Statistika. Analisis Data Time Series. 13-Sep-16. h2p://is5arto.staff.ugm.ac.id

(1)

Universitas Gadjah Mada Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi Pascasarjana Teknik Sipil

Statistika

Analisis Data

Time Series

13-S ep -16 h2 p: // is 5ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

1

(2)

Analisis Data

Time Series

• Acuan

• Haan, C.T., 1982,

Sta+s+cal Methods in Hydrology

, 1

st

Ed., 3

rd

Prin5ng,

The Iowa State Univ. Press, Ames, Iowa, USA.

•  Chapter 14, pp 275-288 13-S ep -16 h2 p: // is 5ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

2

(3)

Data Time Series

• Time series data

• Data yang diperoleh dari operasi (observasi, pengukuran, eksperimen)

urut menurut waktu

• Data 5me series berupa

•  hasil observasi atau pengukuran pada waktu-waktu tertentu (diskrit) •  hasil perata-rataan pada suatu selang waktu •  hasil observasi atau pengukuran secara menerus (kon5nu)

• Sekumpulan 5me series adalah himpunan dari sejumlah 5me series

hasil pengukuran variabel yang sama

•  Time series tunggal disebut realisasi •  Kelompok 5me series beranggota sejumlah realisasi 13-S ep -16 h2 p: // is 5ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

3

(4)

Data Time Series

• Data 5me series dapat berasal atau bersusun dari

• peris5wa atau kejadian yang bersifat determinis5k

• peris5wa atau kejadian yang bersifat stokas5k

• campuran peris5wa atau kejadian determinis5k+stokas5k

• Data 5me series hidrologi

• umumnya berupa data komponen stokas5k yang disuperposisikan

pada data komponen determinis5k

• contoh

•  temperatur udara harian menunjukkan pola musiman (komponen determinis5k) dan perubahan atau ﬂuktuasi dari pola musiman, yang bersifat random (acak) 13-S ep -16 h2 p: // is 5ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

4

(5)

Data Time Series

5

data 5me series hidrologi komponen stokas5k komponen determinis5k komponen periodik komponen loncatan komponen pola kecenderungan komponen gabungan periodik+pola+loncatan

(6)

6 Contoh data 5me series yang terdiri dari komponen stokas5k dan determinis5k

(7)

Data Time Series Deterministik

• Pola, kecenderungan (

trend

)

•  Perubahan DAS yang berlangsung selama beberapa tahun à memunculkan perubahan pola debit aliran permukaan •  Perubahan lingkungan secara alamiah dan perlahan atau perubahan lingkungan akibat ulah manusia dapat menimbulkan perubahan pola data 5me series

• Loncatan (jump)

•  Bencana alam (gempa, kebakaran hutan) •  Pembendungan aliran sungai oleh dam

• Periodik

•  Faktor astronomis •  Periodik yang bersifat tahunan, bulanan, mingguan 13-S ep -16 h2 p: // is 5ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

7

(8)

Skala Waktu

• Diskrit

•  Data yang diperoleh dari pengamatan atau pengukuran pada waktu-waktu tertentu yang dipisahkan menurut waktu Δt •  Data yang diperoleh dari pengamatan nilai atau variabel yang merupakan fungsi waktu, yang terjadi pada waktu Δt •  hujan rerata bulanan (Δt = 1 bulan) •  debit puncak tahunan (Δt = 1 tahun) •  hujan harian (Δt = 1 hari)

• Kon5nu

•  Data yang diperoleh dari pengamatan atau pengukuran secara menerus (kon5nu) •  muka air dari AWLR •  curah hujan dari ARR •  Walaupun data kon5nu, tetapi dalam analisis, data dibaca pada waktu-waktu tertentu •  curah hujan dibaca per selang waktu tertentu, misal se5ap 5 menit •  curah hujan dibaca pada data puncak, selang waktu antar data 5dak beraturan 13-S ep -16 h2 p: // is 5ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

8

(9)

