PENYELESAIAN MASALAH PL DENGAN METODE
SIMPLEKS
Metode simpleks merupakan suatu teknik standar yang digunakan untuk
memecahkan masalah Program Linear sejak tahun 1940. Pada prinsipnya, metode
simpleks mencari penyelesaian optimal dengan menentukan titik-titik sudut dari daerah
feasible, proses dilakukan berulang-ulang dari suatu titik sudut ke titik sudut berikutnya
yang meningkatkan nilai fungsi tujuan sampai diperoleh nilai optimal atau sampai terlihat
bahwa tidak ada nilai optimal.
Masalah PL dua variabel dapat diselesaikan dengan metode grafik. Secara umum,
masalah PL n variabel dapat diselesaikan dengan metode aljabar yang disebut dengan
metode simpleks. Metode grafik dan metode simpleks pada dasarnya adalah mencari PO
yang merupakan titik-titik batas daerah layak.
Pertama-tama akan dibahas dicari PO masalah PL bentuk baku.
Bentuk baku masalah PL :
1. maksimum baku
2. minimum baku
Kendala sistem pertidaksamaan linear pada masalah PL baku diubah menjadi SPL
dengan menambahkan variabel baru yang mengetatkan atau melonggarkan, yaitu :
- Variabel Slack, yaitu variabel yang mengetatkan kendala bertanda menjadi
bertanda =
Ruas kiri kendala ke-k
a
k1x
1a
k2x
2...
a
knx
nb
k ditambah variabelslack
s
k0
sehingga menjadia
k1x
1a
k2x
2...
a
knx
ns
kb
k.Variabel
s
k menjadi variabel basis.- Variabel surplus, yaitu variabel yang melonggarkan kendala bertanda menjadi
bertanda =.
Ruas kanan kendala ke-k
a
k1x
1a
k2x
2...
a
knx
nb
k ditambah variabelk k n kn k
k
x
a
x
a
x
t
b
a
1 1 2 2...
. Variabelt
k0
bukan variabel basis(koefisiennya bukan +1)
- variabel artifisial, yaitu variabel yang membawa kendala PL yang belum memuat
variabel basis
Pada
a
k1x
1a
k2x
2...
a
knx
nt
kb
k perlu ditambah variabel artifisial0
k
q
sehingga menjadia
k1x
1a
k2x
2...
a
knx
nt
kq
kb
k,0
k
q
merupakan variabel basis.1. PENYELESAIAN PL MAKSIMUM BAKU
Diberikan masalah PL maksimum baku :
Memaksimumkan
n
j j j
j
c
x
x
f
1
)
(
(1)Dengan kendala i
n
j ij j
b
x
a
1
,
i
,
i
1
,
2
,...,
m
(2)
x
j0
,
j
,
j
1
,
2
,...,
n
(3)Kendala (2) diubah menjadi SPL dengan menambahkan variabel slack sehingga diperoleh
m m n mn m m n n n n
b
s
x
a
x
a
x
a
b
s
x
a
x
a
x
a
b
s
x
a
x
a
x
a
...
...
...
2 2 1 1 2 2 2 2 22 1 21 1 1 1 2 12 1 11Agar nilai fungsi tujuan tidak berubah, maka koefisien biaya
c
i untuks
i adalah nol,m
i
i
,
1
,
2
,...,
. Sehingga fungsi tujuan menjadi memaksimumkanm n
n m
n
s
s
c
x
c
x
s
s
x
x
f
(
1,...,
,
1,...,
)
1 1...
0
1...
0
Variabel slack
s
i0
,
i
,
i
1
,
2
,...,
m
merupakan variabel basis yang nilainya taknol, sedangkan
x
j0
,
j
,
j
1
,
2
,...,
n
menjadi variabel non basis yang nilainyaAkibatnya nilai awal fungsi tujuan adalah
0
)
,...,
,
0
,...
0
(
)
,...,
,
,...,
(
x
1x
ns
1s
mf
s
1s
mf
dengan penyelesaian optimal awal/plb
(
x
1,...,
x
n,
s
1,...,
s
m)
(
0
,...
0
,
b
1,...,
b
m)
.Masalah PL yang kendalanya berbentuk SPL dan memuat variabel basis tersebut
dinamakan berbentuk kanonik. Masalah PL bentuk kanonik dalam tabel simpleks
dituliskan sebagai berikut.
j
c
c
1c
2 ...c
n 0 0 ... 0b
iR
ii
c
x
ji
x
1
x
x
2 ...n
x
s
1s
2 ...m
s
0
1
s
a
11a
12 ...n
a
1 1 0 ... 01
b
R
10
2
s
a
21a
22 ...n
a
2 0 1 ... 02
b
R
2... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ...
