KONVEKSI DIFUSI PERMANEN SATU DIMENSI

(1)

Is ti art o ! Jur usa n Te knik S ipil da n Li ngkunga n F T UGM ! htt p://i stia rto. sta ff .ugm .a c. id ! em ai l: is ti ar to @ ug m .a c. id

K

ONVEKSI

D

IFUSI

P

ERMANEN

S

ATU

D

IMENSI

Diskritisasi Persamaan Konveksi Difusi Permanen Satu Dimensi dengan Metode Volume Hingga

Istiarto – JTSL FT UGM

Persamaan Transpor Konvektif-Difusif

Bentuk umum persamaan tranpor konvektif-difusif suatu besaran skalar φ adalah:

∂φ

∂t + ∇ φ V !"

( )

− ∇ Γ ∇

(

!"φ

)

= R (1)

Dalam persamaan di atas V!" adalah vektor kecepatan aliran, Γ adalah koefisien difusi, dan R adalah source.

Aliran harus pula memenuhi hukum konservasi massa (kekontinuan massa). Persamaan konservasi massa aliran adalah sebagai berikut:

0 =

∇ V (2)

Untuk kasus transpor dalam bidang satu dimensi dan permanen, persamaan transpor konvektif-difusif dan persamaan konservasi massa di atas dapat dituliskan sebagai berikut: d u φ d x − d d x Γ d φ d x $ % & ' ( ) = R (3) 0 d d = x u (4) Aplikasi persamaan konveksi-difusi permanen satu dimensi dipaparkan melalui contoh kasus di bawah ini.

Contoh kasus di sini mirip dengan contoh kasus pada transpor difusi permanen satu dimensi (lihat tulisan mengenai persamaan difusi, bab yang mendahului bab ini). Suatu saluran (flume) tampang segi empat dialiri air dengan kecepatan konstan 0.30 m/s. Panjang saluran 10 m, lebar saluran 0.40 m, dan kedalaman air 0.20 m. Air di ujung kiri saluran diberi temperatur 30°C dan di ujung kanan saluran diberi temperatur 25°C. Keduanya dipertahankan konstan. Koefisien difusi 5 m2_{/s. Temperatur di sepanjang}

saluran bervariasi dan dapat dihitung dengan memakai Pers. 3. Langkah hitungan mengikuti metode finite volume.

Sama dengan contoh kasus difusi permanen satu dimensi, coding dan hitungan dilakukan dengan bantuan spreadsheet. Para mahasiswa peserta kuliah diminta mengerjakan sendiri dengan mengacu pada langkah-langkah yang dijabarkan pada papan tulis dan tayangan yang ditunjukkan di ruang kuliah. Mahasiswa tidak disarankan untuk hanya membaca penjabaran langkah hitungan dan meng-copy file spreadsheet.

(2)

Langkah #1: Pembuatan grid (diskritisasi domain model)

Sama seperti pada contoh kasus difusi permanen satu dimensi, domain model, dalam hal ini saluran, dibagi menjadi sejumlah volume kontrol (control volume) diskrit, atau sering pula disebut dengan cell. Volume kontrol di dekat batas domain model diletakkan sedemikian hingga sisi volume kontrol berimpit dengan batas domain. Titik hitung (node) adalah titik tengah volume kontrol. Dalam kasus difusi di dalam saluran ini, domain model dibagi menjadi 10 volume kontrol berukuran seragam, panjang 1 m, agar hitungan menjadi sederhana.

Gambar 1. Diskritisasi domain model menjadi sejumlah volume kontrol. Langkah #2: Diskritisasi persamaan difusi

Integrasi persamaan diferensial konveksi-difusi, Pers. 3, untuk sebuah volume kontrol adalah: d uφ d x d ϑ cv

∫∫∫

− d d x Γ d φ d x & ' ( ) * +d ϑ cv

∫∫∫

=

∫∫∫

_cvRd ϑ (5)

Dengan memakai teorema divergensi Gauss, integral volume suku konveksi dan difusi di sisi kiri pada persamaan di atas dapat diubah menjadi integral luasan tertutup yang menyelimuti volume kontrol:

u φ ! n ⋅dS! S

"∫∫

− Γd φ d x ! n ⋅dS! S

"∫∫

=

∫∫∫

_cvRd ϑ (6)

Dalam persamaan tersebut, S adalah vektor luas yang arahnya tegak lurus ke arah luar dari selimut volume kontrol. Untuk volume kontrol satu dimensi (Gambar 2),

persamaan di atas dapat diubah menjadi:

u S

( )

eφe− u S

( )

wφw # $ %&− Γ Sd φ_{d x} ( ) * + , -e − Γ Sd φ d x ( ) * + , -w # $ . . % & / /= R Δϑ (7)

Dalam persamaan di atas, S adalah luas tampang sisi volume kontrol, Δϑ adalah volume volume-kontrol, dan R adalah source rata-rata di dalam volume kontrol. Titik hitung suatu volume kontrol diidentifikasikan dengan simbol P yang memiliki volume kontrol tetangga di sisi kiri W (West) dan sisi kanan E (East). Sisi volume kontrol di kiri adalah w dan di kanan adalah e.

Dengan cara yang sama, integrasi persamaan kontinuitas, Pers. 4, untuk sebuah volume kontrol satu dimensi adalah:

(3)

Gambar 2. Volume kontrol satu dimensi.

Untuk penyederhanaan penulisan, dikenalkan variabel F dan D. F adalah fluks (massa) konvektif dan D adalah konduktivitas difusi menembus sisi volume kontrol:

S u F = dan x S D Δ Γ = (9)

Dengan memakai variabel F tersebut, maka suku-suku konvektif pada Pers. 7 dapat dituliskan sebagai berikut:

u S

( )

eφe− u S

( )

wφw= Feφe− Fwφw (10) Dengan memakai definisi variabel D serta memakai cara beda tengah (central

difference) untuk menghitung gradien φ di sisi volume kontrol, maka suku-suku difusi

pada Pers. 7 dapat dituliskan sebagai berikut:

Γ Sd φ d x # $ % & ' ( e =ΓeSe Δx_PE

(

φE− φP

)

= De

(

φE− φP

)

Γ Sd φ d x # $ % & ' ( w =ΓwSw Δx_WP

(

φP− φW

)

= Dw

(

φP− φW

)

(11) Dengan memakai Pers. 10 dan 11 serta memakai cara linearisasi untuk menghitung suku

source seperti yang dilakukan pada contoh kasus difusi permanen satu dimensi, maka

bentuk diskrit persamaan transpor konvektif-difusif, Pers. 7, adalah: F_eφ_e− F_wφ_w

#$ %&− D#$ e

(

φE− φP

)

− Dw

(

φP− φW

)

%& = Ru+ RpφP (12)

dan bentuk diskrit persamaan kontinuitas, Pers. 8, adalah: 0

= − w e F

F (13)

Dari Pers. 12 dan 13, tampak dua hal yang perlu mendapatkan perhatian, yaitu nilai-nilai F dan φ di sisi volume kontrol. Untuk saat ini, dianggap bahwa kecepatan aliran

di sisi volume kontrol diketahui (pada kenyataannya, kecepatan merupakan variabel unknown), sehingga F dapat dihitung. Nilai variabel φ di sisi volume kontrol perlu

ditentukan dengan pendekatan berdasarkan nilai variabel φ di volume kontrol. Untuk keperluan ini, dikenal berbagai skema pendekatan, antara lain: beda tengah (central

(4)

Central Differencing Scheme

Nilai koefisien difusi φ di sisi-sisi volume kontrol, w dan e, dihitung dengan interpolasi linear dari nilai-nilai yang ada di dua titik hitung volume kontrol di kiri dan kanannya (Gambar 3):

φ_w=ΔxwPφW + ΔxWwφP

Δx_Ww+ Δx_wP dan φe=

Δx_eEφ_P+ Δx_Peφ_E

Δx_Pe+ Δx_eE (14)

