5a3 kelompok 3 si estimasi titik

ES

TI

MA

SI

TI

TI

K

BI L A T

E RS E DI A

& T I DA

K T E

RS E DI A

S TA T

I ST I K C

UK U

P YA NG

LE N

GK A P

Anggota Kelompok 3:

Hepry Yurika (14144100076)

Citra Murti Anggraini

(14144100078)

ESTIMASI TITIK

Misalkan

X

variabel random dengan fungsi

kepadatan probabilitas dengan . Jika diketahui

maka semua probabilitas yang diinginkan dapat

dihitung. Akan tetapi biasanya tidak diketahui

sehingga memunculkan masalah bagaimana

mengestimasi parameter atau suatu fungsi dari

yaitu dengan fungsi real dan terukur.

DEFINISI 2.1

Misalkan variabel random saling bebas dan berdistribusi identik dengan fungsi kepadatan probabilitas . Sebarang statistik

yang digunakan untuk menaksir kuantitas yang tidak diketahui dinamakan estimator dari . Nilai dari untuk nilai-nilai pengamatan dinamakan estimasi dari .

DEFINISI 2.2

Misalkan fungsi real dan terukur. Estimator dinamakan estimator tak bias (unbiased estimator) dari jika

untuk semua . Fungsi dikatakan tertaksir (estimable) jika mempunyai estimator tak bias.

Definisi tentang ketakbiasan mengelompokkan statistik-statistik ke dalam suatu kelas estimator tak bias. Jika estimator tak bias untuk maka harga harapan dari sama dengan . Meskipun kriteria ketakbiasan sudah mengkhususkan diri pada kelas estimator yang memenuhi sifat tertentu tetapi kelas ini masih terlalu besar. Untuk itu perlu dipilih dari dua estimator tak bias yaitu yang mempunyai variansi yang lebih kecil.

Dasar pemikiran yang digunakan adalah bahwa variansi atau simpangan baku memberikan ukuran konsentrasi di sekitar mean. Jika

estimator tak bias untuk maka dengan menggunakan pertidaksamaan Chebisev diperoleh

Oleh karena itu, Var() yang kecil akan memperbesar batas bawah probabilitas konsentrasi di sekitar .

DEFINISI 2.3

Misalkan tertaksir. Suatu estimator

dikatakan estimator untuk jika tak bias dan mempunyai variansi minimum diantara kelas semua estimator tak bias dari dengan . Jika adalah sebarang estimator tak bias dari maka

untuk semua .

Dalam banyak kasus, estimator ada.

Untuk memperolehnya terdapat 2 metode yaitu sebagai berikut.

a. metode pertama yang digunakan bila tersedia statistik cukup yang lengkap

b. metode kedua yang digunakan bila tidak tersedia statistik cukup yang lengkap. Metode kedua, terlebih dahulu ditentukan batas bawah semua estimator dan kemudian memilih suatu estimator yang mempunyai variansi sama dengan batas bawah tersebut.

2.1 Metode yang digunakan bila tersedia

statistik

cukup yang lengkap

misalkan

dengan untuk adalah statistik cukup untuk , estimator tak bias dari dengan fungsi real.

Misalkan . Estimator merupakan estimator tak bias dari dan untuk semua dengan kesamaan dipenuhi bila merupakan fungsi dari .

Jika tersedia statistik cukup maka Teorema Rao-Blackwell mengatakan bahwa pencarian estimator UMVU untuk cukup dibatasi pada kelas estimator tak bias yang hanya tergantung pada .

Jika lengkap maka dengan menggunakan Teorema Lehman-Schefe, estimator tak bias adalah estimator unik yang mempunyai variansi minimum seragam dalam kelas semua estimator tak bias. Metode ini tidak hanya menjamin keberadaan estimator tetapi juga menghasilkannya.

TEOREMA 2.1

Misalkan fungsi terukur dan real. Misalkan terdapat estimator tak bias dari dengan variansi berhingga. Jika

dengan untuk adalah statistik cukup untuk , lengkap dan maka estimator UMVU untuk dan tunggal.

CONTOH 2.1

Misalkan variabel random saling bebas dan berdistribusi Binom dan akan ditentukan estimator UMVU dari variansi . Karena berdistribusi maka variansi dari adalah . Jika

maka . Hal itu berarti merupakan estimator tak bias untuk . Lebih jauh,

Karena atau 1 maka sehingga

Jika maka diperoleh

Sehingga . Karena merupakan statistik merupakan statistik lengkap dan juga merupakan statistik cukup untuk maka dengan mengingat Teorema 2.1, merupakan estimator UMVU untuk .

CONTOH 2.2

Misalkan variabel random saling bebas dan berdistribusi dengan dan tidak diketahui. Akan ditentukan estimator UMVU untuk dan . Misalkan , dan . Jika dan merupakan statistik yang lengkap. Jika dan

maka merupakan statistik yang lengkap. Jika dan

maka dan sehingga . Hal itu berarti estimator tak bias untuk dan merupakan estimator tak bias untuk . Karena dan hanya tergantung pada statistik cukup yang lengkap maka merupakan estimator UMVU untuk .