0
m
s
a
m1a
m2 ....mn
a
0 0 ... 1m
b
R
mj
z
z
1z
2 ....n
z
c
1c
2 ...n
c
Zj
z
-c
jz
1-c
1z
2-c
2z
n-c
n 0 0 ... 0 ZKeterangan tambahan tabel :
i
x
variabel basis pada bentuk kanoniki
c
koefisien unit ongkos darix
iij m
i i
j
c
a
z
1
i m
i i
b
c
Z
1
nilai fungsi tujuan
i
Algoritma Simpleks PL maksimum baku
1. Masalah PL dibawa ke bentuk kanonik
2. Susun tabel awal simpleks
3. Uji keoptimuman
Tabel simpleks dikatakan optimum jika
z
jc
j0
,
j
Nilai fungsi tujuan ada pada baris ke m+1 kolom
b
i dan POnya adalah susunannilai
b
i untuk variabel basis dan nol untuk variabel non basis.Jika masih ada
z
jc
j0
, maka dilanjutkan langkah 4.4. Memperbaiki tabel simpleks
Memperbaiki tabel simpleks dilakukan dengan mengganti variabel basisnya
dengan variabel basis yang baru dengan harapan variabel basis baru tersebut
mengoptimalkan fungsi tujuan.
Langkah memperbaiki tabel:
- menentukan variabel masuk yang akan menjadi variabel basis baru, yaitu
variabel dengan
z
j-c
j0
terkecil. Misalz
kc
k terkecil, makax
kmenjadi variabel masuk
- menentukan variabel keluar yang akan digantikan oleh variebel basis baru.
Pada kolom koefisien
x
k, yaitua
ikdihitung rasio,
0
ik ik
i i
a
a
b
R
,kemudian pilih
R
i terkecil. MisalR
l terkecil, makaq
l menjadi variabelkeluar.
- menyusun tabel baru.
Variabel basis baru dalam tabel baru adalah
q
1,...,
q
l 1,
x
k,
q
l 1,...,
q
m.Koefisien
a
lk menjadi elemen pivot. Pada kolom ke-k,a
lk harus diubahmenjadi 1 dan
a
ik0
,
i
l
. Perubahan ini dilakukan dengan OBE danberlaku untuk semua elemen pada baris yang sesuai sehingga diperoleh tabel
baru.
CONTOH 1
Selesaikan masalah PL berikut berikut dengan metode simpleks.
Memaksimumkan
f
(
x
1,
x
2,
x
3,
x
4)
5
x
13
x
22
x
3Dengan kendala
0
,
,
,
30
4
3
20
2
5
4
4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Penyelesaian : Langkah 1Masalah PL ini diubah menjadi bentuk kanonik dengan menambahkan variabel slack
0
1s
pada kendala 1 dans
20
pada kendala 2 sehingga kendala menjadi0
,
,
,
,
,
30
4
3
20
2
5
4
2 1 4 3 2 1 2 4 3 2 1 1 4 3 2 1s
s
x
x
x
x
s
x
x
x
x
s
x
x
x
x
Kendala ini sudah memuat variabel basis, yaitu
s
1 dans
2.Fungsi tujuan dapat ditulis secara lengkap menjadi
2 1 4 3 2 1 2 1 4 3 2
1
,
,
,
,
,
)
5
3
2
0
0
0
(
x
x
x
x
s
s
x
x
x
x
s
s
f
Langkah 2
Tabel simpleks awalnya adalah
j
c
5 3 2 0 0 0i
b
R
ii
c
x
ji
x
1
x
2
x
x
34
x
1s
2s
0 1s
4 5 2 1 1 0 20 5 02
s
3 4 -1 1 0 1 30 10j
z
0 0 0 0 0 0 0j
Langkah 3
Karena masih terdapat
z
j-c
j0
, maka tabel belum optimal.Langkah 4
- variabel masuk
Nilai
z
j-c
j0
terkecil ada pada kolom variabel1
x
sehingga1
x
merupakanvariabel baru yang masuk
- variabel keluar
Nilai
R
i terkecil adalah 5, yaitu pada variabel1
s
, sehingga1
s
keluar digantikan1
x
- memperbaiki tabel
Elemen pivotnya adalah 4 yang terletak pada perpotongan kolom
x
1 dan bariss
1.Untuk mengubah 4 menjadi 1, dilakukan OBE yaitu mengalikan baris 1 dengan 4 1
. Elemen pada kolom
x
1 lainnya, yaitu 3 diubah menjadi 0 dengan melakukanOBE menambah baris ke-2 dengan -3 kali baris ke-1 baru. Diperoleh tabel
simpleks baru sebagai berikut.
