4. TURUNAN. 4.1 Konsep Turunan. m = lim. m PQ Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )

MA1114 Kalkulus I 1

4. TURUNAN

MA1114 Kalkulus I 2

4.1 Konsep Turunan

c x c f x f mPQ ₋ − = ( ) ( )

4.1.1 Turunan di satu titik

Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung

Kemiringan tali busur PQ adalah :

c f(c) P x f(x) Q x-c f(x)-f(c) Jika x Æ c , maka tali busur PQ akan

berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan

c

x

f(c)

f(x)

m

c x

−

−

=

→

lim

„ b. Kecepatan Sesaat

Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).

„ Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah c

c+h

Perubahan waktu Perubahan posisi s f(c) f(c+h) h c f h c f vratarata ) ( ) ( + − = −

MA1114 Kalkulus I 4

Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan

Definisi 4.1: Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi didefinisikan sebagai berikut:

bila limit diatas ada

h c f h c f v v h rata rata h ) ( ) ( lim lim 0 0 − + = = → − → c x f(c) f(x) v c x − − = → lim ) ( ' c f

c

x

f(c)

f(x)

c

f

c x

−

−

=

→

lim

)

(

'

MA1114 Kalkulus I 5 Notasi lain :

Contoh : Diketahui tentukan ) ( ' , ) ( c y dx c df x ) x ( f =1 = − − = → 3 3 3 3 x ) f( f(x) lim ) f'( x 3 3 1 1 lim 3 − − → _x x x = − − = → _{x(x )} x x _{3 3} 3 lim 3

9

1

3

1

lim

3

=

−

−

=

→

_x

x ) 3 ( ' f ) x(x x x _{3 3} ) 3 ( lim 3 − − − →

4.1.2 Turunan Sepihak

Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

bila limit ini ada.

Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau ada, jika

sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.

)

c

(

f

)

c

(

f

₋'

=

₊' c x c f x f c f c x − − = _→− − ) ( ) ( lim ) ( ' c x f(c) f(x) (c) f c x ' − − = _→+ + lim ) ( ' c f ) c ( f ) c ( f ) c ( ' f = _' = +' dan

MA1114 Kalkulus I 7 Contoh: Diketahui

⎩

⎨

⎧

≥

+

<

+

−

=

1

,

2

1

1

,

3

)

(

2

x

x

x

x

x

x

f

Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan

Jawab : a.

b.

Jadi, f diferensiabel di x=1. dan '(1)₌1. f ) 1 ( ' f 1 1 1 1 − − = − → − x ) ( f ) x ( f lim ) ( f x ' 1 1 2 1 3 2 1 − + − + − = → x ) ( x x lim x 1 2 1 − − = → x x x lim x 1 1 1 1 = − − = → x ) x ( x lim x 1 1 1 1 − − = + → + x ) ( f ) x ( f lim ) ( f x ' 1 1 2 1 2 1 1 − + − + = → x ) ( x lim x 1 2 2 1 − − = → x x lim x 1 1 1 1 2 1 = + − − = → ( x )( x ) x lim x MA1114 Kalkulus I 8

…Teorema 4.1Jika f diferensiabel di c Îf kontinu di c. …Bukti :Yang perlu ditunjukkan adalah

…Perhatikan bahwa

…Maka

…Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut. ) ( ) ( lim f x f c c x→ = c x c x c x c f x f c f x f − ≠ − − + = () ( ) ().( ) , ) ( ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ − − + = → → ( ) ) ( ) ( ) ( lim ) ( lim x c c x c f x f c f x f c x c x ) ( lim . ) ( ) ( lim ) ( lim x c c x c f x f c f c x c x c x − − − + = → → → 0 ). ( ' ) (c f c f + = = f(c). Terbukti.

Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0

Jawab

Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0 ⎩ ⎨ ⎧ < − ≥ = = 0 , 0 , | | ) ( x x x x x x f ) x ( f lim x→0− 0 0− = = →( x) lim x

)

x

(

f

lim

x→0+ 0 0 = = → x lim x 0 ) ( lim 0 = → f x x ) 0 ( ) ( lim 0f x f x→ = f(0) = 0 ‰ ‰ ‰ f kontinu di x=0

MA1114 Kalkulus I 10 0 0 0 0 − − = − → − x ) ( f ) x ( f lim ) ( f x ' 0 ₁ 0 0 =− − = − − = → → x x lim x x lim x x 0 0 0 0 − − = ₊ → + x ) ( f ) x ( f lim ) ( f x ' _. x x lim x x lim x x 1 0 0 0 = = − = → →

Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0

1 ) 0 ( ) 0 ( 1₌ ' _≠ ' ₌ − f− f+ Karena

makaf tidak diferensiabel di 0.

MA1114 Kalkulus I 11

Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) berikut diferensiabel di x=1; ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < + = 1 , 1 , ) ( 2 x ax x b x x f ). ( lim ) ( lim ) 1 ( 1 1 f x f x f x x→− =→+ =

Jawab : Agar f(x) terdiferensialkan dix = 1, haruslah a. f kontinu dix = 1 (syarat perlu)

b. Turunan kiri = turunan kanan dix = 1 (syarat cukup) f kontinu dix = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau

1 1 lim lim 1 2 1 + = ⇔ = + = ⇔ = − = → →x b ax a b a b a a x x 1 ) 1 ( ) ( lim ) 1 ( 1 ' − − =_→− − x f x f f x 2 ) 1 ( ) 1 ( ' ' _{= ⇒ =} + − f a f

Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1. 1 2 1 − − + = → x a b x lim x 1 1 2 1 − − − + = → x a ) a ( x lim x 1 1 2 1 − − = → x x lim x 1 1 1 1 − + − = → x ) x )( x ( lim x =limx→₁x+1=2 1 ) 1 ( ) ( lim ) 1 ( 1 ' − − = ₊ → + x f x f f x 1 −1 − = → x a ax lim x x a x lim a x − = − = → 1 1 1

MA1114 Kalkulus I 13 Soal Latihan f x a x x x bx x ( ) ; ; = + ≤ < − ≥ ⎧ ⎨ ⎩⎪ 3 0 1 1 2 f x ax b x x x ( ) ; ; =⎧⎨ −₋ <_≥ ⎩ 2 22 1 2 f x x x ax b x ( ) ; ; = − < + ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 2 _{1 3} 2 3

Tentukan nilaia dan b agar fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan.

, x = 1 ,x = 2 ,x = 3 1. 2. 3. MA1114 Kalkulus I 14

4.2 Aturan Pencarian Turunan

• Fungsi Turunan Pertama

„ Definisi 4.2Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai

„ atau jika h=t-x

bila limitnya ada.

„ Notasi lain , bentuk dikenal

sebagai notasi Leibniz.

Ι ∈ ∀ − − = _→ x x t x f t f x f x t , ) ( ) ( lim ) ( ' Ι ∈ ∀ − + = → _h x x f h x f x f h , ) ( ) ( lim ) ( ' 0 ) ( , , ) ( , , ' DyDf x dx x df dx dy y x x dx dy

)

(

' x

f

„ Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunansebagai berikut :

1. Jika f (x)=k, maka 2. 3. 4. 5. dengan g(x) 0.

( )

_{rx r R} dx x d r r ∈ = −1_;

(

)

(x) g (x) f dx g(x) f(x) d + ₌ ' ₊ '

(

)

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' x g x f x g x f dx x g x f d _{= +}

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2 ' ' ) ( ) (

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

dx

d

fxgx

₌

−

≠

0 ) ( ' x = f

MA1114 Kalkulus I 16 Bukti aturan ke-4

Misal h(x) = f(x)g(x) h x h h x h x h h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 − + = → h x g x f h x g h x f h ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0 − + + =_→ h x g x f x g h x f x g h x f h x g h x f h ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0 − + + + − + + = → ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ + − _{+ +} + − =_→ h x f h x f h x g h x g h x g h x f h ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0 h x f h x f h x g h x g h x g h x f h h h h ) ( ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( lim 0 0 0 0 − + + + − + + = → → → → ) ( ' ) ( ) ( ' ) (xg x gxf x f + = ) ( ' ) ( ) ( ) ( 'xgx f xg x f + = MA1114 Kalkulus I 17 1 3 ) ( 2₊ + = x x x f 2 2 2 2 1 2 6 1 ) x ( x x x + − − + = 2 2 2 1 3 2 1 1 ) x ( ) x ( x ) x .( ) x ( ' f + + − + =

