ANTRIAN
Sistem ekonomi dan dunia usaha (bisnis) sebagian besar beroperasi dengan sumber daya yang relatif terbatas. Sering terjadi orang-orang, barang-barang, komponen-komponen atau kertas kerja harus menunggu untuk mendapatkan jasa pelayanan. Garis-garis tunggu ini sering disebut dengan antrian (queues), berkembang karena fasilitas pelayanan (server) adalah relatif mahal untuk memenuhi permintaan pelayanan dan sangat terbatas. Jadi dapat dirumuskan suatu antrian ialah suatu garis tuggu dari nasabah (satuan) yang memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fasilitas pelayanan). Studi matematikal dari kejadian atau gejala garis tunggu ini disebut teori antrian.
Dalam kehidupan sehari-hari, kejadian ini sering kita temukan, seperti dereta mobil yang berhenti karena traffic light, antrian permitaan telepon pada suatu switchboard, penonton pada gedung teater yang box office atau pada restoran menunggu pesanan. Contoh lebih lnjut meliputi antrian pesawat-pesawat di lapangan udara, kedatangan kapal disuatu pelabuhan, truk-truk yang menunggu muatan, peralatan-perlatan yang menunggu diservis dan kedatangan pesanan pada gudang.
Teori antrian diciptakan dalam tahun 1909 oleh ahli matematik dan insinyru berkebangsaan Denmark yang bernama A.K. Erlang. Dia mengembangkan model antrian adalah untuk menentukan jumlah yang optimal dari fasilitas telephone switching yang digunakan untuk melayani permintaan yang ada.
Contoh penggunaan teori antrian dalm kehidupan sehari-hari:
Situasi Arrival/Demand Servers Service mechanism
Ruang praktek dokter Loket karcis theater Traffic Light Pelabuhan Garasi/bengkel Warung makan Airport
Pasien Penonton Mobil Kapal Mobil Orang lapar pesawat
Dokter dan suster Penjual karcis Lampu traffic Pekerja di kapal Mechanic Pelayan
Penjaga lapangan
Perawatan kesehatan Menjual tiket
KONSEP-KONSEP DASAR TEORI ANTRIAN
Tujuan
Tujuan dasar model-model antrian adalah untuk meminimumkan total dua biaya, yaitu biaya languing penyediaan fasilitas pelayanan dan biaya tidak langsung yang timbul karena para individu harus menunggu untuk dilayani. Bila suatu sistem mempunyai fasilitas pelayanan lebih dari jumlah optimal, ini berarti membutuhkan investasi modal yang berlebihan, tetapi bila jumlahnya kurang dari optimal hasilnya adalah tertundanya pelayanan. Model antrian yang akan dibahas merupakan peralatan penting untuk sistem pengelolaan yang menguntungkan dengan menghilangkan antrian.
Input/Pelanggan
Sumber masukan dari suatu sistem antrian dapat terditi atas suatu populasi orang, barang, komponen atau kertas kerja yang datang pada sistem unruk dilayani. Bila populasi relatif besar sering dianggap bahwa hal itu merupakan besaran yang tidak terbatas. Suatu populasi dinyatakan “besar” bila populasi tersebut besar dibanding dengan kapasitas sistem pelayanan. Sebagai contoh, suatu masyarakat kecil yang terdiri dari 10.000 orangmungkin akan menjadi suatu populasi yang tak terbatas bagi sebuah pengecer tetapi mungkin tidak cukup besar bagi 100 shopping center yang ada.
Pola Kedatangan untuk Sistem
Cara dengan mana individu-individu dari populasi memasuki sistem disebut pola kedatangan (arrival patern). Individu-individu mungkin datang dengan tingkat kedatangan (arrival rate) yang konstan ataupun acak/random yaitu berapa banyak individu-individu per periode waktu. Tingkat kedatangan produk-produk yang bergerak sepanjang lini perakitan produksi massa mungkin konstan, sedang tingkat kedatangan telephon calls sangat sering mengikuti suatu distribusi probabilitas Poisson.
Bila kedatangan individu individu mengikti suatu distribusi poisson, maka waktu antar kedatangan atau interarrival time (waktu antara kedatangan setiap individu) adalah random dan mengikuti suatu distribusi eksponensial (exponensial distribution).
