KOMPETENSI. Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut.

KOMPETENSI

SK KD

Menerapkan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah

Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut.

Mengkonversi koordinat kartesius dan koordinat kutub

Menerapkan aturan sinus dan kosinus Menentukan luas suatu segitiga

Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut

TOPIK PEMBAHASAN

• Apa itu trigonometri

• Sudut dan satuannya

• Segitiga siku-siku dan fungsi

trigonometri

• Fungsi trigonometri sudut

istimewa

• Koordinat dan fungsi

trigonometri

• Fungsi trigonometri di berbagai

kuadran

• Kuadran dan relasi I

• Komplemen dan relasi II

• Sudut negatif dan relasi III

• Sudut putaran dan relasi IV

• Lingkaran dan fungsi

trigonometri

• Grafik fungsi trigonometri

• Tabel fungsi trigonometri dan

kalkulator

• Koordinat kartesian dan

koordinat kutub

• Aturan sinus dan aturan kosinus

• Rumus luas segitiga

• Jumlah dan hasilkali trigonometri

• Identitas trigonometri

• Persamaan trigonometri

sederhana

Apa itu trigonometri

• Trigonometri mula-mula dipelajari untuk kegiatan astronomi. Dimulai di Babilonia, Yunani, Mesir, India, Arab, lalu ke Eropa.

• Dalam bentuk awal, trigonometri mempelajari tentang penentuan “tali busur” (chord).

• Sering dikatakan Hipparchus (180-125 SM) adalah Bapak trigonometri, karena ia orang yang pertama kali menulis tabel tali busur yang dikenal.

• Tabel setengah tali-busur muncul di India, antara lain oleh Aryabhata I sekitar tahun 500.

• Di tangan orang Arab, studi trigonometri mulai jelas. Nashirudin at-Tusi (1201-1274) dikenal sebagai orang pertama yang menulis studi trigonometri lepas dari astronomi dalam buku Treatise on the quadrilateral. Sebagai alternatif, ia juga dikenal sebagai Bapak trigonometri.

• Regiomontanus atau John Muller (1436-1476) menulis De triangulis omnimodis

yang dipercaya sebagai buku lengkap pertama yang membahas trigonometri bidang.

Apa itu trigonometri

• Mungkin yang pertama kali menulis tentang “perbandingan trigonometri” dari sebuah segitiga siku-siku pada lingkaran adalah Rheticus (murid Copernicus) dalam buku Opus palatinum de triangulis (1596)

• Kata “trigonometry” mula-mula muncul dalam bukunya Pitiscus berjudul

Trigonometria yang dipublikasi tahun 1595.

• Kata “trigonometri” gabungan dari kata “tri (tiga), “gonos” (bidang/sisi), dan “metros” (ukuran/ilmu). Secara ethimologi, trigonometri adalah ilmu tentang segitiga (khususnya segitiga siku-siku).

• Trigonometri sendiri adalah cabang besar matematika yang mempelajari hubungan sudut dan sisi segitiga, khususnya segitiga siku-siku, dan sifat-sifat dari hubungan itu. Hubungan itu yang dikenal dengan nama fungsi trigonometri.

• Beberapa cabang trigonometri: trigonometri bidang datar, trigonometri bola, analisis trigonometri, trigonometri analitik.

• Trigonometri muncul dalam berbagai cabang ilmu antara lain: teori musik, optik, elektronik, statistik, biologi, kimia, meteorologi, komputer grafik, geodesi,

arsitektur, bahkan ekonomi.

Sudut dan satuannya

• Sudut adalah suatu “bukaan” (unsur geometri) yang dibentuk oleh dua buah sinar dari sebuah titik atau dua buah garis yang bertemu di sebuah titik. (definisi statis) • Sudut adalah suatu daerah yang dibentuk dari perputaran sebuah sinar terhadap titik

asalnya atau perputaran sebuah garis terhadap titik ujungnya. (definisi dinamis) • Pada konsep “bukaan” dikenal sudut lancip dan sudut tumpul, juga sudut reflektif. • Pada konsep “putaran” dikenal “sudut positif” dan “sudut negatif”.

• Satuan sudut antara lain: derajat, radian, gradian (gon), mil.

