Supawi Pawenang, 2011, Ekonometrika Terapan, IDEA Press Jogja
BAB IV
REGRESI LINIER BERGANDA
Tujuan Pengajaran:
Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat: Mengetahui kegunaan dan spesifikasi model Menjelaskan hubungan antar variabel Mengaitkan data yang relevan dengan
teori Mengembangkan data
Menghitung nilai parameter Mengetahui arti dan fungsi parameter Menentukan signifikan tidaknya variabel bebas
Menentukan determinasi model
Menjelaskan tahapan-tahapan regresi Membaca hasil regresi Menyebutkan asumsi-asumsi.
BAB IV
REGRESI LINIER BERGANDA
Pengertian Regresi linier Berganda
Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang regresi linier dengan 2 (dua) variabel (yaitu variabel Y dan X) atau biasa disebut dengan single linier regression. Pada bab ini jumlah variabel yang digunakan akan ditambah menjadi lebih banyak, yaitu satu variabel Y dan jumlah variabel X nya lebih dari 1 (satu) variabel. Artinya, variabel X bisa berjumlah 2, 3, atau lebih. Jumlah X yang lebih dari satu tersebut terkenal dengan istilah Regresi Linier Berganda atau multiple linier regression.
Bertambahnya jumlah variabel X hingga lebih dari satu sangat memungkinkan, karena dalam keilmuan sosial semua faktor-vaktor atau variabel-variabel saling berkaitan satu dengan lainnya. Sebagai misal, munculnya inflasi tentu tidak hanya dipengaruhi oleh bunga deposito (budep) saja seperti yang telah diterangkan di atas, tetapi sangat mungkin dipengaruhi oleh faktor lain seperti perubahan nilai tukar (kurs), jumlah uang beredar, kelangkaan barang, dan lain-lain.
Sebagaimana dalam teori inflasi, inflasi dapat digolongkan sebagai inflasi karena tarikan permintaan dan inflasi desakan biaya. Inflasi tarikan permintaan terjadi apabila masyarakat banyak memegang uang. Tentu secara singkat dapat diartikan bahwa terdapat jumlah kelebihan jumlah uang beredar yang ada di masyarakat. Selain itu dapat pula disebabkan ekspektasi masyarakat akibat adanya perubahan nilai tukar uang. Seperti yang pernah terjadi di Indonesia dalam kurun waktu pertengahan Juni 1997 hingga 2003, gerakan lonjakan inflasi ternyata terjadi pula pada gerakan lonjakan nilai tukar rupiah (IDR) terhadap dollar Amerika Serikat (USD). Inflasi desakan biaya mempunyai sebab yang hampir serupa. Inflasi jenis ini terjadi akibat melonjaknya harga-harga
faktor produksi. Kalau ditelusuri, melonjaknya harga- harga faktor produksi dapat disebabkan banyak hal seperti semakin langkanya jenis barang, tuntutan kenaikan gaji pekerja, semakin mahalnya ongkos transportasi, atau bisa
juga disebabkan oleh adanya perubahan nilai tukar mata uang juga. Dari uraian singkat ini dapat disimpulkan bahwa pemicu terjadinya inflasi desakan biaya karena perubahan pada sisi supply, sedang inflasi tarikan permintaan disebabkan perubahan pada sisi demand.
Berbagai alasan yang dijelaskan di atas, maka untuk semakin memperjelas perihal terjadinya inflasi, dapat dicoba menambah satu variabel penduga (X2) yaitu Kurs, yang
menggambarkan nilai tukar IDR terhadap USD, pada kurun waktu yang sama dengan data sebelumnya yaitu antara Januari 2001 hingga Oktober
2002. Karena jumlah variabel X tidak lagi satu melainkan sudah dua, maka analisa yang akan digunakan adalah analisa regresi linier berganda. Dengan bertambahnya variabel Kurs sebagai variabel penduga, maka data yang dianalisis pun bertambah hingga menjadi sebagai berikut:
X1 (Budep) Y (Inflasi) X2 (Kurs) 13.06 8.28 9433.25 13.81 9.14 9633.78 13.97 10.62 10204.7 13.79 10.51 11074.75 14.03 10.82 11291.19 14.14 12.11 11294.3 14.39 13.04 10883.57 14.97 12.23 8956.59 15.67 13.01 9288.05 15.91 12.47 10097.91 16.02 12.91 10554.86 16.21 12.55 10269.42 16.19 14.42 10393.82 15.88 15.13 10237.42 15.76 14.08 9914.26 15.55 13.3 9485.82
15.16 12.93 9115.05 14.85 11.48 8688.65 14.22 10.05 8964.7 13.93 10.6 8928.41 13.58 10.48 8954.43 13.13 10.33 9151.73 324.22 260.49 216816.7
Perubahan model dari bentuk single ke dalam bentuk
multiple mengalami beberapa perubahan, meliputi: 1) jumlah
variabel penjelasnya bertambah, sehingga spesifikasi model dan data terjadi penambahan. 2) rumus penghitungan nilai b mengalami perubahan, 3) jumlah degree of freedom dalam menentukan nilai t juga berubah.
