Ekspresi Reguler. Pertemuan Ke-8. Sri Handayaningsih, S.T., M.T. Teknik Informatika

Ekspresi Reguler

Sri Handayaningsih, S.T., M.T.

TIU dan TIK

1. memahami konsep ekspresi reguler dan ekivalensinya dengan bahasa reguler.

2. Mengetahun Penerapan Ekspresi Reguler

Reguler

3. Mengetahui Definisi Formal ER 4. Mengetahui Bahasa untuk ER

Ekspresi Regular

ekspresi Regular adalah menggambarkan bahasa regular Contoh: Menggambarkan bahasanya

*

)

(

a



b



c

  

a

,

bc

*





,

a

,

bc

,

aa

,

abc

,

bca

,...



Definisi Rekursif





,

,



Ekspresi reguler yg paling sederhana :

2

r

1

r

Diberikan ekspresi reguler and Maka :



1₁ 2 1 2 1

*

r

r

r

r

r

r





Merupakan ekspresi reguler Maka :

Contoh 1



a



b



c



*



(

c





)

Ekspresi reguler



a

b





Bahasa dari

Ekspresi reguler

: bahasa dari Ekspresi reguler



r

L

_r

contoh



(

a

b

c

)

*

 

,

a

,

bc

,

aa

,

abc

,

bca

,...



Definisi

Untuk Ekspresi reguler yg paling sederhana:

 

L







 

 

a

a

L

L









Definisi (Lanjutan)

Untuk Ekspresi reguler

r

₁ dan

r

₂



r

₁

r

₂

   

L

r

₁

L

r

₂

L







   

r

₁

r

₂

L

r

₁

L

r

₂

L





  

r

₁

*

 

L

r

₁

*

L





  

r

₁

L

r

₁

L



Contoh 2

Ekspresi reguler :

 

a



b



a

*

 



a

b

a

*



L







L



 

a



b

 

L

a

*

  

a

b

L

a

*

L





 



L

a



L

b

 

 

L

a

*



 



a



b



 

a

*



 

a

,

b



,

a

,

aa

,

aaa

,...





Tentukan L(r) dari :

Jawab

Ekspresi reguler

r



 

a



b

*

a



bb



Adalah :

 

r

a

,

bb

,

aa

,

abb

,

ba

,

bbb

,...



Tentukan L(r) dari :

Jawab

Ekspresi reguler

r



  

aa

*

bb

*

b



2n 2m



r



{

a

2

b

2

b

:

n

,

m



0

}

Apakah berikut ini merupakan

Ekspresi

reguler

?

)

(r

L

(r

)

= { seluruh string yang tidak boleh

L

= { seluruh string yang tidak boleh

Contoh 1

Ekspresi reguler

r



(

0



1

)

*

00

(

0



1

)

*

)

(r

L

(r

)

= {seluruh string yang ada

L

= {seluruh string yang ada

Contoh 2

Reguler ekspresi

r



(

1



01

)

*

(

0





)

)

(r

L

(r

)

= {seluruh string yang tidak ada

L

= {seluruh string yang tidak ada

Equivalen ekspresi Reguler

Definisi:

ekspresi regular

r

1dan

r

2 ekspresi regular dan

adalah

equivalen

jika 1

r

r

₂

)

(

)

(

r

₁

L

r

₂

L



Contoh

L

= {seluruh string yang tidak ada

dua “0” yang berurutan }

)

0

(

*

)

01

1

(

1









r

)

0

(

*

1

)

0

(

*

*)

011

*

1

(

2













r

L

r

L

r

L

(

₁

)



(

₂

)



_{Adalah equivalen}

r

1 dan

r

2

Expresi Reguler

dan

Bahasa Reguler

Bahasa Reguler

Teorema

General Bahasa dengan Ekspresi Reguler Bahasa Regular

Pembuktian General Bahasa dengan Ekspresi Reguler Bahasa Regular General Bahasa dengan Ekspresi Reguler Bahasa Regular

Pembuktian - bagian 1

Bahasa Regular General Bahasa dengan Ekspresi Reguler

r

)

(r

L

Untuk setiap ekspresi reguler

Bahasa adalah reguler

Induksi Dasar

Ekspresi reguler Paling Sederhana:





