Xn AKAN DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :

(1)

SISTIM PERSAMAAN LINIER

BENTUK UMUM

PERMASALAHAN

CARI X1 Xn SEDEMIKIAN RUPA SEHINGGA PERSAMAAN DIATAS TERPENUHI SECARA SIMULTAN ?

BENTUK TERBATAS n = 3

n n

nn j

j n 2

n2 1

n1

i n

n i j

j i 2

2 i 1

1 i

n n j

j 2

1

n n j

j 2

1

x

b

a

b

a

b

a

b

a











2 2

2 22

21

1 1

1 12

11

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

b

a

b

a

b

a

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x

a

_ij

, b

_i = KONSTANTA X_j = VAR.YG DICARI i = BARIS

(2)

METODE CRAMER

DESKRIPSI :

CARA ANALITIS DIMANA X₁ X_nAKAN DIHITUNG DENGAN DETERMINANNYA.

PENYELESAIAN :

UNTUK n = 3,

METODE ELEMINASI GAUSS

DESKRIPSI :

CARA SEMI NUMERIK DIMANA X₁ X_nAKAN DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :

A

x

₁

33 32

31

23 22

21

13 12

11

33 32

3

23 22

2

13 12

1

a

b

a

b

a

b

U/ X2 GANTI KOLOM 2

PEMBILANG DGN RUAS KANAN.

U/ X₃ GANTI KOLOM 3

(3)

PENYELESAIAN :

UNTUK n = 3, BILA a

11 0 FAKTOR PENGALI m1 = a21 / a11

BILA a₁₁ _{= 0} _{PERMUTASIKAN / PERTUKARKAN LEBIH DULU}

BARIS YG MENGANDUNG a₁₁ _0.

TRANSFORMASI ELEMENTER BARIS 2 DIKURANGKAN DGN [ BARIS 1 DIKALIKAN DGN m₁ ] :

ANALOOG UNTUK ELIMINASI a

31 DAN a32 !!!

HASIL TRIANGGULASI ATAS :

2 23

22

1 2

13 23

12 22

'

)

(

)

(

)

(

0

b

a

b

a

3 2

1 3

1 2

1

x

m

x

m

x

m

SISTIM PERSAMAAN

LINIER( SEGIEMPAT ) TRANSFORMASI ELEMENTER

SISTIM TRIANGGULASI ATAS ( SEGITIGA ATAS )

3 33

2 23

22

1 13

12 11

"

'

b

a

b

a

b

a

3 3 2

3 2

1

x

(4)

HASIL PENYELESAIAN AKHIR :

KELEMAHAN :

TRANSFORMASI ELEMENTER MENGANDUNG BANYAK OPERASI ARITMATIKA BILA n >>> MAKA OPERASI ARITMATIKA >>> SEHINGGA KESALAHAN >>> !!!

METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL

DESKRIPSI :

CARA NUMERIK PENUH DIMANA X₁ X_nAKAN DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :

11

13 12

1 22

23 2

33 33

'

"

a

b

a

b

a

b

₂ ₃

1 3

2 3

x

SISTIM PERSAMAAN LINIER

BENTUK RUMUS ITERASI

ITERASI S / D : X(k) X(k-1) DGN

KETELITIAN TERTENTU

(5)

RUMUS ITERASI :

U/ n = 3,

ASUMSI :

a

11

0 ,

a

22

0 ,

a

33

0

DAN k = ITERASI

PROSES ITERASI :

ITERASI 1 DIAMBIL P.P.A X1(0), X

2(0) DAN X3(0) :

N 1,2,..., j

(k) 2 (k)

1 (k)

3

1) -(k 3 (k)

1 (k)

2

1) -(k 3 1)

-(k 2 (k)

1

x

-x

-1

x

32 31

3 33

23 21

2 22

13 12

1 11

1

a

b

a

b

a

b

a

x

-x

-1

x

(1) 2 (1)

1 (1)

3

(0) 3 (1)

1 (1)

2

(0) 3 (0)

2 (1)

