Pemrograman dan Metode Numerik (Untuk Fisika) Fahrudin Nugroho

(1)

Pemrograman dan Metode Numerik

(Untuk Fisika)

Fahrudin Nugroho

June 20, 2013

(2)

Pengantar

Bismillahirohmaannirrahim. Puji syukur penulis panjatkan keharibaan Rabb semesta alam atas selesainya catatan kuliah ini.

Tujuan kami dalam menulis catatan kuliah pemrograman dan metode numerik ini adalah sebagai bahan pendamping mata kuliah pemrograman dan metode numerik yang kami ampu. Sesungguhnya mata kuliah metode numerik ini berlaku umum untuk semua jurusan. Hanya saja karena mataku-liah ini diberikan untuk mahasiswa dan mahasiswi program studi Fisika, Jurusan Fisika, maka contoh-contoh yang diberikan lebih banyak mengan-dung keilmuwan Fisika. Akan tetapi sifat Fisika yang menjadi dasar bagi semua bidang keilmuwan khususnya teknik, maka buku ini juga relevan bagi mahasiswa teknik yang tertarik pada topik-topik dimana metode numerik digunakan.

Metode numerik biasanya diterapkan pada kasus-kasus khusus dimana penyelesaian analitik sudah sulit dicapai atau bahkan tidak mungkin lagi dilakukan. Secara praktis nampak bahwa metode numerik adalah alter-natif bagi metode analitik, akan tetapi jika ditinjau secara lebih dalam akan terlihat bahwa metode numerik sendiri didasarkan pada suatu ide yang fun-damental yaitu matematika diskret.

Dalam catatan kuliah ini akan akan diperkenalkan konsep dan teknik dasar pemrograman dan akan dibahas pula beberapa metode-metode nu-merik dasar yang akan sering ditemui oleh mahasiswa calon peneliti. Untuk menghindari kesulitan yang berganda, yaitu kesulitan memahami metode numerik sekaligus kesulitan memahami topik fisika, maka akan dipilih be-berapa permasalahan Fisika yang sederhana sebagai contoh kasus. Hal ini dilakukan mengingat bahwa mahasiswa yang mengambil mata kuliah ini

(6)

CONTENTS 5 adalah mahasiswa calon sarjana yang dapat diasumsikan belum mengenal seluk beluk metode numerik dan terapan sesungguhnya, yaitu permasalahan Fisika yang kompleks. Selain itu perlu ditekankan bahwa ketika suatu per-masalahan Fisika diselesaikan dengan cara numerik dan setelah suatu pro-gram dibangun dan dijalankan, maka hasil keluaran yang biasanya berupa angka harus diuji kebenarannya/kesesuaiaannya dengan keadaan ”Fisis” ka-sus yang ditinjau. Khuka-sus untuk kaka-sus yang dapat diselesaikan secara anal-itik, pengujian ini dapat dilakukan dengan membandingkan dengan hasil analitik.

Penulis menyadari banyaknya kekurangan dalam catatan yang masih ”under construction” ini, kritik dan saran yang bersifat membangun penulis harapkan dan terima dengan senang hati. Akhirnya penulis berharap bahwa catatan kuliah ini dapat bermanfaat.

(7)

Chapter 1 Pendahuluan

1.1 Motivasi dan Latar Belakang

Metode numerik selalu dihubungkan dengan perkembangan komputer, karena perkembangan metode numerik itu sendiri berawal dari penemuan kom-puter yang canggih beberapa abad yang lalu. Saat ini simulasi numerik menggunakan komputer atau disebut sebagai simulasi komputer dipandang sebagai salah satu metode yang penting dalam penyelesaian permasalahan yang kompleks. Dalam Fisika, metode ini di gunakan untuk keperluan menterjemahkan fenomena fisis kedalam bentuk matematika diskret1, men-golahnya kembali dan menyelesaikannya di dalam komputer. Berbeda den-gan pendekatan teoretik yang banyak melandaskan penyelesaiannya pada banyak asumsi dan pendekatan, penyelesaian numerik saat ini cenderung menyelesaikan masalah dengan cara memodelkan secara lebih detail keadaan fenomena yang sesungguhnya. Hal ini tentu saja dapat dilakukan dengan kemampuan komputer yang semakin canggih sekarang ini.

Dengan kemajuan metode numerik pula, saat ini komputasi fisika yang dilandaskan pada metode numerik, telah mendapat posisi penting dan strate-gis. Secara tradisional fisikawan bekerja di laboratorium untuk

memveri-1_{Berbeda dengan kalkulus dan matematika pada umumnya melandaskan}

prinsip-prinsip kalkulasinya pada ”idea”-nya yang bersifat infinitesimal. Hal ini dapat dilakukan dengan cara memperkenalkan bilangan tak hingga (∞).

(8)

CHAPTER 1. PENDAHULUAN 7 fikasi sebuah teori yang diajukan oleh teoriwan. Seorang eksperimentalis membutuhkan pengetahuan tentang peralatan elektronika, mekanika, dan instrumentasi saat bekerja dengan serangkaian alat untuk memperoleh serangka-ian data dilandaskan pada metode eksperimen yang baik. Sedangkan teori-wan membutuhkan matematika analitik, seringkali ”rigors mathematics”, untuk memformulasikan sebuah teori. Tidak berbeda jauh dari eksperimen-talis dan teoriwan, seorang fisikawan komputasi membutuhkan pengetahuan terkait analisis numerik dan pemrograman komputer untuk dapat berhasil mencapai pemanahan fenomena Fisika.

Untuk itulah diperlukan satu kuliah tersendiri bagi mahasiswa Fisika untuk mengenal metode numerik dan pemrograman komputer sebagai salah satu pilar metode yang terbukti valid dan diakui oleh khalayak Fisikawan.

1.2 Mengapa Bahasa Pemrograman C?

Saat in terdapat banyak sekali bahasa pemrograman. Di antara banyak bahasa pemrograman tersebut dalam catatan kuliah ini akan digunakan bahasa C.

Pengguna bahasa pemrograman C dan C++ sangatlah banyak. Hal ini dikarenakan kemampuan bahasa C yang dianggap bisa dipakai dalam banyak bidang termasuk saintifik dan terapan termasuk diantaranya pem-buatan aplikasi. Berikut ini adalah beberapa alasan mengapa bahasa C dipilih dalam catatan kuliah ini:

1. Untuk setiap sistem operasi dapat dipastikan terdapat setidaknya satu jenis compiler C. Hal ini menjamin bahwa setiap mahasiswa dapat mencoba program yang tersedia dalam catatan kuliah ini tanpa terk-endala ketersediaan compiler C.

2. Bahasa C adalah bahasa pemrograman terstruktur. Karenanya ma-hasiswa yang mengikuti kuliah akan diajak untuk menggunakan je-nis pemrograman yang terstruktur dan sederhana. Tujuannya adalah agar mahasiswa dapat dengan mudah mengikuti dan mencoba sendiri program-program yang digunakan dan dengan mudah mengerti makna dari setiap kode program. Jika diperlukan atau dikehendaki maka

(9)

CHAPTER 1. PENDAHULUAN 8 mahasiswa dapat ”naik tingkat” kedalam bahasa pemrograman yang bersifat objek oriented C++ yang merupakan ”varian” dari C. Keun-tungannya sintak yang digunakan dalam C++ sangatlah mirip den-gan C. Menguasai sintak C berarti menguasai sintak C++. Denden-gan landasan penguasaan sintaksis maka mahasiswa tinggal menambah wawasan dan konsep bahasa pemrograman polymorphism, classes, in-heritance jika ingin beralih ke C++.

3. Performa terkait dengan kecepatan proses bahasa C dikenal sangat unggul.

4. Sistem operasi yang dikenal saat ini, driver bagi sebagian besar pe-ripheral, dan software serta aplikasi yang tersedia saat kebanyakan dibuat dengan bahasa C. Karenanya pengalaman menggunakan ba-hasa C merupakan aset yang berharga bagi mahasiswa.

5. Terakhir tetapi penting, adalah bahasa C dapat digunakan pada sis-tem komputer parallel. Jika dibutuhkan maka mahasiswa dapat meng-gunakan bahasa C untuk menyelesaikan masalah yang kompleks dan membutuhkan pemrograman parallel, dengan satu syarat mereka men-guasai algoritma parallel.

(10)

Chapter 2 Pengenalan Komputer

2.1 Komputer

Pada dasarnya setiap komputer terdiri dari central processing unit (CPU), bagian input data data output. Skema dari sebuah komputer ditunjukan dalam gambar berikut:

Bagian-bagian di atas sebetulnya belum mewakili komputer secara sepenuh-nya. Hal ini dikarenakan selain bagian-bagian di atas, yang biasa kita sebut perangkat keras atau hardware, diperlukan perangkat lunak software. Tanpa adanya perangkat lunak maka hanya ada seonggok mesin dan rangkaian elektronik, dan tidak bisa dikatakan sebagai komputer.

(11)

CHAPTER 2. PENGENALAN KOMPUTER 10

2.2 Sistem Operasi Linux

Kata Linux sekarang ini sudah sangat familier bagi pengguna komputer. Se-jalan dengan semakin majunya perkembangan perangkat keras maka sistem operasi dan aplikasi didalamnya juga berkembang.