,

,



NFA

)

(

)

(

M







L



L

(

M

₁

)







L

(



)

L

)

(

}

{

)

(

M

₂



L



L









Bahasa reguler a

Induksi Hipotesa

Asumsi

Untuk ekspresi reguler dan maka ;

1

r

_r

₂

maka ;

dan adalah bahasa reguler

)

(

r

₁

Langkah Induksi

Pembuktian:





 

_{1 2} 2 1

r

r

L

r

r

L





Adalah

 

 

₁ 2 1

*

r

L

r

r

L



Adalah Bahasa Reguler

Dengan definisi dari ekspresi reguler, maka:



   

   

_{1 2 1 2} 2 1 2 1

r

L

r

L

r

r

L

r

L

r

L

r

r

L











  

 



  

_{1 1} 1 1

*

*

r

L

r

L

r

L

r

L





)

(

r

₁

L

L

(

r

₂

)

Dengan hipotesis induksi didapatkan:

dan adalah bahasa reguler

Bahasa reguler adalah pendekatan diketahui:

Bahasa reguler adalah pendekatan dari 3 hal ini:

  

 

r

₁1

L

r

₂ 2

L

r

L

r

L



Union Concatenation

Oleh karena itu :



r

₁

r

₂

   

L

r

₁

L

r

₂

L







Adalah bahasa

   

  

₁

*

 

₁

*

2 1 2 1

r

L

r

L

r

L

r

L

r

r

L







Adalah bahasa reguler

Kesimpulan:

))

((

r

₁

Pembuktian - bagian 2

Bahasa reguler General Bahasa dengan Ekspresi Reguler

L

r

L

(

r

)



L

untuk setiap bahasa reguler merupakan ekspresi reguler dengan

Selama adalah reguler yang diambil dari NFA yang diterimanya

L

M

L

M

L

(

M

)



L

L

(

)



Dari konstruksi untuk equivalen menggunakan Graf Transisi secara Umum

Dengan penamaan transisi adalah ekspresi reguler

M

Contoh :

a

b

a,

c

M

a

b

a



c

Contoh Lain :

a

_a,

_b

b

b

0

q

q

₁

q

₂

b

b

a



a

b

0

q

q

₁

q

₂

b

Perulangan state :

b

a



a

b

b

0

q

q

₁

q

₂

b

0

q

q

₂

b

a

bb *

)

(

*

a

b

bb



Kesimpulan Ekspresi Reguler : 0

q

q

₂

b

a

bb *

)

(

*

a

b

bb



0

q

q

₂

*

)

(

*

*

)

*

(

bb

a

bb

a

b

b

r





Secara Umum

Pergerakan Statenya : i

q

_q

q

_j

a

_b

c

d

e

i

q

q

_j

d

ae *

ce *

b

d

ce *

b

ae *

Graf transisi Akhir : 0

q

q

_f 1

r

2

r

3

r

4

r

2

r

*

)

*

(

*

_{2 4 3 1 2} 1

r

r

r

r

r

r

r





Standard dari Bahasa Reguler

Bahasa reguler

FA

Jika diberikan Bahasa Regular

Berarti:

L

Bahasa adalah standar

Berarti: Bahasa adalah standar representasi

Properti dari

Bahasa Regular

Bahasa Regular

1

L

L

₂ 2 1

L

L

Concatenation: Star: 2 1

L

L



Union: Adalah Untuk bahasa regular dan

*

1

L

Star: Adalah Bahasa Reguler 1

L

Complement: R

L

₁ Reversal:

1

L

Bahasa reguler

 

M

₁

L

₁

L



NFA 2

L

 

