SIFAT-SIFAT KETEGAKLURUSAN, KESEJAJARAN, DAN SEGITIGA ASIMPTOTIK PADA GEOMETRI HIPERBOLIK
SKRIPSI
Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
untuk Memenuhi sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh: Humam Rosyadi NIM 11305141033
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
ii
PERSETUJUAN
Skripsi yang berjudul
“SIFAT-SIFAT KETEGAKLURUSAN, KESEJAJARAN, DAN SEGITIGA ASIMPTOTIK PADA GEOMETRI HIPERBOLIK”
yang disusun oleh: Nama : Humam Rosyadi NIM : 11305141033 Prodi : Matematika
Telah disetujui
untuk diujikan dihadapan Anggota Dewan Penguji Skripsi Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
Yogyakarta, Oktober 2016 Dosen Pembimbing
Himmawati Puji Lestari, M.Si. NIP. 197501102000122001
iv
HALAMAN PERNYATAAN
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya:
Nama : Humam Rosyadi
NIM : 11305141033
Program Studi : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Judul Skripsi : SIFAT-SIFAT KETEGAKLURUSAN, KESEJAJARAN, DAN SEGITIGA ASIMPTOTIK PADA GEOMETRI HIPERBOLIK.
Menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri dan sepanjang pengetahuan saya, tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain, kecuali pada bagian-bagian tertentu yang diambil sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah lazim.
Apabila pernyataan saya ini terbukti tidak benar, maka sepenuhnya menjadi tanggung jawab saya dan saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan yang berlaku.
Yogyakarta, November 2016 Yang menyatakan,
Humam Rosyadi NIM 11305141033
v
MOTTO
Man Thalaba Syaian wa Jadda wa Jada,
wa Man Qara’a al Baaba wa Lajja wa Laja.
“Barang siapa menuntut sesuatu dengan kesungguhan pasti akan mendapat apa yang diusahakan dan barang siapa membuka pintu terus menerus pasti ia akan menemui.”
Biqodri maa tata’anna, tanaalu maa tatamanna.
vi
PERSEMBAHAN
Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah swt. sehingga skripsi ini dapat
diselesaikan.
Skripsi ini saya persembahkan untuk:
1. Ayah dan Ibu. Sutriyono, S.Ag dan Endang Budi Astuti, S.Pd yang telah memberikan do’a, semangat, ilmu dan pengorbanan yang tiada terkira. Semoga kesehatan dan keberkahan selalu berlimpah kepada keluarga kita. 2. Saudaraku. Bagus Budi Jatmiko, S.Pd & Siti Umi Rohani, S.Pd, Basit
Faqihul Ahkam, dan Arina Munadiya Fauziah yang telah memberikan semangat dan pengorbanan. Saudaraku, mari kita berkarya dengan kesungguhan, keyakinan dan keikhlasan. Terimakasih atas kesabaran dan pengorbanan kalian. Barakallahu fiikum.
3. Guru, dosen, dan pendidik atas ilmu dan nasehat-nasehatnya yang menemani langkahku saat ini.
4. Saudara seperjuangan: Yogya Ardi Winata, Ahmad Muhsin Ma’arif, Yoga Warisman, Joko Andi Saputra. Teruslah bersama berjuang fii sabiilillah, jadi yang terbaik.
5. Para Ustadz yang telah mendidik: Ibnu Assyakir, Ahmad Hidayat, Anjar Riyadi, dan Raditya Permana. Semoga saya terus memperbaiki diri dan menjadi pribadi yang selalu berlomba dalam kebaikan.
6. Sahabat-sahabatku:
a. Playground: Nurma, Atul, Casca, Yuli, Lutfi, A’yun, Dwiss, Muhsin, Noval, Hasyim, dan Sahid. Trimakasih atas pertemanan dan kebersamaan kalian.
b. LQ Jumat Malam bersama Ustadz Ibnu Assyakir: Rama, Shidiq, Maulana, Dwi, Wira, Evan, dan Alif.
c. LQ bersama Mas Raditya Permana: Muhsin, Yoga, Aryok, GJ,Mutabik, Swastaji, Imad, Pepi, Fikri, Arif, dll.
