9.M8 Sistem Tunggu 1 dan MM1

S1 Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro

REKAYASA TRAFIK | TTH3J3 | Kur. 2016 | 2017/2018

Sistem Tunggu 1:

AGENDA

•

Aplikasi Antrian

•

Model Antrian Dasar

•

Notasi Kendall

•

Hukum Little

•

Analisis Antrian M/M/1

•

Ukuran Kinerja Sistem Antrian

•

Beberapa Rumus Pendukung

APLIKASI SISTEM ANTRIAN



Telekomunikasi



Trafc control



Penentuan urutan operasi komputer



Prediksi performansi komputer



Layanan kesehatan (misalnya kontrol

penggunaan bed di rumah sakit)



Airport trafc, penjualan tiket airline

CONTOH SISTEM ANTRIAN

Sistem Pelayan Customer

Bank Teller Nasabah

Rumah Sakit Dokter, perawat, _bed Pasien

Sistem Komputer CPU, perangkat I/O Job

Sistem Manufaktur Mesin, pekerja Part

Bandara Landasan pacu, gate, stasiun security check-in

Pesawat, penumpang Jaringan

BLOCKED CALLS CLEARED (BCC) REVIEW

Sumber #1 Offered Traffic

Sumber #2 Offered Traffic

1

2

3

4 10 menit

Total Trafik Ditawarkan: T_O = 0.4 E + 0.3 E

T_O = 0.7 E

2 sumber

Hanya satu server

Traffic

Carried 11 2 3 4

Total Trafik Dilayani: T_C = 0.5 E

Panggilan pertama tiba dan dilayani

Panggilan kedua tiba, tapi server sibuk

Panggilan kedua ditolak Panggilan ketiga tiba dan dilayani

BLOCKED CALLS HELD (BCH) REVIEW

Sumber #1 Offered Traffic

Sumber #2 Offered Traffic

1

2

3

4 10 menit

Total Trafik Ditawarkan: T_O = 0.4 E + 0.3 E

T_O = 0.7 E

2 sumber

Traffic

Carried 11 2 2 3 4

Hanya satu server

Panggilan pertama tiba dan dilayani

Panggilan kedua tiba, tetapi server sibuk

Panggilan kedua dilayani

Panggilan ketiga tiba dan dilayani Panggilan keempat tiba dan dilayani

Total Trafik Dilayani: TC = 0.6 E

BLOCKED CALLS WAIT (BCW)

Sumber #1 Offered Traffic Sumber #2 Offered Traffic 1 2 3 4 10 menit

Total Trafik Ditawarkan: TO = 0.4 E + 0.3 E

T_O = 0.7 E

2 sumber

Hanya satu server

Traffic Carried

Panggilan pertama tiba dan dilayani

1

Panggilan kedua tiba, tetapi server sibuk

2

Panggilan kedua menunggu sampai server bebas

Panggilan kedua dilayani

1 2

Panggilan ketiga tiba, menunggu, dan dilayani

3

Panggilan keempat tiba, menunggu, dan dilayani 4

MASALAH SISTEM ANTRIAN

• _Proses selama

pembangun an

hubungan untuk

SUMBER DELAY DI JARINGAN

• _{Delay Proses}

–_{Asumsi daya pemrosesan tidak terbatas}

• _{Delay Antrian}

–_{Waktu tunggu transmisi di bufer}

• _{Delay Transmisi} • _{Delay Propagasi}

–_{Waktu yang dihabiskan di link untuk transmisi} sinyal listrik

–_{Tidak bergantung pada trafk yang dibawa oleh} link

MODEL ANTRIAN DASAR

• _{Antrian memodelkan stasiun pelayanan dengan} –_{Satu atau beberapa server}

–_{Daerah menunggu atau bufer}

• _{Pelanggan datang untuk menerima layanan} • _{Pelanggan yang tidak menemui server bebas}

akan menunggu di bufer

Arrival Berakhir

Buffer Server

KARAKTERISTIK ANTRIAN

• _{Jumlah server N: 1, beberapa, tak hingga}

(infnite)

• _{Ukuran bufer b}

• _{Disiplin layanan (penjadwalan): FIFO, LIFO,}

Processor Sharing (PS), dll Proses kedatangan

Statistik layanan

PROSES PANGGILAN

•

Random origination (dengan kondisi



t



0)

