Systems of Linear Algebraic Equations

(1)

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Systems of Linear Algebraic Equations

(2)

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Sistem Persamaan Linear

2

q 

Acuan

q  Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers,

2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.

(3)

Sistem Persamaan Linear

3

q 

Serangkaian n persamaan linear:

n n

nn n

n

n n

c x a x

a x a

c x a x

a x a

c x a x

a x a

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

... .

. .

... ...

2 2 1 1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

(4)

Metode Penyelesaian

q 

Penyelesaian

q  Grafis

q  Cramer

q  Eliminasi

q 

Penyelesaian langsung

q  Eliminasi Gauss

q  Gauss-Jordan

q 

Iteratif

q  Jacobi

q  Gauss-Seidel

q  Successive Over Relaxation

4

(5)

Metode Grafis

5

x₂ = …

x = …

x

₂

(6)

Metode Grafis

6

x

₂

x

₁

x

₂

x

₁

x

₂

x

₁

ill-conditioned system

singular system

sejajar berimpit

(7)

Metode Cramer

7

q 

Variabel tak diketahui, x

_i

, merupakan perbandingan dua determinan

matriks

q  Penyebut : determinan, D, matriks koefisien sistem persamaan

q  Pembilang : determinan matriks koefisien sistem persamaan seperti penyebut,

namun koefisien kolom ke i diganti dengan koefisien c_i

q 

Contoh

q  3 persamaan linear

3 3

33 2

32 1

31

2 3

23 2

22 1

21

1 3

13 2

12 1

11

c x

a x

a x a

c x

a x

a x a

c x

a x

a x a

= +

+

= +

+

= +

(8)

Metode Cramer

8

det

(9)

Determinan Matriks

9

q 

Matriks bujur sangkar: n

×

n

q 

Mencari determinan matriks

q  Hitungan manual

q  MSExcel, dengan fungsi =MDETERM()

q 

Contoh hitungan determinan matriks 2

×

2 dan 3

×

3 [ ]

_⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ = =

22 21

12 11

a a

A _A

[ ]

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

= =

33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

(10)

Determinan Matriks

10

21 12 22

11 22

21

12 11

det a a a a

a a

D ₌ _A ₌ ₌ ₋

(

22 33 23 32

)

12

(

21 33 23 31

)

13

(

21 32 22 31

)

11

32 31

22 21

13 33

31

23 21

12 33

32

23 22

11

33 32

31

23 22

21

13 12

11

det

a a a

a a

a a a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

D

−

+

− −

−

=

+

−

= =

(11)

Metode Cramer

11

q 

Contoh: 3 persamaan linear

⎪ det

(12)

Metode Cramer

12

059 . 631 det ₌ _A₁ ₌ 353 . 210

059 . 631

det det

1 = = =

A A₁

x 2.5

353 . 210

883 . 525 det

det

2 = −

353 . 210

471 . 1472

det det

3 = = =

A A

3

(13)

Metode Eliminasi

13

q 

Contoh: 2 persamaan linear

(14)

Eliminasi Gauss

14

q 

Strategi

q  Forward elimination

q  Back substitution

q 

Contoh

3 3

33 2

32 1

31

2 3

23 2

22 1

21

1 3

13 2

12 1

11

c x

a x a x a

c x

a x a x a

c x

a x a x a

= +

+

= +

+

= +

+ (1)

(2)

(15)

Eliminasi Gauss

15 q 

Forward elimination #1

q  Hilangkan x₁ dari pers. kedua dan ketiga dengan operasi perkalian koefisien dan

pengurangan dengan pers. pertama.

pivot equation pivot coefficient

(1)

(2')

(16)

Eliminasi Gauss

16

q 

Forward elimination #2

q  Hilangkan x₂ dari pers. ketiga dengan operasi perkalian koefisien dan

pengurangan dengan pers. kedua.

pivot equation pivot coefficient

(17)

Eliminasi Gauss

17

q 

Back substitution

q  Hitung x₃ dari pers. (3''), hitung x₂ dari pers. (2’), dan x₁ dari pers. (1)

33 3 3

a c x

ʹ′ʹ′ ʹ′ʹ′

=

22 3 23 2

2

a x a c

x

ʹ′ ʹ′ − ʹ′ =

11

3 13 2

12 1

1

a

x a x

a c

(18)

Eliminasi Gauss

18

q 

Forward elimination

1

(19)

Eliminasi Gauss

19

4 . 71 10

2 . 0 3

. 0 ) 3 (

3 . 19 3

. 0 7

1 . 0 ) 2 (

85 . 7 2

. 0 1

. 0 3

) 1 (

3 2

1

3 2

1

3 2

1

= +

−

=

−

+

=

− −

x x

x

x x

x

x x

x

(20)

Eliminasi Gauss

20

q 

Forward elimination

q  Eliminasi x₂ dari Pers. 2 dan 3, Pers. 1 sebagai pivot

q  Eliminasi x₃ dari Pers. 3, Pers. 2 sebagai pivot

0843 .