Model Regresi Linier Berganda
Penulisan model regresi linier berganda merupakan pengembangan dari model regresi linier tunggal. Perbedaannya hanya terdapat pada jumlah variabel X saja. Dalam regresi linier tunggal hanya satu X, tetapi dalam regresi linier berganda variabel X lebih dari satu. Model regresi linier umumnya dituliskan sebagai berikut:
Populasi: Y = A + B1X1 + B2X2 + B3X3 + ………+ BnXn + e Atau Y = B0 + B1X1 + B2X2 + B3X3 + ………+ BnXn + e Sampel : Y = a + b1X1 + b 2X2 + b 3X3 + ………+ b nXn + e Atau Y = b0 + b1X1 + b 2X2 + b 3X3 + ………+ b nXn + e
Perlu diingat bahwa penulisan model sangat beragam. Hal ini dapat dimengerti karena penulisan model sendiri hanya bertujuan sebagai teknik anotasi untuk memudahkan interpretasi. Penulisan cara di atas adalah bentuk model yang sering dijumpai dalam beberapa literatur. Notasi model
seperti itu tentu berbeda dengan notasi model Yale16. Apabila kita ingin menganalisis pengaruh Budep dan Kurs terhadap Inflasi dengan mengacu model Yale, maka notasi model menjadi seperti berikut:
Populasi: Y = B1.23 + B12.3X2i + B13.2X3i + e
Sampel : Y = b1.23 + b12.3X2i + b13.2X3i + e
Notasi model Yale ini mempunyai spesifikasi dalam menandai variabel terikat yang selalu dengan angka 1. Untuk variabel bebas notasinya dimulai dari angka 2, 3, 4, dan seterusnya.17 Notasi b
1.23 berarti nilai perkiraan Y kalau X2
dan X3 masing-masing sama dengan 0 (nol).
Notasi b12.3 berarti besarnya pengaruh X2 terhadap Y jika
X3 tetap.
Notasi b13..2 berarti besarnya pengaruh X3 terhadap Y jika
X2 tetap.
Penulisan model dengan simbol Y untuk variabel dependen, dan X untuk variabel independen, saat ini mulai ada penyederhanaan lagi, yang intinya untuk semakin memudahkan interpretasi. Berdasar pada keinginan mempermudah dalam mengingat variabel yang akan dibahas, maka notasi model dapat pula ditulis sebagai berikut:
Inflasi = b0 + b1Budep + b2 Kurs +
Pers.f.2)
Penulisan dengan gaya seperti ini ternyata sekarang lebih disukai oleh penulis-penulis saat ini, karena memberikan kemudahan bagi para pembacanya untuk tidak mengingat- ingat arti dari simbol X yang dituliskan, tetapi cukup dengan melihat nama variabelnya. Dengan pertimbangan tersebut maka cara ini nanti juga akan banyak digunakan dalam pembahasan selanjutnya.
16 G.U. Yale, On the Theory of Correlation for any Number of Variables, Treated by a
new System of Notation, Preceeding of Royal Society, A, Vol.79, 1970.
Penghitungan Nilai Parameter
Penggunaan metode OLS dalam regresi linier berganda dimaksudkan untuk mendapatkan aturan dalam mengestimasi parameter yang tidak diketahui. Prinsip yang terkandung dalam OLS sendiri adalah untuk meminimalisasi perbedaan jumlah kuadrat kesalahan (sum of square) antara nilai observasi Y dengan Yˆ . Secara matematis, fungsi minimalisasi sum of square ditunjukkan dalam rumus:
Untuk mendapatkan estimasi least square b0, b1,b2
minimum, dapat dilakukan melalui cara turunan parsial (partially differentiate) dari formula di atas, sebagai berikut:
Jadikan nilai-nilai turunan parsial di atas menjadi sama dengan 0 (nol), dengan cara membagi dengan angka 2, hingga menjadi:
Untuk menyederhanakan rumus paling atas dilakukan pembagian dengan n, sehingga memperoleh rumus baru sebagai berikut:
Kalau kita notasikan:
maka b1 dan b2 dapat dicari dengan rumus:
Telah dikemukaan di atas bahwa pencarian nilai b pada
single linier berbeda dengan multiple linier. Perbedaan ini
muncul karena jumlah variabel penjelasnya bertambah. Semakin banyaknya variabel X ini maka kemungkinan-kemungkinan yang menjelaskan model juga mengalami pertambahan. Dalam single linier kemungkinan perubahan variabel lain tidak terjadi, tetapi dalam multiple linier hal itu terjadi. Misalnya, Jika terjadi perubahan pada X1, meskipun X2
konstan, akan mampu merubah nilai harapan dari Y. Begitu pula, perubahan pada X2, meskipun X1 konstan, akan
mampu merubah nilai harapan dari Y. Perubahan yang terjadi pada X1 atau X2 tentu mengakibatkan perubahan nilai harapan
Y atau E(Y/X1,X2) yang berbeda. Oleh karena itu pencarian
Guna mengetahui seberapa besar kontribusi X1 terhadap
perubahan Y, tentu perlu untuk melakukan kontrol pengaruh dari X2. Begitu pula, untuk mengetahui kontribusi X2, maka
perlu juga melakukan kontrol terhadap X1. Dari sini dapat
timbul pertanyaan, bagaimana caranya mengontrolnya? Untuk menjawabnya, perlu ilustrasi secara konkrit agar mudah dipahami. Misalnya kita hendak mengontrol pengaruh linier X2 ketika melakukan pengukuran dampak dari perubahan X1
terhadap Y, maka dapat melakukan langkah-langkah sebagai berikut:
Tahap pertama: lakukan regresi Y terhadap X2.