Nama Linux sendiri diturunkan dari pencipta awalnya, Linus Tor-valds, yang sebetulnya mengacu pada suatu kumpulan software lengkap yang bersama-sama dengan kernel menyusun suatu sistem operasi yang lengkap.

Lingkungan sistem operasi ini mencakup ratusan program, termasuk kompiler, interpreter, editor dan utilitas. Perangkat bantu yang mendukung konektifitas, ethernet, SLIP dan PPP dan interope rabilitas. Produk perang-kat lunak yang handal, termasuk versi pengembangan terakhir. Kelompok pengembang yang tersebar di seluruh dunia yang telah bekerja dan men-jadikan Linux portabel ke suatu platform baru, begitu juga mendukung komunitas pengguna yang memiliki beragam kebutuhan dan juga pengguna dapat turut serta bertindak sebagai tim pengembang sendiri.

Linux merupakan sistem operasi khusus dan berbeda dengan sistem op-erasi lainya karena tersedia secara bebas di internet, berbagai vendor telah membuat suatu paket distribusi yang dapat dianggap sebagai versi kemasan Linux. Paket ini termasuk lingkungan Linux lengkap, penagkat lunak un-tuk instalasi dan mungkin termasuk perangkat lunak khusus dan dukungan khusus. Salah satu contoh sistem operasi Linux adalah CentOS, Mandriva, Ubuntu, dan SuSe beberapa aplikasi bawaan serta beberapa aplikasi tam-bahan.

Saat ini Linux adalah sistem UNIX yang sangat lengkap, bisa digu-nakan untuk pengembangan software dan bahkan untuk pekerjaan sehari-hari. Linux merupakan alternatif sistem oprasi yang jauh lebih murah jika dibandingkan sistem operasi komersial (misalnya Windows 9.x/NT/2000/ ME/XP/VISTA/7/8).

Berikut ini adalah beberapa fakta dari hal-hal yang menguntungkan dengan menggunakan program dan file-file Linux

1. Pada dasarnya semua data tersimpan di dalam harddisk walau ada be-berapa kondisi dimana data tersimpan di disket. Linux/UNIX

(12)

mem-CHAPTER 2. PENGENALAN KOMPUTER 11 berikan beberapa proses spesial dimana terminal, printer dan device hardware lainnya dapat diakses seperti kita mengakses file yang ter-simpan dalam harddisk atau disket.

2. Ketika program dijalankan, program tersebut dijalankan dari harddisk ke dalam RAM dan setelah dijalankan akan dinamakan sebagai proses. 3. Linux/UNIX menyediakan servis untuk membuat, memodiflkasi

pro-gram, proses dan file.

4. Linux/UNIX mendukung struktur file yang bersifat hirarki.

5. Linux/UNIX adalah salah satu sistem operasi yang termasuk ke dalam kelas sistem operasi yang dapat melakukan multitasking. Multitasking sendiri adalah keadaan dimana suatu sistem operasi dapat melakukan banyak kerjaan pada saat yang bersamaan.

6. Selain multitasking, Linux/UNIX juga dapat mendukung multiuser. Yaitu sistem operasi yang pada saat bersamaan dapat digunakan oleh lebih dari satu user yang masuk ke dalam sistem. Bahkan untuk Linux juga mendukung untuk multiconsole dimana pada saat bersamaan di depan komputer langsung tanpa harus melalui jaringan dan memu-ngkinkan lebih dari satu user masuk ke dakam sistem.

2.2.1 Struktur direktori Linux

Direktori root Linux memiliki beberapa direktori yang merupakan standar direktori pada banyak distro Linux. Direktori-direktori utama dalam Linux adalah:

(13)

CHAPTER 2. PENGENALAN KOMPUTER 12 Direktori Isi

bin berisi file-file binary standar yang dapat digunakan oleh seluruh user baik user biasa maupun super user

boot berisi file-file yang diaunakau unnik booting Linux ter-masuk kernel image

dev berisi file system khusus yang merupakan refleksi device hardware yang dikenali dan digunakan sistem

home berisi direktori-direktori yang merupakan direktori

home untuk user biasa dan aplikasi tertentu

lib berisi file-file library yang digunakan untuk mendukung kerja kernel Linux

mnt direktori khusus yang disediakan untuk mounting

(men-gaitkan) device disk storage ke sistem dalam bentuk di-rektori

proc berisi file system khusus yang menunjukkan data-data

kernel setiap saat

root direktori home uutuk user root (user khusus dengan

priviledges hampir tak terbatas)

sbin sama sepertrti direktori bin, tetapi hanya super user yang sebaiknya menggunakan binary-binary tersebut mengingat fungsifungsi binary yang terdapat di direk-tori ini untuk maintenance sistem

tmp berisi filc-file sementara yang dibutuhkan scbuah

ap-likasi yang sedang berjalan

usr berisi library, binary, doktunentasi dan file lainnyahasil instalasi user

var berisi file-file log. mailbox dan data-data aplikasi

2.2.2 Software aplikasi dalam Linux

Sekarang ini, banyak aplikasi Linux yang dapat digunakan untuk keperluan kantor seperti untuk spreadsheet, word processor, database dan program editor grafis yang memiliki fungsi dan tampilan seperti Microsoft Office, yaitu OpenOffice. Selain itu, juga sudah tersedia versi Corel untuk Linux dan aplikasi seperti Matlab yang pada Linux dikenal sebagai Scilab. Berikut

(14)

CHAPTER 2. PENGENALAN KOMPUTER 13 adalah beberapa Fitur yang tersedia dalam Linux

1. Shell dan Shell command

Merupakan tempat bekerja yang paling utama diantara para pemakai Linux, terutama Linux versi-versi awal. Pada Shell ini perintah-perintah text dapat dieksekusi. Tampilan Shell adalah dapat dilihat pada gam-bar berikut:

Dari gambar dapat dilihat siapa yang sedang bekerja pada shell.

2. Adapun perintah-perintah yang dapat dijalankan pada Shell diantaranya: MC (Midnight Commander) MC atau Midnight Commander merupakan aplikasi yang sangat berguna karena hemat memory saat digunakan. Den-gan mengetikan mc pada shell maka akanmuncul tampilan sebagai berikut:

(15)

Perintah-perintah yang dapat digunakan sesuai dengan gambar diatas dapat dilihat pada Tabel di bawah ini :

Tombol Fungsi

F1 Mengeluarkan menu help (bantuan)

F2 Menyimpan File

F3 Untuk memblok bagian yang dipilih

F4 Untuk mengganti kata

F5 Menyalin satu blok

F6 Memindahkan satu blok

F7 Mencarai kata yang ingin di edit

F8 Menghapus suatu blok

F9 Memunculkan menu navigasi

F10 Mengakhiri editor

2.3 Compiler dan aplikasi Science

dalam Linux

Ada banyak aplikasi Science yang terdapat dalam Linux. Hal yang paling utama dari aplikasi Science yang terdapat dalamLinux adalah Compiler. Ada banyak compiler yang tersedia dalam Linux, untuk SuSE 9.1 compiler

(16)

CHAPTER 2. PENGENALAN KOMPUTER 15 yang telah ada didalmnya adalah: gcc, g++, g77 dan masih banyak lagi compiler yang lain.

Untuk keperluan aplikasi perkantoran/office maka Linux memiliki ap-likasi openoffice. Di dalam openoffice telah tersedia fitur-fitur canggih yang bahkan tidak tersedia dalam sistem office yang lain (Ms Offiice) diantaran-nya adalah kita bisa mengetikan perintah Latex kedalam sistem persamaan sehingga bagi pengguna yang terbiasa menggunakan Latex maka fitur ini sangatlah menguntungkan. Dengan open office bentuk file yang disimpan dengan sistem office yang lain dapat dilihat, dibuka, dan diedit dan ser-ingkali tidak berlaku sebaliknya. Selain office tersedia pula aplikasi Latex yang sangat terkenal dan familier di kalangan Matematikawan, Fisikawan dan ilmuwan lainya. Pada dasarnya Latex digunakan untuk mempersiap-kan naskah seperti halnya text editor, dengan kelebihan utama yaitu ke-mamouan untuk menghasilkan persamaan dengan lebih baik. Salah satu contoh bentuk tampilan tex editor Latex dapat dilihat sebagai berikut

Salah satu kelebihan lain dari Kile adalah terdapat compiler Latex2html, sehingga file latex yang ingin diupload kehalaman web bisa dikompilasi se-cara apik dengannya.