Bila individu-individu (komponen, produk, kertas kerja atau karyawan) memasuki suatu siste, mereka mungkin memperagakan perilaku yang berbeda. Bila individu tersebut adalah orang, dan antrian relatif panjang, dia mungkin meninggalkan sistem. Perilaku seperti ini disebut penolakan (balking). Penolakan akan sering terjadi bila kepanjangan antrian kelewat panjang.
Variasi yang mungkin lainnya dalam pola kedatangan adalah kedatangan dari kelompok–kelompok individu. Bila lebih dari satu individu memasuki suatu sistem seketika secara bersamaan, maka terjadi dengan apa yang tersebutbulk arrivals.
Fungsinya: Komponen utamanya:
1. The arrival/input sistem 2. Antrian tiu sendiri 3. Fasilitas pelayanan
Kepanjangan Antrian
Banyak sistem antrian dapat menampung jumlah individu-individu yang relatif besar, tetapi ada beberapa sistem yang mempunyai kapasitas yang terbatas. Bila kapasitasantrian menjadi faktor pembatas besarnya jumlah individu yang dapat dilayani dalam sistem secara nyata, berarti sistem mempunyai kepanjangan antrian yang terbatas (finite), dan model antrian terbatas harus digunakan untuk menganalisa sistem tersebut. Sebagai contoh sistem yang mungkin mempunyai antrian yang terbatas adalah jumlah tempat psrkir atau station pelayanan atau jumlah tempat tidur di rumah sakit. Secara umum model antrian terbatas lebih kompleks daripada sistem antrian tak terbatas (infinite).
Disiplin Antrian
Disiplin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang digunakan untuk menyeleksi individu-individu yang memasuki antrian untuk dilayani terlebih dahulu (prioritas). Ada 4 bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan dalam praktek, yaitu:
Total cost
Waiting cost Service cost
Fasi litas antrian
pelanggan input
Pelanggan yang terlayani
a. FCFS (First-come First-serviced) atau FIFO (First-in First-out) artinya lebih dulu datang atau sampai lebih dulu dilayani. Misalnya antri beli tiket bioskop.
b. LCFS (Last-come First-served) atau LIFO (Last-in First-out) aritnya yang tiba terakhir yang lebih dahulu keluar. Misalnya sistem antrian dalam elevator (lift) untuk lantai yang sama.
c. SIRO (Service in random order) artinya, panggilan didasarkan pada peluang secara random, tidak soal siapa yang lebih dulu datang.
d. Prioritas, artinya prioritas pelayanan diberikan kepada mereka yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan mereka yang mempunyai prioritas lebih rendah, meskipun yang terakhir ini kemungkinan sudah lebih dahulu tiba dalam garis tunggu. Misalnya seseorang yang keadaan penyakitnya lebih parah dibanding dengan orang lain dalam suatu tempat praktek dokter.
Tingkat Pelayanan
Waktu yang digunakan untuk melayani individu-individu dalam suatu sistem disebut waktu pelayanan (service time). Waktu ini mungkin konstan, tetapi juga sering acak (random). Bila waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial atau distribusi acak, waktu pelayanan (yaiut unit/jam) akan mengikuti suatu distribusi Poisson.
Keluar (Exit)
Sesudah seseorang (individu) telah selesai dilayani, dia keluar (exit) dari sistem. Sesudah keluar, dia mungkin bergabung pada satu diantara kategori populasi. Dia mungkin bergabung dengan populasi asal dan mempunyai probabilitas yang sama untuk memasuki sistem kembali, atau dia mungkin bergabung dengan populasi lain yang mempunyai probabilitas lebih kecil dalam hal kebutuhan pelayanan tersebut kembali.
Ringkasan Karakteristik-karakteristik Penting Sistem Antrian
Berikut ini daftar karakteristik-karakteristik utama sistem antrian dengan asumsi-asumsi yang paling umum:
Karakteristik-karakteristik Antrian Asumsi-asumsi Umum Sumber populasi
Pola kedatangan
Kepanjangan antrian Disiplin antrian
Tak terbatas atau terbatas Tingkat kedatangan Poisson
(waktu kedatangan eksponensial) Tak tebatas atau terbatas
Karakteristik-karakteristik Antrian Asumsi-asumsi Umum Pola pelayanan
Keluar
Tingkat pelayanan Poisson (waktu pelayanan eksponensial) Langsung kembali ke populasi
SISTEM DAN STRUKTUR ANTRIAN
Banyak perbedaan sistem-sistem dan struktur-struktur antrian yang terdapat dalam masyarakat yang semakin kompleks. Perbedaan-perbedaan dalam jumlah antrian, fasilitas pelayanan dan hubungan-hubungan ysng terjadi dapat menghasilkan bentuk/susunan yang bervariasi tidak terbatas.
