑘=1𝑟𝑟𝑘𝑘2 (α), n > k
Seperti yang diperlihatkan oleh Anderson (1942), Bartlett (1946), Quenouille (1949) suatu deret berkala dikatakan bersifat acak apabila koefisien korelasi yang dihitung berada di dalam batas:
− 1.96 (1∕√𝑛𝑛) ≤ rk≤ +1.96(1∕√𝑛𝑛)
Sehingga dapat dikatakan bahwa koefisien autokorelasi harus terletak diantara -1.96 kali galat standar sampai -1.96 kali galat standar.
4. Koefisien Autokorelasi Parsial
Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan (association) antara 𝛸𝛸𝑡𝑡 dan 𝛸𝛸𝑡𝑡+𝑘𝑘 pengaruh dari time-lag 1,2,3,… dan seterusnya sampai k−l dianggap terpisah. Kegunaan koefisien autokorelasi parsial ini adalah untuk menetapkan model peramalan yang dipergunakan sesuai dengan data yang tersedia.
2.3 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Arsyad (1995) menyatakan bahwa ARIMA merupakan suatu metode yang menghasilkan ramalan – ramalan berdasarkan sintesis dari pola data secara historis. Juga disebutkan bahwa metodologi Box-Jenkins ini dapat digunakan untuk:
1. Meramalkan tingkat employment
2. Menganalisis pengaruh promosi terhadap penjualan barang – barang konsumsi
3. Menganalisis persaingan antara jalur kereta api dengan jalur pesawat terbang 4. Mengestimasi perubahan struktur harga suatu industri
Klasifikasi model ARIMA
2.3.1 Model Autoregressive (AR)
Jika series stasioner adalah fungsi linier dari nilai-nilai lampaunya yang berurutan atau nilai sekarang series merupakan rata-rata tertimbang nilai-nilai lampaunya bersama dengan kesalahan sekarang, maka persamaan itu dinamakan model autoregressive.
Bentuk umum dari model autoregressive (AR) adalah sebagai berikut:
Xt = µʹ + 𝜙𝜙Xt-1 + 𝜙𝜙Xt-2 + … + 𝜙𝜙Xt-p + ℯt
dengan, µʹ = suatu konstanta
Xt-p = nilai pengamatan periode t-p 𝜙𝜙 = parameter autoregresive ke-p
ℯt = nilai kesalahan pada
Persamaan umum model autoregressive (AR) dengan ordo p juga dapat ditulis sebagai berikut:
( 1 – 𝜙𝜙1 B1 – 𝜙𝜙2 B2− … − 𝜙𝜙p Bp ) Xt= μ’ + ℯt
2.3.2 Model Moving Average (MA)
Jika series yang stasioner merupakan fungsi linier dari kesalahan peramalan sekarang dan masa lalu yang berurutan, persamaan itu dinamakan model moving average. Bentuk umum dari model moving average (MA) dinyatakan sebagai berikut:
Xt = µʹ + ℯt− 𝜃𝜃1ℯ t-1 + 𝜃𝜃 2ℯ t-2− … − 𝜃𝜃qℯt-q
dengan, µʹ = suatu konstanta
ℯt-q = nilai kesalahan pada saat t−q
𝜃𝜃1 sampai 𝜃𝜃2 adalah parameter – parameter moving average
Dengan menggunakan operator penggerak mundur model rataan bergerak diatas dapat ditulis sebagai berikut;
Xt= μ’ + (1 – 𝜃𝜃 1 B1 – 𝜃𝜃 2 B2− … − 𝜃𝜃q Bq)ℯt
Dalam hal ini B menyatakan operator penggerak mundur (backaward shift operator).