AWLR dan ARR

9

Automa5c Water Level Recorder, AWLR Automa5c Rainfall Recorder, ARR

(10)

Data Muka Air Sungai

10

Automa5c Water Level Recorder, AWLR Untuk analisis, data dibaca se5ap jam (Δt = 1 jam) atau se5ap muka air ekstrem (pasang ter5nggi dan surut terendah)

(11)

Data Curah Hujan, ARR

11

Automa5c Rainfall Recorder, ARR

(12)

Skala Waktu

• Yang dibahas pada bab ini

•  Selang waktu konstan, Δt konstan •  Data 5me series 5dak selalu merupakan fungsi waktu, namun dapat pula data hasil pengamatan atau pengukuran dalam fungsi yang lain, misal fungsi jarak/ruang (spa+al) •  data lebar sungai di se5ap tampang lintang •  lebar sungai adalah variabel random •  jarak tampang lintang adalah variabel ruang

• Variabel random dalam data 5me series

•  Variabel random kon5nu •  kedalaman (volume) hujan per hari •  Variabel random diskrit •  hari hujan (1) dan hari 5dak hujan (0) per hari 13-S ep -16 h2 p: // is 5ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

12

(13)

Proses Stokastik

• Proses stokas5k:

X(t)

• pdf

X

(

t

):

p

(

x

;

t

)

à

perilaku probabilis5k X(t) pada waktu t

• Jika sifat-sifat suatu 5me series 5dak berubah terhadap waktu,

maka 5me series tersebut disebut proses permanen (sta+onary)

• Time series permanen:

p

(

x

;

t

₁

) =

p

(

x

;

t

₂

),

t

₁

≠ t

₂

• Time series tak-permanen:

p

(

x

;

t

₁

) ≠

p

(

x

;

t

₂

)

13

(14)

Proses Stokastik

• Sifat-sifat 5me series dapat diperoleh dari atau didasarkan pada

• realisasi tunggal selama suatu selang waktu

à

dikenal sebagai +me

average proper+es

• beberapa realisasi pada waktu tertentu

à

dikenal sebagai ensemble

proper+es

• Apabila +me average proper+es = ensemble proper+es, maka 5me

series tsb memiliki sifat ergodic

14

(15)

Proses Stokastik

15

!! X_i = 1 T Xi(t)dt 0 T

∫

X_i = 1 n Xi(tj) j=1 n

∑

!!X(t)= 1 m Xi(t) i=1 m

∑

X(t)= X(t)p(x;t)dx −∞ ∞

∫

+me average proper+es realisasi ke-i selama selang waktu 0 s.d. T ensemble average pada waktu t

(16)

Proses Stokastik

16

!!X(t)= X(t + τ), ∀ t dan τ proses stokas5k bersifat permanen untuk nilai rerata _{(sta+onary in the mean, ﬁrst-order sta+onary)}

!!Cov(X(t),X(t + τ))= 1 m

(

Xi(t)− X(t)

)

(

Xi(t + τ)− X(t + τ)

)

i=1 m

∑

kovarian X(t) dan X(t+τ) jika τ = 0 à varian 5me series Jika proses stokas5k memiliki sifat permanen (sta+onary) untuk nilai rerata dan kovarian, maka 5me series tsb memiliki sifat second-order sta+onary.

(17)

Proses Stokastik

• Untuk 5me series yang bersifat ergodic

• nilai rerata waktu (

+me average mean

) sama dengan nilai rerata

bersama (

ensemble average

)

• hal di atas berlaku pula untuk nilai-nilai rerata waktu yang lain, 5dak

hanya

mean

• Oleh karena itu

• sifat-sifat proses random (stokas5k) permanen dapat diukur dari data

historis tunggal (realisasi tunggal)

• kadang, data 5me series realisasi tunggal dipecah menjadi beberapa

5me series pendek

17

(18)

Proses Stokastik

18

• Untuk suatu proses random dengan realisasi tunggal,

i

= 1

!! X_i = 1 T Xi(t)dt 0 T

∫

X_i = 1 n Xi(tj) j=1 n

∑

!! Cov(X_i(t),X_i(t + τ))= 1 T − τ

(

Xi(t)− Xi

)