1 putaran penuh = 360o _{= 2 radian = 400 grad = 6400 mil (NATO).}

• Satuan derajat menggunakan sistem seksagesimal (warisan Babilonia dan

diinspirasi dari 1 tahun  360 hari). Untuk satuan yang lebih kecil berturut-turut digunakan istilah “menit” () dan detik (). Satuan ini sering digunakan sehari-hari. • Satuan radian, murni menggunakan sistem desimal dan merupakan bilangan biasa

(bebas dari satuan fisis). Mengapa satuan radian biasanya tidak dituliskan?

Perhatikan bahwa bila kita membagi panjang busur di depan sudut dengan jari-jari maka tidak ada satuan fisis yang terjadi (tidak berdimensi fisik, dimensionless). Dengan alasan ini dan penulisan dalam desimal, maka “satuan” radian sering digunakan dalam studi ilmiah.

Sudut dan satuannya

• Bagaimana definisi satuan radian?

Kita tahu bahwa panjang keliling lingkaran dengan jari-jari r adalah 2r . Bila dipilih jari-jari 1 satuan, maka keliling lingkaran adalah 2. Bilangan inilah yang selanjutnya dipilih sebagai satuan radian untuk 1 putaran penuh. Dari pemilihan ini, diperoleh antara lain bahwa 1 radian adalah besar sudut pusat lingkaran dengan panjang busur sama dengan jari-jari lingkaran.

• Jadi, seharusnya jelas perbedaan antara  = 180o _{dan  = 3,1415926…}

• Satuan gradian (grade , gon) menetapkan besar sudut siku-siku = 100 grad = 100g _.

Mula-mula digunakan di Perancis. Sekarang, secara internasional ditetapkan dengan nama “gon”. Pemakaiannya terbatas di beberapa negara dan khususnya untuk kegiatan pengukuran tanah.

• Satuan mil dipergunakan dalam kemiliteran. NATO menggunakan 1 mil = 1_/ 6400

putaran penuh, Rusia menggunakan 1 mil = 1_/

6000 putaran penuh, dan pada beberapa

alat teleskopik 1 mil = 1_/

6283 putaran penuh. Bandingkan dengan 1 putaran penuh =

Segitiga siku-siku dan fungsi trig.

• Perbandingan trigonometri berkaitan dengan perbandingan (panjang) sisi-sisi segitiga siku-siku. Perbandingan-perbandingan inilah yang kemudian disebut dengan perbandingan trigonometri.

• Dari sini, istilah fungsi trigonometri sudut pada segitiga siku-siku didefinisikan sebagai perbandingan-perbandingan tersebut.

• Dikenal ada 6 fungsi trigonometri terkait dengan 6 permutasi 2 sisi dari 3 sisi. Keenam fungsi trigonometri itu adalah sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, dan kotangen. Berturut-turut disingkat: sin, cos, tan, sec, csc atau cosec, dan cot.

• Funsgi-fungsi yang berkebalikan adalah sin & cosec, cos & sec, serta tan & cot. (dengan sifat resiprokal ini, sec, cosec, & cot dapat pula didefinisikan)

• Dari definisi juga jelas bahwa

• Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh identitas:

sin2 + cos2 = 1 _tan2 + 1 = sec2 _{1 + cot}2 = cosec2

sin tan cos     cot cos sin    

Fungsi trigonometri sudut istimewa

• Biasanya yang dimaksud sudut-sudut istimewa adalah 0o_{, 30}o_{, 45}o_{, 60}o_{, dan 90}o_.

• Untuk sementara kita tidak dapat berbicara mengenai fungsi trigonometri sudut 0o

dan 90o_{. Mengapa? Karena untuk sudut-sudut itu, tidak ada segitiga siku-siku yang}

memenuhi. Dengan lain kata, kita berhadapan dengan segitiga siku-siku asimtotik. Kita perlu memperluas definisi fungsi trigonometri!

• Untuk sudut 30o _{dan 60}o_{, kita dapat melihat pada segitiga samasisi.}

• Untuk sudut 45o _{kita dapat menggunakan segitiga siku-siku samakaki.}

• Apa itu sesungguhnya sudut istimewa? Tidak jelas.

Jika yang dimaksud sudut dari bangun datar istimewa di mana nilai fungsi

trigonometri dapat mudah dinyatakan sebagai perbandingan, maka 0o _{dan 90}o _tidak

termasuk sudut istimewa. Lagi pula, dari segilima beraturan kita dapat menurunkan sudut “istimewa” yang lain: 18o _{dan 72}o_.