Apabila ukuran volume kontrol seragam, maka:

φw=12

(

φW + φP

)

dan φe=12

(

φP+ φE

)

(15)

Gambar 3. Central differencing scheme. Substitusi Pers. 15 ke Pers. 12 menghasilkan persamaan berikut ini:

F_e 2

(

φP+ φE

)

− F_w 2

(

φW + φP

)

# $ % & ' (− D#_$ _e

(

φ_E− φ_P

)

− D_w

(

φ_P− φ_W

)

&_{' = R}_u+ R_pφ_P (16) yang dengan pengelompokan koefisien menghasilkan persamaan berikut ini:

F_e 2 − De " # $ % & 'φ_E+ Fe 2 + De " # $ % & ' − Fw 2 − Dw " # $ % & ' − R_P ) * + + , -. .φP+ − F_w 2 − Dw " # $ % & 'φ_W = R_u (17) Dengan sedikit manipulasi matematis, persamaan tersebut dapat pula dituliskan sebagai berikut: −Fw 2 − Dw " # $ % & 'φ_W + − −Fw 2 − Dw " # $ % & ' − Fe 2 − De " # $ % & '+ F_e− F_w− R_P ) * + + , -. .φP+ F_e 2 − De " # $ % & 'φ_E= R_u Apabila koefisien-koefisien suku φW, φE, dan φP dinamai aW, aP, dan aP, maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

a φ + a φ + a φ = R (18) φW φP φE φw φe

(5)

Koefisien-koefisien dalam persamaan tersebut adalah: w w W D F a =− − 2 , aE= F_e 2 − De, dan aP= −aW − aE+ Fe− Fw− Rp

Pers. 18 merupakan persamaan diskrit di setiap volume kontrol. Untuk 10 volume kontrol (lihat Gambar 1), akan diperoleh 10 persamaan. Nilai variabel φ di setiap

volume kontrol (φP) merupakan fungsi nilai-nilai φ di 2 volume kontrol tetangga (φE dan φW). Volume kontrol yang berada di kedua ujung saluran, yaitu volume kontrol 1 dan 10, hanya memiliki satu tetangga, sedangkan salah satu sisi berimpit dengan batas domain model. Di batas domain, nilai φ diketahui. Nilai ini dikenal sebagai syarat batas (boundary condition). Di bawah ini dipaparkan penyusunan kesepuluh persamaan tersebut.

Volume kontrol 2 s.d. 9

Dengan 10 volume kontrol seragam, Δx = 1 m, luas sisi volume kontrol seragam, S = 0.40×0.20 = 0.08 m2, koefisien difusi seragam, Γ = 5 m2/s, kecepatan seragam, u = 0.30 m/s, maka: s m 024 . 0 08 . 0 30 . 0 × = 3 = = =F uS F_e _w s m 40 . 0 1 08 . 0 5 3 = × = Δ Γ = = x S D D_e _w

dan koefisien-koefisien pada persamaan diskrit konveksi-difusi adalah: 412 . 0 40 . 0 2 024 . 0 2− =− − =− − = w w W F D a 388 . 0 40 . 0 2 024 . 0 2− = − =− = e e E F D a aP= −aW − aE+ Fe− Fw− Rp= 0.388+ 0.412 + 0.024 − 0.024 − 0 = 0.80

Perlu dicatat bahwa dalam kasus ini tidak ada source, sehingga Ru = 0 dan RP φP = 0. Volume kontrol 1

Sisi kiri volume kontrol ini, w, berimpit dengan batas domain. Di sebelah kanan (timur), volume kontrol ini bertetangga dengan volume kontrol 2. Koefisien aE dihitung seperti hitungan pada volume kontrol 2 s.d. 9. Di sebelah kiri (barat), tidak ada volume kontrol tetangga, sehingga koefisien aW tidak ada. Koefisien aP dan suku source dihitung dengan cara berbeda dari cara hitungan source di volume kontrol 2 s.d. 9. Persamaan diskrit transpor konvektif difusif di volume kontrol 1 adalah (lihat Gambar 4):

(6)

(

)

[

(

)

2

(

)

]

0 2 #$− φ −φ − φ −φ = % &' ( φ − φ + φP E w w e E P w P w e _F _D _D F

Pada contoh kasus ini, tidak ada source sehingga suku di sebelah kanan tanda persamaan adalah nol. Dengan pengelompokan koefisien, persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

F_e 2 + De ! " # $ % &+ 2Dw ' ( ) ) * + , ,φP+ F_e 2 − De ! " # $ % &φE= F

(

w+ 2Dw

)

φw

atau dapat pula dituliskan sebagai berikut:

− Fe 2 − De " # $ % & '+ Fe+ 2Dw ( ) * * + , --φP+ F_e 2 − De " # $ % & 'φE= F

(

w+ 2Dw

)

φw

Dalam hal ini, φw = φA = 30°C. 0 = W a 388 . 0 40 . 0 2 024 . 0 2− = − =− = e e E F D a Rp = −2Dw= −2 × 0.40 = −0.80 aP= −aE+ Fe− Rp = 0.388+ 0.024 + 0.80 = 1.212

(

+2

)

φ =

(

0.024+2×0.40

)

30=24.72 = _w _w _w u F D R Volume kontrol 10

Perlakuan untuk volume kontrol 10 ini mirip dengan volume kontrol 1, hanya saja sisi yang berimpit dengan batas domain model adalah sisi kanan, e.

Gambar 5. Volume kontrol di batas kanan domain model.

Persamaan diskrit transpor konvektif difusif di volume kontrol 10 adalah sebagai berikut (lihat Gambar 5):

(

)

[

2

(

)

(

)

]

0 2 #$− φ −φ − φ −φ = % &' ( φ + φ − φe w W P e e P w P W e F D D F

Dengan pengelompokan koefisien, persamaan di atas dapat diubah menjadi:

(

)

w w _D _D F _D _F _D F φ − − = φ # % & ( − − + φ + . + # % & ( + − 2 2

(7)

Is ti art o ! Jur usa n Te knik S ipil da n Li ngkunga n F T UGM ! htt p://i stia rto. sta ff .ugm .a c. id ! em ai l: is ti ar to @ ug m .a c. id atau −Fw 2 − Dw " # $ % & 'φ_W + − −Fw 2 − Dw " # $ % & ' − F_w+ 2D_e ) * + + , -. .φP= − F

(

e− 2De

)

φe Dalam hal ini, φe = φB = 25°C.

412 . 0 40 . 0 2 024 . 0 2− =− − =− − = _w _w W F D a 0 = E a Rp = −2De= −2 × 0.40 = −0.80 aP= −aW − Fw− Rp= 0.412 − 0.024 + 0.80 = 1.188

(

−2

)

φ =−

(

0.024−2×0.40

)

25=19.4 − = e e e u F D R

Langkah #3: Penyelesaian persamaan (sistem persamaan linear)

Seperti halnya dalam kasus transpor difusif, kesepuluh persamaan yang diperoleh dari penjabaran persamaan diskrit transpor konvektif-difusif di setiap volume kontrol pada langkah ke-2 merupakan satu sistem persamaan linear. Sistem persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks sebagai berikut:

A Φ = R (19)

A adalah matriks bujur sangkar berdimensi 10×10 yang elemennya adalah koefisien aE,

aW, dan aP, Φ adalah vektor kolom yang elemennya adalah variabel φ, dan R adalah vektor kolom yang elemennya adalah konstanta/nilai source.