– _{Peluang sebuah panggilan muncul dalam}

interval (t,t+t] adalah lt (tidak tergantung

t) dan l adalah konstan

– _{Peluang dua atau lebih panggilan muncul}

pada selang (t,t+t] adalah nol

– _{Setiap panggilan saling bebas}



t

0 t



t t

n



t=t/n

PROSES KEDATANGAN

• _{: waktu antar kedatangan antara pelanggan n dan n+1} • _{adalah peubah acak}

• _{adalah proses stokastik}

Waktu antar kedatangan terdistribusi identik dan memiliki common mean

• _{l disebut laju kedatangan}

n n 1 1

n 

n 

n

t t

n



n



{ , _n n _1}

[ ]_n [ ] 1/

1)Proses Kedatangan

• Merupakan spesifikasi bagaimana pelanggan datang ke

sistem. Misal _Ai menyatakan selang waktu antara kedatangan

pelanggan ke-_{(i - 1)} dan ke-_i  inter-arrival time. Secara

umum diasumsikan waktu _{A1, A2, …, An, …} adalah peubah acak IID (Independent Identically Distributed). Rata-rata atau

expected inter-arrival time dinyatakan _E(A), dan l = 1/E(A)

adalah laju kedatangan pelanggan. Perhatikan satuan: jika _Ai

dalam second, maka l dalam reciprocal (kebalikan)

second

• Perhatikan bahwa mengetahui laju kedatangan saja tidaklah

cukup – selalu dibutuhkan distribusi probabilitas, di mana laju kedatangan memiliki mean – atau resiprok mean.

Kecuali disebutkan secara khusus, biasanya diasumsikan distribusi eksponensial …

2) Mekanisme Pelayanan

•Dispesifikasikan oleh jumlah server, biasanya dinyatakan

dengan peubah s, dan distribusi probabilitas waktu layanan. Jika

S₁, S₂, …, S_n, … adalah peubah acak IID untuk waktu layanan

sekumpulan pelanggan, maka mean service time pelanggan

dinyatakan oleh E(S), dan µ = 1/E(S) adalah service rate server.

3) Disiplin Antrian

•Merupakan aturan untuk memilih pelanggan berikutnya yang

akan dilayani. Beberapa disiplin:

• FIFO: First In First Out (antrian standar)

• LIFO: Last In First Out (stack)

• Prioritas: suatu cara didefinisikan untuk menentukan prioritas

pelanggan (priority queue)

PROSES WAKTU LAYANAN

• : waktu layanan pelanggan n di server

• _{adalah proses stokastik}

Waktu layanan terdistribusi identik dengan common mean

• m disebut laju layanan

Untuk paket, apakah waktu layanan benar-benar acak?

n n 1 1

n 

n

s

t

n

s

{ , s_n n 1}

[ ]

_n

[ ]

•

Model antrian digunakan untuk

– _{Menggambarkan perilaku sistem antrian} – _{Evaluasi kinerja sistem}

MODEL SISTEM ANTRIAN

Sistem Server Sistem Antrian

KARAKTERISTIK SISTEM

ANTRIAN

•

Proses Kedatangan

– _{Distribusi yang menentukan bagaimana}

task datang ke sistem.

•

Proses Pelayanan

– _{Distribusi yang menentukan waktu}

proses task

•

Jumlah Server

– _{Jumlah total server yang tersedia untuk}

NOTASI KENDALL

1/2/3(/4/5/6)

•

Enam parameter

• _{Tiga parameter awal selalu digunakan,} nomor 4, 5, dan 6 dispesifkasikan secara khusus

1. Distribusi Kedatangan 2. Distribusi Layanan

3. Jumlah Server

4. Kapasitas Total (tak hingga jika tidak dituliskan)

DISTRIBUSI

•

M: singkatan "Markovian",

menyatakan distribusi eksponensial

untuk waktu layanan atau waktu

antar kedatangan

•

D: Deterministik (contohnya fied

constant)

•

E

_k

: Erlang dengan parameter

k

•

H

_k

: Hypereiponential dengan

parameter

k

CONTOH NOTASI KENDALL

• _M/M/1:

– _{Kedatangan Poisson dan layanan eksponensial,} 1 server, kapasitas dan populasi tak hingga,

FCFS (FIFO)