Jika yang dimaksud sudut di mana nilai fungsi trigonometrinya dapat dinyatakan dengan tepat dengan menggunakan tanda akar, maka 15o _{seharusnya merupakan}

sudut istimewa. Lebih detil, semua sudut kelipatan 3o _{juga sudut istimewa. (tahun}

2001, penulis telah menyusun daftar fungsi trig. sudut kelipatan 3o _{. Sebagai}

contoh, o 1 )

Sin 3 8 3 15 10 2 5 4

Koordinat dan fungsi trigonometri

• Definisi fungsi trigonometri dari perbandingan pada segitiga siku-siku mengandung beberapa kelemahan: (1) tidak dapat atau sulit mendefinisikan fungsi trig. pada

sudut 0o _{dan 90}o_{, (2) untuk sudut yang lebih besar dari 90}o _{tidak dapat didefinisikan}

nilai fungsi trig.nya.

• Ada beberapa cara memperluas definisi fungsi trig., salah satunya menggunakan koordinat kartesian dengan pusat di titik sumbu koordinat. Pada cara ini, sebuah sudut ditentukan oleh sumbu-x positif dan ruas garis dari titik sumbu ke sebuah titik pada bidang koordinat.

• Tentu absis dan ordinat dapat bernilai negatif, tetapi panjang garis dari titik pusat ke sebuah titik pada bidang koordinat tetaplah positif. Selanjutnya fungsi-fungsi

trigonometri didefinisikan menggunakan perbandingan dengan mengganti sisi di depan sudut dan sisi penyiku berturut-turut dengan ordinat dan absis.

• Berbagai variasi tanda fungsi-fungsi trgonometri dapat dibedakan ke dalam 4 kuadran bidang koordinat.

Fungsi trig. di berbagai kuadran

• Titik pada kuadran I (0o    90o₎

(mirip pada segitiga siku-siku)

• Titik pada kuadran II (90o    180o₎ sinus positif, yang lain negatif.

• Titik pada kuadran I (180o    270o₎ tangen positif, yang lain negatif.

• Titik pada kuadran I (270o    360o₎ kosinus positif, yang lain negatif.

• Mnemonik tanda positif fungsi trigonometri: “se-sin-ta-kos” atau cukup “semua sintaks”

• Bagaimana dengan sudut 0o_{, 90}o_{, 180}o_{, 270}o _{dan 360}o _?

P(a,b) c  P(a,b) c  P(a,b) c  P(a,b) c 

Kuadran dan relasi I

• Berdasarkan perluasan definisi fungsi trigonometri di atas, maka mudah diperoleh beberapa hubungan sudut-sudut pada berbagai kuadran dengan sudut di kuadran I. • Bila 90o    180o _{(Pada kuadran II)}

Misal  = 180o –  maka  adalah sudut lancip.

Perhatikan:  +  = 180o _{, 2 sudut jumlahnya 180}o _{disebut saling bersuplemen.}

Jadi, diperoleh dari gambar:

sin  = sin (180o – ) = sin 

cos  = –cos (180o – ) = –cos 

tan  = –tan (180o – ) = –tan 

• Bila 180o    270o _{(Pada kuadran III)}

Misal  =  – 180o _{maka  adalah sudut lancip.}

Jadi, diperoleh dari gambar:

sin  = –sin ( – 180o_{) = –sin }

cos  = –cos ( – 180o_{) = –cos }

Kuadran dan relasi I

• Bila 270o    360o _{(Pada kuadran IV)}

Misal  = 360o –  maka  adalah sudut lancip.

Jadi, diperoleh dari gambar:

sin  = –sin (360o – ) = –sin 

cos  = cos (360o – ) = cos 

Komplemen dan relasi II

• Terdapat relasi khusus yang disebut komplemen. • Dua sudut berkomplemen bila jumlahnya 90o_.

• Perhatikan gambar. Pada dua sudut berkomplemen, status sisi x dan y saling bertukar tempat. Dengan sifat ini mudah diperoleh bahwa:

Untuk  pada kuadran I:

sin  = cos (90o – ) , cos  = sin (90o – )

tan  = cot (90o – ) , cot  = tan (90o – )

sec  = cosec (90o – ) , cosec  = sec (90o – )

catatan: di sinilah arti penamaan “co” yang berarti complement.

