KEMAMPUAN AKHIR YANG DIHARAPKAN

CCM 110, MATEMATIKA DISKRIT Pertemuan 6-7 , Teori Graph Drs. Holder Simorangkir, M.Kom Program Studi Teknik Informatika

KEMAMPUAN AKHIR YANG DIHARAPKAN

PENDAHULUAN

Dalam kehidupan sehari-hari , banyak persoalan yang dapat

disimpulkan sebagai persoalan yang berhubungan dengan

himpunan dan relasi binary , di mana logika dari persoalan

tersebut sering kali dapat digambarkan dengan sebuah graph.

Contoh :

Seorang programmer ingin membuat software sistem jaringan

transportasi sedemikian rupa sehingga apabila sebuah

Gambarnya :

A

B C

Tree Structure ( Pohon Keputusan )

A = Root.

B dan C = Node.

D , E , F dan G

adalah Leaves.

Garis adalah penghubung

Soal :

Dari gambar di slide 4 , bila Node adalah kota dan Garis jalan

yang menghubungkan satu kota ke kota lainnya dan diberikan

besaran jarak, maka carilah jarak terpendeknya dari A dan setelah

melalui kota-kota lain dan kembali ke A !!

A

C B

A. Jenis-jenis Graph

Jenis-jenis graph dilihat dari strukturnya ada 6 jenis, yaitu :

a.Multigraph

Adalah graph yang mempunyai satu atau lebih pasangan rusuk ganda yang menghubungkan 2 buah titiknya.

A B Titik A dan D dihubungkan oleh 2 buah

e3 e4 e5 Garis (rusuk ) e1 dan e2demikian juga

e1 e2 C titik B dan C dihubungkan oleh rusuk

e6 e7 e4 dan e5

b. Pseudograph

adalah graph yang memiliki satu atau lebih pasangan rusuk ganda

yang menghubungkan 2 buah titiknya (multigraph) dan memiliki satu atau lebih loop pada titiknya.

e8 Graph di atas selain memiliki rusuk

A B ganda juga memiliki dua buah loop

e3 e4 e5 di titik B dan E. Loop adalah rusuk

e1 e2 C yang ujungnya hanya memiliki sebuah

e6 e7 titik.

c. Trivialgraph

adalah graph yang hanya terdiri dari satu titik.

d. Graph Lengkap ( K

n

)

adalah graph yang

setiap titiknya terhubung

dengan semua titik yang

lain dengan hanya satu

rusuk.

A

B

D _E

e.

Graph Teratur

adalah graph yang setiap

titiknya mempunyai sejumlah

incident rusuk yang sama

f.Bipartitegraph

A

adalah graph yang titik-titiknya

B

dapat dikelompokkan menjadi dua,

C

titik-titik dalam satu kelompok tak

D

terhubung dan titik-titik antar

E

kelompok terhubung lengkap.

A

B

E

B. Menurut Lintasannya :

a. Traversable Graph

2

6 B 5

adalah graph yang semua 1 9 7

rusuk-rusuknya dapat dilalui 4

masing-masing sekali atau A 8

graph yang dapat digambar 3

tanpa pena diangkat.

Teori EULER :

*. Semua graph terhubung yang mempunyai titik ganjil maksimum dua adalah Traversable Graph

Catatan :

Titik ganjil adalah titik di mana rusuknya yang Incident (bertemu) dengan titik tersebut berjumlah ganjil.

b.Eulerian Graph

1 2

adalah graph yang semua rusuknya 5 8

dapat dilalui masing-masing sekali 9 6 13 7 12

dan memiliki lintasan tertutup, artinya 14 10 11

titik awal = titik akhir 4 3

Teori Euler :

*. Bila sebuah graph semua titiknya genap maka graph tersebut mempunyai lintasan euler.

c. Hameltonian Graph

adalah graph yang semua titik-titiknya 2 3 4

dapat dilalui masing-masing sekali dan 1 5

mempunyai lintasan tertutup, 8 7 6

artinya : titik awal = titik akhir.