Y = b0 + b2 X2 + e1
Dimana e1 merupakan residual, yang besarnya: e1 = Y – b0 – b2X2
= Y- Yˆ
Tahap kedua: lakukan regresi X1 terhadap X2
X1 = b0 + b2 X2 + e2
Dimana e1 merupakan residual, yang besarnya:
e2 = X1 – b0 – b2X2 = X1- Xˆ
Tahap ketiga: lakukan regresi e1 terhadap e2
e1 = a0 + a1e2 +e3
Besarnya a1 pada tahap ketiga inilah yang merupakan
nilai pasti atau net effect dari perubahan satu unit X1 terhadap Y,
atau menunjukkan kemiringan (slope) garis Y atas variabel X1.
Logika dari teori tersebut yang mendasari rumus yang dapat digunakan untuk menentukan koefisien regresi parsial (partial regression coefficients) (baca: b1, b2). Dengan
memanfaatkan data yang telah tersedia, kita dapat pula menentukan nilai b1 variabel Budep maupun b2 variabel Kurs.
menggunakan rumus-rumus yang telah ditentukan di atas. Guna mempermudah dalam memasukkan angka-angka ke dalam rumus, maka data yang ada perlu diekstensifkan sesuai dengan kebutuhan rumus tersebut. Hasil ekstensifikasi dari beberapa rumus yang dicari sebagai berikut:
Dengan menggunakan rumus-rumus tersebut di atas, maka nilai total masing-masing komponen rumus yang dikembangkan adalah tertera sebagai berikut:
Berdasarkan data-data yang tertera dalam tabel di atas, maka nilai b0, b1, dan b2 dapat ditentukan, melalui pencarian
menggunakan rumus-rumus sebagai berikut:
Rumus untuk mencari nilai b1 (pada model multiple regression)
adalah:
X1 Y X2
x1
x2
x1 y
x2 y
x1 x2Rumus untuk mencari nilai b2 (pada model multiple regression)
adalah:
Rumus untuk mencari nilai b0 (pada model multiple
regression) adalah:
Dengan menggunakan rumus pencarian b1 di atas, maka
diketahui bahwa nilai b1 adalah:
Dengan menggunakan rumus pencarian b2 di atas, maka
diketahui bahwa nilai b2 adalah:
Dengan menggunakan rumus pencarian b0 di atas, maka
diketahui bahwa nilai b0 adalah:
b0 Y b1 X 1 b2 X 2
= 11,84-1,421(14,73)-0,0002869(9.855,30) = 11,84-20,93,2,827
= -11,917
Nilai dari parameter b1 dan b2 merupakan nilai dari
suatu sampel. Nilai b1 dan b2 tergantung pada jumlah sampel
yang ditarik. Penambahan atau pengurangan akan mengakibatkan perubahan rentangan nilai b. Perubahan rentang nilai b1 dan b2 diukur dengan standar error. Semakin
besar standar error mencerminkan nilai b sebagai penduga populasi semakin kurang representatif. Sebaliknya, semakin kecil standar error maka keakuratan daya penduga nilai b terhadap populasi semakin tinggi. Perbandingan antara nilai b dan standar error ini memunculkan nilai t, yang dapat dirumuskan sebagai berikut:
t b Sb
dimana:
b = nilai parameter
Sb = standar error dari b. Jika b sama dengan 0 (b=0) atau
Sb bernilai sangat besar, maka nilai t akan sama dengan
atau mendekati 0 (nol).
Untuk dapat melakukan uji t, perlu menghitung besarnya
standar error masing-masing parameter ( baik b0, b1, b2),
seperti diformulakan Gujarati (1995:198-199) sebagai berikut:
Rumus-rumus di atas, dapat kita masuki dengan angka-angka yang tertera pada tabel, hanya saja belum semuanya dapat terisi. Kita masih memerlukan lagi angka untuk mengisi rumus
e 2 . Untuk dapat mengisi rumus tersebut, perlu terlebih dulu mencari nilai e. Nilai e adalah standar error yang terdapat dalam persamaan regresi. Perhatikan persamaan regresi:Y = b0 + b1X1 + b2 X2 + e
atau
Inflasi = b0 + b1Budep + b2 Kurs + e
Secara matematis, dari persamaan regresi di atas nilai e dapat diperoleh, dengan cara mengubah posisi tanda persamaan hingga menjadi:
eY- (b0 + b1X1 + b2 X2)
Dengan memasukkan nilai b0, b1, b2, yang telah
didapatkan, dan X1i, X2i, yang ada pada data, maka nilai total e
dapat terlihat pada tabel berikut:
X1 Y X2 B0 B1 B2 e e^2 13.06 8.28 9433.25 -11.933 1.421 0.000287 -1.05 1.11 13.81 9.14 9633.78 -11.933 1.421 0.000287 -1.31 1.73 13.97 10.62 10204.70 -11.933 1.421 0.000287 -0.23 0.05 13.79 10.51 11074.75 -11.933 1.421 0.000287 -0.33 0.11 14.03 10.82 11291.19 -11.933 1.421 0.000287 -0.42 0.18 14.14 12.11 11294.30 -11.933 1.421 0.000287 0.71 0.50 14.39 13.04 10883.57 -11.933 1.421 0.000287 1.40 1.97 14.97 12.23 8956.59 -11.933 1.421 0.000287 0.32 0.10 15.67 13.01 9288.05 -11.933 1.421 0.000287 0.01 0.00