a_P a_E 0 0 0 0 0 0 0 0 a_W a_P a_E 0 0 0 0 0 0 0 0 a_W a_P a_E 0 0 0 0 0 0 0 0 a_W a_P a_E 0 0 0 0 0 0 0 0 a_W a_P a_E 0 0 0 0 0 0 0 0 a_W a_P a_E 0 0 0 0 0 0 0 0 a_W a_P a_E 0 0 0 0 0 0 0 0 a_W a_P a_E 0 0 0 0 0 0 0 0 a_W a_P a_E 0 0 0 0 0 0 0 0 a_W a_P ! " # # # # # # # # # # # # # # # # $ % & & & & & & & & & & & & & & & & A !###########"###########$ φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ φ₅ φ₆ φ₇ φ₈ φ₉ φ₁₀ ( ) * * * * * * ** + * * * * * * * * , -* * * * * * ** . * * * * * * * * Φ ! "# $# = R_u1 R_u2 R_u3 R_u4 R_u5 R_u6 R_u7 R_u8 R_u9 R_u10 ( ) * * * * * * ** + * * * * * * * * , -* * * * * * ** . * * * * * * * * R ! "# $#

Substitusi nilai-nilai koefisien yang telah diperoleh pada langkah ketiga ke dalam matriks di atas menghasilkan matriks sebagai berikut:

(8)

! ! ! ! ! ! ! " !! ! ! ! ! ! # $ ! ! ! ! ! ! ! % !! ! ! ! ! ! & ' = ! ! ! ! ! ! ! " !! ! ! ! ! ! # $ ! ! ! ! ! ! ! % !! ! ! ! ! ! & ' φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) * + , , , , , , , , , , , , , , -. − − − − − − − − − − − − − − − − − − 4 . 19 0 0 0 0 0 0 0 0 72 . 24 188 . 1 412 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 388 . 0 8 . 0 412 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 388 . 0 8 . 0 412 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 388 . 0 8 . 0 412 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 388 . 0 8 . 0 412 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 388 . 0 8 . 0 412 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 388 . 0 8 . 0 412 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 388 . 0 8 . 0 412 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 388 . 0 8 . 0 412 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 388 . 0 212 . 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

(9)

Is ti art o ! Ju ru san T ek ni k Si pi l d an L in gk un gan F T U G M ! htt p://i stia rto. sta ff .ugm .a c. id ! em ai l: is ti ar to @ ug m .a c. id

Unknowns matrix Φ dapat dihitung dengan mengalikan inversi matriks A (A−1) dengan

matriks di sisi kiri dan kanan Pers. 19:

R A

φ −1

= (20)

Hitungan dapat dilakukan dengan mudah dengan bantuan program aplikasi spreadsheet MSExcel.

1. Misalkan elemen-elemen matriks A dituliskan dalam sel Q25:Z34 dan elemen matriks R dalam sel AC25:AC34.

2. Vektor kolom Φ dihitung dengan fungsi yang telah disediakan dalam MSExcel dan disimpan dalam sel AC37:AC46 dengan langkah sebagai berikut:

− pilih sel AC37:AC46

− tuliskan fungsi untuk menghitung perkalian dua matriks =MMULT(MINVERSE(Q25:Z34),AC25:AC34) − tekan tombol CNTRL+SHIFT+ENTER bersama-sama − sel AC37:AC46 berisi Φ seperti di bawah ini:

29.8176 29.4303 29.0190 28.5823 28.1185 27.6261 27.1032 26.5480 25.9584 25.3324

Profil temperatur air di sepanjang flume yang diperoleh dari hitungan numeris dengan metode central differencing scheme disajikan pada Gambar 6.

(10)

Gambar 6. Profil temperatur air di flume yang diperoleh dari penyelesaian numeris persamaan konveksi-difusi dengan menggunakan cara central differencing scheme.

Upwind Differencing Scheme

Central differencing scheme memiliki kelemahan dalam hal ketidak-mampuannya

“melihat” arah aliran. Nilai φ di sisi timur, misalnya, selalu merupakan fungsi

(dipengaruhi) oleh nilai φ di titik hitung P dan E. Apabila transpor konvektif dominan (kecepatan aliran besar), nilai φe seharusnya lebih banyak dipengaruhi oleh nilai φP apabila arah aliran positif (dari P ke E) dan oleh nilai φE apabila arah aliran negatif (dari E ke P). Kelemahan ini tidak dijumpai pada upwind differencing scheme. Pada skema ini, nilai φ di sisi-sisi volume kontrol adalah sama dengan nilai φ di volume kontrol hulu (tempat asal aliran). Gambar 7 menunjukkan secara skematis prinsip upwind

differencing scheme. 24! 25! 26! 27! 28! 29! 30! 31! 0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10! Temperatur)[ °) C] ) Jarak)[m])

(11)

Gambar 7. Upwind differencing scheme: (a) arah aliran positif, dan (b) arah aliran negatif.

Dengan upwind differencing scheme, nilai φe dan φw ditetapkan dengan cara sebagai berikut: 0 jika 0 jika < φ = > φ = φ e E e P e F F (21a) 0 jika 0 jika < φ = > φ = φ w P w W w F F (21b) Substitusi Pers. 21a dan 21b di atas ke Pers. 12 menghasilkan:

max F

₍

_e,0

₎

ϕ_P− max −F

(

_e,0

)

ϕ_E #

$ &− max F% #$

(

w,0

)

ϕW − max −F

(

w,0

)

ϕP%& − D#_$ _e

(

ϕ_E− ϕ_P

)

− D_w

(

ϕ_P− ϕ_W

)

%_{& = R}_u+ R_pϕ_P

Dengan mengelompokkan koefisien, persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

−max F

(

_w,0

)

− D_w " # %φ$ W + max F"_#

(

e,0

)

+ De+ max −F

(

w,0

)

+ Dw− Rp$_%φP + −max −F"_#

(

_e,0

)

− D_e$_%φ_E = R_u (22) φW φE φP φw φe φW φE φP φw φe

(12)

Perhatikan koefisien transpor konvektif untuk φP pada persamaan di atas:

(

,0

)

max −F_w dapat dituliskan dalam bentuk max

(

Fw,0

)

−Fw, dan

(

,0

)

max F_e dapat dituliskan dalam bentuk max

₍

−F_e,0

₎

+F_e

sehingga Pers. 22 dapat diubah cara penulisannya menjadi seperti Pers. 18:

a_W φ_W + a_Pφ_P+ a_Eφ_E= R_u (23)

Dalam persamaan di atas, koefisien-koefisien aW, aE, dan aP adalah:

(

w

)

w W F D a =−max ,0 −

(

e

)

e E F D a =−max − ,0 − a_P= −a_W − a_E+ F_e− F_w− R_p

Pers. 23 merupakan bentuk diskrit persamaan transpor konvektif-difusif permanen satu dimensi. Aplikasi persamaan tersebut pada contoh kasus transpor temperatur air pada aliran di dalam flume dijabarkan pada paragraf-paragraf di bawah ini.

Fluks konvektif dan konduktivitas difusi telah dihitung pada sub-bab yang membahas

central differencing scheme, yaitu: s m 024 . 0 08 . 0 30 . 0 × = 3 = = =F uS F_e _w s m 40 . 0 1 08 . 0 5 3 = × = Δ Γ = = x S D D_e _w

Koefisien-koefisien pada persamaan diskrit konveksi-difusi adalah:

(

,0

)

max

(

0.024,0

)

0.40 0.424 max − =− − =− − = w w W F D a

(

,0

)

max

(

0.024,0

)

0.40 0.40 max − − =− − − =− − = _e _e E F D a aP= −aW − aE+ Fe− Fw− Rp= 0.424 + 0.40 + 0.024 − 0.024 − 0 = 0.824

Pada volume kontrol 1 yang sisi kirinya, w, berimpit dengan batas domain, persamaan diskrit transpor konvektif-difusif adalah sebagai berikut:

#$max F

(

e,0

)

φP− max −F

(

e,0

)

φE%&− F#$ wφw%&− D$# e

(

φE− φP

)

− 2Dw

(

φP− φw

)

%& = 0 Dengan pengelompokan koefisien, persamaan di atas dapat diubah menjadi: "!max F

(

e,0

)

+ De+ 2Dw#$φP+ −max −F!"