(17)

2.3.1 Paket Program Sage

Sage adalah suatu free open source math software yang relatif baru yang berguna untuk keperluan komputasi numerik, alkabar, geometri, dan bidang lainya. Sage dapat menjalankan beberapa perintah dari berbagai aplikasi di-antaranya gnuplot, maxima, ocatave, dan beberapa compiler lainnya. Kare-nanya Sage dikatakan sebagai alternatif pengganti danpenggabungan bagi

Maple, Mathematica, Magma, dan MatLab. Selain itu juga sage

men-jalankan beberpa aplikasi pemrograman yaitu Dalam praktikum kali ini akan digunakan Sage versi 2.6. Sage dapat dijalankan dengan shell com-mand maupun dengan dengan interface yang dijalankan pada web browser Firefox. cara menjalankan aplikasi Sage adalah dengan mengetikan perintah sage dan menekan enter pada shell. sehingga akan muncul direktori sage. Semua perintah sage dapat dijalankan dengan mengetikan perintah-perintah yang dikenal dalam sage. Sedangkan untuk memunculkan interface melalui web browser maka ketik perintah notebook() kemudian enter pada direk-tori sage, maka akan ditampilkan interface yang diload pada firefox dengan server local Sage, dan tampilannya adalah sebagai berikut :

(18)

CHAPTER 2. PENGENALAN KOMPUTER 17 Contoh program Sage

Dalam direktori Sage ketikan perintah berikut maka akan anda peroleh kelu-rannya:

sage: 2 + 2 4

sage: A = matrix(4,4, range(16)); A [ 0 1 2 3] [ 4 5 6 7] [ 8 9 10 11] [12 13 14 15] sage: integral(x*sin(x^2), x) -cos(x^2)/2 sage: integral(x/(x^2+1), x, 0, 1) log(2)/2

Selain itu bisa juga dengan membuat kode sumber sage yang berisikan: print Halo ini program pertama saya

print 2*4^2

setalah disimpan dengan nama program1.sage setelah itu melalui direktori sage ketikan perintah

sage: load program1.sage Halo ini program pertama saya 32

yang tidak lain adalah keluaran sesuai dengan isi program yang kita per-intahkan dalam program1.sage. Adapun beberapa operator dalam Sage adalah sebagai berikut:

(19)

Operator deksripsi

or boolean or

and boolean and

not boolean not

in, not in membership

is, is not identity test

< , <=, >, >=,==,! =, <> perbandingan

+,- operasi penambahan dan pengurangan

*,/,% perkalian, pembagian, dan reminder

**, ˆ operasi perpangkatan

2.3.2 Paket program Matlab dan semisalnya

Telah banyak diketahui khalayak umum bahwa Matlab adalah satu paket program yang handal. Kehandalan paket program Matlab terletak pada kelengkapan function yang telah tersedia padanya. Berikut adalah tampilan dari antar muka Matlab.

Yang dimaksud dengan function sesungguhnya adalah program yang telah dibangun dengan tujuan khusus dan kemudian digabungkan kedalam

(20)

CHAPTER 2. PENGENALAN KOMPUTER 19 sistem Matlab. Karenanya kemudian Matlab disebut sebagai Paket pro-gram.

Selain paket program Matlab ada beberapa paket program lain yang semisal denganya. Misalnya Skylab, Mupad, Octave dan Mathematica. Paket program tersebut tidak akan dibahas secara lebih rinci pada catatan kuliah ini.

(21)

Chapter 3 Proses Pemrograman

3.1 Program dan bahasa pemrograman

Program dalam istilah komputer mempunyai arti sebagai kumpulan perin-tah yang digunakan untuk mengatur komputer untuk melaksanakan suatu pekerjaan. Melalui program inilah kemudian manusia dapat berinteraksi dengan ”mesin” komputer. Tanpa sebuah program maka komputer tidak akan dapat melakukan sesuatu sesuai dengan yang dikehendaki. Jadi ketika suatu program dibuat dan dijalankan, terjadi interaksi antara manusia dan komputer.

Seperti halnya interaksi antar manusia diperlukan suatu bahasa agar setiap ungkapan dapat difahami dan setiap perintah ataupun informasi da-pat ditindak lanjuti. Karenanya untuk bisa membuat program, seorang pro-gramer (orang yang biasa membuat program komputer) yang ingin berin-teraksi dengan komputer memerlukan bahasa pemrograman (lihat ilustrasi yang diambil dari http : //f ooyoh.com/iamchiq living lif estyle/5062933 berikut).

(22)

CHAPTER 3. PROSES PEMROGRAMAN 21

Agar dapat difahami maka seorang programer harus mengikuti kaidah bahasa program tertentu yang kemudian disebut sebagai bahasa pemrogra-man. Bahasa pemrograman dapat dikategorikan kedalam

1. Bahasa beraras tinggi 2. Bahasa beraras rendah

Bahasa beraras tinggi adalah bahasa pemrograman yang berorientasi pada manusia (programer). Artinya bahasa program jenis ini lebih mudah difahami karena mendekati bahasa manusia dan menggunakan kata-kata yang biasa digunakan oleh manusia khususnya bahasa Inggris. Contoh ba-hasa jenis adalah baba-hasa Basic, Pascal, C, C++, Java.

Sedangkan bahasa beraras rendah adalah bahasa yang berorientasi pada mesin. Bahasa ini menggunakan kode biner yang hanya mengenal angka 0 dan 1. Yang tergolong dalam bahasa ini adalah bahasa Asembler (rakitan). Bahasa semacam ini sulit untuk dibaca dan difahami langsung oleh manusia dan programer yang biasa menggunakan bahasa beraras tinggi. Biasanya bahasa mesin hanya bekerja pada satu jenis mesin tertentu kare-nanya disebut machine dependent.

3.2 Penerjemah Bahasa

Sebagai mana dijelaskan sebelumnya bahwa sebenarnya ada perbedaan an-tara bahasa manusia dan bahasa mesin. Bahasa mesin sulit dimengerti

(23)

CHAPTER 3. PROSES PEMROGRAMAN 22 oleh manusia dan sebaliknya mesin tidak bisa memahami bahasa manusia. Singkatnya bahasa program yang di buat dengan bahasa program beraras tinggi tidak bisa difahami langsung oleh mesin. karenanya diperlukan penr-jemah bahasa, yang menerpenr-jemahkan setiap perintah dari bahasa aras tinggi kedalam bahasa mesin, agar mesin dapat menjalankan perintah-perintah tersebut.

Penerjemah bahasa ini kemudian dikelompokan menjadi: 1. Interpreter.

Yaitu penerjemah bahasa yang mengerjakan satu baris intruksi ba-hasa kedalam baba-hasa mesin untuk kemudian dijalankan oleh mesin. Instruksi berikutnya akan diterjemahkan selanjutnya jika instruksi pertama telah selesai diinstruksikan. Dengan kata lain interpreter menterjemahkan dan menginstruksikan semua perintah satu persatu. 2. Compiler.

Berbeda dengan interpreter, Compiler bekerja secara lebih kompak yaitu menerjemahkan semua instruksi kedalam bahasa mesin sekali-gus menjadi kode objek. Dan tidak ada proses penerjemahan lagi ketika kode objek dijalankan oleh mesin. Hasil dari proses kompilasi ini biasanya adalah program yang dapat dijalankan tanpa ada trans-lator, atau sering disebut sebagai executable. Sekarang ini program yang executable ini sering disebut sebagai aplikasi.

Dengan menggunakan Interpreter seseorang dapat melakukan proses pencarian kesalahan pada kode sumber dengan lebih mudah. Namun kelema-hanya adalah bahwa setiap kali menjalankan program dengan interpreter maka kode sumber harus selalu tersedia dan jika jumlah instruksi besar maka proses pengeksekusian menjadi lambat, dan proses ini selau berulang setiap kali program digunakan.

Sedangkan dengan Compiler, pengerjaan instruksi bisa berjalan den-gan cepat karena setiap kali hanya diperlukan satu program executable yang telah dihasilkan. Program executable ini juga bisa diduplikasi dan dijalankan pada komputer yang lain dengan platform yang sama. Namun secara kebahasaan program yang diproses dengan compiler harus betul se-cara keseluruhan sebelum benar-benar bisa dikompilasi dan distribusikan.

(24)

3.3 Merancang sebuah program

Sebuah program dirancang dan dibuat untuk menyelesaikan secara khusus sebuah permasalahan. Terdapat tiga langkah penting dalam menyelesaikan permasalahan:

1. Menganalisa masalah, dan merancang urutan penyelesaian (Algoritma) 2. Menuangkan Algoritma kedalam bentuk program

3. Mengeksekusi dan menguji program

3.3.1 Menganalisa, dan merancang urutan

penyelesa-ian masalah (Algoritma)

Pada dasarnya permasalahan yang dapat dikerjakan melalui proses pem-rograman sangatlah luas. Mulai dari suatu permasalahan yang sederhana sampai dengan permasalahan yang kompeks. Biasanya permasalahan yang kompleks lah yang perlu dikerjakan dengan program komputer. Akan tetapi dalam catatan kuliah kali ini akan dijelaskan beberapa permasalahan yang sederhana dengan tujuan siswa dapat memahami dengan lebih mudah proses mengalisa masalah dan proses merancang suatu urutan kerja (Algoritma)1_.

Sebelum merancang suatu urutan kerja, maka biasanya dillakukan in-dentifikasi masalah dan penyaringan informasi. Berdasarkan hasil identi-fikasi masalah dan penjaringan informasi maka kemudian langkah kerja da-pat dirancang dan untuk selanjutnya dada-pat dituangkan kedalam bentuk program.