• Sifat komplemen ini dapat diperluas pada sudut di kuadran II, III, dan IV. • Bila 90o    180o _{(Pada kuadran II) maka}

sin  = cos ( – 90o_{) , cos  = –sin ( – 90}o₎

tan  = –cot ( – 90o_{) , cot  = –tan ( – 90}o₎

Komplemen dan relasi II

• Bila 180o    270o _{(Pada kuadran III) maka}

sin  = –cos (270o – ) , cos  = –sin (270o – )

tan  = cot (270o – ) , cot  = tan (270o – )

sec  = –cosec (270o – ) , cosec  = –sec (270o – )

• Bila 270o    360o _{(Pada kuadran IV) maka}

sin  = –cos ( – 270o_{) , cos  = sin ( – 270}o₎

tan  = –cot ( – 270o_{) , cot  = –tan ( – 270}o₎

Sudut negatif dan relasi III

• Kita mendefinisikan sudut negatif adalah

sudut dalam arah yang searah dengan jarum jam. Perhatikan gambar!

• Jika 0o    360o _{maka diperoleh bahwa posisi titik P(a,b) sama baik ditentukan}

oleh (–) maupun (360o – ). Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai fungsi

trigonometri sudut negatif sama dengan jumlah sudut itu dan 360o _.

• Oleh karena itu, mudah ditunjukkan bahwa: sin (–) = –sin  cos (–) = cos  tan (–) = –tan  cot (–) = –cot  sec (–) = sec  cosec (–) = –cosec 

perhatikan bahwa sudut  besarnya sebarang (tidak dibatasi yang lancip)

–  360o _-

Sudut putaran dan relasi IV

• Kita sudah memperkenalkan sudut positif sebagai putaran berlawanan jarum jam dan sudut negatif sebagai sudut putaran dengan arah jarum jam. Bagaimana bila terus diputar melebihi satu putaran penuh? Misalnya sudut 500o_?

• Perhatikan seberapapun diputar maka posisi titik P(a,b) akan dapat ditentukan dalam besar sudut kurang dari 360o_{. Perhatikan gambar!}

• Mudah ditunjukkan bahwa:

sin ( + n.360o_{) = sin }

perhatikan bahwa n adalah sebarang bilangan bulat, dan fungsi sinus dapat diganti dengan fungsi trgonometri yang mana saja.

Lingkaran dan fungsi trigonometri

• Pada penggunaan koordinat untuk mendefinisikan fungsi trigonometri, oleh karena perbandingan tetap di mana pun titik pada koordinat selama sudut yang terbentuk tetap, maka kita dapat mengasumsikan titik-titik pada bidang koordinat terletak pada sebuah lingkaran.

• Lebih khusus lagi, bila kita memilih lingkaran dengan jari-jari 1 satuan.

• Dengan sifat-sifat penggunaan lingkaran itu, fungsi-fungsi trigonometri dikenal pula dengan istilah fungsi sirkular.

Grafik fungsi trigonometri

• Sekarang kita dapat menggambar grafik fungsi trigonometri pada sumbu koordinat. • Cara yang dapat dilakukan dengan mencacah titik demi titik. Tetapi ada cara yang

lebih mudah: menggunakan representasi fungsi trigonometri pada lingkaran satuan. • Contoh.

Grafik fungsi trigonometri

• Berikut grafik sinus dan komplemennya (kosekan): Grafik y = sin x

Grafik fungsi trigonometri

• Berikut grafik kosinus dan komplemennya (sekan): Grafik y = cos x

Grafik fungsi trigonometri

• Berikut grafik tangen dan komplemennya (kotangen): Grafik y = tan x

Grafik fungsi trigonometri

• Terlihat pada grafik bahwa masing-masing fungsi trigonometri memiliki bagian kurva yang berulang secara periodik.

• Selanjutnya panjang interval sudut di mana bagian kurva berulang ulang disebut

periode. Untuk grafik keenam fungsi trigonometri dasar tersebut 180o _{(tan, cot)}

atau 360o _{(sin, cosec, cos, sec)}

• Jarak terjauh titik pada kurva trigonometri terhadap sumbu x disebut dengan

amplitudo. Untuk grafik keenam fungsi trigonometri dasar tersebut 1 (sin, cos)

Tabel fungsi trigonometri & kalkulator

• Sejak pertama konsep trigonometri (primitif) dikenal, orang telah menulis nilai-nilainya dalam bentuk tabel.