Sistem-sistem Antrian
Pada umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi sistem yang berbeda-beda di mana teori antrian dan simulasi sering diterapkan secara luas. Klasifikasi menurut Hillier dan Lieberman adalah sebagai berikut:
1. Sistem pelayanan komersial. 2. Sistem pelayanan bisnis-industri. 3. Sistem pelayanan transportasi. 4. Sistem pelayanan sosial.
Sistem-sistem pelayanan sosial merupakan sistem-sistem pelayana yang dikelola oleh kantor-kantor dan jawatan-jawatan lokal maupun nasional seperti kantor tenaga kerja, kantor registrasi SIM dan STNK, kantor pos, rumah sakit, puskemas, dan lain-lainnya.
Sistem pelayanan komersial merupakan aplikasi yang sangat luas dari model-model antrian seperti restoran, cafetaria, toko-toko, salon, supermarket dan lain-lain.
Sistem pelayanan bisnis-industri mencakup lini produksi, sistem material-handling, sistem penggudangan dan sistem-sistem informasi komputer.
Struktur-strukutr Antrian
Atas dasar sifat proses pelayanannya, dapat diklasifikasikan fasilitas-fasilitas pelayanan dalam susunan saluran atau channel (single atau multiple) dan phase (single atau multiple)yang akan mebentuk suatu struktur antrian yang berbeda-beda.
1. Single Channel-Single Phase
Sistem ini adalah sistem yang paling sederhana. Single Channel berarti bahwa hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single Phase menunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun pelayanan atau sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan. Setelah menerima pelayanan, individu-individu keluar dari sistem.
Contoh untuk model struktur ini adalah seorang tukang cukur, seorang pelayan toko, pembelian tiket kereta api antar k ota kecil yang dilayani oleh satu loket dan sebagainya.
2. Single Channel-Multiphase
Istilah multiphase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan (dalam phase-phase). Sebagai contoh lini produksi massa, pencucian mobil, tukang cat mobil dan sebagainya.
3. Multichannel-Single Phase
Sistem multichannel-single phase terjadi (ada) kapan saja dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal. Sebagai contoh model ini adalah pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket pelayanan, potong rambut oleh beberapa tukang potong dan sebagainya.
4. Multichannel- Multiphase
Setiap sistem-sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada suatu waktu. Sebagai contoh herregisrtasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada
input Single channel, single-stage
Fasilitas pelayanan
input Multiple channel, single-stage
input Single channel, multiple stage
pasien di rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran. Pada umumnya, jaringan ini terlalu kompleksd umtuk dianalisa dengan teori andrian, mungkin simulasi lebih sering digunakan untuk menganalisa sistem ini .
Selain empat model struktur antrian diatas sering terjadi struktur campuran (mixed arrangements) yang merupakan campuran dari dua atau lebih struktur antrian diatas. Misal toko–toko dengan beberapaa dengan pelayan (multichannel) namun pembayarannya hanya pada seorang kasir (single channel).
MODEL – MODEL ANTRIAN
Pengelompokan Model–model Antrian
Dalam pengelompokan model–model antrian yang berbeda-beada akan digunakan suatu notasi yang disebut Kendall’s Notation. Notasi ini sering dipergunakan karena beberapa alasan. Pertama karena notasi tersebut merupakan alat yang efisien untuk mengidentifikasi tidak hanya model-model antrian, tetappi juga asumsi–asumsi yang harus dipenuhi. Kedua hampir semua buku (literature) yang membahas teori antrian menggunakan notasi ini. Contoh model adalah model M/M/1/I/I. Tanda pertama notasi selalu menunjukkan distribusi tingkat kedatangan. Dalam hal ini, M menunjukkan tingkat kedatangan mengikuti suatu distribusi probalitas Poisson.
Tanda kedua menunjukkan distribusi tingkat pelayanan. Lagi, M menunjukkan bahwa tingkat pelayanan mengikuti distribusi probalitas Pisson. Tanda ketiga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem. Model diatas adalah model yang mempunyai fasilitas pelayanan tunggal.