Sebagai contoh sederhana, kali ini akan diselesaikan suatu han menghitung luas lingkaran. Jelas permasalahan ini adalah permasala-han matematik biasa dan melibatkan rumus perhitungan biasa. Sedangkan informasi yang diperlukan untuk dapat menyelesaikan masalah ini adalah yaitu data besarnya nilai π dan panjang jejari lingkaran. Dengan logika sederhana maka rancangan penyelesaian permasalahan ini dapat dituliskan sebagai berikut

1_{Istilah Algoritma diambil dari nama seorang ilmuwan Arab bernama Abu Ja’far}

(25)

CHAPTER 3. PROSES PEMROGRAMAN 24 Luas = nilai pi x panjang jejari x panjang jejari

Algoritma bagi penyelesaian masalah ini kemudian dapat dituliskan sebagai berikut:

1. Peroleh panjang jejari

2. Hitung luas lingkaran sesuai dengan rumus 3. Tampilkan nilai luas lingkaran

Ada banyak cara untuk menuliskan Algoritma dan Algoritma tidak selalu di tuangkan seperti layaknya bahasa manusia. Diantaranya dengan menuangkan kedalam kode semu (pseudocode). Untuk permasalahan luas lingkaran maka pseudocode yang mungkin adalah sebagai berikut

luas <-- pi x panjang jejari x panjang jejari

Untuk suatu program yang lebih kompleks maka diperlukan ungkapan kode semu yang lebih panjang dan kompleks, untuk kasus seperti ini maka bi-asanya kode semu lebih berorientasi dan lebih mirip pada bahasa program dimana permasalahan tersebut akan diselesaikan.

Selain kode semu kadangkala Algoritma di tuangkan kedalam bentuk diagram alir. Sebagai contoh diagram alir untuk menghitung luas lingkaran diberikan pada gambar berikut

(26)

Dari gambar di atas dapat kita lihat berbagai macam bentuk yang di-gunakan dalam diagram alir. Bentuk oval menandakan memulai dan akhir. Bentuk persegi empat yang digunakan untuk melambangkan proses perhi-tungan. Bentuk jajaran genjang menandakan masukan atau keluaran suatu proses. Bnetuk layang-layang menandakan pengambilan keputusan.

3.3.2 Menuangkan Algoritma kedalam Kode Sumber

Setelah proses analisa masalah dan pembuatan Algoritma selesai dibangun maka proses selanjutnya adalah pembuatan kode sumber. Untuk kasus per-masalahan luas lingkaran maka kode sumber dalam bahasa C kurang lebih dapat dilihat sebagai berikut:

(27)

CHAPTER 3. PROSES PEMROGRAMAN 26 #include <stdio.h>

#define PI 3.1415926535897932385E0 main()

{

double radius, area;

/* mendefiniskan variabel-veriabel */ printf("Enter the radius of a circle \n"); /* perintah memasukan input radius */ scanf("%lf", &radius);

/* membaca input radius */

area = radius * radius * PI; /* rumus area */

printf("radius=%f, area=%f\n", radius, area); /* mencetak hasil */

}

3.3.3 Mengeksekusi program dan menguji program

Setelah kode sbumer diatas di buat dalam editor, maka dapat disimpan dengan extension c. Dan selanjutnya dapat dikompilasi dengan kompiler c. Diantara kompiler c yang dapat digunakan adalah gcc yang telah tersedia di pada sistem operasi Linux. Dengan proses kompilasi akan dapat diketahui apakah program tersebut sudah betil secara sintaks atau belum. Jika ter-dapat peringatan eror maka ter-dapat dicari bagian/baris mana yang mengak-ibatkan adanya eror tersebut. Setelah diketahui baris yang menyebabkan eror dan dilakukan perbaikan maka program dapat kembali dikompilasi. Demikian seterusnya sampai program benar-benar selesai dikompilasi tanpa ada peringatan eror. Stelah itu program executable yang diperoleh dapat di-jalankan dan nilai keluaran dapat diuji kebenarannya. Khusus untuk kasus sederhana seperti luas lingkaran maka uji keluaran tersebut dapat diperoleh dengan membandingkan dengan hasil perhitungan analitik. Untuk program

(28)

CHAPTER 3. PROSES PEMROGRAMAN 27 yang dirancang menyelesaikan permasalahan yang kompleks seringkali pen-carian kesalahan baik dalam program maupun keluaran tidaklah sederhana. Dalam konteks program kesalahan dalamkode sumber sering disebut dengan bug, dan proses pencarian kesalahan ini sering disebut sebagai debugging.

(29)

Chapter 4 Struktur Dasar Algoritma

Setidaknya ada tiga macam struktur dasar dalam algoritma, seperti yang akan dijelaskan sebagai berikut.

4.1 Struktur Berurutan

Struktur dasar berurutan datau sekuensial merupakan struktur dasar algo-ritma yang memproses langkah-langkah dengan cara berurutan. Jika dalam sebuah program terdiri dari sepuluh baris maka setiap baris akan dikerjakan satu persatu secara berurutan. Salah satu contoh bentuk diagram alir bagi struktur sekuensial ditunjukan oleh gambar berikut

(30)

CHAPTER 4. STRUKTUR DASAR ALGORITMA 29 Dalam bagian terdahulu pada bagian contoh algoritma perhitungan luas lingkaran telah digunakan jenis algoritma ini.

4.2 Struktur Seleksi

Dalam struktur seleksi terjadi sebuah pemilihan langkah kerja (pengambi-lan keputusan) yang didasarkan pada suatu kondisi. Dalam proses ini jika suatu kondisi dipenuhi maka akan dilakukan langkah 1 sedangkan jika tidak dipenuhi maka akan dilakukan langkah 2. Struktur seperti ini diilustrasikan dalam gambar berikut

Setidaknya ada tiga jenis struktur seleksi yang dapat dikategorikan sebagai berikut:

4.2.1 Struktur seleksi If

Struktur seleksi ini adalah struktur paling sederhana dimana tedapat satu kondisi dan seleksi didasarkan pada kondisi yang diberikan tersebut. Bentuk umum struktur seleksi dengan if adalah

If (kondisi) pernyataan

(31)

CHAPTER 4. STRUKTUR DASAR ALGORITMA 30 Salah satu diagram alir bagi operasi bersyarat ini ditunjukan oleh gambar berikut.

4.2.2 Struktur seleksi If else

Struktur seleksi bersyarat menyediakan pernyataan alternatif yang harus di eksekusi jika kondisi tidak dipenuhi. Artinya jika kondisi dipenuhi maka akan dilakukan perintah 1 dan jika kondisi salah maka akan dilakukan per-intah 2.

Bentuk umum pernyataan seleksi If else adalah sebagai berikut If (kondisi)

pernyataan 1; else

pernyataan 2;

Adapun struktur seleksi If else di tunjukan oleh diagram alir sebagai berikut

(32)

CHAPTER 4. STRUKTUR DASAR ALGORITMA 31

Contoh riil bagi struktur seleksi ini adalah proses pencarian nilai mak-simal dari dua buah bilangan yang diberikan misalnya 10 dan 12. Anggap angka 10 sebagai A dan angka 12 sebagai B, maka kode semu bagi penyele-saian masalah ini sebagai berikut

1. Masukan nilai A dan B 2. Bilangan terbesar ← A

3. JIKA Bilangan terbesar < B MAKA Bilangan terbesar ← B

Akhiri JIKA

4. Tampilkan Bilangan terbesar

(33)

4.3 Struktur Pengulangan

Struktur pengulangan atau yang biasa disebut loop pada dasarnya adalah kondisi khusus bagi struktur seleksi dimana dengan kondisi tertentu maka proses akan diulang sedangkan untuk kasus sebaliknya maka suatu proses dapat diberhentikan atau diganti dengan proses yang lain. Salah satu ben-tuk struktur pengulangan sederhana dapat ditunjukan dengan diagram alir sebagai berikut

(34)

Seperti struktur seleksi maka ada beberapa jenis struktur perulangan, diantaranya:

4.3.1 Struktur perulangan for

Perintah for adalah perintah untuk melakukan perulangan satu jenis perin-tah atau beberapa pernyataan ketika kondisi masih dipenuhi. Perinperin-tah ini dimulai dari suatu nilai awal pencacah tertentu dan diakahiri setelah kondisi yang diberikan terlampaui, dengan cara keluar dari loop.

Adapun bentuk umm dari operasi perulangan menggunakan perintah for adalah

for (inisialisasi, kondisi, pencacah) pernyataan

(35)

4.3.2 Struktur perulangan while

Perintah while pada dasarnya serupa dengan perintah for. Dimana suatu perulangan akan terus dilakukan selama kondisi yang diberikan masih ter-penuhi.

Adapan bentuk umum perulangan menggunakan perintah while adalah sebagai berikut

while (kondisi) pernyataan

Bentuk diagram alir bagi perulangan menggunakan perintah while adalah sama dengan diagram alir perintah for.

4.3.3 Struktur perulangan do while

Pada dasarnya perintah do while adalah perintah perulangan yang serupa dengan perintah for dan while yang memberikan perintah untuk melakukan

(36)

CHAPTER 4. STRUKTUR DASAR ALGORITMA 35 perulangan selama kondisi masih terpenuhi. Bisa dikatakan perintah ini adalah alernatif sintaksis yang tersedia dalam bahasa pemrograman untuk melakukan perulangan.