• Tabel tali busur yang pertama dari Hipparchus (k.180-k.125 SM) sekitar 140 SM. al-Battani (k.858-929) memberikan fungsi kotangens dan

daftarnya untuk setiap derajat sudut. Abu al-Wafa` yang pertama kali menggunakan tangens dan menyusun tabel tangens & sinus dengan

interval 15 menit. yang akurat hingga 8 tempat desimal. Ulugh Beg (1394-1449), bersama al-Kasyi dan Qadi Zada al-Rumi menyusun tabel berisi daftar sinus dan tangens untuk setiap 1` (satu menit) dan teliti hingga 17 angka desimal. Rheticus (1514-1574) menerbitkan tabel sinus dan kosinus tahun 1596 dengan interval 10 detik.

• Dengan memperhatikan hasil-hasil pada sudut-sudut berelasi, maka tabel semua fungsi trigonometri sesungguhnya cukup dibuat dari 0o _{hingga 45}o_.

Mengapa?

• Selain tabel, kini orang telah banyak berpindah pada penggunaan

kalkulator (dan komputer). Pada kalkulator ilmiah (scientific cal.) minimal telah disediakan tombol untuk sin, cos, & tan, dan sudut derajat dan

radian.

Koordinat kartesian & koordinat kutub

• Kedudukan titik (atau umumnya gambar geometri) pada bidang dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara: kordinat kartesian, atau koordinat kutub (polar coordinate).

• Fungsi trigonometri berguna dalam melakukan konversi dari koordinat kartesian ke koordinat kutub, dan sebaliknya.

• Perhatikan gambar di bawah. Titip P dapat ditetapkan kedudukannya dengan koordinat (a,b) atau (r,). Koordinat (a,b) disebut koordinat kartesian, dan koordinat (r, ) disebut koordinat kutub.

• Dari gambar, jelas dapat diturunkan hubungan sebagai berikut: cos  = atau a = r cos 

sin  = atau b = r sin 

dengan a2 _{+ b}2 _{= r}2 _{(rumus Pythagoras)}

a r b r

Aturan sinus dan aturan kosinus

• Pada sebarang segitiga dikenal banyak rumus atau aturan yang berlaku, dua di antaranya yang penting adalah Aturan Sinus, Aturan Kosinus.

• Aturan Sinus berbunyi: Pada sebarang segitiga ABC dengan panjang sisi yang

bersesuaian (di hadapan) sudut A dan B berturut-turut a dan b maka berlaku:

Perhatikan bahwa kita dapat menulis lengkap aturan di atas dengan menggunakan

ketiga pasang sudut dan sisi yang bersesuaian yang mungkin, lalu menggabungkan hasil-hasilnya.

• Aturan Sinus dapat pula digabungkan dengan sifat lingkaran luar segitiga, dan diperoleh hubungan:

dengan a mewakili sebarang sisi segitiga dan A sudut yang bersesuaian.

sin sin a b A  B

2

sin

a

R

A



Aturan sinus dan aturan kosinus

• Aturan Kosinus berbunyi: Pada sebarang segitiga ABC dengan panjang sisi yang

bersesuaian (di hadapan) sudut A, B, dan C berturut-turut a, b, dan c maka berlaku:

a2 _{= b}2 _{+ c}2 – 2bc cos A atau

Perhatikan bahwa kita cukup menulis satu bentuk di atas, karena permutasi apapun

dari a, b,dan c rumus serupa tetap berlaku. (mengapa?)

2 2 2 cos 2 b c a A bc   

Rumus luas segitiga

• Kita sebelumnya telah mengenal rumus segitiga yang ditentukan oleh sebarang sisi (sebagai alas) dan tinggi yang bersesuaian.

• Bagaimana bila luas segitiga ditentukan oleh besar sudut segitiga? Dalam hal ini fungsi trigonometri dapat membantu.