2.3.3 Model Campuran
2.3.3.1 Model Autoregressive Moving Average (ARMA)
Pada bagian ini, sebuah model umum untuk proses campuran AR (1) murni dengan MA (1) murni dapat dituliskan sebagai berikut:
Xt = µʹ + 𝜙𝜙Xt-1 + 𝜙𝜙Xt-2 + … + 𝜙𝜙Xt-p + ℯt − 𝜃𝜃1ℯ t-1 + 𝜃𝜃 2ℯ t-2− … − 𝜃𝜃qℯt-q
Atau dengan operator penggerak mundur proses ARMA (p,q) dapat ditulis sebagai berikut:
(1 – 𝜙𝜙1 B1 – 𝜙𝜙2 B2− … − 𝜙𝜙p Bp ) Xt= μʹ + (1 – 𝜃𝜃 1 B1 – 𝜃𝜃 2 B2− … − 𝜃𝜃q Bq)ℯt
2.3.3.2 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Jika d menyatakan banyaknya proses differencing, maka bentuk umum model ARIMA (p,d,q) yang mengkombinasikan model autoregressive berordo p dengan model moving average berorde q ditulis dengan ARIMA (p,d,q) adalah sebagai berikut:
Wt = µʹ + 𝜙𝜙Xt-1 + 𝜙𝜙Xt-2 + … + 𝜙𝜙Xt-p + ℯt − 𝜃𝜃1ℯ t-1 + 𝜃𝜃 2ℯ t-2− … − 𝜃𝜃qℯt-q
Atau dengan operator penggerak mundur model ARIMA (p,d,q) dapat ditulis sebagai berikut:
(1 – 𝜙𝜙1 B1 – 𝜙𝜙2 B2− … − 𝜙𝜙p Bp ) Wt= μʹ + (1 – 𝜃𝜃 1 B1 – 𝜃𝜃 2 B2− … − 𝜃𝜃q Bq)ℯt
Dalam hal ini Wt menyatakan bahwa deret waktu sudah di-diferencing.
Pindyck dan Rubinfield (1981) menotasikan μʹ sebagai berikut:
μʹ = ( 1− 𝜙𝜙1 − 𝜙𝜙2 − … −𝜙𝜙p) μʹw
dengan μʹw adalah rata-rata dari data waktu yang sudah di differencing. 2.3.4 Musiman dan Model ARIMA
Musiman dapat diartikan sebagai suatu pola yang terbentuk secara berulang dalam waktu yang tetap. Dalam suatu data yang stationer, dapat dicari dengan cara mengidentifikasi koefisien autokorelasi pada time lag yang berbeda dari nol. Autokorelasi yang secara signifikan berbeda dari nol menyatakan adanya suatu pola dalam data.
Notasi umum untuk menangani musiman adalah ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)s
dengan, (p,d,q) = bagian yang tidak musiman dari model (P,D,Q) = bagian musiman dari model
2.3.4.1 Model AR Musiman
Bentuk umum dari proses autoregressive musiman periode S tingkat P atau AR(P)s Xt = Θ1Xt=s + Θ2Xt=2s +…+ ΘpXt=ps +αʹt
persamaan diatas dapat juga ditulis dalam bentuk:
Φ(B)Χt = α
dengan
Φ(B) = 1 – Φ1 BS – Φ2 BQS
yang dikenal sebagai operator AR(P)S diman αtadalah independent dan berdistribusi
normal dengan mean 0 dan varians σ2α.
2.3.4.2 Model MA Musiman
Bentuk umum dari proses moving average musiman periode S tingkat Q atau MA (Q)S
Xt =
α
t −Θ1α
t=s−Θ2α
t=2s−…− Θpα
t=ps− QSpersamaan diatas dapat juga ditulis dalam bentuk:
Xt = Θ(B)
α
tdengan
Θ(B) = 1 – Θ1 BS – Θ2 B2S− ... – ΘQ BQS
yang dikenal sebagai operator MA(Q)S, dengan
α
adalah independent dan berdistribusi normal dengan mean 0 dan varians σ2α.2.4 Stasioner dan Nonstasioner
stasioner akan turun sampai nol sesudah time-lag kedua atau ketiga, sedangkan untuk data yang tidak stasioner nilai tersebut berbeda signifikan dari nol untuk beberapa periode waktu. Suatu deret waktu yang tidak stasioner harus diubah menjadi data stasioner dengan melakukan differencing. Yang dimaksud dengan differencing adalah menghitung perubahan atau selisih nilai observasi. Nilai selisih yang diperoleh dicek lagi apakah stasioner atau tidak. Jika belum stasioner maka dilakukan differencing lagi.