Tanda keempat dan kelima ditambahkan untuk memnunjukkan apakah sumber populasi dan kepanjangan antrian tak terbatas (I) atau terbatas (F).model diatas baik sumber populasi dan kepanjangan antrian adalah tak terbatas.
Dengan tanda–tanda tersebut ditunjukkan empat model yang berbeda yang akan dirumuskan dan dipecahkan dalam bagian ini yaitu:
Model 1: M/M/1/I/I Model 2: M/M/S/I/I Model 3: M/M/1/I/F Model 4: M/M/S/F/I
Notasi-notasi yang digunakan dalam penyajian model-model antrian
Notasi Penjelasan Ukuran
l Tingkat kedatangan rata-rata Unit/jam 1/l Waktu antar kedatangan rata-rata Jam/unit
m Tingkat pelayanan rata-rata Unit/jam
1/m Waktu pelayanan rata-rata Jam/unit
s Deviasi standar tingkat pelayanan Unit/jam N Jumlah individu dalam sistem pada suatu waktu Unit
q n
Jumlah individu rata-rata dalam antrian Unit
t n
Jumlah individu dalam sistem total (antrian dan fasilitas pelayanan) Unit
q t
Waktu rata-rata dalam antrian jam
t t
Waktu rata-rata dalam sistem total Jam
S Jumlah fasilitas pelayanan (channels) Unit pelayanan P Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan Ratio
Q Kepanjangan maksimum sistem (antrian dan ruang pelayanan) Unit
Pn Probabilitas jumlah n individu dalam sistem Frekuensi relatif Po Probabilitas tidak ada individu dalam sistem Frekuensi relatif Pw Probabilitas menunggu dalam antrian Frekuensi relatif cs Biaya pelayanan per satuan waktu per fasilitas pelayanan Rp/jam/server cw Biaya untuk menunggu per satuan waktu per individu Rp/jam/unit ct Biaya total = Scs +
t n cw
Rp/jam
Model 1 M/M/1/I/I :
a. Banyaknya kedatangan® Disribusi Poisson
b. Waktu antara kedatangan® Ditribusi Eksponensial
Distribusi Poisson:
å
kedatangan (Px) =x!
T)
λ
(
e
-λT λDistribusi Eksponensial: mean = 1/l x! = (x) (x-1) (x-2)...(3)(2)(1)
mean =l
2. Perilaku pelanggan
Unsur-unsur dari model anrian 1. Probabilitas yang antri
3. Rata-rata unit dalam antrian 4. Rata-rata unit dalam sistem
5. Waktu rata-rata tiap unit yang dihabiskan dalam antrian 6. Waktu rata-rata tiap unit yang dihabiskan dalam sistem
7. Persentase waktu atau probabilitas dari unit yang harus menunggu
Single Channel Asumsi:
1. Kedatangan sesuai dengan distribusi poisson 2. Kedatangan dari infinit populasi
3. Kedatangan dilayani dengan sistem FCFS 4. Rata-rata kedatangan konstan
5. Waktu pelayanan sesuai dengan distribusi Eksponensial 6. Rata-rata pelayanan konstan
7. Rata-rata pelayanan> rata-rata kedatangan
l = mean kedatangan/jumlah kedatangan yang diharapkan
m = mean pelayanan/jumlah konsumen yang diharapkan terlayani
Model antrian:
1. Probabilitas tidak ada yang menunggu
Po = (1-l/m)
2. probabilitas ada n unit yang menunggu
Pn = (l/m)n Po
3. Jumlah unit yang diharapkan dalam sistem
L =l/(m-l)
4. Jumlah unit yang diharapkan dalam antrian
Lq =l2/m (m-l)® l/m· L (l/m-l)
= L-l/m l2/m (m-l)
5. Waktu menunggu yang diharapkan dalam sistem
W = 1/m-l = L/l
6. Waktu menunggu yang diharapkan dalam antrian
Wq =l/m (m-l) = Lq/l = W-1/m
7. Probabilitas unit yang datang harus menunggu
Pw =l/m
Lq = L-l/m =l Wq
L = Lq+l/m =l W
W = Wq+1/m = L/l
Kasus:
Perusahaan pencucian mobil mempunyai fasilitas mencucikan mobil dan membuat mobil menjadi cemerlang . Rata-rata pelayanan 12 mobil/hari dengan jam hari
kerja 8 jam. Rata-rata kedatangan setiap harinya 10 mobil yang memerlukan
pelayanan.