(

Xi(t + τ)− Xi

)

dt 0 T−τ

∫

Cov(X_i(t),X_i(t + τ))= 1 n−1

(

Xi(tj)− Xi

)

(

Xi(tj+ τ)− Xi

)

j=1 n

∑

nilai rerata, realisasi tunggal, variabel random kon5nu nilai rerata, realisasi tunggal, variabel random diskrit var random kon5nu var random diskrit

(19)

Autokorelasi

• Yang dibahas adalah 5me series ergodic, sehingga hanya

diperlukan realisasi tunggal, i = 1 saja

• Autokorelasi (autocorrela+on), ρ(τ)

• Untuk τ = 0, maka ρ(τ) = 1 karena Cov(X(t),X(t+τ)) = Var(X(t))

• Jika τ kecil, maka ρ(τ) posi5f

Jika τ bertambah besar, maka ρ(τ) nega5f

19 !!

ρ(τ) =

Cov X(t),X(t + τ)

(

)

Var X(t)

_{( )}

(20)

Autokorelasi

20

• Plot fungsi autokorelasi

vs

selang waktu τ disebut korelogram

stokas5k stokas5k+periodik

(21)

Autokorelasi

• Korelogram

•  berguna untuk mengetahui jika data yang berurutan tersebut independent •  jika korelogram menunjukkan adanya korelasi yang kuat antara X(t) dan X(t+τ), maka data 5dak independent

• Autokorelasi dengan demikian

•  menunjukkan “memori” proses stokas5k •  jika ρ(τ) = 0, proses dikatakan 5dak memiliki memori terhadap kejadian sebelum t – τ •  pada prinsipnya untuk sebagian besar proses random, ρ(τ) haruslah sama dengan nol untuk τ besar •  jika ρ(τ) untuk τ besar menunjukkan suatu pola yang 5dak sama dengan nol, maka hal ini mengindikasikan suatu komponen determinis5k 13-S ep -16 h2 p: // is 5ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

21

(22)

Autokorelasi

• Untuk skala waktu diskrit, fungsi autokorelasi menjadi ρ(k), k

adalah jumlah selang waktu yang memisahkan X(t) dan X(t+τ)

• Hubungan antara τ dan k

• Δ

t

adalah panjang selang waktu, misal 1 hari, 1 bulan, 1 tahun, dsb.

22 !τ = k Δt

(23)

Autokorelasi

• Jika ρ(

k

) = 0 untuk semua

k

≠ 0

•  proses disebut sebuah proses random murni •  hal ini menunjukkan data saling linearly independent

• Jika ρ(

k

) ≠ 0 untuk sejumlah

k

≠ 0

•  data yang terpisah k Δt adalah dependent •  proses disebut sebuah proses random

• Jika sebuah 5me series bersifat tak permanen (

nonsta+onary

)

•  ρ(k) ≠ 0 untuk semua k ≠ 0 karena adanya komponen determinis5k •  Jika komponen determinis5k 5dak dihilangkan terlebih dulu, maka kita 5dak dapat menentukan sampai seberapa jauh ρ(k) ≠ 0 akan dipengaruhi oleh komponen determinis5k 13-S ep -16 h2 p: // is 5ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

23

(24)

Analisis Spektral

• Autokorelasi

•  Time series dalam domain waktu

• Analisis spektral

•  Time series dalam domain frekuensi

• Time series

•  Sampel dari suatu populasi yang dicirikan oleh keragaman dalam suatu spektrum frekuensi kon5nu •  Sampel random dari suatu proses

menurut waktu, temporal (atau ruang, spa+al) yang tersusun dari oskilasi semua frekuensi yang mungkin terjadi 13-S ep -16 h2 p: // is 5ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

24

(25)

Analisis Spektral

• Analisis spektral

•  Spektrum keragaman (a variance spectrum) à membagi keragaman (variance) menjadi sejumlah rentang frekuensi •  Variabel yang umumnya dipakai dalam analisis adalah kerapatan spektral (spectral density) •  Spectral density •  jumlah varian per rentang frekuensi

• Beberapa is5lah, variabel

•  Frekuensi, f [T−1] •  Frekuensi sudut (angular frequency), ω [rad T−1] •  Periode, T atau p [T] •  Spectral density, S 13-S ep -16 h2 p: // is 5ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

25 !!