(

e,0

)

− De#$φE= F!" w+ 2Dw#$φw atau dapat pula dituliskan sebagai berikut:

(13)

Is ti art o ! Ju ru san T ek ni k Si pi l d an L in gk un gan F T U G M ! htt p://i stia rto. sta ff .ugm .a c. id ! em ai l: is ti ar to @ ug m .a c. id "#max −F

(

e,0

)

+ De+ Fe+ 2Dw$%φP+ −max −F"#

(

e,0

)

− De$%φE = F"# w+ 2Dw$%φw dalam hal ini φw = φA = 30°C sehingga:

0 = W a

(

,0

)

max

(

0.024,0

)

0.40 0.40 max − − =− − − =− − = e e E F D a Rp = −2Dw= −2 × 0.40 = −0.80 aP= −aE+ Fe− Rp= 0.40 + 0.024 + 0.80 = 1.224 Ru = F

(

w+ 2Dw

)

φw= 0.024 + 2 × 0.40

(

)

× 30 = 24.72 Volume kontrol 10

Pada volume kontrol 10 yang sisi kanannya, e, berimpit dengan batas domain, persamaan diskrit transpor konvektif-difusif adalah sebagai berikut:

"#Feφe$%− max F"#

(

w,0

)

φW − max −F

(

w,0

)

φP$%− 2D#" e

(

φe− φP

)

− Dw

(

φP− φW

)

$% = 0 Dengan pengelompokan koefisien, persamaan di atas dapat diubah menjadi: "#−max F

(

w,0

)

− Dw$%φW + max −F"#

(

w,0

)

+ Dw+ 2De$%φP= −F"# e+ 2De$%φe atau dapat pula dituliskan sebagai berikut:

"#−max F

(

w,0

)

− Dw$%φW + max F"#

(

w,0

)

+ Dw− Fw+ 2De$%φP= −F"# e+ 2De$%φe dalam hal ini φe = φB = 25°C sehingga:

0 = E a

(

,0

)

max

(

0.024,0

)

0.40 0.024 0.40 0.424 max − =− − =− − =− − = w w W F D a Rp = −2De= −2 × 0.40 = −0.80 aP= −aW − Fw− Rp= 0.424 − 0.024 + 0.80 = 1.20 Ru = −F

(

e+ 2De

)

φe= −0.024 + 2 × 0.40

(

)

× 25 = 19.4

Kesepuluh persamaan yang disusun dalam bentuk persamaan matriks seperti disajikan pada halaman berikut.

(14)

1.224 −0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.424 0.824 −0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.424 0.824 −0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.424 0.824 −0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.424 0.824 −0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.424 0.824 −0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.424 0.824 −0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.424 0.824 −0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.424 0.824 −0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.424 1.2 " # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ % & ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ φ₅ φ₆ φ₇ φ₈ φ₉ φ₁₀ ) * + + + + + + ++ , + + + + + + + + -. + + + + + + ++ / + + + + + + + + = 24.72 0 0 0 0 0 0 0 0 19.4 ) * + + + + + + , + + + + + + -. + + + + + + / + + + + + +

Penyelesaian persamaan tersebut dengan metode matriks inversi yang dihitung dengan bantuan MSExcel menghasilkan vektor kolom Φ sebagai berikut: 29.8111 29.4219 29.0094 28.5721 28.1086 27.6173 27.0964 26.5444 25.9592 25.3389

(15)

Is ti art o ! Ju ru san T ek ni k Si pi l d an Lingkunga n F T UGM ! htt p://i stia rto. sta ff .ugm .a c. id ! em ai l: is ti ar to @ ug m .a c. id

Hybrid Differencing Scheme

Hybrid differencing scheme diperkenalkan oleh Spalding (1972). Skema ini pada

dasarnya menggabungkan skema central difference dan upwind difference. Dalam skema ini central dan upwind differencing scheme dipakai salah satu atau bersama-sama berdasarkan nilai Angka Peclet, Pe, yang didefinisikan di sisi volume kontrol sebagai berikut: di sisi kanan: PE e e e e e e e x S S u D F Pe Δ Γ = = (24a) di sisi kiri: WP w w w w w w w _DF _Su S _x Pe Δ Γ = = (24b)

Dalam skema hybrid differencing, fluks di sisi volume kontrol dihitung dengan central

differencing apabila Angka Peclet bernilai antara −2 s.d. 2 dan dihitung dengan upwind differencing dan difusi diabaikan apabila Angka Peclet lebih besar daripada 2 atau lebih

kecil daripada −2.

Dengan skema hybrid differencing, fluks di sisi kanan adalah sebagai berikut:

Q_e =Fe 2

(

φP+ φE

)

− De

(

φE− φP

)

= Fe 2 − De # $ % & ' (φ_E+ Fe 2 + De # $ % & ' (φ_P = Fe 2 − De # $ % & ' (φ_E+ −Fe 2 + De # $ % & ' (+ F_e ) * + + , -. .φP jika −2 < Pee < 2

Q_e = F_eφ_P jika Pee ≥ 2 (dalam hal ini Fe > 0) Q_e= F_eφ_E jika Pee ≤ −2 (dalam hal ini Fe < 0) Perhatikan bahwa syarat −2 < Pee < 2 dapat dituliskan dalam bentuk lain sebagai berikut: 2 2< < − e e D F atau −D_e <₂1F_e <D_e atau ₂1Fe −De <Fe < ₂1Fe +De

sehingga jika ₂1F_e +D_e > F_e maka koefisien untuk φE adalah a_E =1₂F_e−D_e dan jika syarat ini tidak dipenuhi, yaitu jika F_e > 1₂F_e +D_e, maka koefisien untuk φE adalah

0 = E

a jika F_e >0 atau a =_E F_e jika F_e <0.

Koefisien aE dapat dituliskan dalam bentuk ringkas sebagai berikut: ! " # $ % & ' ( ) * + , − − − − = ,0 2 , max _e e _e E F F D a

(16)

Is ti art o ! Ju ru san T ek ni k Si pi l d an Lingkunga n F T UGM ! htt p://i stia rto. sta ff .ugm .a c. id ! em ai l: is ti ar to @ ug m .a c. id a_P= −a_E+ F_e

Dengan cara yang sama, fluks di sisi kiri adalah:

−Q_w= −Fw 2

(

φW + φP

)

+ Dw

(

φP− φW

)

= −Fw 2 − Dw # $ % & ' (φ_W + −Fw 2 + Dw # $ % & ' (φ_P = −Fw 2 − Dw # $ % & ' (φ_W + Fw 2 + Dw # $ % & ' ( − F_w ) * + + , -. .φP jika −2 < Pew < 2

−Qw= −FwφW jika Pew ≥ 2 (dalam hal ini Fw > 0) −Qw= −FwφP jika Pew ≤ −2 (dalam hal ini Fw < 0) Perhatikan bahwa syarat −2 < Pew < 2 dapat dituliskan dalam bentuk lain sebagai berikut: 2 2< < − w w D F _atau w w w F D D < < − ₂1 atau ₂1Fw−Dw<Fw <₂1Fw+Dw

sehingga jika ₂1F_w+D_w >F_w maka koefisien untuk φW adalah a_W =−₂1F_w−D_w dan jika syarat ini tidak dipenuhi, yaitu jika F_w>₂1F_w+D_w, maka koefisien untuk φW adalah a_W =−F_w jika Fw >0 atau aW =0 jika Fw <0.