15.91 12.47 10097.91 -11.933 1.421 0.000287 -1.10 1.21 16.02 12.91 10554.86 -11.933 1.421 0.000287 -0.95 0.90 16.21 12.55 10269.42 -11.933 1.421 0.000287 -1.50 2.24 16.19 14.42 10393.82 -11.933 1.421 0.000287 0.37 0.13 15.88 15.13 10237.42 -11.933 1.421 0.000287 1.56 2.43 15.76 14.08 9914.26 -11.933 1.421 0.000287 0.77 0.60 15.55 13.3 9485.82 -11.933 1.421 0.000287 0.41 0.17 15.16 12.93 9115.05 -11.933 1.421 0.000287 0.71 0.50 14.85 11.48 8688.65 -11.933 1.421 0.000287 -0.18 0.03 14.22 10.05 8964.70 -11.933 1.421 0.000287 -0.80 0.63 13.93 10.6 8928.41 -11.933 1.421 0.000287 0.18 0.03 13.58 10.48 8954.43 -11.933 1.421 0.000287 0.55 0.30 13.13 10.33 9151.73 -11.933 1.421 0.000287 0.98 0.96 324.22 260.49 216816.70 -11.933 1.421 0.000287 0.09 15.90
Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa nilai total nilai e adalah sebesar 0.09, sedangkan total nilai e2 adalah
sebesar 15,90. Berdasarkan angka yang didapatkan tersebut, maka standar error b0, b1, b2, dapat dicari menggunakan
rumus yang ada hingga hasil penghitungannya tertera sebagai berikut:
S
S
Setelah diketahui semua nilai standar error (Sb0, Sb1, Sb2)
melalui penggunaan rumus-rumus di atas, maka nilai t untuk masing-masing parameter dapat diperoleh, karena nilai t merupakan hasil bagi antara b dengan Sb. Pencarian
nilai t mempunyai kesamaan dengan model regresi linier sederhana, hanya saja pencarian Sb nya yang berbeda.
Pencarian masing-masing nilai t dapat dirumuskan sebagai berikut:
Mencari nilai statistik tb0:
t b 0 b0 b 0
Mencari nilai statistik tb1:
t b1 b1 b1
S
Mencari nilai statistik tb2:
t b 2 b2 ;
b 2
Dengan menggunakan rumus-rumus di atas, maka nilai tb0
adalah:
dengan diketahuinya nilai t hitung masing-masing parameter, maka dapat digunakan untuk mengetahui signifikan tidaknya variabel penjelas dalam mempengaruhi variabel terikat. Untuk dapat mengetahui apakah signifikan atau tidak nilai t hitung tersebut, maka perlu membandingkan dengan nilai t tabel. Apabila nilai t hitung lebih besar dibandingkan dengan nilai t tabel, maka variabel penjelas tersebut signifikan. Sebaliknya, jika nilai t hitung lebih kecil darit tabel, maka variabel penjelas tersebut tidak signifikan.
Karena nilai tb1 adalah sebesar 7,938, yang berarti lebih
besar dibanding nilai tabel pada =5% dengan df 19 yang besarnya 2,093, maka dapat dipastikan bahwa variabel budep secara individual signifikan mempengaruhi inflasi. Sedangkan nilai tb2 yang besarnya
1,284 adalah lebih kecil dibandingkan dengan nilai t tabel
pada =5% dengan df 19 yang besarnya 2,093, maka dapat dipastikan bahwa variabel Kurs secara individual
tidak signifikan mempengaruhi inflasi.
Pengujian kedua nilai t dapat dijelaskan dalam bentuk gambar sebagai berikut:
Bantuan dengan SPSS
Tahapan-tahan yang dilalui untuk melakukan regresi linier
berganda dengan penghitungan-penghitungan nilai a, b, Sb di atas,
dapat dilakukan dengan bantuan SPSS dengan tahapan sebagai berikut:
Pastikan data SPSS sudah siap
Lakukan regresi, caranya: pilih Analyze, Reression, Linear
Masukkan variabel Y ke kotak variabel dependen, dan variabel X1 dan X2 ke kotak variabel Independen, kemudian klik OK.
Hasil regresi akan tampak dalam output regression yang menunjukkan tabel: model summary (memuat R2), ANOVA (memuat nilai F), Coefficient (memuat nilai t).
Model Summary Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate 1 .867a .752 .726 .9148 a. Predictors: (Constant), X2, X1 ANOVAb Model Sum of
Squares df Mean Square F Sig.
1 Regression Residual Total 48.261 2 24.130 28.836 .00 0a 15.899 19 .837 64.160 21 a. Predictors: (Constant), X2, X1 b. Dependent Variable: Y
Coefficientsa Model Unstandardized Coefficients Standardi zed Coefficien ts t Sig. B Std. Error Beta 1 (Constant) X1 X2 -11.933 1.421 2.869E-04 3.511 .195 .000 .840 .136 -3.399 7.298 1.177 .003 .000 .254 a. Dependent Variable: Y Catatan:
Nilai a, b1, b2, antara hitungan manual dengan hitungan SPSS terdapat sedikit perbedaan angka di belakang koma. Ini disebabkan oleh pembulatan angka saat penghitungan. Angka 2.869E-04 dibaca 0,0002869
Koefisien Determinasi (R2)
Disamping menguji signifikansi dari masing- masing variabel, kita dapat pula menguji determinasi seluruh variabel penjelas yang ada dalam model regresi. Pengujian ini biasanya disimbolkan dengan koefisien regresi yang biasa disimbolkan dengan R2. Uraian tentang
koefisien determinasi sedikit banyak telah disinggung pada single linier regression. Pada sub bahasan ini hanya menambah penjelasan-penjelasan agar menjadi lebih lengkap saja.