4.4 Struktur Kombinasi

Selain ketiga struktur dasar di atas dalam program seringkali digunakan kombinasi tiga struktur tersebut secara bersamaan.

4.5 Quiz

Buatlah kode semu dan diagram alir yang digunakan untuk menampilkan angka 1 sampai dengan 10 disertai dengan nilai kwadratnya.

4.6 Tugas

Buatlah kode semu dan diagram alir yang digunakan untuk menampilkan bilangan Fibonacci.

4.7 Jawaban Quiz

Kode semu

1. Bilangan ← 1

2. Ulang selama Bilangan < 11

Tampilkan (Bilangan, Bilangan x Bilangan) Bilangan ← Bilangan + 1

3. Akhiri Ulangan Diagram Alir

(37)

(38)

Chapter 5 Pemrograman C

5.1 Bagian-bagian dalam bahasa C

Dalam bab ini akan diuraikan secara ringkas mengenai pemrograman C. Terutama bagian-bagian dalam tubuh program, dan masalah sitaksis (ke-bahasaan) yang digunakan dalam bahasa C.

Untuk memulainya mari kita tinjau suatu program yang sangat seder-hana berikut

#include <stdio.h> int main()

{

printf("Mari kita mulai belajar C\n"); return 0;

}

Gambar berikut menjelaskan bagian-bagian yang ada dalam program di atas:

(39)

CHAPTER 5. PEMROGRAMAN C 38

Berikut adalah penjelasan atas bagian-bagian dalam program seder-hana di atas

1. Berkas header dengan ekstensi .h adalah berkas berisi prototipe fungsi, definisi konstanta, dan definisi variabel. Prototipe fungsi berupa judul suatu fungsi yang dilengkapi argumen dan tipe argumen serta tipe nilai balik, untuk fungsi yang memberikan nilai balik. Bagian ini adalah bagian yang menjadi prasyarat agar suatu program dapat dikompilasi. 2. Praposesor ]include adalah suatu perintah yang digunakan untuk mengatur kompiler agar membaca berkas header yang disertakan sete-lahnya.

3. main adalah fungsi yang akan dijalankan pertama kali ketika program dieksekusi. Int menunjukan bahwa program memberikan nilai balik yang bertipe integer yang berarti bilangan bulat

4. printf pda program di atas adalah sebuah fungsi yang digunakan un-tuk menampilkan tulisan pada layar. Adapun tulisan yang akan dita-mpilkan adalah tulisan yang berada dalam tanda kurung dan tanda petik. Tulisan yang ditampilkan mempunyai tipe data string.

(40)

CHAPTER 5. PEMROGRAMAN C 39 5. Nilai balik program ditentukan oleh pernyataan return. Pada contoh di atas nilai balik adalah nol, yang berarti jika berhasil maka nilai balik inilah yang akan dikeluarkan.

Selain pembahasan secara ringkas mengenai pemrograman C di atas, sebenarnya masih banyak sekali hal-hal yang perlu dipelajari oleh mahasiswa agar benar-benar menguasai bahasa pemrograman C. Beberapa hal yang perlu dipelajari tersebut adalah: pengenal (identifier), penunjuk (pointer), tipe data, variabel dan deklarasinya, literal, karakter escape, operator dan lain sebagainya. Bagian tersebut tidak akan dibahas secara detail dalam buku ini. Dalam bagian berikutnya akan ditunjukan suatu konsep yang penting dalam pemrograman yaitu konsep rekursi khususnya rekursi dalam bahasa C.

5.2 Rekursi dalam bahasa C

Rekursi adalah suatu konsep yang sangat penting dalam pemrograman. Su-atu fungsi dalam program disebut sebagai rekursif jika fungsi tersbut me-manggil dirinya sendiri.

Berikut adalah contoh penggunaan konsep rekursi dalam program C. #include <stdio.h>

int sum(int n); int main(){

int num,add;

printf("Enter a positive integer:\n"); scanf("%d",&num); add=sum(num); printf("sum=%d",add); } int sum(int n){ if(n==0) return n; else

(41)

CHAPTER 5. PEMROGRAMAN C 40 }

Contoh program di atas menunjukan bahwa fungsi sum pada dasarnya memanggil dirinya sendiri. Karenanya fungsi sum dalam program tersebut menunjukan sesuatu yang bersifat rekursif.

5.2.1 Penerapan pemrograman pada contoh sederhana

Setelah contoh di atas kali ini akan dibahas suatu ungkapan matematik sederhana yang disebut dengan logistic map. Perlu ditekankan bahwa meskipun secara ungkapan matematik tampak sederhana namun permasalahan ini sebenarnya mengandung kompleksitas yang tinggi. Berikut adalah ungka-pan matematik logistic map yang dimaksud

xn+1 = rxn(1 − xn) (5.1)

Berikut ini adalah contoh program yang digunakan untuk menampilkan nilai dari x sebagai fungsi n dengan nilai masukan x0 dan r tertentu. #include <stdio.h> #include <math.h> void main(void) { float const a = 2.80; float const b = 3.10; float const x0 = 0.312; float x = x0; float y = x0; int i; for (i = 0; i <= 60; i++) { printf("%d\t%f\t%f\n",i,x,y); x = a * x * (1.0-x);

(42)

CHAPTER 5. PEMROGRAMAN C 41 y = b * y * (1.0-y);

} }

Setelah dijalankan maka untuk parameter r = 1.8 dan x0 = 0.312

(43)

(44)

5.3 Tugas

Ubahlah kode sumber logistic map di atas (jika bisa gunakanlah logika rekur-sif). Dengan kode sumber tersebut, tunjukan grafik xn versus r dengan memvariasi r dari 0 sampai dengan 4 dengan selang 0.01.

(45)

(46)

Chapter 6 Permasalahan Akar Fungsi

Pada bab 7 ini akan mulai dibahas mengenai suatu metode numerik yang didasarkan pada matematika diskret dan algoritma dan pemrograman yang telah dibahas pada bab yang telah lalu. Lebih lanjut akan disajikan pula suatu permasalahan fisis yang dapat diselesaikan melalui metode numerik yang dimaksud.

Topik yang akan disajikan pada bab ini adalah permasalahan akar fungsi yang merupakan permasalahan yang cukup fundamental dalam matem-atika. Suatu nilai disebut sebagai akar dari sebuah fungsi jika nilai tersebut menghasilkan luaran 0 (nol) saat dimasukan ke dalam fungsi yang dimaksud. Oleh karenanya permasalahan akar ini seringkali disebut sebagai pencarian titik nol. Untuk suatu fungsi linear maka nilai akar (titik nol) baginya da-pat diperoleh dengan mudah, oleh karenanya dalam bab ini akan dibahas mengenai pencarian akar pada fungsi-fungsi yang tak linear. Banyak contoh fungsi yang tak linear dalam metematik diantaranya adalah fungsi polinom dan fungsi-fungsi trigonometrik. Untuk jenis fungsi-fungsi nonlinear terse-but terdapat beberapa metode numerik dapat digunakan untuk memperoleh nilai akarnya, berikut adalah beberapa metode yang dimaksud.

(47)

CHAPTER 6. PERMASALAHAN AKAR FUNGSI 46

6.1 Metode Bisection

Metode bisection merupakan metode paling sederhana bagi penyelesaian akar fungsi tak linear pada suatu interval yang diketahui. Kelebihan dari metode ini adalah bisa digunakan bagi sembarang fungsi termasuk pada su-atu fungsi-fungsi yang tidak bisa diselesaikan secara analitik. Berdasarkan namanya seseungguhnya kita bisa menebak secara intuitif maksud dari metode ini, yaitu jika pada suatu interval tertentu terdapat suatu akar dari fungsi maka interval tersebut dibagi menjadi dua interval baru. Lalu dapat di-pastikan diantara kedua interval yang terbentuk tersebut terdapat satu in-terval yang memuat akar (titik nol) fungsi.

Pertama asumsikan bahwa pada interval x = a dan x = c atau da-pat dituliskan [a, c], terdada-pat satu buah akar bagi sebuah fungsi seperti ditunjukan gambar di atas (perhatikan panah biru pada gambar). Kemu-dian metode Bisection bekerja berdasarkan fakta bahwa tanda pada dua sisi yaitu kiri dan kanan titik nol adalah berlawanan, yaitu f (a) positif dan f (c) negatif. Maka langkah dalam metode Bisection untuk memdekati nilai akar adalah sebagai berikut:

1. Pertama membagi interval menjadi dua (Bisect) yaitu [a, b] dan [b, c] dimana b = (a + c)/2.

(48)

CHAPTER 6. PERMASALAHAN AKAR FUNGSI 47 2. Mencari interval yang masih mengandung akar fungsi dengan cara melakukan perkalian antara f (a)f (b) dan f (b)f (c). Jika f (a)f (b) ≤ 0 maka interval [a, b] mengandung akar fungsi. (lihat gambar)

3. Interval [a, b] dibagi menjadi dua lagi ”di-Bisect” dan prosedur pencar-ian interval yang mengandung akar fungsi dilakukan secara berulang. 4. Pada setiap langkah titik tengah interval akan digunakan sebagai nilai

pendekatan bagi akar fungsi yang dimaksud/dicari Setelah n langkah perulangan maka akan diperoleh

c − a

2n (6.1)

Nilai ini dapat digunakan untuk menentukan batas toleransi bagi program untuk melakukan iterasi sampai mencapai interval terkecil. Jika diberikan toleransi maka berlaku

c − a

2n (6.2)

atau dapat dituliskan sebagai

n ≥ lnc − a

(6.3)

Sebagai contoh jika interval awal adalah [0, 1] dan = 0.0001 maka n = 14.