Koefisien aW dapat dituliskan dalam bentuk ringkas sebagai berikut: ! " # $ % & ' ( ) * + , ₊ − = ,0 2 , max _w w _w W F F D a

dan koefisien aP dalam bentuk ringkas adalah: w

W

P a F

a =− −

Dengan demikian, bentuk diskrit persamaan konveksi difusi di sebuah volume kontrol dapat dituliskan sebagai berikut:

a_W φ_W + a_Pφ_P+ a_Eφ_E= R_u (25)

Dalam persamaan di atas, koefisien-koefisien aE, aW, dan aP adalah: ! " # $ % & ' ( ) * + , + − = ,0 2 , max _w w _w W F F D a ! " # $ % & ' ( ) * + , − − − − = ,0 2 , max _e e _e E F F D a a_P= −a_W − a_E+ F_e− F_w− R_p

(17)

Pers. 25 merupakan bentuk diskrit persamaan transpor konvektif-difusif permanen satu dimensi. Aplikasi persamaan tersebut pada contoh kasus transpor temperatur air pada aliran di dalam flume dijabarkan pada paragraf-paragraf di bawah ini.

central differencing scheme, yaitu: s m 024 . 0 08 . 0 30 . 0 × = 3 = = =F uS F_e _w s m 40 . 0 1 08 . 0 5 3 = × = Δ Γ = = x S D D_e _w

(

)

[

0.024, 0.024 2 0.40,0

]

0.412 max 0 , 2 , max _"=− + =− # $ % & ' ( ) * + , - ₊ − = _w w _w W F F D a

(

)

[

0.024, 0.024 2 0.40,0

]

0.388 max 0 , 2 , max _"=− − − − =− # $ % & ' ( ) * + , -− − − − = e e e E F F D a aP= −aW − aE+ Fe− Fw− Rp= 0.412 + 0.388+ 0.024 − 0.024 − 0 = 0.800

− F_$# _wφ_w− 2D_w

(

φ_P− φ_w

)

%_{&+ max −F}_e,− Fe 2 − De ' ( ) * + ,,0 # $ -% & . .+ Fe / 0 1 21 3 4 1 51 φ_P− max −F_e,− Fe 2 − De ' ( ) * + ,,0 # $ -% & . .φE= 0

Dengan memindahkan suku-suku yang nilainya diketahui ke sisi kanan tanda kesamaan, maka: −max −F_e,− Fe 2 − De " # $ % & ',0 ( ) * * + , --φE+ max −Fe,− F_e 2 − De " # $ % & ',0 ( ) * * + , --+ Fe+ 2Dw / 0 1 21 3 4 1 51 φ_P= F_w+ 2D_w

(

)

φ_w

Dalam hal ini φw = φA = 30°C sehingga: 0 = W a

(

)

[

0.024, 0.024 2 0.40,0

]

0.388 max 0 , 2 , max _"=− − − − =− # $ % & ' ( ) * + , - ₋ − − − = e e e E F F D a

(18)

Is ti art o ! Ju ru san T ek ni k Si pi l d an Lingkunga n F T UGM ! htt p://i stia rto. sta ff .ugm .a c. id ! em ai l: is ti ar to @ ug m .a c. id Rp = −2Dw= −2 × 0.40 = −0.80 aP= −aE+ Fe− Rp = 0.388+ 0.024 + 0.80 = 1.212 Ru = F

(

w+ 2Dw

)

φw= 0.024 + 2 × 0.40

(

)

F_eφ_e− 2D_e

(

φ_e− φ_P

)

# $ %&+ max Fw, F_w 2 + Dw ' ( ) * + ,,0 # $ -% & . .− Fw / 0 1 21 3 4 1 51 φ_P− max F_w, Fw 2 + Dw ' ( ) * + ,,0 # $ -% & . .φW = 0

Dengan memindahkan suku-suku yang nilainya diketahui ke sisi kanan tanda kesamaan, maka: max F_w, Fw 2 + Dw ! " # $ % &,0 ' ( ) ) * + , ,− Fw+ 2De . / 0 10 2 3 0 40 φ_P− max F_w, Fw 2 + Dw ! " # $ % &,0 ' ( ) ) * + , ,φW = −F

(

e+ 2De

)

φe Dalam hal ini φe = φB = 25°C sehingga:

(

)

[

0.024, 0.024 2 0.40,0

]

0.412 max 0 , 2 , max _"=− + =− # $ % & ' ( ) * + , -+ − = w w w W F F D a 0 = E a Rp = −2De= −2 × 0.40 = −0.80 aP= −aW − Fw− Rp= 0.412 − 0.024 + 0.80 = 1.188 Ru = −F

(

e+ 2De

)

φe= −0.024 + 2 × 0.40

(

)

× 25 = 19.4

Kesepuluh persamaan yang diperoleh dari hitungan di atas adalah sama dengan sepuluh persamaan yang diperoleh pada hitungan dengan skema central differencing. Dengan demikian, distribusi temperatur air di sepanjang flume juga sama dengan distribusi temperatur yang diperoleh pada hitungan dengan skema central differencing, yaitu: 29.8176 29.4303 29.0190 28.5823 28.1185 27.6261 27.1032 26.5480 25.9584 25.3324

(19)

Is ti art o ! Ju ru san T ek ni k Si pi l d an Lingkunga n F T UGM ! htt p://i stia rto. sta ff .ugm .a c. id ! em ai l: is ti ar to @ ug m .a c. id Power-law Scheme

Power-law scheme dikenalkan oleh Patankar (1980). Hasil hitungan dengan skema ini

lebih akurat daripada hasil hitungan dengan skema hibrid. Dalam skema power-law, fluks di sisi volume kontrol dihitung dengan suatu persamaan polinomial apabila Angka Peclet bernilai antara 0 s.d. 10. Apabila Angka Peclet lebih daripada 10, fluks dihitung dengan skema upwind differencing dan difusi diabaikan.

Dengan skema power-law, fluks di sisi kanan volume kontrol adalah sebagai berikut: Q_e = F_e$_%φ_P− β_e

(

φ_E− φ_P

)

&_' jika −10 < Pee < 10

dalam hal ini β_e =

₍

1−0.1Pe_e

₎

5 Pe_e

Q_e = F_eφ_P jika Pee ≥ 10 (dalam hal ini Fe > 0) Q_e= F_eφ_E jika Pee ≤ −10 (dalam hal ini Fe < 0) Fluks di sisi kiri volume kontrol adalah:

Q_w= F_w$_%φ_W − β_w

(

φ_P− φ_W

)

&_' jika −10 < Pew < 10 dalam hal ini β_w =

₍

1−0.1Pe_w

₎

5 Pe_w

Q_w= F_wφ_W jika Pew ≥ 10 (dalam hal ini Fw > 0) Q_w= F_wφ_P jika Pew ≤ −10 (dalam hal ini Fw < 0) Dengan demikian, bentuk diskrit persamaan konveksi-difusi di sebuah volume kontrol dapat dituliskan sebagai berikut:

a_W φ_W + a_Pφ_P+ a_Eφ_E= R_u (26)

Dalam persamaan di atas, koefisien-koefisien aW, aE, dan aP adalah:

(

,0

)

max

(

1 0.1

)

,0

)

max _w _w _w 5 W F D Pe a =− − −

(

,0

)

max

(

1 0.1

)

,0

)

max _e _e _e 5 E F D Pe a =− − − − a_P= −a_W − a_E+ F_e− F_w− R_p

Aplikasi power-law scheme pada contoh kasus konveksi-difusi permanen satu dimensi dipaparkan pada paragraf-paragraf di bawah ini.

central differencing scheme. Kedua nilai tersebut dan nilai Angka Peclet adalah: s m 024 . 0 08 . 0 30 . 0 × = 3 = = =F uS F_e _w s m 40 . 0 1 08 . 0 5 3 = × = Δ Γ = = x S D D_e _w

(20)

Is ti art o ! Ju ru san T ek ni k Si pi l d an Lingkunga n F T UGM ! htt p://i stia rto. sta ff .ugm .a c. id ! em ai l: is ti ar to @ ug m .a c. id 06 . 0 40 . 0 024 . 0 = = = = D F Pe Pe_e _w

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4121 . 0 006 . 0 1 40 . 0 024 . 0 0 , 06 . 0 1 . 0 1 max 40 . 0 0 , 024 . 0 max 0 , 1 . 0 1 max 0 , max 5 5 5 − = − × − − = − × − − = − − − = w w w W F D Pe a