– _{Antrian realistik yang paling sederhana}

• _M/M/m

– _{Sama, tetapi dengan m server}

• _{G/G/3/20/1500/SPF}

DESKRIPTOR ANTRIAN: CONTOH

• M/M/1: kedatangan Poisson, waktu layanan terdistribusi eksponensial, 1 server, bufer tak hingga

• _{M/M/m: m server}

• M/M/m/m: kedatangan Poisson, waktu layanan terdistribusi eksponensial, m server, no bufer

• _{M/G/1: kedatangan Poisson, waktu}

layanan terdistribusi identik mengikuti distribusi general, 1 server, bufer tak hingga

SIMBOL KENDALL

• _{Pada sistem tunggu, permintaan (panggilan) yang} datang pada waktu peralatan sedang sibuk

semua, tidak dihilangkan tetapi menunggu sampai ada peralatan yang bebas, kemudian diduduki.

• _{DG Kendall memberikan simbol pada sistem} antrian A/B/C, di mana

– _{A: pola kedatangan panggilan}

– _{B: pola waktu pelayanan (pendudukan)} – _{C: jumlah pelayan (peralatan)}

• _{Simbol untuk pola datang dan waktu pendudukan} – _{M: distribusi eksponensial negatif (m =}

markov)

HUKUM LITTLE

• Hukum Little:

Jumlah task rata-rata dalam sistem = laju

kedatangan rata-rata * waktu respon rata-rata

– _{Hukum Little tersebut akan kita buktikan !!}

• _{Diterapkan pada sistem yang berada dalam}

equilibrium, asalkan tidak ada sesuatu dalam kotak hitam di atas yang menciptakan task baru atau menghancurkan task

Kedatangan Keberangkatan

MENGHITUNG PROSES ANTRIAN

• _{N(t) : jumlah pelanggan dalam sistem pada} waktu t

• (t) : jumlah kedatangan pelanggan sampai

waktu t

• _{b(t) : jumlah keberangkatan pelanggan sampai} waktu t

• _{Ti : waktu yang dihabiskan dalam sistem oleh} pelanggan ke-i

(t)

N(t)

t

RATA-RATA WAKTU

•

Rata-rata waktu

dalam selang [0,t]

•

Rata-rata waktu

keadaan tunak

• _{Teorema Little N=λT} • _{Little diterapkan pada}

sistem antrian apapun dengan syarat:

Limit T, λ, dan d memiliki nilai, dan

λ= d

Berikut diberikan bukti grafs dengan beberapa asumsi

0

( )

1

1

( ) lim

( ) lim 1 lim ( ) ( ) lim t

t _t t

t _t t

a t

t i _t t

i

t t

t

N N s ds N N

t a t

t

T T T T

BUKTI TEOREMA LITTLE UNTUK FIFO

•

Asumsi: N(t)=0, infnitely often. Untuk

sembarang t

Jika limit

N

_t

→N, T

_t

→T, λ

_t

→λ

ada, rumus

Little berlaku

•

Sistem FIFO,

N(0)=0



(

t

) dan b(

t

):

grafk anak

tangga

N

(

t

) =



(

t

)- b(

t

)

Daerah yang

diarsir

t

(t)

T₁

N(t)

T₂

T_i i

b(t)

0

( ) t ( )

S t _N s ds

( ) 1

( )

0 0

1

1 ( )

( ) ( ) ( ) t i t t t

i t t t

i

T

t

N s ds T N s ds N T

t t t

BUKTI LITTLE UNTUK FIFO

• _{Secara umum – bahkan jika antrian tidak kosong dengan}

frekuensi sangat sering (tak hingga):

• Hasil berikut mengasumsikan limit T_t →T, λ_t→λ, and d_t→d ada, dan

λ=d

(t)

T₁

N(t)

T₂

T_i i

b(t)

( ) ( )

1 1

( ) ( )

0 0

1 1

( ) 1 ( )

( ) ( )

( ) ( )

t t

i i

t _t t _t

i i

i i

t t t t t

T T

t t

T N s ds T N s ds

t t t t t

T N T

BENTUK PROBABILISTIK TEOREMA LITTLE

• _{Tinjau fungsi sampel tunggal untuk}

proses stokastik

• _{Fokuskan pada probabilitas berbagai}

fungsi sampel dari proses stokastik

• _{Probabilitas terdapat n pelanggan dalam}

sistem pada waktu t

• _{Jumlah pelanggan rata-rata dalam}

sistem pada t

( ) { ( ) }

n

p t _ P N t _ n

0 0

[ ( )] . { ( ) } _n( )

n n

E N t  n P N t n  np t

 