1

32 31

3 33

23 21

2 22

13 12

1 11

1

a

b

a

b

a

(6)

ITERASI 2 DIAMBIL X₁(1)_{, X}

2(1) DAN X3(1) :

DAN SETERUSNYA S / D DIPEROLEH X(k) _X(k-1) _{DAN ITERASI} DIHENTIKAN ATAS DASAR KRITERIA :

RUMUS UMUM ITERASI

: U/ ( n X n ),

x

-x

-1

x

(2) 2 (2)

1 (2)

3

(1) 3 (2)

1 (2)

2

(1) 3 (1)

2 (2)

1

32 31

3 33

23 21

2 22

13 12

1 11

1

a

b

a

b

a

b

a

ketelitian

x

-x

m

(k) (k) (k-1)

N 1,2,3,..., k

n 1,2,3,..., j

i ,

(k) j n

1 i

j _{i i} i j 1)

(k j 1

-i

1

j _{i i} i j i i

i 1)

(k i

x

a

(7)

KELEMAHAN :

SANGAT PEKA THD VARIASI ANTAR ELEMEN YG KECIL

SANGAT LAMBAT KONVERGEN BILA DETERMINAN 0

PERLU DIKEMBANGKAN KRITERIA KONVERGENSI !!!

KRITERIA KONVERGENSI

BENTUK MATRIKS

BENTUK UMUM (

DIMENSI n X n

) :

n

i j 1, j

i j

i i

a

n j

n j 2 1

nn nj

n n

in ij

i i

n j

x

b

a













2 1

2 2

22 21

1 1

12 11

B

X

A

atau

x

_j _i

ij

b

a

ELEMEN DIAGONAL HARUS

DOMINAN !!!

(8)

BENTUK AUGMENTASI :

U/ n x n,

BENTUK U/ n = 3 :

PENYELESAIAN

DG METODE INVERSI / CRAMER / KOFAKTOR :

[A]-1 = INVERS MATRIKS A, adj [A] = ADJOINT MATRIKS A,

ij = KOFAKTOR DAN Mij = MINOR.

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

3 2 1

33 32

31

23 22

21

13 12

11

b

a

b

a

b

a

b

a



3 2 1

x

ij j

i ij

ji

adj

A

M

A

adj

A

B

A

X

)

1

(

1

j

ij

b

(9)

METODE CROUT ( DEKOMPOSISI MATRIKS )

DESKRIPSI :

CARA SEMI NUMERIK DIMANA X₁ X_nAKAN DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT ,

PENYELESAIAN :

U/ 3 x 3,

[

a

_ij

: b

_i

]

=

[ L

_ij

][ T

_ij

:

c

_i

]

HITUNG KOEFISIEN Lij , Tij , Ci

PENYELESAIAN X_j

TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN RUAS KIRI DAN KANAN )

TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK PADA [ Tij : CI ]

3 2 23

1 13

12

33 32

31

22 21

11

c

1

0

c

T

1

0

c

T

1

L

0

L

0

L



3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

b

a

b

a

b

a

(10)

HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN

:

PENYELESAIANNYA :

X₃ = C₃ X₂ = C₂– T₂₃ X₃ X₁ =C₁ – T₁₃ X₃ – T₁₂ X₂

RUMUS UMUM DAN PENYELESAIAN :

(11)

METODE CHOLESKI ( MATRIKS SIMETRIS )

DESKRIPSI :

CARA SEMI NUMERIK DIMANA X₁ X_nAKAN DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :

PENYELESAIAN :

U/ 3 x 3,

[

a

_ij

: b

_i

]

=

[ U

_ji

][ U

_ij

:

c

_i

]

HITUNG KOEFISIEN Uij , Ci

PENYELESAIAN X_j

TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN RUAS KIRI DAN KANAN )

TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK

PADA [ Uij : CI ]

3 33

2 23

22

1 13

12 11

33 23

13

22 12

11

c

U

0

c

U

0

c

U

0

U

0

U



3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

b

a

b

a

b

a

(12)

HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN

:

PENYELESAIAN :

RUMUS UMUM ( n x n ) :

(13)

X X₂

( 0,0 ) 1 2

1

PENYELESAIANNYA :

CONTOH SOAL :

INTEPRETASI GEOMETRIK M ITERASI SPL 2 X 2 :

1) -(n 1,2,3,..., i

i i n

1 i k

k i k i

i

nn n n

,

U

x

U

c

x

U

c

x

2 X₁ + X₂ = 2

X₁ –2 X₂ = 2

TITIK POTONG PENYELESAIAN

YANG DICARI !!!