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3881 . 0 006 . 0 1 40 . 0 0 0 , 06 . 0 1 . 0 1 max 40 . 0 0 , 024 . 0 max 0 , 1 . 0 1 max 0 , max 5 5 5 − = − × − = − × − − − = − − − − = e e e E F D Pe a aP= −aW − aE+ Fe− Fw− Rp= 0.4121+ 0.3881+ 0.024 − 0.024 − 0 = 0.8002 Volume kontrol 1

a_Eφ_E+ −a

(

_E+ F_e

)

φ_P

{

}

− F_wφ_w− 2D_wmax 1− 0.1 Pe#

(

_w

)

5,0 $ % & ' ( φ

(

P− φw

)

) * + , -.= 0

Dengan memindahkan suku-suku yang nilainya diketahui ke sisi kanan tanda kesamaan, maka: −a_E+ F_e

(

)

+ 2D_wmax 1− 0.1 Pe"

(

_w

)

5,0 # $ % & ' ( ) * + , -φP+ aEφE= F_w+ 2D_wmax 1− 0.1 Pe"

(

_w

)

5,0 # $ % & ' ( ) * + , -φw

Dalam hal ini φw = φA = 30°C sehingga: 0 = W a

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3881 . 0 006 . 0 1 40 . 0 0 0 , 06 . 0 1 . 0 1 max 40 . 0 0 , 024 . 0 max 0 , 1 . 0 1 max 0 , max 5 5 5 − = − × − = − × − − − = − − − − = e e e E F D Pe a

(21)

Is ti art o ! Ju ru san T ek ni k Si pi l d an Lingkunga n F T UGM ! htt p://i stia rto. sta ff .ugm .a c. id ! em ai l: is ti ar to @ ug m .a c. id R_p = −2D_wmax 1− 0.1 Pe"

(

_w

)

5,0 # $ % & ' = −2 × 0.40 × max 1− 0.1 0.06

(

)

5 ,0 " # $ % & ' = −2 × 0.40 × 1− 0.006

(

)

5 = −0.7763 aP= −aE+ Fe− Rp= 0.3881+ 0.024 + 0.7763 = 1.1884 R_u = F_w+ 2D_wmax 1− 0.1 Pe"

(

_w

)

5,0 # $ %_&' ( ) * + , -φw = 0.024 + 2 × 0.40 × max 1− 0.1 0.06"

(

)

5,0 # $ % & ' ( ) * + , -× 30 = 0.024 + 2 × 0.40 × 1− 0.006

{

(

)

5

}

F_eφ_e− 2D_emax 1− 0.1 Pe#

(

_e

)

5,0 $ % &_'( φ

(

e− φP

)

) * + , -.+ −a

{

W − Fw

}

φP+ aWφW = 0

Dengan memindahkan suku-suku yang nilainya diketahui ke sisi kanan tanda kesamaan, maka: a_W φ_W+ −a

(

_W − F_w

)

+ 2D_emax 1− 0.1 Pe#

(

_e

)

5,0 $ % & ' ( ) * + , -.φP= −F_e+ 2D_emax 1− 0.1 Pe#

(

_e

)

5,0 $ % & ' ( ) * + , -.φe

Dalam hal ini φe = φB = 25°C sehingga: 0 = E a

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4121 . 0 006 . 0 1 40 . 0 024 . 0 0 , 06 . 0 1 . 0 1 max 40 . 0 0 , 024 . 0 max 0 , 1 . 0 1 max 0 , max 5 5 5 − = − × − − = − × − − = − − − = w w w W F D Pe a

(22)

Is ti art o ! Ju ru san T ek ni k Si pi l d an Lingkunga n F T UGM ! htt p://i stia rto. sta ff .ugm .a c. id ! em ai l: is ti ar to @ ug m .a c. id R_p = −2D_emax 1− 0.1 Pe"

(

_e

)

5,0 # $ % & ' = −2 × 0.40 × max 1− 0.1 0.06

(

)

5 ,0 " # $ % & ' = −2 × 0.40 × 1− 0.006

(

)

5 = −0.7763 aP= −aW − Fw− Rp= 0.412 − 0.024 + 0.7763 = 1.1644 R_u = − F_e+ 2D_emax 1− 0.1 Pe"

(

_e

)

5,0 # $ %_&' ( ) * + , -φe = −0.024 + 2 × 0.40 × max 1− 0.1 0.06"

(

)

5,0 # $ % & ' ( ) * + , -× 25 = −0.024 + 2 × 0.40 × 1− 0.006

{

(

)

5

}

× 25 = 18.8072

Dari hitungan koefisien di atas, diperoleh sepuluh persamaan linear. Distribusi temperatur air di sepanjang flume diperoleh dengan menyelesaikan kesepuluh persamaan linear tersebut secara simultan, yaitu:

29.8127 29.4266 29.0166 28.5813 28.1190 27.6281 27.1069 26.5535 25.9658 25.3419 QUICK Scheme

QUICK adalah singkatan Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinetics. Skema ini dikenalkan pertama kali oleh Leonard (1979). Skema ini merupakan skema bertingkat (berorder) dua atau kuadratik. Dengan skema yang lebih tinggi, diharapkan kesalahan diskritisasi yang diakibatkan oleh adanya difusi numeris (perihal difusi numeris ini dibahas pada tulisan yang membahas diskritisasi dua dimensi) akan berkurang. Skema QUICK memperhatikan lebih banyak volume kontrol tetangga dibandingkan dengan skema-skema yang telah dibahas pada empat sub-bab sebelum sub-bab ini. Nilai variabel di tiga volume kontrol sisi hulu (prinsip upwind differencing) dipakai untuk menetapkan nilai variabel pada suatu sisi volume kontrol. Nilai φ di sisi volume kontrol (P) diperoleh dengan memakai kurva kuadratik yang melewati tiga titik hitung, yaitu dua titik hitung di tetangga terdekat (W dan E) serta satu titik hitung di sisi hulu (lihat Gambar 8).

(23)

Apabila kecepatan positif, uw > 0 dan ue > 0, nilai φw ditetapkan dengan memakai fungsi kuadratik yang melewati nilai-nilai φ di titik hitung WW, W, dan P, sedangkan nilai φe ditetapkan berdasarkan fungsi kuadratik yang melalui nilai-nilai φ di titik hitung W, P, dan E. Apabila kecepatan negatif, uw < 0 dan ue < 0, nilai φw ditetapkan dengan

memakai fungsi kuadratik yang melewati nilai-nilai φ di titik hitung W, P, dan E, sedangkan nilai φe ditetapkan berdasarkan fungsi kuadratik yang melalui nilai-nilai φ di titik hitung P, E, dan EE.

Gambar 8. QUICK differencing scheme: (a) arah aliran positif, dan (b) arah aliran negatif.

Apabila ukuran volume kontrol seragam, maka nilai φ di sisi volume kontrol di antara titik-titik hitung i dan i − 1, serta titik hitung hulu i − 2 memenuhi persamaan berikut:

φsisi=68φi−1+38φi−18φi−2 (27)

Nilai φe adalah: W E P e = φ + φ − φ φ ₈6 ₈3 ₈1 jika ue > 0 (Fe > 0) (28a) EE P E e = φ + φ − φ φ ₈6 ₈3 ₈1 jika ue < 0 (Fe < 0) (28b) Nilai φw adalah: WW P W w = φ + φ − φ φ ₈6 ₈3 ₈1 jika uw > 0 (Fw > 0) (29a) E W P w = φ + φ − φ φ ₈6 ₈3 ₈1 jika uw < 0 (Fw < 0) (29a) φWW φW φP φE φEE φw φe φWW φW φP φE φEE φw φe

(24)

Dengan demikian, bentuk diskrit persamaan konveksi-difusi di sebuah volume kontrol dapat dituliskan sebagai berikut:

a_WWφ_WW + a_W φ_W+ a_Pφ_P+ a_Eφ_E+ a_EEφ_EE= R_u (30) Dalam persamaan di atas, koefisien-koefisien aWW, aW, aE, aEE, dan aP adalah:

a_WW =1₈α_wF_w a_W = −6₈α_wF_w−₈3

(

1− α_w

)