7. Teman-teman di Tutorial PAI UNY, Haska, Himatika, KKN, Formasi Bumi, PII, Matsub/swa 2011, Matsub/swa 2012, dan pihak yang tidak bisa saya sebut satu persatu. Terimakasih.
vii
SIFAT-SIFAT KETEGAKLURUSAN, KESEJAJARAN, DAN SEGITIGA ASIMPTOTIK PADA GEOMETRI HIPERBOLIK
Oleh Humam Rosyadi NIM. 11305141033
ABSTRAK
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk menunjukan sifat-sifat yang berkaitan dengan ketegaklurusan, kesejajaran, dan segitiga asimptotik pada Geometri Hiperbolik.
Geometri Hiperbolik adalah geometri yang didasarkan pada Postulat Kesejajaran Hiperbolik yang merupakan ingkaran dari Postulat Kesejajaran Euclid. Pada Geometri Hiperbolik berlaku sifat-sifat yang berkaitan dengan ketegaklurusan, kesejajaran, dan segitiga asimptotik (segitiga khusus yang memiliki titik ideal dan memiliki sifat yang hampir mirip dengan segitiga pada Geometri Euclid). Sifat ketegaklurusan berkaitan dengan adanya garis tegaklurus persekutuan (common perpendicular) dan garis-garis ultraparalel. Sifat kesejajaran berkaitan dengan sudut kesejajaran dan sinar-sinar sejajar asimptotik. Sifat segitiga asimptotik merupakan akibat dari sudut kesejajaran dan sinar-sinar sejajar asimptotik.
Sifat ketegaklurusan meliputi: 1. tidak mungkin ada lebih dari dua titik dalam sebuah garis memiliki jarak yang sama terhadap garis kedua, 2. dua garis merupakan garis ultraparalel jika memiliki sebuah garis tegaklurus persekutuan, 3. apabila sebuah garis tranversal memotong titik tengah garis tegaklurus persekutuan, sudut dalam yang terbentuk oleh tranversal dan dua garis sejajar adalah kongruen. Sifat kesejajaran meliputi: 1. sinar-sinar sejajar asimptotik merupakan sinar-sinar yang membentuk sudut kesejajaran, 2. sudut kesejajaran besarnya kurang dari 90°, 3. sinar-sinar sejajar asimptotik memiliki garis sejajar persekutuan dan tidak memiliki garis tegaklurus persekutuan. Sifat segitiga asimptotik meliputi: 1. segitiga asimptotik adalah segititga yang memiliki titik ideal 2. dua buah segitiga yang sebangun maka keduanya kongruen, 3. kekongruenan Sisi-Sudut dan Sudut-sudut berlaku pada segitiga single asimptotik, 4. kekongruenan sudut-sudut berlaku pada segitiga dobel asimptotik, dan 5. Sebarang dua segitiga trebel saling kongruen.
Kata kunci: tegaklurus, sudut kesejajaran, sinar sejajar asimptotik, segitiga
viii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirobbil’alamin, puji syukur kehadirat Allah swt. sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi berjudul “Sifat-sifat Ketegaklurusan, Kesejajaran, dan Segitiga Asimptotik pada Geometri Hiperbolik.” Penulisan Skripsi ini dibuat untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh Gelar Sarjana Sains di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta.
Skripsi ini tidak dapat diselesaikan tanpa bantuan, dukungan, bantuan serta bimbingan beberapa pihak. Penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kelancaran pelayanan dalam urusan akademik.
2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kelancaran pelayanan dalam urusan akademik.
3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika Universitas Negeri Yogyakarta
4. Bapak Musthofa, M.Sc selaku Penasehat Akademik yang telah memberikan pengarahan akademik selama mengikuti perkuliahan.