BENTUK PROBABILISTIK

LITTLE

• _{pn(t), E[N(t)] bergantung pada t dan distribusi} inisial pada t=0

• Tinjau sistem yang konvergen ke keadaan tunak • _{Terdapat pn yang tidak bergantung pada distribusi}

inisial

• _{Jumlah pelanggan rata-rata pada keadaan tunak} [rata-rata stokastik]

• _{Untuk proses ergodik, rata-rata waktu dari fungsi} sampel sama dengan ekspektasi keadaan tunak, dengan probabilitas 1.

lim _n( ) _n, 0,1,...

t  p t  p n 

0

lim [ ( )]

n t n

EN  np E N t

  







lim _t lim [ ( )]

t t

N N E N t EN

   

BENTUK PROBABILISTIK

LITTLE

• _{Pada prinsipnya, dapat dihitung distribusi}

probabilitas dari delay T_i untuk pelanggan i, dan dari nilai rata-rata E[T_i], konvergen ke keadaan tunak

• _{Untuk sistem ergodik}

Bentuk probabilitas dari Rumus Little: Laju kedatangan didefnisikan sebagai

lim [ ]_i

i

ET E T

 



1

lim i lim [ ]

i

i i

T

T E T ET

i 

    







.

EN _{ } ET

RATA-RATA WAKTU VS STOKASTIK

• _{“Time average = Stochastic average,”}

untuk semua sistem yang dipelajari pada kuliah ini

• _{Tercapai jika fungsi sampel tunggal dari}

proses stokastik berisi semua kemungkinan jika proses dijalankan pada t→∞

• _{Dapat dibuktikan berdasarkan sifat umum}

PEMBUKTIAN HUKUM LITTLE

J = Daerah arsir = 9

Sama untuk semua kasus!

Waktu

1 2 3 4 5 6 7 8 Jumlah

Paket dalam Sistem

1 2 3

Waktu

1 2 3 Waktu

dalam Sistem

Jumlah Paket 1

2 3

1 2 3 4 5 6 7 8 Jumlah

Paket 1 2 3

Kedatangan

DEFINISI

• _{J: “Daerah” dari slide sebelumnya}

• _{N: Jumlah job (paket)}

• _{T: Waktu total}

• _{l: Laju kedatangan rata-rata}

– _N/T

• _{W: Waktu rata-rata job berada dalam sistem}

– _{= J/N}

• _{L: Jumlah rata-rata job dalam sistem}

BUKTI: METODE 1: DEFINISI

1 2 3 4 5 6 7 8 Jumlah

Paket dalam Sistem (L)

1 2 3

Waktu (T) 1 2 3

Waktu dalam Sistem (W)

Jumlah Paket (N) 1

2 3

=

W

L



(

_TN

)

W

L



(



)

NW

TL

BUKTI: METODE 2: SUBSTITUSI

Tautologi

W

L



(

_TN

)

W

L



(



)

)

)(

(

_NJ T

N

TJ



ANALISIS ANTRIAN M/M/1

•

Diketahui:

• l: Laju kedatangan job (paket pada link input)

• m: Laju layanan server (link output)

•

Hitung:

– _{L: jumlah paket rata-rata dalam sistem} – _{Lq jumlah paket rata-rata dalam antrian} – _{W: waktu tunggu rata-rata dalam}

keseluruhan sistem

MODEL ANTRIAN M/M/1

l

m

W_q

W L L_q



Contoh-contoh

• _{Bila rata-rata terdapat 10 panggilan per jam yang datang}

secara acak, hitung

– _{Peluang terdapat dua atau lebih panggilan dalam waktu 12 menit}

– _{Peluang waktu antar kedatangan tidak lebih dari 6 menit}

Jawab

– _{Arrival rate = 10 call/jam = 1/6 per menit}

– Peluang tidak ada panggilan dalam waktu 12 menit =p₀(t)=e-lt _{= e} -12/6_{= e}-2

– _{Peluang muncul 1 panggilan dalam waktu 12 menit =}

– _{Maka peluang muncul 2 panggilan atau lebih dalam waktu 12 menit}

adalah = 1-(p₀(t)+p₁(t)) = 1-(e-2_+2e-2_{) =1-3e}-2_{= 0,5940}

– _{Peluang waktu kedatangan tidak lebih dari 6 menit = A(t) = 1- e}-lt ₌

1 – e-6/6 _{=1- e}-1 _{= 0,6231}

2 6

/ 12 1

1 2

! 1

) 6 / 12 ( ) 12

(  



 e e

Contoh-contoh (2)