F_w−1₈α_eF_e− D_w a_E=₈3α_eF_e+6₈

(

1− α_e

)

F_e+1₈

(

1− α_w

)

F_w− D_e a_EE = −1₈

(

1− α_e

)

F_e a_P= −a_WW − a_W − a_E− a_EE+ F_e− F_w− R_p # $ % % % % & % % % % α_w= 1 jika Fw> 0 0 jika F_w< 0 ' ( % )% α_e= 1 jika Fe> 0 0 jika F_e< 0 ' ( % )%

Aplikasi skema QUICK pada contoh kasus konveksi-difusi permanen satu dimensi dipaparkan pada paragraf-paragraf berikut ini.

central differencing scheme. Kedua nilai tersebut adalah: s m 024 . 0 08 . 0 30 . 0 × = 3 = = =F uS F_e _w s m 40 . 0 1 08 . 0 5 3 = × = Δ Γ = = x S D D_e _w

Karena Fe > 0 dan Fw > 0, maka αe = 1 dan αw = 1.

aWW = 1 8αwFw=18×1× 0.024 = 0.003 a_W = −6₈α_wF_w−₈3

(

1− α_w

)

F_w−1₈α_eF_e− D_w = −

{

₈6×1× 0.024

}

−

{

₈3× 1−1

(

)

× 0.024

}

−

{

1₈×1× 0.024

}

− 0.40

{

}

= −0.421 a_E =₈3α_eF_e+6₈

(

1− α_e

)

F_e+1₈

(

1− α_w

)

F_w− D_e =

{

3₈×1× 0.024

}

+

{

₈6× 1−1

(

)

× 0.024

}

+

{

₈1× 1−1

(

)

× 0.024

}

− 0.40

{

}

= −0.391 aEE = −18

(

1− αe

)

Fe= −18× 1−1

( )

× 0.024 = 0 a_P= −a_WW − a_W − a_E− a_EE+ F_e− F_w− R_p = −0.003+ 0.421+ 0.391− 0 + 0.024 − 0.024 − 0

(25)

Perlu dicatat bahwa dalam kasus ini tidak ada source, sehingga Ru = 0 dan Rp φP = 0. Volume kontrol 1

Sisi kiri volume kontrol ini, w, berimpit dengan batas domain. Di sebelah kanan (timur), volume kontrol ini bertetangga dengan volume kontrol 2 dan 3 (E dan EE). Koefisien aE dihitung seperti hitungan pada volume kontrol 2 s.d. 9. Di sebelah kiri (barat), tidak ada volume kontrol tetangga, sehingga koefisien aW tidak ada. Koefisien aP dan suku source dihitung dengan cara berbeda dari cara hitungan source di volume kontrol 2 s.d. 9. Pada volume kontrol 1, nilai ϕ di sisi barat telah diketahui, yaitu ϕw = ϕA, sedangkan nilai ϕ di sisi timur, ϕe, dihitung dengan Pers. 28a. Karena ϕW tidak ada, maka nilai ini ditetapkan di volume kontrol 0 yang merupakan hasil pencerminan volume kontrol 1. Nilai ϕ0

ditetapkan dengan cara ekstrapolasi (lihat Gambar 9). φW = φ0= 2φA− φP

Substitusi nilai ϕW di atas ke Pers. 28a memberikan persamaan yang diperlukan untuk mendapatkan ϕe:

φ_e=6₈φ_P+3₈φ_E−1₈φ_W

=6₈φ_P+3₈φ_E−1₈

(

2φ_A− φ_P

)

=7₈φ_P+₈3φ_E−2₈φ_A

Gambar 9. Ekstrapolasi nilai ϕ ke volume kontrol di luar batas kiri domain model. Memperhatikan persamaan ϕe di atas, maka nilai gradien di batas barat volume kontrol 1 (titik hitung A) pun harus dihitung dengan cara yang konsisten dengan persamaan ini. Fluks difusif melalui sisi barat, dengan cara ini, adalah:

Γ∂φ

∂x _A=

D_A

3

(

9φP− 8φA− φE

)

Dengan demikian, persamaan diskrit konveksi-difusi di volume kontro1 1 adalah: ϕ0 ϕA ϕP P = 1 w = A 0

(26)

Is ti art o ! Ju ru san T ek ni k Si pi l d an Lingkunga n F T UGM ! htt p://i stia rto. sta ff .ugm .a c. id ! em ai l: is ti ar to @ ug m .a c. id F_e 7 8φP+83φE−28φA

(

)

− F_Aφ_A

{

}

− D_e

(

φ_E− φ_P

)

−DA 3

(

9φP− 8φA− φE

)

# $ % & ' (= 0 Pengaturan koefisien pada persamaan di atas dan dengan manipulasi matematis menghasilkan: −₈3F_e+ D_e+1₃D_A

(

)

+ F_e− F_w− −

(

2₈F_e− F_A−8₃D_A

)

{

}

φ_P+

(

3₈F_e− D_e−1₃D_A

)

φ_E= 2 8Fe+ FA+83DA

(

)

φ_A

yang dapat dituliskan dalam bentuk baku persamaan diskrit konveksi-difusi, Pers. 30:

a_WWφ_WW + a_Wφ_W+ a_Pφ_P+ a_Eφ_E+ a_EEφ_EE = R_u

Dalam hal ini φw = φA = 30°C, FW = FA = 0.024 m3/s, De = DA = 0.40 m3/s, dan koefisien-koefisien pada persamaan tersebut adalah:

aWW = 0 aW = 0 a_E =₈3F_e− D_e−1₃D_A =₈3× 0.024 − 0.40 −1₃× 0.40 = −0.5243 aEE = 0 R_p = −2₈F_e− F_A−8₃D_A = −2₈× 0.024 − 0.024 −8₃× 0.40 = −1.0967 a_P= −a_WW − a_W − a_E− a_EE+ F_e− F_w− R_p = −0 − 0 + 0.5243− 0 + 0.024 − 0.024 +1.0967 = 1.621 R_u =

(

2₈F_e+ F_A+8₃D_A

)

φ_A =

(

2₈× 0.024 + 0.024 +8₃× 0.40

)

Memperhatikan persamaan yang dipakai untuk menghitung nilai ϕ di sisi timur volume kontrol 1, maka persamaan yang sama harus dipakai untuk menghitung nilai ϕ di sisi barat volume kontrol 2 dalam menghitung fluks konvektif. Oleh karena itu, persamaan diskrit konveksi-difusi di volume kontrol 2, yang semula telah dihitung bersama-sama dengan volume kontrol 3 s.d. 9, perlu diubah menjadi:

(27)

Is ti art o ! Ju ru san T ek ni k Si pi l d an Lingkunga n F T UGM ! htt p://i stia rto. sta ff .ugm .a c. id ! em ai l: is ti ar to @ ug m .a c. id F_e 6 8φP+83φE−81φW

(

)

− F_w

(

7₈φ_W +₈3φ_P−₈2φ_A

)

{

}

− D_e

(

φ_E− φ_P

)

− D_w

(

φ_P− φ_W

)

{

}

= 0

Dengan pengaturan koefisien, maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

−1₈F_e−7₈F_w− D_w

(

)

φ_W +

{

(

1₈F_e+7₈F_w+ D_w

)

−

(

3₈F_e− D_e

)

+ F

(

_e− F_w

)

−

(

₈2F_w

)

}

φ_P+ 3 8Fe− De

(

)