3.Tentukan turunan pertama dari

. ) x ( x x 2 2 2 1 1 6 + + − − = Contoh

1. Tentukan turunan pertama dari ()₌ 3₊32₊4

x x x f Jawab : 0 2 . 3 3 ) ( '_{x= x}2_{+ x+} f ₌3x2₊6x

2. Tentukan turunan pertama dari ()₌(3₊1)(2₊2 ₊3)

x x x x f Jawab : ) 2 2 )( 1 ( ) 3 2 ( 3 ) ( ' ₌ 2 2_{+ + +} 3_{+ +} x x x x x x f 2 2 2 2 9 6 34₊ 3₊ 2₊ 4₊ 3_{+ +} = x x x x x x 2 2 9 8 54₊ 3₊ 2_{+ +} = x x x x Jawab : Soal Latihan

Tentukan fungsi turunan pertama dari

) 1 2 ( ) 1 ( ) ( _{= +} 3_{+ +} x x x x f 1 1 ) ( − + = x x x f 1 ) ( ₂ − = x x x f 1 1 ) ( 2 2 + − = x x x f

1

)

(

₌

1/2

₊

3 2

₊

x

x

x

f

1. 2. 3. 4. 5.

MA1114 Kalkulus I 19

4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus

Bukti:

a. Misal f(x) = sin x maka

x

x

f

x

x

f

a

.

(

)

=

sin

→

'

(

)

=

cos

x

x

f

x

x

f

b

.

(

)

=

cos

→

'

(

)

=

−

sin

x t x t x f x t − − = lim_→ sin sin ) ( ' ) 2 ( ) 2 sin( lim ). 2 cos( lim 0 2 t x x t x t x t x t − − + = → − → x t x t x t x t − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = → 2 sin 2 cos 2 lim . cos 1 . cosx = x = MA1114 Kalkulus I 20

b. Misal f(x) = cos x maka

h x h x x f h cos ) cos( lim ) ( ' 0 − + = → h x x x h cos sinh sin cosh cos lim 0 − − = _→ h x x h sinh sin ) 1 (cosh cos lim 0 − − = → h x h h x h sinh sin ) 2 sin ( cos lim 2 0 − − = → ) sinh sin 4 ) 2 / ( ) 2 sin ( cos ( lim 2 2 0 _h x _h h h x h − − = → h x h h h x h h sinh lim sin 4 2 / ) 2 / sin( lim cos 0 2 0 ) 2 / ( → ⎟_⎠ − → ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = x x x.0 sin sin cos − =− =

Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v

(

)

(

)

dx d dx x d

c tan sinxcosx

. = x x x 2 2 2 cos sin cos + = x 2 cos 1 = 2x sec =

(

)

(

)

dx d dx x d d x x sin cos cot . = x x x 2 2 2 sin cos sin − − = x 2 sin 1 − = 2

x

csc

−

=

(

)

( )

dx d dx x d e sec 1cosx . = x x 2 cos sin = x x x cos 1 cos sin = =tanx secx

(

)

( )

dx d dx x d f csc 1sinx . = _sin2_xx cos − = x x x sin 1 sin cos − =

=

−

csc

x cot

x

MA1114 Kalkulus I 22

4.4 Aturan Rantai

„ Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada , maka

Contoh : Tentukan dari Jawab :

Misal sehingga bentuk diatas menjadi Karena dan maka dx du du dy dx dy = du dy dx du dx dy _y=sin(x2₊₁₎ 1 2₊ = x u x dx du 2 =

u

y

=

sin

u du dy cos =

)

1

cos(

2

2

₊

=

x

x

x x dx dy 2 ) 1 cos( 2₊ = MA1114 Kalkulus I 23 dx dv dv du du dy dx dy =

→

Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan

dx dv dv du du dy , , Ada, maka Contoh : Tentukan dx dy ) 5 (3 4 ₊ =Sin x y dari 5 3₊ = x v _dxdv =3 x2 Jawab : Misal