2.2 Metode yang digunakan bila tidak

tersedia statistik

cukup lengkap

Misalkan , fungsi real dan terdeferensialkan untuk semua . Untuk menggunakan metode ini diperlukan syarat-syarat berikut ini :

1. positif pada himpunan yang tidak bergantung pada . 2. interval terbuka dalam .

3. ada untuk semua dan semua .

dinamakan informasi Fisher sedangkan

adalah informasi yang terkandung dalam

sampel

.

 

CONTOH 2.3

Misalkan variabel random saling bebas dan berdistribusi Binom dengan . Fungsi probabilitas dari variabel random

X yang berdistribusi Binom adalah

atau sehingga

Akibatnya

Karena dan serta maka informasi Fisher adalah

 

=

  =

  =

  =

=

  =

  =

Hal itu berarti batas bawah Cramer-Rao untuk adalah

Karena merupakan estimator tak bias dan variansinya adalah

yaitu sama dengan batas bawah Cramer Rao maka merupakan estimator UMVU untuk .

 

=   =

  =

=

  =

=

  =

  =

  =

=

  =

  =

  =

Hal itu berarti bahwa Cramer-Rao untuk sama dengan

Karena merupakan estimator tak bias untuk dan variansinya adalah yaitu sama dengan batas bawah CRLB maka

CONTOH 2.5

Misalkan variabel random saling bebas

dan berdistribusi dengan dan .

KASUS 1

Misalkan bahwa diketahui dan . Fungsi kepadatan probabilitas X yang berdistribusi adalah

.           2 2 2 2 2 2 2 atau 1 ln ( ; ) ln

2 2

Akibatnya

ln ( ; ) 1 atau

ln 1

x f x

x f x

f x x

Karena X berdistribusi maka berdistribusi N(0,1) sehingga berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 1. Akibatnya



_, 2



N

 



X 











2

2

1.

x

E





















Hal itu berarti

Sehingga batas bawah Cramer-Rao untuk g adalah

Karena merupakan estimator tak bias untuk dan

variansinya adalah yaitu sama dengan batas

bawah Cramer-Rao maka merupakan merupakan UMVU

untuk .

 

2 ₂

2 2 2

ln ( ; )

f x

1

(

x

)

1

E



E













































 



 

 

2

2 1 ' ₁ . g CRLB

nI n n









  

 

2

Var X

n



KASUS 2

Misalkan bahwa diketahui dan Fungsi kepadatan probabilitas X yang berdistribusi adalah

 













 

























2 2 2 2

2 2 4

2 2 2

1

;

exp

2

2

1

1

Sehingga ln

;

ln 2

ln

. Akibatnya

2

2

2

ln

;

1

+

2

2

dan

ln

;

1

1

1

+

+

.

4

2

4

4

x

f x

x

f x

f x

x

f x

x

x

Karena variabel random X berdistribusi ) maka berdistribusi sehingga berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 1. Akibatnya

 



x



2

1

E





























2

Var x  2

  _        

















2 4 2 2 2 2

Var

+

2 1 3.

Oleh karena itu

Sehingga

Karena batas bawah Cramer-Rao untuk adalah

 

 





2 2

2

2 2 2

ln ( ; ) 1 1 1

1 + +

4 2 4

x

f x x

E  E E  E 

          _{ }  _{   }       _{ }  _{ }                  2

2 2 2

2

ln ( ; ) 1 1 1

+

4 2 4

1 . 2 f x E       _{ }     _{ }         

 

 

2

2

2

1 2

'

1

2

.

g

CRLB

nl

n

n

Karena variabel random berdistribusi untuk maka berdistribusi sehingga berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 1. Dengan mengingat saling bebas untuk maka berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas . Akibatnya

Sehingga estimator tak bias untuk dan variansinya sama dengan CRLB. Hal itu berarti merupakan estimator UMVU untuk .

 





2

1 n _i i X _   







2





2

1 1

,

Var

2

n n

i i

i i

X

X

E



n



n





 

















































2

KASUS 3

Bila dan tidak diketahui maka dan sehingga estimator

UMVU untuk adalah dan estimator UMVU untuk adalah

Karena

berdistribusi Chi-kuadrat dengan derajat bebas

maka variansi dari adalah

 





2

2

1

1

.

1

n

i i

X

X

n















2

Hal itu berarti UMVU untuk mempunyai variansi lebih besar dari batas

bawah Cramer-Rao.

Estimator UMVU untuk ) dinamakan estimator efisien untuk ). jika

estimator UMVU untuk dan sebarang estimator tak bias untuk ) maka

kuantitas mengukur efisiensi relatif terhadap Jelas bahwa efisiensi relatif

mempunyai nilai dalam interval