C.Koneksitas

Hubungan atau lintasan antar titik dalam sebuah graph dapat dibedakan menjadi beberapa jenis , yaitu :

a.Walk

Contoh : Misalkan titik mewakili kota dan rusuk mewakili jalan, maka dari Jakarta ke Bandung dapat dibuat banyak Walk.

Yaitu : Jakarta – Jagorawi - Bogor. dll

b. Closed Walk

adalah Walk yang titik awal = titik akhir. Contoh : Jakarta – Cikampek – Jakarta dll

c. Trail

Contohnya : Jakarta – Cikampek - Purwakarta. dll

d. Path

adalah Walk yang semua titiknya berlainan, artinya yang diperhatikan adalah lintasannya.

Contoh :

Jakarta – Cikampek - Purwakarta

e. Cycle

adalah Path yang tertutup, artinya titik awal = titik akhir

Contoh :

Jakarta – Tangerang – Bogor – Jakarta dll

f. Girth

adalah cycle terpendek dari cycle-cycle yang dimiliki oleh sebuah graph.

Contoh : A B C

D E F G

Graph di atas mempunyai banyak cycle, tetapi ada satu yang terpendek yang disebut “GIRTH= CGFC” ,

panjangnya 3 rusuk yang membentuk cycle.

g. Circumference

adalah cycle terpanjang dari cycle-cycle yang dimiliki oleh sebuah graph.

Contoh : Dari gambar (Girth) di atas, adalah ”Circumference = ABCGFEDA”, dengan panjang = 7 yang memiliki 7 rusuk .

Berkaitan Dengan Masalah Jarak

Dalam sebuah graph, perlu diketahui yang berkaitan dengan jarak penting , al. untuk menentukan jari-jari, diameter, sentral dan pusat graph. Jarak anatara dua titik adalah Walk yang semua titiknya berlainan dan mempunyai lintasan terpendek.

Contoh :

Dapat dibuat banyak Walk yang semua titiknya berlainan anatar Jakarta –

Bogor , yaitu :

Jakarta – Jagorawi – Bogor Jakarta – Tangerang – Bogor

Dari contoh lintasan-lintasan di atas yang disebut jarak adalah lintasan Jakarta – Jagorawi – Bogor karena terpendek .

a. Eksentrisitas Suatu Titik {e(u)}

Eksentrisitas suatu titik adalah jarak terpanjang suatu titik terhadap semua titik dalam sebuah graph.

Contoh : A B C Jarak A – B = 1 A – C = 2 A – D = 2 A – E = 1 D E F G H A – F = 2

A – G = 3 A – H = 4

Jadi Eksentrisitas titik A = e(A) = 4

d. Pusat Graph

adalah himpunan titik-titik yang nilai eksentrisitasnya = jari-jarinya.

Contoh :

b. Jari-jari Graph { r(G)}

adalah eksentrisitas titik yang terkecil dalam sebuah graph. Contoh :

Dari gambar (a) , eksentrisitas titik-titiknya sebagai berikut :

e(A) = 4 ; e(E) = 3

e(B) = 3 ; e(F) = 2

e(C) = 4 ; e(G) = 3

e(D) = 4 ; e(H) = 4

Jadi jari-jari graph = r(F) = 2

c. Diameter Graph { d(H)}

Diameter graph adalah eksentrisitas titik yang terbesar dalam sebuah graph.

Contoh :

e. Titik Sentral Graph

adalah titik-titik simpul yang nilai eksentrisitasny = NILAI JARI-JARINYA.

Contoh :

Dari contoh di atas titik sentral garph adalah titik F

D. Derajat/Degree Suatu Titik

Contoh : Maka derajat titik-titiknya = deg (A) = 4

deg (B) = 3 deg (C) = 2 deg (D) = 3 deg (E) = 4 deg (F) = 3 deg (H) = 2 deg ( I) = 3

Jumlah degree = 24

Jumlah rusuk = 12

Jumlah degree = 2 kali jumlah rusuk