• Misalnya waktu pelayanan terdistribusi secara

eksponensial dengan rata-rata 3 menit, hitung

peluang bahwa waktu pelayanan melebihi 6 menit Jawab :

– _{Service rate = 1/3 call per menit}

– _{Peluang waktu pelayanan melebihi t = H(t) = e}-mt

– _{Maka peluang waktu pelayanan melebihi 6 menit adalah}

Contoh-contoh (3)

• _{Pada suatu wartel yang terdiri dari lebih 2 pesawat telepon,}

diketahui 50 pelanggan melakukan panggilan di dalam satu jamnya dengan rata-rata waktu pemakaian 3 menit.

Hitung :

– _{Jumlah telepon rata-rata yang digunakan}

– _{Waktu tunggu rata-rata jika terdapat rata-rata 1,2 pelanggan yang} menunggu

Jawab

– _{Arrival rate =} l _{=50/jam = 50/60 = 5/6 call per menit} – _{Service rate =} m _{= 1/3}

– _{Traffic load =} l_/m _{= (5/6)x3 = 2,5 Erlang}

• _{Ini berarti jumlah rata-rata telepon yang digunakan adalah 2,5}

– _{Waktu tunggu rata-rata dicari menggunakan rumus Little}

MEMECAHKAN SISTEM ANTRIAN

• _{4 tidak diketahui: L, Lq W, Wq} • _Hubungan:

– _L=lW

– _{Lq=lWq (argumen keadaan tunak)} – _{W = Wq + (1/m)}

• Jika diketahui 1, yang lain dapat dicari

• _{Menghitung L bisa sulit atau mudah,}

bergantung pada tipe sistem. Secara umum:

0









n

n

ANALISIS ANTRIAN M/M/1

•

Tujuan: Persamaan bentuk tertutup

dari probabilitas jumlah job dalam

•

Persamaan kesetimbangan global

SISTEM ANTRIAN M/M/1

p_{n } p_n1

 p0   p1

(_{ } ) p_{j  } p_{j1  } p_j1

,... 1 , 0

,

0 1

1   

 p n

Didefinisikan sebagai probabilitas n task dalam sistem pada waktu t

KONDISI EQUILIBRIUM

n+1 n

n-1

l l l

KONDISI EQUILIBRIUM

n+1 n

n-1

l l l

l

m _m

m m

1 1

1 0

)

(





_



_



n n

n

P

P

P

P

P









PEMECAHAN UNTUK P0 DAN Pn

•

Langkah 1

•

Langkah 2

0 , 0 2 2 0

1 P , P P P P

P

n n _

                      







                          0 0 0 0 0 1 , 1 , 1 n n n n n

n then P P

P

  

PEMECAHAN UNTUK P0 DAN Pn

•

Langkah 3

•

Langkah 4



ρ 1



ρ 1 1 ρ 1 ρ 1 ρ , ρ 0 0                





     n n n n then    

1 ρ

ρ and ρ 1 ρ 1 0

0     

PEMECAHAN UNTUK L

0



 



n n

nP

L

(

1

)

0



 





n n

n





(

1

)

1 1



  





n n

n







 

 





_





(

1

)

_dd ₁1

















 0

)

1

(

n n dd







_

 

₍₁ 1 ₎2

)

1

(







_

PEMECAHAN W, W

_q

DAN L

_q

 







 



















L 1 1

W

   

1 1 ( )

1































W

W

_q

) (

) (

2























_



_



_q

q

W

PERSAMAAN UMUM

• _{Dengan substitusi dari persamaan satu ke}

persamaan lainnya untuk n = 0, 1, 2, … dst diperoleh

– _{P(n) =}

– _{Di mana A =} / = .h

    

 

 P(0) ;n N

N ! N

A

N n

; )

0 ( P ! n A

57 Jaringan dan Teknik Penyambungan

58 Jaringan dan Teknik Penyambungan

TEORI ANTRIAN UNTUK JARINGAN

•

Jaringan dipandang sebagai

kumpulan antrian

– _{Struktur data FIFO}

•

Teori antrian menyediakan analisis

probabilistik untuk antrian

•

Contoh:

– _{Panjang antrian rata-rata} – _{Waktu tunggu rata-rata}

– _{Probabilitas antrian dengan panjang}

tertentu

Untuk suatu sistem antrian, elemen-elemen apa saja yang dapat diukur? Misalkan:

1) _Di = delay antrian dari pelanggan ke-i;

2) _{Wi = Di + Si} = waktu tunggu dalam sistem dari pelanggan ke-i; 3) _Q(t) = jumlah pelanggan dalam antrian pada waktu _t;

4) _L(t) = jumlah pelanggan dalam sistem pada waktu _t = jumlah

pelanggan dalam antrian + jumlah pelanggan yang sedang dilayani.

a) Delay Rata-rata Keadaan Tunak:

Di mana w.p. singkatan dari with probability dan berarti bahwa limit berlaku untuk hampir semua D₁, D₂, ...

UKURAN KINERJA SISTEM

ANTRIAN

d  lim

n 

D_i

i1

n



b) Waktu Tunggu Rata-rata Keadaan Tunak:

c) Jumlah Paket Rata-rata Terhadap Waktu Dalam Antrian pada Keadaan Tunak:

c) Jumlah Paket Rata-rata Terhadap Waktu Dalam Sistem pada Keadaan Tunak:

• Perhatikan bahwa pada semua kasus, r < 1 adalah syarat perlu

agar limit memiliki nilai (jumlah rata-rata kedatangan harus kurang dari jumlah rata-rata keberangkatan yang mungkin)

w  lim

n 

W_i

i1

n



n , w.p.1

Q  lim

T 

Q t_dt

0

T



T , w.p.1

L  lim

T 

L t_dt

0

T



RUMUS TUNGGU ERLANG

• _{Probabilitas P(0) diperoleh dari kondisi normal}

• _{Karena pola kedatangan panggilan adalah random (Poisson),}

maka probabilitas bahwa suatu panggilan yang datang akan

menunggu sama dengan bagian waktu di mana semua

pelayan sibuk, jadi

– _{D(N,A) =}



D(N,A)= P(t>0) =

RN/[A(N-A+R)]

                        0 j j N 1 N 0 n n 0 n N A ! N A ! n A ) 0 ( P 1 ) n ( P A N N . ! N A )! 1 N ( A ! 2 A A 1 A N N . ! N A N 1 N 2 N           ) , 1 ( 1 ) , ( 1 ) , ( 1 A N B A N B A N

RUMUS TUNGGU ERLANG

•

Tabel B(N,A) ada, jadi D(N,A) dapat

dihitung secara mudah

•

Jumlah pelanggan (panggilan)

rata-rata yang antri

•

Waktu rata-rata pelanggan dalam

antrian (sebelum dilayani) untuk

semua panggilan termasuk yang tak

menunggu

A N

A ).

A , N ( D n_q

 

A N

h ).

A , N ( D t_q

HASIL LAIN RUMUS TUNGGU

• _{Waktu rata-rata pelanggan dalam antrian dihitung untuk}

pelanggan yang menunggu saja

• _{Waktu rata-rata lamanya pelanggan (panggilan) di dalam}

sistem

• _{Jumlah rata-rata pelanggan di dalam sistem}

• _{Probabilitas bahwa panggilan punya waktu tunggu T melebihi}

harga t

– _{Prob(T>t) = D(N,A).e}-(N-A)t/h

• _{Rumus Little}

• _{Penurunan rumus Little diawali dari} (t), (t), dan (t)

A N h t_qm   q s h t

t  

WAKTU RESPON VS. KEDATANGAN









1

W

Waiting vs. Utilization

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

 

W

(s

e

DAERAH STABIL

linear region

Waiting vs. Utilization

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

 

W

(s

e

Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem diberikan oleh Penurunan dari bentuk tertutup penjumlahan diperoleh dari pengamatan bahwa

DAERAH STABIL

E n  ₀n p_n  ₀n1 n  

1

1 1

 2 

d d

1 1  

 



 d

d 

n n0 







 _n_0nn1  1

 n

n n0   System Saturation 0 20 40 60 80 100 120

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Utilization

CONTOH EMPIRIK

CONTOH

• Suatu berkas saluran N = 8 saluran merupakan berkas sempurna.