Quiz: Hitunglah akar fungsi berikut dengan menggunakan metode bi-sect pada interval [0, 2] dan toleransi = 0, 01

ex− 2 = 0 (6.4)

Berikut ini adalah kode program yang berdasarkan pada metode Bi-section untuk menyelesaikan permasalahan persamaan di atas.

#include <stdio.h> #include <math.h>

(49)

CHAPTER 6. PERMASALAHAN AKAR FUNGSI 48 double func(double x){

return exp(x) -2.0; }

int main(void){

double leftpt, rightpt, midpt, epsilon = 0.0000001; double midvalue, rtvalue, root;

printf("\nEnter values for starting left and right points:\n"); scanf("%lf %lf", &leftpt, &rightpt);

printf(" Left and right starting points are: %lf , %lf\n", leftpt,rightpt); do {

midpt = (leftpt + rightpt)/2; rtvalue = func(rightpt); midvalue = func(midpt); if (rtvalue * midvalue >= 0)

rightpt = midpt; else leftpt = midpt; } while ((rightpt - leftpt) > epsilon); root = (rightpt+leftpt)/2;

printf("\nRoot is: %15.10lf\n", root); return 0;

}

Ubahlah kode sumber di atas untuk mencari akar fungsi polinomial f (x) = x3_{− 3x}2_{− x + 3.}

6.2 Metode Newton

Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan mengenai suatu metode yang san-gat sederhana penyelesaian numerik bagi permasalahan pencarian akar su-atu fungsi. Pada bagian ini akan dijelaskan metode yang lain yaitu metode Newton atau yang dikenal pula dengan metode Newton-Raphson. Kelebi-han dari metode ini adalah dapat digunakan untuk menyeleaikan permasala-han akar kompleks dan bahkan bisa diterapkan pada persamaan-persamaan nonlinear secara simultan. Akan tetapi ada satu titik kelemahan dalam

(50)

CHAPTER 6. PERMASALAHAN AKAR FUNGSI 49 metode ini yaitu diperlukan suatu titik tebakan awal bagi nilai akar dari suatu fungsi.

Metode Newton dapat diperoleh dari deret Taylor sebagai berikut f (x) = f (a) + hf0(a) +h 2 2 f 00 (a) + h 3 6 f 000 (a) + h 4 24f 0000 (a) + h 5 5!f 00000 (a) + ... + h m m!f (m)_(a) _(6.5)

Dimana h = x − a dan f0, f00, adalah beturut-turut turunan pertama, kedua dan seterusnya dari fungsi f . Untuk suatu nilai tebakan x0 dan pendekatan dua suku pertama maka berlaku

f (x) = 0 = f (x0) + (x − x0)f0(x0) + 0(h2) (6.6) Dimana h = x − x0. Dengan menyelesaikan persamaan di atas maka dapat diperoleh 0 = f (x0) + (x − x0)f0(x0) (6.7) f (x0) f0_(x 0) + (x − x0) = 0 (6.8) x = x0− f (x0) f0_(x 0) (6.9) Yang kemudian secara suksesif dapat diperoleh kaitan:

xi = xi−1−

f (xi−1) f0_(x

i−1)

(6.10) Dari uraian di atas maka sesungguhnya proses pencarian akar dengan metode Newton ini dapat diilustrasikan sebagai berikut

(51)

CHAPTER 6. PERMASALAHAN AKAR FUNGSI 50

Suatu hal yang perlu diingat pada metode ini adalah diperlukan tu-runan bagi suatu fungsi yang ingin diketahui nilai akarnya menggunakan metode ini. Oleh karenanya tidak sembarang fungsi dapat diselesaikan, melainkan hanya fungsi yang mempunyai turunan yang kontinyu.

Quiz: Dengan menggunakan metode Newton carilah hasil akar pangkat tiga berikut x = √3 _{a untuk nilai a = 155.}

Contoh lain program pencarian titik nol dengan metode Newton–Raphson #include <stdio.h>

#include <math.h> float fung(float x); float dfung(float x);

int main(int argc, char * argv[]) {

float x0, x1, delta, tol; int i, imak;

imak = 20; tol= 1.0e-4;

(52)

CHAPTER 6. PERMASALAHAN AKAR FUNGSI 51 printf("Berikan masukan nilai x0 = ");

scanf("%f", &x0); printf("\n"); i = 0; do { i = i + 1; x1 = x0 - fung(x0)/dfung(x0); delta = x1 - x0; if (delta < 0) delta = -delta;

printf("Hasil iterasi ke-%d adalah %f\n", i, x1); x0 = x1;

} while ((delta > tol) && (i < imak)); printf("\nNilai akar = %f\n", x1); } float fung(float x) { return x*x*x-155; } float dfung(float x) { return 3*x*x; }

Berikut hasil luaran setelah program dijalankan Berikan masukan nilai x0 = 4

(53)

CHAPTER 6. PERMASALAHAN AKAR FUNGSI 52 Hasil iterasi ke-1 adalah 5.895833

Hasil iterasi ke-2 adalah 5.416902 Hasil iterasi ke-3 adalah 5.372062 Hasil iterasi ke-4 adalah 5.371686 Hasil iterasi ke-5 adalah 5.371686 Nilai akar = 5.371686

Perlu diketahui bahwa nilai tersebut merupakan nilai eksak bagi fungsi tersebut.

6.2.1 PR

Berikut disajikan permasalahan fisika terkait masalah Gravitasi:

Dua buah benda bermasa m1 = 103_{kg dan m2 = 3 × 10}5_kg mempun-yai jarak 10 km. Di antara keduanya diletakan benda lain dengan massa m3 = 10kg. Dengan menggunakan metode Bisection dan Newton tentukan posisi benda ketiga agar terjadi kesetimbangan gaya gravitasi padanya. Gu-nakanlah kode program yang telah ada pada catatan kuliah ini.

6.2.2 Metode Newton Orde Dua (Pengayaan)

Setelah memahami metode Newton–Raphson di atas ikutilah peunjuk dibawah ini untuk bisa memahami metode yang sama pada orde yang lebih tinggi yitu orde dua

1. Ubah program kode jika sistem yang ditinjau empat muatan listrik yang sejajar

2. Bagaimana jika dicoba suatu nilai tebakan posisi tidak diantara ke-dua/empat muatan

3. Bagaimana pula jika nilai tebakan sangat dekat pada satu titik mu-atan?

(54)

CHAPTER 6. PERMASALAHAN AKAR FUNGSI 53 4. Ubah kode program menggunakan metode Newton Raphson orde dua

sebagai berikut: Xi+1 = Xi− f (Xi) f0_(X i) − f (Xi)f00(Xi) 2f0_(X i) (6.11)

bandingkan hasil ini dengan metode Newton Raphson orde 1. 5. Apa yang dapat anda simpulkan dari hasil case 1 s/d 4?

(55)

Chapter 7 Masalah Integrasi Numerik

Dalam dunia sains dan teknik sudah sangat dikenal bahwa bentuk model bagi sistem fisis sering kali dapat berupa persamaan integral. Untuk beber-apa kasus, permasalahan integral ini tidak bisa diselesaikan secara analitik. Pada keadaan demikian diperlukan suatu pendekatan numerik. Selain itu untuk kasus yang bisa diselesaikan secara analitik, melalui penyelesaian nu-merik seringkali dapat dihasilkan perhitungan operasi integral dengan cepat dan dengan akurasi yang dapat diterima. Karenanya perhitungan Integral bisa dikatakan sebagai permasalahan umum yang elementer dalam kom-putasi numerik. Seiring dengan itu terdapat banyak pendekatan numerik yang bisa dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan integral.

Dalam bab ini akan dibahas metode numerik untuk menyelesaikan per-masalahan integral, khususnya integral tunggal

I = Z b

a

f (x)dx (7.1)

7.1 Metode Trapesium

Ketika sebuah fungsi kontinyu f (x) akan diintegralkan secara numerik, maka sesungguhnya fungsi tersebut akan didiskritisasi menjadi banyak bagian. Setiap bagian itu akan di integrasikan secara independen sebelum kemu-dian dilakukan penjumlahan terhadap hasil integrasi seluruh bagian. Proses

(56)

CHAPTER 7. MASALAH INTEGRASI NUMERIK 55 tersebut ditunjukan pada gambar berikut

Gambar di atas secara instruktif menunjukan bahwa setiap bagian diskret di bawah fungsi f (x) merupakan suatu trapesium. Dari fakta ini dibuatlah suatu metode integrasi yang paling sederhana bagi permasalahan integral yaitu metode trapesium.