Koefisien determinasi pada dasarnya digunakan untuk mengkur goodness of fit dari persamaan regresi, melalui hasil pengukuran dalam bentuk prosentase yang menjelaskan determinasi variabel penjelas (X) terhadap variabel yang dijelaskan (Y). Koefisien determinasi dapat dicari melalui hasil bagi dari total sum of square (TSS) atau total variasi Y terhadap explained sum of square (ESS) atau variasi yang dijelaskan Y. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan lagi R2 dengan arti rasio antara variasi yang dijelaskan Y dengan total variasi Y. Rumus tersebut adalah sebagai berikut:
R 2 ESS TSS
Total variasi Y (TSS) dapat diukur menggunakan derajat deviasi dari masing-masing observasi nilai Y dari rata-ratanya. Hasil pengukuran ini kemudian dijumlahkan hingga mencakup seluruh observasi. Jelasnya:
2
n
TSS =
(Yt Y ) t 1Nilai explained sum of square (ESS) atau variasi yang dijelaskan Y didapat dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
n
ˆ 2
ESS =
(Yt Y ) t 1Jadi, rumus di atas dapat pula dituliskan menjadi sebagai berikut:
ˆ 2
R 2
(Y Y )dimana:
(Y Y ) 2Yˆ (baca: Y cap) adalah nilai perkiraan Y atau estimasi garis regresi.
Y (baca: Y bar) adalah nilai Y rata-rata.
Y cap diperoleh dengan cara menghitung hasil regresi dengan memasukkan nilai parameter dan data variabel. Penghitungan nilai Y cap menjadi penting untuk dilakukan agar mempermudah kita dalam menggunakan rumus R2 yang telah ditentukan di atas. Sebagai contoh menghitung Y cap, berikut ini dihitung nilai Y cap pada observasi 1.
Hasil regresi adalah:
Y = -11,917 + 1,421 (X1) + 0,0002869(X2)
Jika observasi nomor 1 (satu) kita hitung, dimana X1=
ˆ
13,06 dan X2 = 9.433,25, maka nilai
(13,06) + 0,0002869(9.433,25)
= 9,438
Hasil hitungan Y cap individual maupun total, beserta ekstensinya diperlukan untuk menyesuaikan dengan rumus mencari R2. Hasil perhitungan dan pengembangan
data selengkapnya tertera dalam tabel sebagai berikut:
X1 Y X2 B0 B1 B2 Yˆ Yˆ Y (Yˆ Y ) 2 Y Y (Y Y ) 2 13.06 8.28 9433.25 -11.933 1.421 0.000287 9.348 -2.493 6.214 -3.561 12.677 13.81 9.14 9633.78 -11.933 1.421 0.000287 10.471 -1.370 1.876 -2.701 7.293 13.97 10.62 10204.70 -11.933 1.421 0.000287 10.862 -0.978 0.957 -1.221 1.490 13.79 10.51 11074.75 -11.933 1.421 0.000287 10.856 -0.985 0.969 -1.331 1.770 14.03 10.82 11291.19 -11.933 1.421 0.000287 11.259 -0.581 0.338 -1.021 1.041 14.14 12.11 11294.30 -11.933 1.421 0.000287 11.416 -0.424 0.180 0.269 0.073 14.39 13.04 10883.57 -11.933 1.421 0.000287 11.654 -0.187 0.035 1.200 1.439 14.97 12.23 8956.59 -11.933 1.421 0.000287 11.925 0.085 0.007 0.390 0.152 15.67 13.01 9288.05 -11.933 1.421 0.000287 13.015 1.174 1.379 1.170 1.368 15.91 12.47 10097.91 -11.933 1.421 0.000287 13.588 1.748 3.054 0.630 0.396 16.02 12.91 10554.86 -11.933 1.421 0.000287 13.876 2.035 4.142 1.070 1.144 16.21 12.55 10269.42 -11.933 1.421 0.000287 14.064 2.223 4.943 0.710 0.503 16.19 14.42 10393.82 -11.933 1.421 0.000287 14.071 2.230 4.975 2.580 6.654 15.88 15.13 10237.42 -11.933 1.421 0.000287 13.586 1.745 3.045 3.290 10.821 15.76 14.08 9914.26 -11.933 1.421 0.000287 13.322 1.482 2.196 2.240 5.015 15.55 13.3 9485.82 -11.933 1.421 0.000287 12.901 1.061 1.125 1.460 2.130 15.16 12.93 9115.05 -11.933 1.421 0.000287 12.240 0.400 0.160 1.090 1.187 14.85 11.48 8688.65 -11.933 1.421 0.000287 11.678 -0.163 0.027 -0.361 0.130 14.22 10.05 8964.70 -11.933 1.421 0.000287 10.862 -0.979 0.958 -1.791 3.206 13.93 10.6 8928.41 -11.933 1.421 0.000287 10.439 -1.401 1.964 -1.241 1.539 13.58 10.48 8954.43 -11.933 1.421 0.000287 9.949 -1.891 3.577 -1.361 1.851 13.13 10.33 9151.73 -11.933 1.421 0.000287 9.366 -2.474 6.121 -1.511 2.282 324.22 260.49 216816.70 -11.933 1.421 0.000287 260.747 0.256 48.243 -0.001 64.160
Dengan menggunakan angka-angka yang terdapat dalam tabel di atas, maka nilai R2 dapat ditentukan. Adapun
ˆ 2
R 2
(Y Y )
(Y Y ) 2dengan demikian nilai R2 dari model yang ada adalah
sebesar: R2 = 48,243
64,160
R2 = 0,751
Nilai R2 sebesar 0,751 tersebut menunjukkan arti bahwa
determinasi variabel Budep (X1) dan Kurs (X2) dalam
mempengaruhi inflasi (Y) adalah sebesar 75,1%. Nilai sebesar ini mengindikasikan bahwa model yang digunakan dalam menjelaskan variabel Y cukup baik, karena mencapai 75,1%. Sisanya sebesar 24,1% dijelaskan oleh variabel lain yang tidak dijelaskan dalam model.