Penawaran trafk A = 4,5 Erlang. Waktu pendudukan rata-rata h = 120 detik. Panggilan dilayani sesuai dengan urutan datangnya. Ditanyakan:

– P(t>0) = ?

– Waktu tunggu rata-rata dari panggilan yang harus menunggu

– Waktu tunggu rata-rata dari semua panggilan

– P(t>60 detik) = ?

• Hitung lagi untuk A = 4,5 Erlang, N = 5 saluran, h = 120 detik, dan i = 60 detik

• Untuk latihan, turunkan P(t>0) =

• Suatu tingkat group selector mengolah trafk pembicaraan = 360 Erl

dilayani oleh 1 marker. Waktu pembicaraan rata-rata = 3 menit = 0,05 jam. Waktu kerja marker (untuk 1 panggilan) rata-rata = 100 mdet. Ditanyakan:

– Tr = ?

– Tt = ?

– P(t>300 mdetik) = ? A(N A R)

RN

BEBERAPA RUMUS BENTUK

LAIN

• _{Dalam suatu sistem terdapat pengertian utilization factor atau}

facility utilization atau faktor pemakaian

• _{Faktor pemakaian ini didefnisikan sebagai berikut: (waktu}

pendudukan per fasilitas)/(waktu yang tersedia)

• _{Menurut rumus yang dikembangkan oleh Khintchine dan}

Pollaczek, jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem adalah

• Bila waktu pelayanan konstan (sistem M/D/1): _h = 0

• Bila waktu pelayanan terdistribusi eksponensial negatif: _h = h

• _{Waktu lamanya rata-rata dlm sistem : s}

ANTRIAN MELEBIHI HARGA TERTENTU

• Probabilitas yang antri melebihi harga tertentu

– Probabilitas (nN) =

– Dapat diturunkan dari persamaan kesetimbangan

• Kedatangan yang enggan

– Koefsien kelahiran bn =

– Koefsien kematian dn = 

– Dari persamaan kesetimbangan akan didapat hasil

– Waktu lamanya rata-rata dalam sistem

N N n n ) 1 ( _{   }    1 n         

 .e

! n ) n ( P n ) e 1 ( N

S _{2 /}

CONTOH

• _{Pada gateway jaringan, pengukuran}

menunjukkan bahwa paket tiba dengan laju rata-rata 125 paket per detik (pps)

dan gateway membutuhkan waktu sekitar 2 ms untuk forward. Dengan asumsi model M/M/1, berapa probabilitas overfow jika

gateway hanya memiliki 13 bufer. Berapa bufer yang dibutuhkan untuk menjaga

CONTOH

• _{Pengukuran gateway jaringan:}

– _{Laju kedatangan rata-rata (l): 125 paket/dt} – _{Waktu respon rata-rata (m): 2 ms}

• _{Asumsi kedatangan eksponensial}

– _{Berapa utilisasi gateway?}

– _{Berapa probabilitas n paket di gateway?} – _{Jumlah rata-rata paket di gateway?}

CONTOH

•

Laju kedatangan λ =

•

Laju layanan μ =

•

Utilisasi gateway ρ = λ/μ =

•

Probabilitas

n

paket berada di

gateway =

•

Jumlah paket rata-rata dalam

CONTOH



Laju kedatangan λ = 125 pps



Laju layanan μ = 1/0.002 = 500 pps



Utilisasi gateway ρ = λ/μ = 0.25



Probabilitas

n

paket di gateway =



Jumlah paket rata-rata di gateway =

n n

₀

.

75

(

₀

.

25

)

ρ

)

ρ

1

(





33 . 0 57

. 0

25 . 0 ρ

1 ρ

 

CONTOH

•

Probabilitas bufer overfow:

•

Untuk membatasi probabilitas loss

CONTOH



Probabilitas buffer overflow:

= P(lebih dari 13 paket berada di

gateway)



Untuk membatasi probabilitas loss

CONTOH



Probabilitas buffer overflow:

= P(lebih dari 13 paket di gateway)

= ρ

13

= 0.25

13

= 1.49x10

-8

= 15 paket per milyar paket



Untuk membatasi probabilitas loss

CONTOH



Probabilitas buffer overflow:

= P(lebih dari 13 paket di gateway)

= ρ

13

= 0.25

13

= 1.49x10

-8

= 15 paket per milyar paket



Untuk membatasi probabilitas loss

kurang dari 10

-6

:

ρ

10

6



CONTOH



Agar probabilitas loss kurang dari 10

-6

:



atau

= 9.96

 





25

.