Pada metode trapesium, proses integrasi dilakukan dengan cara menghi-tung luas setiap trapesium kemudian seluruh luasan trapesium dijumlahkan untuk menghasilkan nilai integrasi fungsi yang diinginkan.

Secara matematis dapat dijelaskan sebagai berikut. Luasan sebuah trapesium sebut saja trapesium pertama yaitu wilayah I1 (lihat gambar) akan dihitung dengan persamaan berikut

I1 = h

2(f0+ f1). (7.2)

Dengan h = x1− x0 dan f0 = f (x0) dan f1 = f (x1). Secara umum untuk sejumlah n cacah trapesium maka dapat dapat dituliskan

h = xn− x0

n (7.3)

(57)

CHAPTER 7. MASALAH INTEGRASI NUMERIK 56 sebagai berikut

Ii = h

2(fi−1+ fi). (7.4)

Maka seluruh luasan dibawah fungsi f (x) adalah jumlahan I untuk seluruh nilai i. Dan dapat dirumuskan sebagai

X i Ii = X i h 2(fi−1+ fi). (7.5)

Jika bentuk di atas diuraikan maka akan diperoleh bentuk eksplisit sebagai berikut Z xn x0 f (x) ∝ h 2(f0 + f1) + h 2(f1+ f2) + ... + h 2(fN −1+ fN) = h(f0 2 + f1+ ... + fN −1+ fN 2 ) (7.6)

Mewujudkan proses integrasi di atas kedalam bahasa pemrograman (coding) tidaklah terlalu rumit. Ini dikarenakan kita telah melalui beberapa contoh coding yang telah melibatkan definsi fungsi. Dari persamaan terakhir da-pat dilihat bahwa yang perlu dilakukan dalam program adalah menentukan cacah trapesium yang berarti cacah diskretisasi fungsi. Selain itu adalah nilai fungsi pada setiap batas kiri dan kanan dari setiap trapesium.

Berikut adalah contoh program untuk menyelesaikan integrasi fungsi

f (x) = 2 2 + x2 (7.7) #include<stdio.h> float y(float x){ return 2/(2+x*x); } int main(){ float x0,xn,h,s; int i,n;

(58)

CHAPTER 7. MASALAH INTEGRASI NUMERIK 57 scanf("%f%f%d",&x0,&xn,&n); h = (xn-x0)/n; s = y(x0) + y(xn); for(i = 1; i < n; i++){ s += 2*y(x0+i*h); } printf("Value of integral is %6.4f\n",(h/2)*s); return 0; }

Tugas: Ubahlah kode sumber permasalahan kode sumber untuk menye-lesaikan integral di atas untuk fungsi sinusoidal f (x) = sin(x) dengan batas integral 0 sampai dengan π. Jelaskan kendala yang anda hadapi dan band-ingkan hasil perhitungan numerik yang anda peroleh dengan hasil perhitun-gan analitik.

7.2 Metode Simpson

Dari bentuk persamaan (7.6), dapat dikembangkan suatu pendekatan nu-merik yang lebih teliti. Berikut akan diilustrasikan secara lebih grafis.

Tijau sebuah fungsi parabolik y = ax2+bx+c pada posisi (−h, y0), (0, y1)-(−h, y2) seperti ditunjukan gambar berikut

(59)

CHAPTER 7. MASALAH INTEGRASI NUMERIK 58 Dan mengingat bentuk integral dari fungsi tersebut adalah

I = Z h −h (ax2+ bx + c)dx (7.8) = (ax 3 3 + bx2 2 + cx)| h −h = 2ah 3 3 + 2ch = h 3(2ah 2_{+ 6c)}

Dengan mengingat bahwa

y0 = ah2 − bh + c (7.9)

y1 = c (7.10)

y0 = ah2 + bh + c (7.11)

dapat dibuktikan bahwa

y0+ 4y1+ y0 = (ah2− bh + c) + 4c + ah2 + bh + c (7.12)

= 2ah2+ 6c, (7.13)

sehingga diperoleh kaitan I = h

3(y0 + 4y1+ y0) (7.14)

Untuk kasus sembarang fungsi yang dintegralkan pada interval [a, b] berikut

Z b

a

f (x)dx (7.15)

(60)

CHAPTER 7. MASALAH INTEGRASI NUMERIK 59

Dan akan diperoleh bentuk integral Z b

a

f (x)dx = h

3(y0+ 4y1 + y2) + h

3(y2+ 4y3 + y4) + ... + h

2(yn−2+ 4yn−1+ yn) (7.16) Setelah diurutkan berdasarkan suku masing-masing dapat diperoleh

Z b

a

f (x)dx = h

3(y0+ 4y1+ 2y2+ 4y3+ 2y4+ ... + 4yn−1+ yn)

(7.17) Bentuk ungkapan matematis di atas disebut sebagai bentuk pendekatan numerik metode Simpson. Untuk n cacah diskretisasi yang genap maka ungkapan di atas bisa diubah kedalam bentuk jumlahan dapat diberikan sebagai berikut Z b a f (x)dx = h 3  y0+ 2 n/2−1 X j=1 y2j + 4 n/2 X j=1 y2j−1+ yn   (7.18)

Adapun kode program yang menggunakan metode ini dapat dilihat sebagai berikut:

Contoh program integrasi numerik metode Simpson untuk fungsi

f (x) = 2

(61)

CHAPTER 7. MASALAH INTEGRASI NUMERIK 60 #include<stdio.h> float y(float x){ return 2/(2+x*x); } int main(){ float x0,xn,h,s; int i,n;

printf("Enter x0, xn, no. of subintervals: "); scanf("%f%f%d",&x0,&xn,&n);

h = (xn - x0)/n;

s = y(x0)+y(xn)+4*y(x0+h); for(i = 3; i<=n-1; i+=2){

s += 4*y(x0+i*h) + 2*y(x0+(i-1)*h); } printf("Value of integral is %6.4f\n",(h/3)*s); return 0; } Soal Tugas:

1. Ubah program kode untuk fungsi f (x) = 1/x dengan batas integral −1 sampai 1.

2. Ubah program kode untuk fungsi f (x) = sin(x) dengan batas integral 0 sampai dengan π.

(62)

Chapter 8 Interpolasi dan Pendekatan

Pada dua bab sebelumnya telah ditunjukan suatu metode pendekatan yang dapat digunakan ntuk menyelesaikan permasalahan pencarian nilai akar dan nilai integrasi fungsi secara numerik. Pada bagian ini akan akan dijelaskan beberapa metode pendekatan untuk suatu fungsi dan/atau turunannya. Dengan interpolasi, pendekatan polinomial terhadap suatu fungsi dapat di-lakukan dengan cara mendekatinya pada beberapa titik nilai. Beberapa titik nilai ini bisa jadi merupakan suatu hasil pengukuran dalam sebuah percobaan atau bahkan hasil sebuah interasi numerik yang keduanya tidak dapat dengan mudah untuk di plot menggunakan fungsi-fungsi yang seder-hana. Dua jenis metode interpolasi yang umum digunakan, yaitu Interpolasi Lagrange dan Hermite akan dibahas secara lebih detail pada bab ini.

8.1 Interpolasi Lagrange

Pada Bab sebelumnya telah ditunjukan bahwa untuk suatu fungsi sem-barang maka dapat dilakukan suatu pendekatan yang disebut dengan pen-dekatan deret Taylor. Dalam deret Taylor, ungkapan matematis dan tu-runan nya perlu diketahui sebelum dilakukan pendekatan. Hal ini tentu merupakan suatu kondisi yang belum tentu bisa dipenuhi dalam setiap ka-sus. Oleh karenanya perlu dikembangkan suatu metode pendekatan yang bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana fungsi dan

(63)

CHAPTER 8. INTERPOLASI DAN PENDEKATAN 62 tuk turunan dari fungsi yang ingin didekati tidak diketahui ungkapan matem-atisnya. Yang perlu diketahui adalah beberapa nilai fungsi pada beberapa titik uji saja.

Salah satu metode yang bisa digunakan pada kondisi tersebut adalah metode Interpolasi Lagrange. Untuk memformulasikan interpolasi Lagrange tinjau suatu fungsi sembarang pada dua buah titik x1 dan x2, dan melalui deret Taylor pada sekitar x dapat diperoleh bentuk

f (x1) = f (x) + (x1− x)f0(x) + ...

f (x2) = f (x) + (x2− x)f0(x) + ... (8.1)

Selanjutnya, dilakukan suatu pendekatan suatu fungsi p(x) (yang dike-tahui turunannya) terhadap f (x) pada deret Taylor di atas sehingga diper-oleh bentuk

f (x1) = p(x) + (x1− x)p0(x) + ...

f (x2) = p(x) + (x2− x)p0(x) + ... (8.2)

Syarat utama yang perlu diperhatikan bagi p(x) adalah mempunyai nilai yang sama dengan f (x) pada beberapa titik uji termasuk x1 dan x2. Den-gan syarat ini setidaknya diperoleh suatu kondisi awal yang menunjukan bahwa p(x) adalah suatu fungsi pendekatan yang masuk akal setidaknya pada beberapa titik uji tersebut.