• Untuk sebarang segitiga ABC dengan a dan b panjang sisi di hadapan berturut-turut sudut A dan B, maka berlaku:

Luas segitiga ABC = ½ absin C

Perhatikan bahwa pemilihan sisi a dan b dapat diganti sebarang pasangan sisi lain

segitiga (sudut C menyesuaikan).

Rumus di atas berguna bila diketahui sebarang 2 sisi dan sudut yang diapit.

• Nah, bila diketahui 2 sudut dan sisi yang bersekutu, kita memperoleh rumus sebagai berikut:

Luas segitiga ABC =

• Bagaimana bila yang diketahui panjang ketiga sisi segitiga?

2 1 sin .sin 2 sin( ) B C a B C

Jumlah & hasilkali trigonometri

• Rumus jumlah & selisih sudut:

• Rumus hasil kali fungsi trig.

Identitas trigonometri

• Istilah identitas dalam matematika memiliki makna yang beragam. Dalam aljabar, identitas adalah elemen yang tidak mempengaruhi elemen lain terhadap suatu

operasi. Secara umum, identitas matematika adalah kalimat terbuka (memuat variabel) yang selalu bernilai benar dalam domain tertentu.

• Identitas trigonometri adalah identitas yang memuat fungsi trigonometri. • Beberapa identitas penting yang dapat diturunkan sebagai berikut:

Identitas dari rumus Pythagoras:

Identitas aturan sinus:

Identitas aturan kosinus: atau

Identitas trigonometri

Identitas jumlah dan selisih sudut.

Identitas jumlah dan selisih fungsi trig.

Identitas trigonometri

• Identitas sudut rangkap.

Identitas trigonometri

Identitas trigonometri

• Identitas rekursif tangen & kotangen sudut rangkap.

• Identitas tangen untuk rerata sudut.

Persamaan trigonometri sederhana

• Persamaan trigonometri bisa berbagai bentuk dari yang sederhana hingga yang kompleks.

• Persamaan trigonometri sederhana, berbentuk: • Bentuk sin x = c , 0  c  1

Tentukan  sudut lancip sedemikian hingga sin  = c.

Maka penyelesaiannya: x =  + k. 360o _{atau x = (180 – ) + k. 360}o _.

• Bentuk cos x = c , 0  c  1

Tentukan  sudut lancip sedemikian hingga cos  = c.

Maka penyelesaiannya: x =  + k. 360o _{atau x = (360 – ) + k. 360}o _.

• Bentuk tan x = c , 0  c  1

Tentukan  sudut lancip sedemikian hingga tan  = c. Maka penyelesaiannya: x =  + k. 180o_.

BUKTI 1 ATURAN SINUS

• Untuk sudut C (dan B) lancip.

Pada gambar 1,

Diperoleh c.sin B = b.sin C atau

• Untuk sudut C (atau B) tumpul Pada gambar 2,

padahal, sin (180o – C) = sin C Selanjutnya,mudah ditunjukkan C B A D C B A D sin B AD c  sinC AD b  sin sin b c B  C sin (180 C) AD b   sin B AD c  sin sin b c B  C KEMBALI

BUKTI 2 ATURAN SINUS

 A =  A (karena menghadap busur BC) 2R =

sin A =  2R =

Dengan cara yang serupa, kita dapat sampai pada 2R = dan 2R =

maka: 2 (Aturan Sinus)

sin sin b c R B  C  A B O C R  R A a c b R a 2 A a sin B b sin C c sin KEMBALI

BUKTI ATURAN KOSINUS

Pada gambar 1 maupun 2, c2 _{= AD}2 _{+ BD}2

lalu, atau AD = b. sin C selanjutnya,

untuk sudut C (dan B) lancip, maka

BD = BC – CD = a – b.cos C

untuk sudut C (atau B) tumpul, maka

BD = BC + CD = a + b.cos (180o – C) = a – b.cos C (jadi, sama saja untuk BD).