Uji F
Seperti telah dikemukakan di atas, bahwa dalam regresi linier berganda variabel penjelasnya selalu berjumlah lebih dari satu. Untuk itu, maka pengujian tingkat signifikansi variabel tidak hanya dilakukan secara individual saja, seperti dilakukan dengan uji t, tetapi dapat pula dilakukan pengujian signifikansi semua variabel penjelas secara serentak atau bersama-sama. Pengujian secara serentak tersebut dilakukan dengan teknik analisis
of variance (ANOVA) melalui pengujian nilai F hitung
yang dibandingkan dengan nilai F tabel. Oleh karena itu disebut pula dengan uji F.
Pada prinsipnya, teknik ANOVA digunakan untuk menguji distribusi atau variansi means dalam variabel
penjelas apakah secara proporsional telah signifikan menjelaskan variasi dari variabel yang dijelaskan. Untuk memastikan jawabannya, maka perlu dihitung rasio antara variansi means (variance between means) yang dibandingkan dengan variansi di dalam kelompok variabel (variance between group). Hasil pembandingan keduanya itu (rasio antara variance between means terhadap variance between group) menghasilkan nilai F hitung, yang kemudian dibandingkan dengan nilai F tabel. Jika nilai F hitung lebih besar dibanding nilai F tabel, maka secara serentak seluruh variabel penjelas yang ada dalam model signifikan mempengaruhi variabel terikat Y. Sebaliknya, jika nilai F hitung lebih kecil dibandingkan dengan nilai F tabel, maka tidak secara serentak seluruh variabel penjelas yang ada dalam model signifikan mempengaruhi variabel terikat Y.
Atau secara ringkas dapat dituliskan sebagai berikut:
F F ;( k 1);( n k ) berarti tidak signifikan atau H0
diterima
F F ;( k 1);( n k ) berarti signifikan atau H0 ditolak
H0 diterima atau ditolak, adalah merupakan suatu
keputusan jawaban terhadap hipotesis yang terkait dengan uji F, yang biasanya dituliskan dalam kalimat sebagai berikut:
H0 : b1 = b2 = 0 Variabel penjelas secara serentak tidak
signifikan mempengaruhi variabel yang dijelaskan.
H0 : b1 b2 0 Variabel penjelas secara serentak
signifikan mempengaruhi variabel yang dijelaskan.
Karena uji F adalah membandingkan antara nilai F hitung dengan nilai F tabel, maka penting untuk mengetahui bagaimana mencari nilai F hitung ataupun nilai F tabel. Nilai F hitung dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
R 2 /(k 1)
F
(1 R 2 ) /(n k )
Sedangkan nilai F tabel telah ditentukan dalam tabel. Yang penting untuk diketahui adalah bagaimana cara membaca tabelnya. Seperti yang telah dituliskan pada pembandingan antara nilai F hitung dan nilai F tabel di atas, diketahui bahwa F tabel dituliskan F;k-1; (n-k).
Arti dari tulisan tersebut adalah:
Simbol menjelaskan tingkat signifikansi (level of
significance) (apakah pada 0,05 atau 0,01 ataukah 0,10, dan seterusnya).
Simbol (k-1) menunjukkan degrees of freedom for
numerator.
Simbol (n-k) menunjukkan degrees of freedom for
denominator.
Guna melengkapi hasil analisis data yang dicontohkan di atas, kita dapat menghitung nilai F berdasarkan rumus. Nilai F dari model tersebut ternyata besarnya adalah: R 2 /(k 1) F (1 R 2 ) /(n k ) = (0,751) /(3 1) (1 0,751) /(22 3) = 0.3755 0.0131 = 28.66
Dari hasil penghitungan di atas diketahui bahwa nilai F hitung adalah sebesar 28,66. Nilai ini lebih besar dibanding dengan nilai F tabel pada 0,05 dengan (k-1) = 2, dan (n-k) = (22-3) = 19 yang besarnya 3,52. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa variabel Budep dan Kurs secara serentak signifikan mempengaruhi inflasi. Dengan demikian, maka null hyphothesis ditolak.