0

log

/

10

log

6



n

6

10

ρ



CONTOH I M/M/1

Trafk ke suatu pusat message switching untuk salah satu saluran komunikasi

outgoing datang dengan pola acak dan laju rata-rata 240 pesan per menit.

Saluran memiliki laju transmisi 800 karakter per detik. Panjang pesan

(termasuk karakter kontrol) kira-kira mengikuti distribusi eksponensial

dengan panjang rata-rata 176 karakter. Hitung ukuran statistik dasar untuk

CONTOH I M/M/1

1. Jumlah pesan rata-rata dalam sistem?

2. Jumlah pesan rata-rata dalam antrian yang menunggu untuk dikirimkan

3. Waktu rata-rata suatu pesan berada dalam sistem

4. Waktu rata-rata suatu pesan menunggu transmisi

CONTOH I M/M/1

E[s] = Panjang pesan rata-rata/laju saluran

= {176 char/pesan} / {800 char/sec} = 0.22 sec/pesan

m _{= 1 / 0.22 {pesan / sec}}

= 4.55 pesan / sec l = 240 pesan / min = 4 pesan / sec

CONTOH I M/M/1

1.

N= r / (1 - r) = 7.33 (pesan)

2.

N

_q

= r

2

/ (1 - r) = 6.45 (pesan)

3.

W = E[s] / (1 - r) = 1.83 (sec)

4.

W

_q

= r

×

E[s] / (1 - r) = 1.61

(sec)

5.

P [11 pesan atau lebih dalam

CONTOH II M/M/1

Kantor cabang dari suatu perusahaan rekayasa memiliki 1 terminal online yang terhubung ke sistem komputer pusat selama 8 jam pada hari

kerja normal. Insinyur yang bekerja di dalam kota, selalu menggunakan terminal tersebut untuk

kalkulasi rutin. Statistik yang dikumpulkan selama periode waktu tertentu menunjukkan bahwa pola kedatangan orang di kantor cabang untuk

CONTOH II M/M/1

rata-rata 30 menit. Kantor cabang menerima

keluhan dari staf mengenai pelayanan terminal tersebut. Dilaporkan bahwa seseorang sering menunggu lebih dari 1 jam untuk menggunakan terminal dan kadang-kadang memakan waktu 1,5 jam untuk menyelesaikan sedikit kalkulasi. Manajer cukup bingung karena statistik

menunjukkan bahwa terminal hanya digunakan rata-rata 5 jam dari 8. Tingkat utilisasi ini

sepertinya bukan merupakan justifkasi untuk

CONTOH II M/M/1

1. {10 orang / hari}×{1 hari / 8 jam}×{1 jam /

60 min}

= 10 orang / 480 min = 1 orang / 48 min

 l = 1 / 48 (orang / min)

2. 30 menit : 1 orang = 1 (min) : 1/30 (orang)

 m = 1 / 30 (person / min)

3. r = l / m = {1/48} / {1/30} = 30 / 48 = 5 /

CONTOH II M/M/1

1. Laju kedatangan l = 1 / 48 (pelanggan / min)

2. Utilisasi server r = l / m = 5 / 8 = 0.625

3. Probabilitas 2 pelanggan atau lebih dalam sistem P[N ³ 2] = r2 = 0.391

4. Jumlah steady-state rata-rata dalam sistem L = E[N] = r / (1 - r) = 1.667

CONTOH II M/M/1

1. Waktu rata-rata pelanggan berada dalam

sistem W = E[w] = E[s] / (1 - r) = 80 (min)

2. S.D. waktu pelanggan berada di sistem sw

= E[w] = 80 (min)

3. Jumlah steady-state pelanggan rata-rata

dalam antrian N_q = r2 / (1 - r) = 1.04

4. Panjang antrian steady-state rata-rata dari

sistem yang tidak kosong (nonempty) E[Nq |

N_q > 0] = 1 / (1 - r) = 2.67

5. Waktu rata-rata dalam antrian Wq = E[q]

CONTOH II M/M/1

1. Waktu rata-rata di antrian untuk orang yang harus menunggu saja

E[q | q > 0] = E[w] = 80 (min)

2. Persentil 90 dari waktu menunggu p_q(90) = E[w] ln (10 r) = 80 * 1.8326

92 Jaringan dan Teknik Penyambungan