φ_E= −2₈F_wφ_A yang dapat dituliskan dalam bentuk baku persamaan diskrit konveksi-difusi, Pers. 30:

a_WWφ_WW + a_Wφ_W+ a_Pφ_P+ a_Eφ_E+ a_EEφ_EE = R_u Koefisien-koefisien pada persamaan tersebut adalah: aWW = 0 a_W = −1₈F_e−7₈F_w− D_w = −1₈× 0.024 −7₈× 0.024 − 0.40 = −0.424 a_E =3₈F_e− D_e =3₈× 0.024 − 0.40 = −0.391 aEE = 0 R_p =₈2F_w =₈2× 0.024 = 0.006 a_P= −a_WW − a_W − a_E− a_EE+ F_e− F_w− R_p = −0 + 0.424 + 0.391− 0 + 0.024 − 0.024 − 0.006 = 0.809 R_u = −2₈F_wφ_A = −2₈× 0.024 × 30 = −0.18 Volume kontrol 10

Pada volume kontrol 10 yang sisi kanannya, e, berimpit dengan batas domain dan temperatur di tempat itu diketahui, yaitu ϕe = ϕB = 25°C. Fluks difusif ϕ di batas barat volume kontrol 10 dinyatakan dengan persamaan berikut:

(28)

Is ti art o ! Ju ru san T ek ni k Si pi l d an Lingkunga n F T UGM ! htt p://i stia rto. sta ff .ugm .a c. id ! em ai l: is ti ar to @ ug m .a c. id Γ∂φ ∂x _B= D_B 3

(

8φB− 9φP+ φW

)

Dengan demikian, persamaan diskrit konveksi-difusi di volume kontro1 10 adalah:

F_Bφ_B− F_w

(

6₈φ_W +3₈φ_P−1₈φ_WW

)

{

}

− DB 3

(

8φB− 9φP+ φW

)

− Dw

(

φP− φW

)

# $ % & ' (= 0 Dengan memindahkan suku-suku yang nilainya diketahui ke sisi kanan tanda kesamaan, maka: −1₈F_w

(

)

φ_WW+ −

(

6₈F_w−1₃D_B− D_w

)

φ_W + 1 8Fw

(

)

− −

(

6₈F_w−1₃D_B− D_w

)

+ F_e− F_w− F

(

_B−8₃D_B

)

{

}

φ_P= −F

(

_B+8₃D_B

)

φ_B

yang dapat dituliskan dalam bentuk baku persamaan diskrit konveksi-difusi, Pers. 30:

a_WWφ_WW + a_Wφ_W+ a_Pφ_P+ a_Eφ_E+ a_EEφ_EE = R_u Dalam hal ini φe = φB = 25°C sehingga:

a_WW =1₈F_w =1₈× 0.024 = 0.003 a_W = −6₈F_w−1₃D_B− D_w = −6₈× 0.024 −1₃× 0.40 − 0.40 = −0.5513 aE = 0 aEE = 0 R_p = F_B−8₃D_B = 0.024 −8₃× 0.40 = −1.0427 a_P= −a_WW − a_W − a_E− a_EE+ F_e− F_w− R_p = −0.003+ 0.5513− 0 − 0 + 0.024 − 0.024 +1.0427 = 1.591 R_u = −F

(

_B+8₃D_B

)

φ_B = −0.024 +

(

8₃× 0.40

)

× 25 = 26.0667

Dari persamaan diskrit transpor konvektif-difusif di sepuluh volume kontrol, diperoleh sepuluh persamaan yang dapat dituliskan dalam bentuk matriks di bawah ini.

(29)

Is ti art o ! Ju ru san T ek ni k Si pi l d an Lingkunga n F T UGM ! htt p://i stia rto. sta ff .ugm .a c. id ! em ai l: is ti ar to @ ug m .a c. id a_P a_E a_EE 0 0 0 0 0 0 0 a_W a_P a_E a_EE 0 0 0 0 0 0 a_WW a_W a_P a_E a_EE 0 0 0 0 0 0 a_WW a_W a_P a_E a_EE 0 0 0 0 0 0 a_WW a_W a_P a_E a_EE 0 0 0 0 0 0 a_WW a_W a_P a_E a_EE 0 0 0 0 0 0 a_WW a_W a_P a_E a_EE 0 0 0 0 0 0 a_WW a_W a_P a_E a_EE 0 0 0 0 0 0 a_WW a_W a_P a_E 0 0 0 0 0 0 0 a_WW a_W a_P ! " # # # # # # # # # # # # # # # # $ % & & & & & & & & & & & & & & & & A !##############"##############$ φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ φ₅ φ₆ φ₇ φ₈ φ₉ φ₁₀ ( ) * * * * * * ** + * * * * * * * * , -* * * * * * ** . * * * * * * * * Φ ! "# $# = R_u1 R_u2 R_u3 R_u4 R_u5 R_u6 R_u7 R_u8 R_u9 R_u10 ( ) * * * * * * ** + * * * * * * * * , -* * * * * * ** . * * * * * * * * R ! "# $#

Dengan menuliskan nilai setiap koefisien persamaan, maka diperoleh matriks sebagai berikut:

(30)

1.621 −0.5243 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.424 0.809 −0.391 0 0 0 0 0 0 0 0.003 −0.421 0.809 −0.391 0 0 0 0 0 0 0 0.003 −0.421 0.809 −0.391 0 0 0 0 0 0 0 0.003 −0.421 0.809 −0.391 0 0 0 0 0 0 0 0.003 −0.421 0.809 −0.391 0 0 0 0 0 0 0 0.003 −0.421 0.809 −0.391 0 0 0 0 0 0 0 0.003 −0.421 0.809 −0.391 0 0 0 0 0 0 0 0.003 −0.421 0.809 −0.391 0 0 0 0 0 0 0 0.003 −0.5513 1.591 " # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ % & ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' A !##################"##################$ φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ φ₅ φ₆ φ₇ φ₈ φ₉ φ₁₀ ) * + + + + + + ++ , + + + + + + + + -. + + + + + + ++ / + + + + + + + + Φ ! "# $# = 32.9 −0.18 0 0 0 0 0 0 0 26.0667 ) * + + + + + + , + + + + + + -. + + + + + + / + + + + + + R ! "## ##$

(31)

Penyelesaian persamaan tersebut dengan metode matriks inversi yang dihitung dengan bantuan MSExcel menghasilkan vektor kolom Φ sebagai berikut:

29.8147 29.4271 29.0156 28.5787 28.1148 27.6221 27.0991 26.5436 25.9539 25.3276

Perbandingan Hasil Hitungan dengan Berbagai Skema Penyelesaian

Tabel di bawah ini menyajikan temperatur di sepanjang flume yang diperoleh dari penyelesaian numeris persamaan transpor konvektif-difusif dengan berbagai skema penyelesaian metode volume hingga. Tampak bahwa kelima skema memberikan hasil yang hampir tidak berbeda.

Tabel 1. Temperatur air di sepanjang flume yang dihitung dengan berbagai jenis skema penyelesaian metode volume hingga, dalam satuan °C.

Node Skema penyelesaian metode volume hingga _Central _Upwind _Hybrid _{Power Law} _QUICK

ϕA 30 30 30 30 30 ϕ1 29.8176 29.8111 29.8176 29.8127 29.8147 ϕ2 29.4303 29.4219 29.4303 29.4266 29.4271 ϕ3 29.0190 29.0094 29.0190 29.0166 29.0156 ϕ4 28.5823 28.5721 28.5823 28.5813 28.5787 ϕ5 28.1185 28.1086 28.1185 28.1190 28.1148 ϕ6 27.6261 27.6173 27.6261 27.6281 27.6221 ϕ7 27.1032 27.0964 27.1032 27.1069 27.0991 ϕ8 26.5480 26.5444 26.5480 26.5535 26.5436 ϕ9 25.9584 25.9592 25.9584 25.9658 25.9539 ϕ10 25.3324 25.3389 25.3324 25.3419 25.3276 ϕB 25 25 25 25 25

Referensi

Ferziger, J. H., and Peric, M., 1997, Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag, Berlin, Germany.

Istiarto, I., 2001, Flow Around A Cylinder In A Scoured channel Bed, Doctoral

Dissertation, EPFL, Switzerland.

Versteeg, H. K., and Malalasekera, W., 1995, An Introduction to Computational Fluid