Daerah penolakan atau penerimaan hipotesis dapat dilihat pada gambar berikut ini:
Daerah diterima Gb.3.2. Daerah Uji F -000- Daerah ditolak F(; k-1; n-k) F F0,05;2;19; 3,52
Tugas:
1. Buatlah rangkuman dari pembahasan di atas!
2. Cobalah untuk menyimpulkan maksud dari uraian bab ini!
3. Lakukanlah perintah-perintah di bawah ini:
a. Coba jelaskan apa yang dimaksud dengan regresi linier berganda!
b. Coba tuliskan model regresi linier berganda! c. Coba uraikan arti dari notasi atas model yang
telah anda tuliskan!
d. Jelaskan informasi apa yang dapat diungkap pada konstanta!
e. Jelaskan informasi apa yang dapat diungkap pada koefisien regresi!
f. Coba sebutkan perbedaan-perbedaan antara model regresi linier sederhana dengan model regresi linier berganda!
g. Jelaskan mengapa rumus untuk mencari nilai b pada model regresi linier erganda berbeda dengan model regresi linier sederhana!
h. Coba jelaskan apakah pencarian nilai t juga mengalami perubahan! kenapa?
i. Coba uraikan bagaimana menentukan nilai t yang signifikan!
j. Jelaskan apa kegunaan nilai F!
k. Bagaimana menentukan nilai F yang signifikan?
l. Jelaskan apakah rumus dalam mencari koefisien determinasi pada model regresi linier berganda berbeda dengan regresi linier sederhana! kenapa?
m. Jelaskan bagaimana variabel penjelas dapat dianggap sebagai prediktor terbaik dalam menjelaskan Y!
Jawab :
1. Rangkuman
A. Pengertian Regresi linier Berganda
Jumlah X yang lebih dari satu tersebut terkenal dengan istilah Regresi Linier Berganda atau multiple linier regression. B. Model Regresi Linier Berganda
Penulisan model regresi linier berganda merupakan pengembangan dari model regresi linier tunggal. Model regresi linier umumnya dituliskan sebagai berikut:
- Populasi: Y = A + B1X1 + B2X2 + B3X3 + ………+ BnXn + e Atau Y = B0 + B1X1 + B2X2 + B3X3 + …..+ BnXn + e - Sampel : Y = a + b1X1 + b 2X2 + b 3X3 + ………+ b nXn + e Atau Y = b0 + b1X1 + b 2X2 + b 3X3 + ………+ b C. Penghitungan Nilai Parameter
Penggunaan metode OLS dalam regresi linier berganda dimaksudkan untuk mendapatkan aturan dalam mengestimasi parameter yang tidak diketahui. Prinsip yang terkandung dalam OLS sendiri adalah untuk meminimalisasi perbedaan jumlah kuadrat kesalahan (sum of square) antara nilai observasi Y dengan Yˆ . Secara matematis, fungsi minimalisasi
sum of square ditunjukkan dalam rumus:
Nilai dari parameter b1 dan b2 merupakan nilai dari suatu sampel. Nilai b1 dan b2 tergantung pada jumlah sampel yang ditarik. Penambahan atau pengurangan akan mengakibatkan perubahan rentangan nilai b. Perubahan rentang nilai b1 dan b2 diukur dengan standar error. Semakin besar standar error mencerminkan nilai b sebagai penduga populasi semakin kurang representatif. Sebaliknya, semakin kecil standar error maka keakuratan daya penduga nilai b terhadap populasi semakin
S
S
S
tinggi. Perbandingan antara nilai b dan standar error ini memunculkan nilai t, yang dapat dirumuskan sebagai berikut:
t = b Sb
dimana:
b = nilai parameter
Sb = standar error dari b. Jika b sama dengan 0 (b=0) atau Sb bernilai sangat besar, maka nilai t akan sama dengan atau mendekati 0 (nol).
Untuk dapat melakukan uji t, perlu menghitung besarnya standar
error masing-masing parameter ( baik b0, b1, b2), seperti
diformulakan Gujarati (1995:198-199) sebagai berikut:
Pencarian masing-masing nilai t dapat dirumuskan sebagai berikut:
Mencari nilai statistik tb0:
t b 0 b0 b 0 Mencari nilai statistik tb1:
t b1 b1 b1 Mencari nilai statistik tb2:
t b 2 b2 ;
Dengan menggunakan rumus-rumus di atas, maka nilai tb0 adalah: Dengan diketahuinya nilai t hitung masing-masing parameter, maka dapat digunakan untuk mengetahui signifikan tidaknya variabel penjelas dalam mempengaruhi variabel terikat. Untuk dapat mengetahui apakah signifikan atau tidak nilai t hitung tersebut, maka perlu membandingkan dengan nilai t tabel. Apabila nilai t hitung lebih besar dibandingkan dengan nilai t tabel, maka variabel penjelas tersebut signifikan. Sebaliknya, jika nilai t hitung lebih kecil darit tabel, maka variabel penjelas tersebut tidak signifikan.
Pengujian kedua nilai t dapat dijelaskan dalam bentuk gambar sebagai berikut:
Bantuan dengan SPSS
Tahapan-tahan yang dilalui untuk melakukan regresi linier
berganda dengan penghitungan-penghitungan nilai a, b, Sb di atas, dapat dilakukan dengan bantuan SPSS dengan tahapan sebagai berikut:
Pastikan data SPSS sudah siap
Lakukan regresi, caranya: pilih Analyze, Reression, Linear Masukkan variabel Y ke kotak variabel dependen, dan variabel
X1 dan X2 ke kotak variabel Independen, kemudian klik OK. Hasil regresi akan tampak dalam output regression yang
menunjukkan tabel: model summary (memuat R2), ANOVA (memuat nilai F), Coefficient (memuat nilai t).
D. Koefisien Determinasi (R2)
Dengan demikian kita dapat mendefinisikan lagi R² dengan arti rasio antara variasi yang dijelaskan Y dengan total variasi Y.