5. Ibu Himmawati Puji Lestari, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah berkenan memberikan arahan dan bimbingan dengan penuh kesabaran dalam penyusunan skripsi ini.
6. Bapak Murdanu, M.Pd yang telah memberi masukan dan saran dalam penyusunan skripsi ini.
7. Seluruh dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan ilmu kepada penulis.
8. Orangtua dan keluarga yang telah memberikan doa, dukungan, serta semangat kepada penulis.
ix
Penulis menyadari adanya ketidaktelitian, kekurangan dan kesalahan dalam penulisan tugas akhir skripsi ini. Oleh karena itu, penulis menerima kritik dan saran yang bersifat membangun. Semoga penulisan tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak yang terkait.
Yogyakarta, November 2016 Penulis,
Humam Rosyadi NIM. 11305141033
x
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i HALAMAN PERSETUJUAN ... ii PENGESAHAN ... iii HALAMAN PERNYATAAN ... iv MOTTO ... v PERSEMBAHAN ... vi ABSTRAK ... viiKATA PENGANTAR ... viii
DAFTAR ISI ... x
DAFTAR GAMBAR ... xii
DAFTAR SIMBOL ... xiv
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang Masalah ... 1
B. Batasan Masalah ... 3
C. Rumusan Masalah ... 4
D. Tujuan Penelitian ... 4
E. Manfaat Penelitian ... 5
BAB II KAJIAN PUSTAKA ... 6
A. Pengenalan Geometri Non-Euclid ... 6
B. Geometri Insidensi ... 10
C. Geometri Euclid ... 11
1. Istilah Tak Terdefinisi dan Dua Aksioma Dasar ... 11
2. Keantaraan ... 12
3. Jarak dan Postulat Penggaris ... 14
4. Postulat Pemisahan Bidang ... 14
5. Postulat Busur (Protractor) dan Besar Sudut ... 19
6. Teorema Crossbar ... 21
7. Teorema Pasangan Linier ... 25
8. Postulat Sisi-Sudut-Sisi (Postulat S-Sd-S) ... 26
9. Postulat Kesejajaran Euclid ... 27
D. Geometri Netral ... 27
xi
2. Teorema Sudut Dalam Berseberangan ... 30
3. Segiempat Saccheri ... 32
4. Segiempat Lambert ... 33
E. Geometri Hiperbolik ... 34
BAB III PEMBAHASAN ... 38
A. Sifat-sifat Ketegaklurusan pada Geometri Hiperbolik ... 38
B. Sifat-sifat Kesejajaran pada Geometri Hiperbolik ... 45
1. Sudut Kesejajaran ... 46
2. Sinar-sinar Sejajar Asimptotik ... 54
C. Segitiga Asimptotik pada Geometri Hiperbolik ... 59
1. Jenis-jenis Segitiga Asimptotik pada Geometri Hiperbolik ... 61
2. Kekongruenan dan Kesebangunan pada Geometri Hiperbolik ... 62
BAB IV PENUTUP ... 72
A. Kesimpulan ... 72
B. Saran ... 74
DAFTAR PUSTAKA ... 75
xii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. Ruas Garis ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ...7
Gambar 2. Lingkaran dengan Titik Pusat dan Jari-jari ̅̅̅̅ ...7
Gambar 3. Titik berada di Antara dan ...12
Gambar 4. (a) Ruas Garis; (b) Sinar Garis; (c) Garis ...13
Gambar 5. (a)Bidang Konveks dan (b)Nonkonveks ...15
Gambar 6. (a) Irisan dua setengah bidang ⃡ ⃡ , (b) Interior Sudut ...16
Gambar 7. Segitiga ...17
Gambar 8. Jika memotong ̅̅̅̅, maka berpotongan dengan salah satu dari (atau ) ...18
Gambar 9. Mengukur Sudut Menggunakan Busur Sudut ...19