70 0120

.

5617 .

19 2933

. 0 0033

.

615 .

5617 .

19 2933

. 0 0033

(21)

Eliminasi Gauss

21

q 

Back substitution

q  Menghitung x₃ dari Pers. 3''

7 0120 .

10

0843 .

70

3 = =

x

q  Substitusi x₃ ke Pers. 2' untuk menghitung x₂

( )

5 . 2 0033

. 7

7 2933 .

0 5617 .

19

2 = −

+

−

= x

q  Substitusi x₃ dan x₂ ke Pers. 1 untuk menghitung x₁

( )

(

)

3 5 . 2 1 . 0 7 2 . 0 85 . 7

1 =

−

+ +

=

(22)

Metode Eliminasi

22

q 

Strategi

q  Eliminasi variabel tak diketahui, x_i, dengan penggabungan dua persamaan.

q  Hasil eliminasi adalah satu persamaan yang dapat diselesaikan untuk

(23)

Kelemahan Metode Eliminasi

23

q  Pembagian dengan nol

q  Pivot coefficient sama dengan nol ataupun sangat kecil.

q  Pembagian dengan nol dapat terjadi selama proses eliminasi ataupun substitusi.

q  Round-off errors

q  Selama proses eliminasi maupun substitusi, setiap langkah hitungan bergantung pada

langkah hitungan sebelumnya dan setiap kali terjadi kesalahan; kesalahan dapat berakumulasi, terutama apabila jumlah persamaan sangat banyak.

q  Ill-conditioned systems

q  Ill-condition adalah situasi dimana perubahan kecil pada satu atau beberapa

(24)

Perbaikan

24

q 

Pemilihan pivot (pivoting)

q  Urutan persamaan dipilih sedemikian hingga yang menjadi pivot equation

(25)

Metode Penyelesaian

25

q 

Matriks Inversi

q  Gauss-Jordan

q 

Metode Iteratif

q  Jacobi

(26)

Metode Gauss-Jordan

26

q 

Mirip dengan metode eliminasi Gauss, tetapi tidak diperlukan back

substitution.

q 

Contoh

4 . 71 10

2 . 0 3

. 0

3 . 19 3

. 0 7

1 . 0

85 . 7 2

. 0 1

. 0 3

3 2

1

3 2

1

3 2

1

= +

−

− = −

+

= −

−

x x

x

x x

x

x x

(27)

Metode Gauss-Jordan

27 6167 .

0667 .

0 0333

.

6150 .

70

5617 .

19

6167 .

2

0200 .

10 1900

. 0 0

2933 .

0 0033

. 7 0

0667 .

0 0333

(28)

0843 .

70

7931 .

2

5236 .

2

0120 .

10 0

0

0419 .

0 1

0

0681 .

0 0

1

Metode Gauss-Jordan

28

6150 .

70

5617 .

19

6167 .

2

0200 .

10 1900

. 0 0

2933 .

0 0033

. 7 0

0667 .

0 0333

.

6150 .

70

0033 .

7 / 5617 .

19

6167 .

2

0200 .

10 1900

. 0 0

0033 .

7 / 2933 .

0 0033

. 7 / 0033 .

7 0033 .

7 / 0

0667 .

0 0333

.

6150 .

70

7931 .

2

6167 .

2

0200 .

10 1900

. 0 0

0419 .

0 1

0

0667 .

0 0333

(29)

http://istiarto.staff.ugm.ac.id 7931 .

2

5236 .

2

1 0

0

0419 .

0 1

0

0681 .

0120 .

10 / 0843 .

70

7931 .

2

5236 .

2

0120 .

10 / 0120 .

10 0120

. 10 / 0 0120 .

10 / 0

0419 .

0 1

0

0681 .