→

u = Sin v _{=cos =cos(}3₊₅₎

x v dv du 4

u

y

=

_=4u3_=4Sin3_(x3₊₅₎ du dy

→

sehingga ) 5 ( ) 5 ( 12 . . ₌ 2 3 3₊ 3₊ = xSin x Cosx dx dv dv du du dy dx dy „ Contoh : Tentukan jawab : 1 )) ( ( ) ( ' 2 2 _{= x}2₊ x f dx d jika x f 1 2 2_{))= x +} x ( f ( dx d x x x f 2 1 ) ( ' 2 ₌ + ⇔ 1 2 2 2 _{= +} ⇔ f'(x ).x x

MA1114 Kalkulus I 25

(

)

y= 2x−310 y= sin3x

(

x x

)

y= 4 2− 4 cos 2 1 1⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = x x y

Tentukan fungsi turunan pertama dari

y = sin x tan [ x2_{+ 1 ]} Soal Latihan y x x x x = − + + − 2 2 2 5 2 3 1. 2. 3. 4. 5. 6. MA1114 Kalkulus I 26

4.5 Turunan Tingkat Tinggi

„ Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).

„ Turunan pertama „ Turunan kedua „ Turunan ketiga „ Turunan ke-n

„ Contoh: Tentukan dari „ Jawab : ( ) f x df x dx ' ( )= ( ) 2 2 ) ( " dx x f d x f =

( )

3 3 ) ( ' " dx x f d x f = ( )

( )

n n n dx x f d x f ()=

(

( )

)

) ( ( 1) ) ( x f dx d x fn ₌ n− x x y₌4 3₊sin x x

y'₌12 2₊cos _{maka y''= 24x−sinx}

'

'

y

(

)

y=sin 2x−1 ( ) y= 2x−34 y x x = _{+ 1}

( )

y= cos2πx f" ( )c = 0 f x( )=x3+3x2−45x−6 g x( )=ax2+b x+c 3 ) 1 ( ' = g g''(1)=−4 A. Tentukan turunan kedua dari

B. Tentukan nilai c sehingga bila

C. Tentukan nilai a, b dan c dari bila g (1) = 5, dan Soal Latihan 1. 2. 3. 4.

MA1114 Kalkulus I 28

4.6 Turunan Fungsi Implisit

„ Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x.

Contoh :

„ Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.

10 . 1 3 2₊ 2_{+ =} y x y x

1

)

sin(

.

2

₊

2

₌

2

₊

y

x

xy

MA1114 Kalkulus I 29 Jawab ) 10 ( ) ( ) ( ) (32 2 x x x xxy D x D y D D + + = 0 ' 2 ) ' 2 3 ( 2 2₊ 3 _{+ + =} y x y y x y x 2 2 3 _{1)' 2 3} 2 (xy+ y=−x− xy 1 2 3 2 ' 3 2 2 + − − = y x y x x y ) 10 ( ) ( . 1 32 2 x xxy x y D D + + = 0 ' 2 2 ) ' ( ) cos(xy y+xy + x= yy+ ) cos( 2 ' ) 2 ) cos( (x xy− yy=− x−y xy y xy x xy y x y 2 ) cos( ) cos( 2 ' − − − = ) 1 ( ) ) sin( ( . 2_{D xy +x}2 _{=D y}2₊ x x 10 . 1_x3_y2_+x2_{+y= 2.sin( )+} 2₌ 2₊₁ y x xy

Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut

' y

( )

y

+

sin

xy

=

1

x

3

−

3

x y

2

+

y

2

=

0

Tentukan turunan pertama ( ) dari bentuk implisit

tan ( x y ) - 2 y = 0 Soal Latihan

x

y

xy

x

2

sin(

)

+

=

1. 2. 3. 4.

MA1114 Kalkulus I 31

4.7 Garis singgung dan garis normal

„ Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x0,y0)

dengan kemiringan m adalah y – y₀= m( x – x₀ ).

„ Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut

dengan garis normal.

„ Persamaan garis normal di titik (x0,y0) adalah

).