ARAH PERGERAKAN ITERASI MENUJU

(14)

INVERSI MATRIKS

BENTUK MATRIKS U/ SPL DGN 3 PERSAMAAN :

DALAM BNTK SINGKAT DAN BNTK AUGMENTASI :

PENYELESAIAN :

BILA [ A ] NON SINGULAR ( A 0 ), MAKA :

ATURAN CRAMER ( METODE KOFAKTOR )

3 2 1

33 32

31

23 22

21

13 12

11

x

b

a

b

A

X

B



Invers

Matriks

1 1

1

X

A

B

A

I

A

B

A

T

C

A

(15)

METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN :

AMBIL :

HASIL PERKALIAN DLM BNTK MATRIKS :

 C₁₁_, C₁₂ _{, . . . ,} C₃₃_{DAPAT DIHITUNG, NAMUN PERHITUNGAN}

MENJADI BANYAK !!!

I

A

C

A

c

C

A

33 32

31

23 22

21

13 12

11 1

1

0

1

0

1

33 32

31

23 22

21

13 12

11

33 32

31

23 22

21

13 12

11

c

a

1

0

1

0

33 13 12 11

33 31

31 21 11













c

a

(16)

PENYEDERHANAAN DLM BTK AUGMENTASI :

METODE REDUKSI

AMBIL SPL DG 3 PERSAMAAN DLM BTK MATRIKS :

PROSEDUR REDUKSI :

[ R_i_{] = MATRIKS PEREDUKSI, DIAMBIL SDRS HASIL PERKALIAN}

AKHIR [ R _{] [}A _{] = [}I _{], DENGAN i = DIMENSI MATRIKS}_.

33 32

31

23 22

21

13 12

11

33 32

31

23 22

21

13 12

11

1

0

1

0

1

0

1

0

1

c

a

C

I

A



B

A

b

a

X

x

3 2 1

33 32

31

23 22

21

13 12

11

1,2,3 i

,

X

_i

i

A

R

B

(17)

REDUKSI KOLOM 1 DR [ A _] _[R₁ _{] DIAMBIL BERIKUT :}

HASIL PERKALIAN :

DALAM BENTUK SINGKAT :

B

R

A

R

a

R

₁ ₁

11 31 11 21 11

1

X

1

0

1

0

1

3 2 1

1

3 2 1

' 33 '

32

' 23 '

22

' 13 '

12

x

0

1

b

R

a

B

R

(18)

REDUKSI KOLOM 2 DR [ A _] _[R₂ _{] DIAMBIL BERIKUT :}

HASIL PERKALIAN :

DALAM BENTUK SINGKAT :

B

R

A

R

a

R

₂ ₁

X

₂ ₁

' 22

' 32 ' 22

' 22

' 12

2

1

0

1

0

1

3 2 1

1 2

3 2 1

" 33 " 23

" 13

x

0

1

0

1

b

R

a

B

R

(19)

REDUKSI KOLOM 3 DR [ A _] _[R₃ _{] DIAMBIL BERIKUT :}

HASIL PERKALIAN :

DENGAN DEMIKIAN :

BENTUK UMUM U/ MATRIKS n x n :

B

R

A

R

a

R

₃ ₂ ₃ ₂ ₁

" 33

" 33 " 23 " 33

" 13

3

X

1

0

1

0

1

3 2 1

1 2

3

3 2 1

x

1

0

1

0

1

b

R

-1

1 2

3

R

A

-1

1 2

n 1

n

R