ω =

2π

T

=

2π

p

= 2πf

S( f )=

S(ω)

2π

(26)

Analisis Spektral

26

!!S( f )= ρ(τ)exp −i 2πf τ−∞

(

)

dτ ∞

∫

= 2 ρ(τ)cos 2πf τ

(

)

dτ 0 ∞

∫

§  Hubungan antara fungsi kerapatan spektral dan fungsi autokorelasi §  Transformasi Fourier !!ρ(τ) = S( f )cos 2πf τ

(

)

d f −∞ ∞

∫

§  Untuk τ = 0, ρ(0) = 1 dan cos(0) = 1 yang menunjukkan bahwa: !! S( f )d f −∞ ∞

∫

=1 S(f) dapat dipandang sebagai probability density func+on (pdf) yang memberikan kontribusi terhadap varian tak berdimensi (normalized variance) dalam rentang frekuensi dari f₁ s.d. f₂.

(27)

Analisis Spektral

27

!! ρ(τ) = Cov X(t),X(t + τ)

(

)

Var X(t)

_{( )}

•  Kontribusi terhadap varian yang diberikan oleh S(f) !! S( f )d f f₁ f₂

∫

•  Jika autokorelasi dihitung sbg Cov(X(t), X(t+τ)), maka ρ(0) = Var(X(t)) Ingat: autokorelasi

(28)

Analisis Spektral

• Data 5me series hidrologi

•  Umumnya berupa tabel variabel sebagai fungsi waktu •  Selang waktu adalah diskrit, bukan kon5nu •  Oleh karena itu •  Spektral harus disesuaikan untuk mengakomodasikan sejumlah diskrit frekuensi; kepada frekuensi inilah varian akan didistribusikan •  Untuk data yang diukur pada selang waktu Δt seragam •  Oskilasi data yang memiliki frekuensi ter5nggi yang dapat memberikan informasi mengenai data tsb adalah oskilasi data yang memiliki frekuensi sbb: 13-S ep -16 h2 p: // is 5ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

28

!!fN = 1 2Δt Frekuensi Nyquist

(29)

Analisis Spektral

• Kerapatan spektral sampel

•  dihitung dengan memakai r(k) dan integrasi persamaan S(f) •  m adalah jumlah maksimum lag korelasi {jumlah maksimum selang waktu untuk menghitung r(k)} •  m sebaiknya 5dak melebihi 10% s.d. 25% jumlah data pada sampel •  persamaan di atas dipakai untuk menghitung kerapatan spektral sampel untuk frekuensi: 13-S ep -16 h2 p: // is 5ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

29

!! ˆ!S(f)= Δt r(0)+2 r(k)cos(2πkfΔt)+r(m)cos(2πmfΔt) k=1 m−1

∑

& ' ( ( ) * + + !f = k f_N m

(30)

Analisis Spektral

• Nilai kerapatan spektral sampel tersebut perlu dihaluskan

• Nilai es5masi kerapatan spektral adalah:

30

!!ˆS(0)=0.5 ˆ!S(0)+ ˆ!S(f

(

N m)

)

!!ˆS(fN)= 0.5 ˆ!#$S ((m−1) fN m)+ ˆ!S ( fN)%& !! ˆS(kf_N m)= 0.25 ˆ!S ((k −1) f_N m)+0.5 ˆ!S (k f_N m)+0.25 ˆ!S ((k +1) f_N m) k =1,2,...,m−1

(31)

31

(32)

32

(33)

33

(34)

34

(35)

35

(36)

36

(37)