(

1

0 0

x

x

m

y

y

−

=

−

−

MA1114 Kalkulus I 32 4 2 . 4 2 . 3 ) 6 , 2 ( ' 4 3 '₌ 2_{− → =} 2_{− =} y x x y

2

4

−

= x

y

)

2

(

4

6

=

−

−

x

y

2 1 4 1 6 ) 2 ( 4 1 6=− − ⇔ − =− + − x y x y . 2 13 4 1 ₊ − = x y Jawab :

Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :

Persamaan garis normal dititik (2,6) :

Contoh:Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal fungsi ₌ 3₋22₊6 di (2,6).

x x y

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva

0

6

2

2

_{− xy}

₋

₌

y

x

di titik dengan absis( x) = 1

Jawab :

Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh

0 6 2_{− y− =} y

⇔

(

y

−

3

)(

y

+

2

)

=

0

) 0 ( ) 6 ( 2 2 x x x y xy D D − − = y = 3 dan y = -2 Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2)

Hitung terlebih dahulu

y

'

dengan menggunakan turunan fungsi implisit

⇔ 0 0 ) ' ( ' 2 2 2₊ 2 _{− + − =} xy y yy x xy

MA1114 Kalkulus I 34

0

'

'

2

2

2

₊

2

₋

₋

₌

xy

y

yy

x

xy

2 2 2 ' ) 2 ( x y−xy=y− xy x y x xy y y − − = ₂ 2 2 2 ' Di titik (1,3) 5 16 1 3 . 1 . 2 9 . 1 . 2 3 |'(1,3) − = − − = y

Persamaan garis singgung

5 16 5 16 ) 1 ( 5 16 3=− − =− + − x x y 31 5 16x+ y=

Persamaan garis normal

16 5 16 5 ) 1 ( 16 5 3= − = − − x x y 43 16 5x− y=− ⇒ MA1114 Kalkulus I 35 Di titik (1,-2) 2 5 10 1 ) 2 .( 1 . 2 4 . 1 . 2 2 |'(1,2) ₋ = − = − − − − = − y

Persamaan garis singgung

2 2 ) 1 ( 2 2= − = − + x x y 4 2x

−

y

=

Persamaan garis normal

2 1 2 1 ) 1 ( 2 1 2=− − =− + + x x y

3

2

=

−

+ y

x

4.8 Diferensial dan Hampiran

„ 4.8.1 Diferensial

„ Jika ada, maka

Untuk sangat kecil , maka mPQ = mPTyakni ,

„ Definisi 4.4Jika y = f (x) diferensiabel di x, maka Diferensial dari x , dinyatakan dengan dx, adalah Diferensial dari y , dinyatakan dengan dy, adalah

x y x x f x x f x f x x ∆ ∆ = ∆ − ∆ + = → ∆ → ∆ 0 lim0 ) ( ) ( lim ) ( ' P Q x x+∆x x x ∆ f x y f x x x y_{≈ ∆ ≈ ∆} ∆ ∆ ) ( ' , ) ( ' . x dx=∆ dx x f dy= '( ) ) ( ' x f T

MA1114 Kalkulus I 37 4.8.2 Hampiran

„ Perhatikan kembali gambar sebelumnya,

„ Misalkan y= f (x) diferensiabel di interval I yang memuat x dan x + ∆x. Jika x ditambah ∆x, maka y bertambah sepadan dengan ∆y yang dapat dihampiri oleh dy . „ Jadi , (*) „ Contoh :Hampiri „ Jawab: Pandang, Dengan pers (*) x x f x f dy x f x x f( +∆ )≈ ( )+ = ( )+ '( )∆ 3

₂₈

3 27 27 ) 27 ( ) ( 3 3 1 3 1 = = = ⇒ =x f x f 27 1 ) 3 ( 3 1 ) 27 ( 3 1 ) 27 ( ' 3 1 ) ( ' 3 2 3 3 2 3 2 = = = ⇒ = x− f − − x f ) 27 28 )( 27 ( ' ) 27 ( ) 28 ( ≈ f +f − f . 27 1 3 = MA1114 Kalkulus I 38 Soal Latihan

( )

y+sinxy =1

1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di(π,1)

2 , 8 1 , 36

2. Gunakan diferensial untuk menghampiri a. b. 3 ) 0 ( ' , 0 ) 0 ( , 2 ) 0 ( ' = g = g = f (fog)'(0).