j
c
5 3 2 0 0 0i
b
R
ii
c
x
ji
x
1
x
2
x
x
34
x
1
s
2
s
5
1
x
1 5/4 2/4 1/4 1/4 0 5 02
s
0 1/4 -5/2 1/4 -3/4 1 15j
z
5 25/4 5/2 5/4 5/4 0 25j
z
-c
j 0 13/4 1/2 5/4 5/4 0 255. Menguji keoptimuman tabel
Dari tabel lanjutan diperoleh bahwa
0
j j
c
z
sehingga tabel sudah optimumdengan PO
(
x
1,
x
2,
x
3,
x
4,
s
1,
s
2)
(
5
,
0
,
0
,
0
,
0
,
15
)
dan nilai maksimumSOAL LATIHAN
Tentukan PO dan nilai optimal masalah PL berikut dengan metode simpleks.
1. Memaksimumkan fungsi
z
3
x
2
y
dengan kendala0 , 55 8 10 65 10 6 70 6 5 y x y x y x y x
2. Memaksimumkan fungsi
f
(
x
1,
x
2,
x
3)
2
x
18
x
2x
3 dengan kendala0 , , 5 3 3 2 4 2 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x x x
3. Memaksimumkan fungsi
z
5
x
17
x
212
x
3x
4 dengan kendala0
,
,
,
55
4
2
3
38
2
3
2
4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4. Memaksimumkan fungsi
f
(
x
1,
x
2,
x
3)
2
x
12
x
2x
3, dengan kendala0
,
,
40
45
2
30
2
3 2 1 3 2 3 1 2 1x
x
x
x
x
x
x
x
x
5. Meminimumkan
z
2
x
y
, dengan kendala0
,
7
2
2
4
3
y
x
y
x
y
x
(Petunjuk: meminimumkan z = memaksimumkan – z)
Diberikan masalah PL minimum baku sebagai berikut. Meminimumkan
n
j j j
j
c
x
x
f
1
)
(
dengan kendalai n
j j
ij
x
b
a
1
, i,i 1,2,...,m,
x
j0
,
j
,
j
1
,
2
,...,
n
Dalam proses penyelesaian PL minimum, nilai fungsi tujuan akan makin
diperkecil menuju ke nilai minimumnya, berkebalikan dengan pola maksimumn. Oleh
karena itu, walaupun langkah-langkahnya sama dengan PL berpola maksimum, ada
beberapa petunjuk yang berbeda.
Algoritma Simpleks PL minimum baku
1. Masalah PL dibawa ke bentuk kanonik
Kendala pertidaksamaan diubah menjadi persamaan dengan menambahkan
variabel surplus ti 0 ke ruas kanan pertidaksamaan. Koefisien
t
i pada fungsi tujuan adalah 0.Karena kendala persamaan belum memuat basis, maka ditambahkan variabel
artifisial
q
i0
ke ruas kiri pertidaksamaan yang akan menjadi basis dalam tabelawal. Koefisien
i
q pada fungsi tujuan adalah M (M adalah bilangan positif cukup
besar).
2. Susun tabel awal simpleks
j
c
c
1 ...n
c
0 ... 0 M ... Mi
b
R
ii
c
x
ji
x
1
x
...n
x
t
1 ...2
t
q
1 ...m
q
M
1
q
a
11 ...n
a
1 -1 ... 0 1 ... 01
b
R
1M
2
q
a
21 ...n
a
2 0 ... 0 0 ... 02
b
R
2... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... M
m
q
a
m1 ...mn
a
0 ... -1 0 ... 1m
b
R
mj
z
z
1 ...n
z
-M ... -M M ... M Zj
z
-c
jz
1-c
1 ...z
n-c
n -M ... -M 0 ... 0 Z3. Uji keoptimuman
Nilai fungsi tujuan ada pada baris ke m+1 kolom
b
i dan POnya adalah susunannilai
b
i untuk variabel basis dan nol untuk variabel non basis.Jika masih ada
z
j-c
j0
, maka dilanjutkan langkah 4.4. Memperbaiki tabel simpleks
Memperbaiki tabel simpleks dilakukan dengan mengganti variabel basisnya
dengan variabel basis yang baru dengan harapan variabel basis baru tersebut
mengoptimalkan fungsi tujuan.
Langkah memperbaiki tabel:
- menentukan variabel masuk yang akan menjadi variabel basis baru, yaitu
variabel dengan
z
j-c
j0
terbesar. Misalz
kc
k terbesar, makax
kmenjadi variabel masuk
- menentukan variabel keluar yang akan digantikan oleh variebel basis baru.