Gambar 10. (a) Sudut Siku-siku; (b) Sudut Lancip; dan (c) Sudut Tumpul ..21
Gambar 11. Ilustrasi Teorema Z ...22
Gambar 12. Titik Terletak pada dan ̅̅̅̅ ...22
Gambar 13. Pembuktian Teorema Crossbar ...23
Gambar 14. Sudut dan Membentuk Sebuah Pasangan Linier ..25
Gambar 15. Sudut Luar dan Sudut Interior Jauh pada Segitiga ...28
Gambar 16. Pembuktian Teorema Sudut Luar ...29
Gambar 17. Garis Tranversal Memotong Garis dan di Titik dan .30
Gambar 18. Ilustrasi Pengandaian pada Pembuktian Teorema 2.8 (Terdapat titik yang Memotong dan ) ...31
Gambar 19. Segiempat Saccheri pada Geometri Netral...33
Gambar 20. Segiempat Lambert pada Geometri Netral ...34
Gambar 21. Segiempat Saccheri S pada Geometri Hiperbolik ...37
Gambar 22. Tiga Titik Berjarak Sama pada Teorema 3.1 ...40
Gambar 23. Garis Tegaklurus Persekutuan ...41
Gambar 24. Segiempat Lambert L dan L dalam Segiempat Saccheri S ...42
Gambar 25. Garis Tegaklurus Persekutuan pada Garis dan adalah Tunggal ...43
Gambar 26. Tranversal Memotong Titik Tengah Garis Tegak Lurus Persekutuan ...44
Gambar 27. Konstruksi (Himpunan Beririsan untuk dan )...48
Gambar 28. Ilustrasi dari Himpunan Beririsan pada Sinar Garis...49
Gambar 29. Dua Sudut Kesejajaran untuk dan ...50
Gambar 30. Nilai kritis bergantung hanya pada jarak titik ke garis...51
xiii
Gambar 32. Ada Paling Sedikit Dua Garis Parallel,
Salah Satunya Membentuk Sudut Lancip ...54
Gambar 33. Sinar Garis Sejajar Asimptotik dengan ...55
Gambar 34. Titik Q berada di antara dan ...56
Gambar 35. Sudut dan merupakan Sudut Kritis ...57
Gambar 36. Segitiga Asimptotik Single atau ...60
Gambar 37. Segitiga Asimptotik Dobel ...61
Gambar 38. Segitiga Asimptotik Trebel ...62
Gambar 39. Berlaku Sd-Sd-Sd hanya pada Kekongruenan Segitiga ...64
Gambar 40. Kekongruenan Sisi-Sudut pada Segitiga Λ dan Λ ...65
Gambar 41. Dua Segitiga Trebel Asimptotik dan Kongruen...67
xiv
DAFTAR SIMBOL
: Titik
: Garis
: Ruas garis yang memiliki ujung-ujung titik A dan B
: Sinar garis yang memuat titik B dan titik A sebagai ujung
⃡ : Garis yang memuat titik A dan titik B
: Panjang
: Titik P berada di antara titik A dan titik B * + : Himpunan titik-titik A dan B
* + : Himpunan semua titik-titik P yang berada di antara titik A dan titik B
: Sinar garis yang membentuk sudut sebesar : Gabungan dua himpunan
: Sigma (jumlah besar sudut) : Fungsi Kappa ( Fungsi kritis) : Omega (titik ideal)
Φ : Phi (titik ideal)
: Sudut dengan titik sudut B dan kaki-kaki sudut dan
: Derajat sudut ( ) : Besar sudut
: Setengah bidang yang dibatasi oleh garis dan memuat titik . : Segitiga dengan titik sudut A,B, dan C
: Segitiga asimptotik
: Segitiga asimptotik (penulisan lain segitiga asimptotik dengan titik ideal )
: Segitiga dobel asimptotik : Segitiga trebel asimptotik ( ) : Jarak titik P terhadap garis : Garis tegaklurus dengan garis : Garis sejajar dengan garis
xv
: Garis sejajar asimptotik dengan garis
: Kongruen dengan
: Sebangun
: Segiempat
S : Segiempat Saccheri
L : Segiempat Lambert