Persamaan (8.2) menunjukan dua buah persamaan dengan dua buah variabel yang tidak diketahui yaitu p(x) dan p0(x). Dengan penyelesaian untuk p(x) sebagai berikut

p(x) = x − x2 x1− x2 f (x1) + x − x1 x2− x1 f (x2), (8.3)

yang merupakan fungsi linear terhadap x. Persamaan (8.3) di atas meru-pakan fungsi linear yang menghubungkan dua buah titik yaitu (x1, f (x1)) dan (x2, f (x2)).

Pendekatan pada suku yang lebih tinggi pada bentuk deret Taylor tentu saja dapat dilakukan dengan syarat bahwa titik ketiga sebagai titik uji dike-tahui. Dengan pendekatan suku ketiga pada deret Taylor akan dapat

(64)

diper-CHAPTER 8. INTERPOLASI DAN PENDEKATAN 63 oleh f (x1) = f (x) + (x1− x)f0(x) + (x1− x)1 2 f 00 (x) + ... f (x2) = f (x) + (x2− x)f0(x) + (x1− x)2 2 f 00 (x) + ... f (x3) = f (x) + (x3− x)f0(x) + (x3− x) 3 2 f 00 (x) + .... (8.4) Dengan penyelesaian p(x) p(x) = (x − x2)(x − x3) (x1− x2)(x1− x3)f (x1) + (x − x1)(x − x3) (x2− x1)(x2− x3)f (x2) + (x − x1)(x − x2) (x3− x1)(x3− x2) f (x3) (8.5)

Sekali lagi syarat yang harus dipenuhi oleh p(x) adalah setidaknya mempun-yai nilai yang sama pada tiga buah titik uji x1, x2 dan x3. Pendekatan yang paling sederhana untuk fungsi yang melalui tiga buah titik adalah suatu fungsi parabolik p(x) = ax2 _{+ bx + c. Dengan merubah nilai-nilai a, b dan} c maka akan dapat diperoleh suatu parabola yang melalui tiga buah titik. Perlu diingat bahwa hanya tedapat satu buah parabola yang bisa memenuhi tiga buah titik sekaligus, maka bentuk pendekatan parabolik ini merupakan suatu pendekatan yang relatif cukup ideal. Bentuk ungkapan terakhir ini sesungguhnya telah digunakan pada Bab sebelumnya yaitu pendekatan nu-merik pada proses integrasi. Khususnya pada metode Simpson di mana un-tuk sembarang fungsi dilakukan diskretisasi dan setiap tiga buah titik di-lakukan pendekatan dengan menggunakan suatu fungsi parabolik.(Lihat sub bab 7.2).

Dari persamaan (8.3) dan (8.4) dapat diformulasikan suatu bentuk umum interpolasi polinomial berorde (n − 1) sebagai berikut

p(x) = n X

j=1

lj,n(x)f (xj), (8.6)

Dimana fungsi f (xj) telah diketahui pada sejumlah titik n pada xj dan lj,n(x) =

(x − x1)(x − x2)...(x − xj−1)(x − xj+1)...(x − xn)

(65)

CHAPTER 8. INTERPOLASI DAN PENDEKATAN 64 Dengan bentuk umum ini, dapat dipilih pendekatan untuk sembarang fungsi dengan polinomial yang diperkirakan sesuai atau mendekati fungsi tersebut.

8.2 Interpolasi Hermite

Tinjau sebuah sembarang fungsi f (x) yang diketahui turunannya. Kemu-dian fungsi tersebut didekati dengan sebuah fungsi polinom sebagai berikut

p(x) = ax3+ bx2+ cx + d. (8.8)

Kemudian konstanta-konstanta a, b, c dan d di peroleh dengan menggunakan syarat

p(x1) = f (x1), p(x2) = f (x2)

p0(x1) = f0(x1), p0(x2) = f0(x2), (8.9) pendekatan ini tidak lain adalah metode interpolasi terhadap suatu fungsi yang kontinyu dan mempunyai derifatif yang kontinyu. Dengan perhitungan matematik dapat diperoleh

p(x) = (1 − 2(x − x1))(x − x2) 2 (x1− x2)2 f (x1) + (1 − 2(x − x2))(x − x1)2 (x2− x1)2 f (x2) + ((x − x1))(x − x2) 2 (x1− x2)2 f0(x1) + ((x − x2))(x − x1)2 (x2− x1)2 f0(x2) (8.10) Selanjutnya pendekatan ini disebut sebagai Interpolasi Hermite menggu-nakan fungsi kubik (pangkat tiga). Tentu saja berbagai fungsi yang lain dapat digunakan untuk melakukan pendekatan tergantung pada sejumlah informasi yang diketahui tentang fungsi yang akan dicari pendekatannya. Misalnya diketahui nilai fungsi pada sejumlah n titik dan nilai turunannya disejumlah r titik, maka dapat digunakan polinomial berorde n + r − 1 yang memenuhi sejumlah n + r syarat, untuk mendekati fungsi tersebut. Secara umum bentuk interpolasi Hermite dapat dituliskan sebagai

p(x) = n X j=1 hj,n(x)f (xj) + n X j=1 ¯ hj,n(x)f0(xj), (8.11)

(66)

CHAPTER 8. INTERPOLASI DAN PENDEKATAN 65 dimana h dan ¯h memenuhi

hj,n(x) = [1 − 2(x − xj)l_j,n0 (xj)]l2_j,n(x) (8.12) dan

¯

hj,n(x) = (x − xj)lj,n2 (x). (8.13)

Dimana lj,n(x) didefinisikan melalui proses interpolasi Lagrange sesuai den-gan persamaan (8.7).

8.3 Pendekatan Pada Turunan (diferensial)

Terdapat banyak cara yang dapat digunakan untuk melakukan turunan se-cara numerik. Salah satu se-cara yang paling sederhana adalah dimulai dari definisi turunan dalam kalkulus

f0(x) = df (x)

dx = limh→0

f (x + h) − f (x)

h . (8.14)

Ungkapan di atas menghasilkan suatu pendekatan f_h0(x) = f (x + h) − f (x)

h , (8.15)

yang mana f_h0(x) merupakan pendekatan bagi f0(x) pada nilai h → 0. Per-tanyaan yang muncul dengan pendekatan ini adalah bagaimana jika nilai h tidak mendekati 0. Pada situasi ini maka dapat dilakukan pendekatan dengan menggunakan deret Taylor terhadap f (x + h) disekitar titik f (x).

f (x + h) = f (x) + hf0(x) + h 2 2 f 00 (x) + ... (8.16) dan untuk f0(x) f0(x) = 1 h[f (x + h) − f (x) − h2 2 f 00 (x) + ...] (8.17)

(67)

CHAPTER 8. INTERPOLASI DAN PENDEKATAN 66 Persamaan terakhir (8.17) merupakan ungkapan turunan yang diperoleh dari deret Taylor dengan suku terakhir memberikan akurasi lebih diband-ingkan dengan persamaan (8.18). Untuk itu perlu dituliskan

f0(x) = f (x + h) − f (x)

h + O(h), (8.18)

dengan O(h) menunjukan orde terakhir pendekatan yang dilakukan.

Lebih lanjut persamaan (8.18) disebut sebagai pendekatan Forward Difference terhadap turunan. Dengan cara yang sama, yaitu menggunakan deret Taylor terhadap f (x − h) maka akan diperoleh ungkapan

f0(x) = 1

h[f (x) − f (x − h) − h2

2 f

00_{(x) + ...].} _(8.19)

Persamaan (8.19) tersebut menghasilkan pendekatan turunan yang dise-but Backward Difference. Dan untuk mengindikasikan orde tertinggi pada proses pendekatan perlu dituliskan sebagai berikut

f0(x) = f (x) − f (x − h)

h + O(h). (8.20)

Perbedaan nilai O(h) pada persamaan (8.18) dan persamaan (8.20) adalah pada perbedaan tanda (plus atau minus). Nilai dari keduanya bersifat simetris (sama). Karenanya semestinya dapat dihasilkan suatu pendekatan yang lebih akaurat dari siafat tersebut. Untuk itu, tinjau deret Taylor suatu fungsi dengan memperhatikan suku-suku berode tinggi sebagai berikut

f (x + h) = f (x) + hf0(x) + h 2 2f 00 (x) + h 3 6 f 000 (x) + h 4 24f 0000 (a) + ..., (8.21) dan f (x − h) = f (x) + hf0(x) − h 2 2 f 00 (x) −h 3 6 f 000 (x) + h 4 24f 0000 (a) + .... (8.22)

(68)

CHAPTER 8. INTERPOLASI DAN PENDEKATAN 67 Dari kedua unkapan di atas dapat diperoleh ungkapan f0(x) dengan cara mengurangkan kedua persamaan di atas sehingga diperoleh

f0(x) = f (x + h) − f (x − h)

2h + O(h

2_). _(8.23)

Dengan bentuk ini dapat diperoleh pendekatan yang lebih akurat terhadap turunan suatu fungsi.

Pemrograman dan Metode Numerik (Untuk Fisika) Fahrudin Nugroho