Pada kolom koefisien
x
k, yaitua
ikdihitung rasio,
0
ik iki
i
a
a
b
R
, kemudianpilih
i
R
terkecil. Misall
R terkecil, maka
s
l menjadi variabel keluar.- menyusun tabel baru.
Variabel basis baru dalam tabel baru adalah
s
1,...,
s
l 1,
x
k,
s
l 1,...,
s
m. Koefisienlk
a
menjadi elemen pivot. Pada kolom ke-k,a
lk harus diubah menjadi 1 danl
i
a
ik0
,
. Perubahan ini dilakukan dengan OBE dan berlaku untuksemua elemen pada baris yang sesuai sehingga diperoleh tabel baru.
5. Lakukan kembali langkah 3 dan 4 sehingga optimum tercapai.
SOAL LATIHAN
1. Hitunglah nilai minimum dari
f
3000
x
2000
y
dengan kendala, ,
60
x
60
y
3600
,0
,
y
x
.2. Tentukan nilai x, y yang meminimumkan
z
3
x
2
y
dan memenuhi70
6
5
x
y
,6
x
10
y
65
,10
x
8
y
55
,x
,
y
0
.3. Selesaikan masalah PL :
2000 20
Meminimumkan
f
4
x
5
y
z
Dengan kendala
0 , ,
4 2
3
z y x
y x
z y x
3. METODE SIMPLEKS UNTUK KENDALA UMUM
Masalah PL maksimum baku mempunyai kendala yang semua tandanya ,
sedangkan PL minimum baku semua kendalanya bertanda . Jika kendala-kendalanya
bertanda , , atau =, maka dikatakan PL berkendala umum. Secara umum, langkah
penyelesaiannya sama dengan PL maksimum baku atau minimum baku. Hanya saja
ketika mengubah menjadi bentuk kanonik agak berbeda sedikit.
Jika kendala bertanda , maka ditambah variabel slack yang sekaligus menjadi
variabel basis. Jika kendala bertanda , maka ditambah variabel surplus di ruas kanan
pertidaksamaan dan variabel artifisial (variabel artifisial akan menjadi variabel basis).
Jika kendala bertanda = maka ditambah variabel artifisial yang akan berperan sebagai
variabel basis.
Jika PL berpola memaksimumkan maka koefisien variabel artifisial pada fungsi
tujuan adalah –M, sedangkan jika berpola minimum maka koefisien variabel artifisial
adalah M dengan M bilangan positif yang cukup besar.
CONTOH 2
Akan dicari pasangan nilai x, y, z tak negatif yang
memaksimumkan
f
3
x
5
y
2
z
yang memenuhi
2
2
y
z
5
2
4
y
z
x
.Kendala 1,
2
y
z
2
memuat sumber daya/suku tetap yang bernilai negatifvariabel surplus t dan variabel artifisial q. Kendala 2 sudah bertanda = sehingga tidak
perlu ditambahklan variabel slack atau variabel surplus. Kendala 2 juga sudah memuat
variabel basis, yaitu x.
Dengan demikian, PL siap simpleks (berbentuk kanonik) berbentuk:
Memaksimumkan
f
3
x
5
y
2
z
0
t
Mq
Dengan kendala
2
y
z
t
q
2
x
4
y
2
z
5
x
,
y
,
z
,
t
,
q
0
.Selanjutnya, tabel simpleks masalah PL ini sebagai berikut.
j
c
3 5 2 0 -Mi
c
x
ji
x
x y z t q i
b
R
i-M 3
q x
0 -2 1 -1 1 1 4 2 0 0
2 5
2 5/2 zj 3 12+2M 6-M M -M 15-2M
zj-cj 0 7+2M 4-M M 0 15-2M 2
3
z x
0 -2 1 -1 1 1 8 0 2 -2
2 1 zj 3 20 2 4 -4 7 zj-cj 0 15 0 4 M-4 7 PO (x, y, z, t, q) = (1, 0, 2, 0, 0).
PO soal asli (x, y, z) = (1, 0, 2) dengan nilai maksimum f = 7.
SOAL LATIHAN
Tentukan PO dan nilai optimum masalah PL berikut dengan metode simpleks
1. Memaksimumkan
f
x
y
dengan kendala0 ,
11 3
9 2
2 2
y x
y x
y x
y x
2. Maksimumkan
z
3
x
12
x
24
x
3 dengan kendalax
1x
2x
310
,5
3
3. Minimumkan
z
4
x
y
dengan kendala3
x
y
3
,4
x
3
y
6
,4
2
y
x
,x
,
y
0
.4. Minimumkan
z
3
x
12
x
24
x
3 dengan kendala4
x
15
x
22
x
322
,30
2
2 31
x
x