Rumus tersebut adalah sebagai berikut:
Adapunrumus untuk mencari nilai R² adalah sebagai berikut:
E. Uji F
Pengujian secara serentak tersebut dilakukan dengan teknik
analisis of variance (ANOVA) melalui pengujian nilai F hitung
yang dibandingkan dengan nilai F tabel. Oleh karena itu disebut pula dengan uji F. Pada prinsipnya, teknik ANOVA digunakan untuk menguji distribusi atau variansi means dalam variabel penjelas apakah secara proporsional telah signifikan menjelaskan variasi dari variabel yang dijelaskan.
Hasil pembandingan keduanya itu (rasio antara variance
between means terhadap variance between group) menghasilkan
nilai F hitung, yang kemudian dibandingkan dengan nilai F tabel. Jika nilai F hitung lebih besar dibanding nilai F tabel, maka secara serentak seluruh variabel penjelas yang ada dalam model signifikan mempengaruhi variabel terikat Y. Sebaliknya, jika nilai F hitung lebih kecil dibandingkan dengan nilai F tabel, maka tidak secara serentak seluruh variabel penjelas yang ada dalam model signifikan mempengaruhi variabel terikat Y.
Nilai F hitung dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
Dimana:
- Simbol α menjelaskan tingkat signifikansi (level of
significance) (apakah pada α = 0,05 atau α=0,01 ataukah α=0,10, dan seterusnya).
- Simbol (k-1) menunjukkan degrees of freedom for numerator.
- Simbol (n-k)menunjukkan degrees of freedom for
denominator.
2. Kesimpulan :
Jumlah X yang lebih dari satu tersebut terkenal dengan istilah Regresi Linier Berganda atau multiple linier regression. Penggunaan metode OLS dalam regresi linier berganda dimaksudkan untuk mendapatkan aturan dalam mengestimasi parameter yang tidak diketahui. R² dengan arti rasio antara variasi yang dijelaskan Y dengan total variasi Y. Pengujian secara serentak tersebut dilakukan dengan teknik analisis of variance (ANOVA) melalui pengujian nilai F hitung yang dibandingkan dengan nilai F tabel. Oleh karena itu disebut pula dengan uji F. Pada prinsipnya, teknik ANOVA digunakan untuk menguji distribusi atau variansi means dalam variabel penjelas apakah secara proporsional telah signifikan menjelaskan variasi dari variabel yang dijelaskan.
Hasil pembandingan keduanya itu (rasio antara variance
between means terhadap variance between group) menghasilkan
nilai F hitung, yang kemudian dibandingkan dengan nilai F tabel. Jika nilai F hitung lebih besar dibanding nilai F tabel, maka secara serentak seluruh variabel penjelas yang ada dalam model signifikan mempengaruhi variabel terikat Y. Sebaliknya, jika nilai F hitung lebih kecil dibandingkan dengan nilai F tabel, maka tidak secara serentak seluruh variabel penjelas yang ada dalam model signifikan mempengaruhi variabel terikat Y.
3. Jawab Pertanyaan :
a. Jumlah X yang lebih dari satu b. Penulisannya :
Penulisan model regresi linier berganda merupakan pengembangan dari model regresi linier tunggal. Model regresi linier umumnya dituliskan sebagai berikut:
- Populasi: Y = A + B1X1 + B2X2 + B3X3 + ………+ BnXn + e Atau Y = B0 + B1X1 + B2X2 + B3X3 + …..+ BnXn + e - Sampel : Y = a + b1X1 + b 2X2 + b 3X3 + ………+ b nXn + e Atau Y = b0 + b1X1 + b 2X2 + b 3X3 + ………+ b c. Arti dari symbol yang dituliskan
Y = Variabel bebas X = Variabel terikat A = Konstanta
B = Koefisien regresi (nilai peningkatan ataupun penurunan) d. Konstanta merupakan nilai Y apabila X1, X2…..Xn = 0
e. Koefisien regresi merupakan nilai peningkatan ataupun penurunan) f. Analisis regresi yang hanya melibatkan dua variabel saja, yaitu 1
(satu) variabel dependen atau variabel tergantung dan 1 (satu) variabel independen atau variabel bebas. Analisis regresi linier berganda adalah analisis regresi yang melibatkan lebih dari dua variabel, yaitu 1 (satu) variabel dependen atau variabel tergantung dan lebih dari 1 (satu) variabel independen atau bebas.
g. Karena regresi linier berganda memiliki variabel (X) lebih dari dua sedangkan regresi linier hanya memiliki satu variabel sehingga rumus yang digunakan sama.
h. Mengalami perubahan karena variable independen lebih dari satu i. Derajat signifikansi yang digunakan adalah 0,05. Apabila nilai
signifikan lebih kecil dari derajat kepercayaan maka kita menerima hipotesis alternatif, yang menyatakan bahwa suatu variabel independen secara parsial mempengaruhi variabel dependen.
j. Pengujian tingkat signifikansi variabel tidak hanya secara individual saja tapi pada semua variabel
k. Jika nilai F hitung lebih besar dibanding nilai F tabel maka secara serentak seluruh variabel penjelas yang ada dalam model signifikan mempengaruhi variabel terikat Y.
l. Menguji determinasi seluruh variabel penjelas yang ada dalam model regresi
m. Nilai koefisien ini antara 0 dan 1, jika hasil lebih mendekati angka 0 berarti kemampuan variabel-variabel independen dalam menjelaskan variasi variabel amat terbatas. Tapi jika hasil mendekati angka 1 berarti variabel-variabel independen
memberikan hampir semua informasi yang dibutuhkan untuk memprediksi variasi variabel dependen.