0 0

1

Metode Gauss-Jordan

(30)

Gauss-Jordan vs Eliminasi Gauss

30

q 

Metode Gauss-Jordan

q  Jumlah operasi lebih banyak (50%)

q  Memiliki kelemahan yang sama dengan eliminasi Gauss

(31)

Matriks Inversi

31

[ ]

A _⋅

{ } { }

X ₌ C _⇒

{ }

X ₌

[ ]

A −1_⋅

{ }

C

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

1 0 0

0 1 0

0 0 1

33 31

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

−

− −

−

− −

−

1 33 1

32 1

31

1 23 1

22 1

21

1 13 1

12 1

11

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a a

a

a a

a

a a

(32)

Matriks Inversi

32

4 . 71 10

2 . 0 3

. 0 ) 3 (

3 . 19 3

. 0 7

1 . 0 ) 2 (

85 . 7 2

. 0 1

. 0 3

) 1 (

3 2

1

3 2

1

3 2

1

= +

−

=

−

+

=

− −

x x

x

x x

x

x x

x

(33)

Matriks Inversi

33 3333 .

0667 .

0 0333

. 0999 .

0

0 1 0333 .

0

0 0 3333 .

0

0200 .

10 1900

. 0 0

2933 .

0 0033

. 7 0

0667 .

0 0333

. 0 1

(34)

Matriks Inversi

34 0999

. 0

0 1422 .

0 0047 .

0

0 0 3333

. 0

0200 .

10 1900

. 0 0

0417 .

0 1

0

0667 .

0 0333

. 0270 .

0 1009 .

0

0 1422 .

0 0047 .

0

0 0047 .

0 3318 .

0

0121 .

10 0

0

0417 .

0 1

0

0681 .

0 0

1

(35)

Matriks Inversi

35

0999 .

0 0027 .

0 0101 .

0

0 1422

. 0 0047 .

0

0 0047

. 0 3318 .

0

1 0

0

0417 .

0 1

0

0681 .

0999 .

0 0027 .

0 0101 .

0

0042 .

0 1423 .

0 0052 .

0

0068 .

0 0049 .

(36)

Matriks Inversi

36

0002 .

7

4881 .

2

0004 .

0999 .

0 0027 .

0 0101 .

0

0042 .

0 1423 .

0 0052 .

0

0068 .

0 0049 .

(37)

Metode Iteratif: Jacobi

37 nilai awal,

biasanya x_i0_{= 0} iterasi diteruskan sampai konvergen

x_in+1_{≈ x}

(38)

Metode Iteratif: Jacobi

38

4 . 71 10

2 . 0 3

. 0 ) 3 (

3 . 19 3

. 0 7

1 . 0 ) 2 (

85 . 7 2

. 0 1

. 0 3

) 1 (

3 2

1

3 2

1

3 2

1

= +

−

=

−

+

=

− −

x x

x

x x

x

x x

x

(39)

Metode Iteratif: Gauss-Seidel

39

iterasi diteruskan sampai konvergen

x_in+1_{≈ x}

(40)

Metode Iteratif: Gauss-Seidel

40

4 . 71 10

2 . 0 3

. 0 ) 3 (

3 . 19 3

. 0 7

1 . 0 ) 2 (

85 . 7 2

. 0 1

. 0 3

) 1 (

3 2

1

3 2

1

3 2

1

= +

−

=

−

+

=

− −

x x

x

x x

x

x x

x

(41)

Jacobi vs Gauss-Seidel

41

(42)

Successive Over-relaxation Method

42

q  Dalam setiap iterasi, nilai variabel terbaru (yang baru saja dihitung), x_n+1,

tidak langsung dipakai pada iterasi selanjutnya

q  Pada iterasi selanjutnya, nilai tsb dimodifikasi dengan memasukkan pengaruh

nilai variabel lama (pada iterasi sebelumnya), x_n

q  faktor relaksasi λ dimaksudkan untuk mempercepat konvergensi hitungan (iterasi)

q  under-relaxation: 0 < λ < 1

q  over-relaxation: 1 < λ < 2

(

)

n i n

i new

x

₌

_λ

+1

₊

₁

₋

_λ

(43)

Successive Over-relaxation Method

43

(

)

[

]

(

)

[

]

[

(

)

]

33

2 1

2 32

1 1

1 31

3 1

3

22

3 23 1

1 1 21

2 1

2

11

3 13 2

12 1

1 1

1

1 a

x

a

x

a

c

x

a

x

a

x

a

c

x

a

x

a

x

a

c

x

n n

n

n n

n

λ

−

+

λ

−

λ

−

+

λ

−

=

−

λ

−

+

λ

−

=

−

=

+ +

+

+ +

(44)

Successive Over-relaxation Method

44

4 . 71 10

2 . 0 3

. 0 ) 3 (

3 . 19 3

. 0 7

1 . 0 ) 2 (

85 . 7 2

. 0 1

. 0 3

) 1 (

3 2

1

3 2

1

3 2

1

= +

−

=

−

+

=

− −

x x

x

x x

x

x x

x

(45)