Menurut Box-Jenkins data deret waktu yang tidak stasioner dapat ditransformasikan menjadi data yang stasioner dengan melakukan proses pembedaan (differencing) pada data aktual. Pembedaan ordo pertama dari data aktual dapat dinyatakan sebagai berikut:
Wt = Yt− Yt−1
untuk t = 2,3,…,N
Secara umum pembedaan (differencing) ordo ke – d dapat ditulis sebagai berikut: Wt = (1 − B)d Yt
2.5. White Noise
Suatu time series dengan pengamatan yang berturut-turut dapat digambarkan oleh suatu kombinasi linier dari variabel random bebas, jika
α
1,α
2,… yang merupakansuatu distribusi probabilitas yang konstan dengan nilai tengah E(
α
t) = μα = 0 danvarians Var(
α
t) = σY2 dan kovarians γk = Kov (α
t,α
t+k ) = 0 untuk semua k ≠ 0.Dengan kata lain bahwa
α
i disebut berdistribusi normal dan barisan variabel randomα
t,α
t-1α
t-2,… disebut sebagai suatu proses White Noise. Didefinisikan proses White2.6. Operator Backward Shift (kemunduran)
Model ARIMA sangat berhubungan dengan variabel dependent yaitu unsur rentang atau lag itu sendiri dan kesalahan rentang atau lag. Notasi yang sangat bermanfaat dalam metode deret berkala ARIMA Box-Jenkins adalah operator shift mundur (backward shift) dinotasikan B, yang penggunaanya adalah sebagai berikut.
BXt = Xt−1
Notasi B yang dipasang pada Xt, mempunyai pengaruh menggeser data 1 periode
ke belakang. Dua penerapan B untuk shift X akan menggeser data tersebut 2 periode kebelakang.
B(BXt) = B2Xt = BXt−2
Operator backshift mundur ini juga dapat digunakan dalam mempermudah proses diferensiasi. Diferensiasi orde pertama dapat ditulis sebagai berikut.
Xtʹ = Xt − Xt−1 = Xt –BXt = (1−B) Xt
dan mengganti t dengan t-1 diperoleh
Xt-1ʹ = Xt−1− Xt−2
= BXt– B2Xt
Sehingga diferensiasi orde kedua dapat dituliskan sebagai berikut. Xʹʹ = (Xtʹ − Xt−1ʹ )
= (Xt− Xt−1) − (Xt-1− Xt−2)
= Xt− 2BXt−1+ B
2
Xt
= (Xt− 2BXt + B2Xt )
= (1− 2B + B2)Xt
= (1−B )2Xt
2.7. Penerapan Ketetapan Model
Dalam penerapan model perlu dilakukan pemeriksaan pada: 1. Nilai Sisa (Residual)
Jika model yang diidentifikasi telah tepat, maka residual model seharusnya merupakan suatu proses White Noise. Dari nilai-nilai sisa dapat diperoleh koefisien autokorelasi residual. Rumus kesalahan standar untuk memeriksa apakah
r
k tertentu secara nyata berbeda dari nol adalah: S[r
k] =1
√𝑛𝑛. Koefisien autokorelasi dari data random akan terdistribusi secara normal N(0, σα 2) dengan nilai tengah nol dan kesalahan standar 1
√𝑛𝑛. Kemudian dilakukan pengujian apakah
r
k untuk tingkat kepercayaan 95% berada pada batas-batas nilai − Zα/2�√𝑛𝑛−11�≤
r
k ≤ Zα/2 � 1√𝑛𝑛−1�.
2. Statistik Portmanteau
Untuk menguji apakah fungsi autokorelasi sampel residual semuanya tidak berbeda dari nol digunakan statistik Portmonteau.
Q = n ∑𝑚𝑚𝑘𝑘=1𝑟𝑟𝑘𝑘2 (α), n > k
Statistik Q berdistribusi mendekati χ2 dengan K− m derajat kebebasan, dimana K = lag maksimum, m = p+q+P+Q adalah jumlah koefisien autoregressive dan moving average dan musiman, dan n = jumlah data sesudah pembedaan. Jika Q < χ2, maka semua koefisien autokorelasi dianggap tidak berbeda dari nol sehingga dapat disimpulkan model telah dispesifikasikan dengan benar.
3. Overfitting Model Arima (Model ARIMA dengan koefisian lain)