Dengan demikian, c2 _{= (b.sin C)}2 _{+ (a – b.cos C)}2

= b2_{. sin}2_{C + a}2 – 2ab.cos C + b2_.cos2_C = a2 _{+ b}2 – 2ab.cos C

(menggunakan sifat sin2_{C + cos}2_{C = 1)}

sinC AD b  C B A D C B A D KEMBALI

RUMUS HERON

Jika segitiga ABC dengan panjang sisi a, b, dan c maka rumus luas segitiga sebagai berikut:

L = ½ bc sin A =

=

Subtitusi cos A menggunakan aturan kosinus, yaitu: hingga diperoleh:

L =

=

Dengan sedikit manipulasi aljabar dan menulis ½ (a + b + c) = s maka diperoleh:

L = 2 1 1 cos 2bc  A 1 (1 cos )(1 cos ) 2bc  A  A 2 2 2 cos 2 b c a A bc    2 2 2 2 2 2 2 2 1 (2 )(2 ) 4 4 bc b c a bc b c a bc b c       2 2 2 2 1 [( ) ][ ( ) ] 4 b c a a  b c ( )( )( ) s s a s b s c   KEMBALI

BUKTI RUMUS JUMLAH &

SELISIH SUDUT

Perhatikan gambar.

PQ2 _{= [cos(+) – 1]}2 _{+ [sin (+) – 0]}2

Dapat disederhanakan menjadi PQ2 _{= 2 – 2cos (+) …(i)} Juga, PQ2 _{= [cos  – cos ]}2 _{+ [sin  – sin ]}2

Dapat disederhanakan menjadi PQ2 _{= 2 – 2cos  cos  + 2sin  sin  …(ii)} Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa cos ( + ) = cos  cos  – sin  sin 

Bagaimana untuk salah satu sudut adalah sudut tumpul, atau kedua-duanya tumpul?   1 1 P (cos(+), sin (+)) Q (1,0) O x y   1 1 P (cos , sin ) Q (cos , –sin ) y x O KEMBALI

BUKTI RUMUS JUMLAH &

SELISIH SUDUT

Perhatikan gambar.

Jika salah satu sudut adalah sudut tumpul ataupun kedua-duanya tumpul, maka koordinat titik P , P dan Q tidak akan berubah. (titik Q dibuat tetap pada titik (1,0))

x   1 P (cos(+), sin (+)) Q (1,0) O y 1   1 P (cos , sin ) Q (cos , –sin ) y x O KEMBALI

Dari sifat cos ( + ) = cos  cos  – sin  sin  … (1) dengan mengganti  dengan – diperoleh

cos ( – ) = cos  cos  + sin  sin  …(2)

Dengan sifat sin ( + ) = cos (90o – ( + )) = cos ((90o – ) – )) dan sifat (2) diperoleh

sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  …(3)

Dari sifat (3) dengan mengganti  dengan – diperoleh

sin ( – ) = sin  cos  – cos  sin  …(4)

Dari sifat tan ( + ) = sin ( + ) /cos ( + ), sifat (3), sifat (1) lalu membagi pembilang & penyebut dengan cos .cos , diperoleh

tan ( + ) = (tan  + tan )/(1 – tan  tan ) … (5)

Dari sifat (5) dengan mengganti  dengan – diperoleh

tan ( – ) = (tan  – tan )/(1 + tan  tan ) … (6)

BUKTI RUMUS JUMLAH &

Diketahui cos ( + ) = cos  cos  – sin  sin  … (1) cos ( – ) = cos  cos  + sin  sin  …(2) sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  …(3) sin ( – ) = sin  cos  – cos  sin  …(4) Jumlahkan (2) & (3) lalu bagi 2, maka diperoleh:

sin  cos  = ½ [sin ( + ) + sin ( – )] … (7)

Jumlahkan (1) & (2) lalu bagi 2, maka diperoleh:

cos  cos  = ½ [cos ( + ) + cos ( – )] … (8)

Ambil selisih (1) & (2) lalu dibagi 2, maka diperoleh:

sin  sin  = ½ [cos ( + ) – cos ( – )] … (9)

BUKTI RUMUS HASIL KALI

Diketahui sin  cos  = ½ [sin ( + ) + sin ( – )] … (7) cos  cos  = ½ [cos ( + ) + cos ( – )] … (8) sin  sin  = ½ [cos ( + ) – cos ( – )] … (9) Dari (7) dengan memisal A =  +  dan B =  –  diperoleh:

sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) … (10)

Dari (8) dengan memisal A =  +  dan B =  –  diperoleh:

cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B) … (11)

Dari (9) dengan memisal A =  +  dan B =  –  diperoleh:

cos A – cos B = – 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B) … (10)

Sumardyono, M.Pd.

BUKTI RUMUS JUMLAH &