M

₂

L

₂

L



Bahasa reguler NFA 1

M

State yang diterima tunggal

NFA

M

₂

State yang diterima tunggal

Contoh

}

{

1

a

b

L



n

a

b

1

M

0  n

 

ba

L

₂



b

a

2

M

Union

NFA untuk 1

M

2 1

L

L





2

M



Contoh

a

b

}

{

1

a

b

L



n

}

{

}

{

2 1

L

a

b

ba

L





n



NFA untuk

b





_L

₂

_

_{

_ba

_}

Concatenation

NFA untuk 1 2

L

L

1

M

₁

M

₂

M

M

₂





Contoh

NFA untuk

}

{

a

b

L



n

}

{

}

}{

{

2 1

L

a

b

ba

a

bba

L



n



n

a

b

b

a

}

{

1

a

b

L



n

}

{

2

ba

L







Star Operation

NFA untuk

*

1

L

1

M



*

1

L











_

Contoh

NFA untuk

_L

₁

_*



_{

_a

n

_b

_}

_*

}

{

a

b

L



n



1 2 1 L w w w w w i k   

a

b

}

{

1

a

b

L



n





Reverse

R

L

₁ 1

M

NFA for



1

M

1

L

1. Reverse seluruh transisi

2. Buat state awal yg dapat diterima dan sebaliknya

Contoh

}

{

1

a

b

L



n

a

b

1

M

}

{

1 n R

ba

L



a

b



1

M

Complement

1

M

1

L

L

₁

_M

₁



1. Ambil

FA yang diterima oleh

L

₁

2. Buat state akhir non-final, dan sebaliknya

Contoh

}

{

1

a

b

L



n

a

b

1

M

b

a,

b

a,

}

{

*

}

,

{

1

a

b

a

b

L





n

a

b



1

M

b

a,

b

a,

Intersection

1

L

regular

L

regular Lihat

L

₁



L

₂ 2

L

regular _regular

Hukum DeMorgan’s :

L

₁



L

₂



L

₁



L

₂ 2 1 , L L regular 2 1 , L L regularregular 2 1 L L  regular 2 1 L L  regular

Contoh

}

{

1

a

b

L



n

}

,

{

2

ab

ba

L



regular regular

}

{

2 1

L

ab

L





regular

}

,

{

2

ab

ba

L



regular _regular

1

L

untuk _untuk

_L

₂ FA 1

M

FA 2

M

Mesin _Mesin

Pembuktian lain untuk Closur Interseksi

Bangun FA baru

M

yg dpt diterima

L

₁



L

₂

M

Simulasi secara paralel

M

dan

M

State pada

M

j i p q , 1

M

M

₂

1

M

M

₂ 1

q

a

q

₂ transisi 1

p

a

p

₂ transisi FA FA 1 1

, p

q

a

M

FA 2 2

, p

q

0

q

State awal 0

p

State awal 1

M

M

₂ FA FA State awal 0 0

, p

q

M

FA

i q State akhir j p State akhir k p 1

M

M

₂ FA FA

M

FA State akhir j i p q , _{q ,i pk}

M

FA

M

Simulasi secara paralel

M

₁ dan

M

₂

M

Menerima string

w

Jika dan hanya jika

menerima string dan

_w

1

M

menerima string

_w

2

M

)

(

)

(

)

(

M

L

M

₁

L

M

₂

L





Contoh:

}

{

1

a

b

L



n

a

1

M

0  n

}

{

2

ab

m

L



b

2

M

0  m

a

b

b

b

0 q q_{1 p0} 1 p 2 q 2 p a

a

b a,

0 0, p

q

Automata untuk irisan

} { } { } {a b ab ab L  n  n  1 0, p q

a

_b

_{q1, p1}

a

2 2, p q b a, 2 1, p q

b

2 0, p q

a

1 2, p q

b

a

b

b

a

Pustaka

1. Tedy Setiadi, Diktat Teori Bahasa dan Otomata, Teknik Informatika UAD, 2005

2. Hopcroft John E., Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman,

Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation, 2rd, Addison-Wesley,2000

3. Martin C. John, Introduction to Languages and Theory of

Computation, McGraw-Hill Internatioanal edition,1991 3. Martin C. John, Introduction to Languages and Theory of

Computation, McGraw-Hill Internatioanal edition,1991 4. Linz Peter,Introduction to Formal Languages & Automata,

DC Heath and Company, 1990

5. Dulimarta Hans, Sudiana, Catatan Kuliah Matematika

Informatika, Magister Teknik Informatika ITB, 1998

6. Hinrich Schütze, IMS, Uni Stuttgart, WS 2006/07, Slides based on RPI CSCI 2400