Pemilik perusahaan ingin memperbesar labanya dengan memperbaiki sistem kerjanya. Diasumsi sistem sebagai single channel, single-stage.
l = 10 mobil/hari m = 12 mobil/hari
Jumlah unit yang diharapkan masuk sistem
L =
Jumlah unit yang diharapkan dalam antrian
Lq =
Waktu yang diharapkan dalam sistem
W = hari
Waktu tunggu yang diharapkan dalam atrian
Wq =
Probabilitas kedatangan harus menunggu
Pw =
Probabilitas tidak ada antrian
Probabilitas ada n unit antri
Pn = (l/m)n Po
= (10/12)n.0,167
N Pn =l/m . Po = (10/12)n . 0,167
1 2 3 4 5
0,139 0,116 0,096 0,080 0,067
Seandainya jumlah kedatangan tiap periode tidak tetap, bervariasil = 5,7,9,10,11, maka:
l Po L Lq W Wq
5 7 9 10 11
0,583 0,417 0,250 0,166 0,083
0,71 1,4 3 5 11
0,30 0,80 2,25 4,17 10,08
1,143 1,6 2,667 4 8
0,476 0,933 2 3,333 7,333
Biaya langsung® biaya menunggu Biaya total
Biaya tidak langsung® biaya pelayanan
Untuk kasus di atas, seandainya diketahui biaya menunggu adalah $ 10/jam, maka biaya menunggu hariannya:
= $ 10 . 33,33 jam/hari = $333,3
Biaya untuk penyediaan adalah $ 10/jam atau $ 80/hari. Sehingga Total Biaya harian :
Biaya menunggu + Biaya pelayanan $ 333,33 + $ 80,00 = $ 413,33
Melihat hal ini kemudian dilakukan perubahan sistem dengan sistem yang seperti menggunakan conveyor, sehingga diharapkan waktu pelayanan lebih cepat. Untuk ini dikeluarkan biaya sebesar $ 100/hari sebagai biaya pengadaan sistem yang baru. Dengan sistem baru ini, rata-rata unit yang bisa dilayani adalah 15 mobil/hari.
m = 15 mobil/hari
biaya menunggu harian:
$ 10´ 10,67 jam = $106,70 Biaya pelayanan harian = $ 80
Biaya pengadaan sistem yang baru = $ 100 Total biaya = $ 106,70 + $ 80 + $ 100 = $ 286,70 Multiple Channel
Asumsi = asumsi Single Channel l = rata-rata keedatangan m = rata-rata pelayanan
s = jumlah channel
×
= faktor utilitas atrian
Pw = o
Pada kasus perusahaan pencucian mobil (kasus sebelumnya) jika kemudian pemiliknya memilih alternatif lain, yaitu dengan menambah channel yang ada, sehingga dua buah mobil bisa terlayani secara bersamaan.
Penambahan channel berarti: 1. Penambahan tenaga kerja
2. Penambahan satu alat baru (agar membentuk seperti conveyor) 3. Terjadi pengurangan waktu tunggu
Ketiga hal tersebut mempengaruhi biaya-biaya antrian sehingga biaya total untuk sistem baru ini adalah:
1. Biaya menunggu:
= ($ 10/jam) . (0,144jam/hari) . (10 mobil) = $ 14,40
2. Biaya pelayanan:
Jika 1 pekerja = $ 80/hari Jika 2 pekerja = 2 . $ 80/hari
= $ 160/hari
3. Biaya pengadaan alat:
Untuk membeli 1 rangkaian alat = $ 100/hari
Karena membeli 2 buah, memperoleh potongan harga = $ 150/hari Sehingga Total Biaya:
= $ 14,40 + $ 160 + $ 150 = $ 324,40
Ringkasan dari ketiga alternatif:
Single Channel (m = 12)
Single Channel (m = 15)
Multiple Channel (s = 2,m = 12)
Po Lq L Wq W Cost
0,166 4,17 mobil 5 mobil 3,33 jam 8 jam
0,333 1,33 mobil 2 mobil 1,067 jam 1,4 jam
0,142 0,175 mobil 1,01 mobil 0,144 jam 0,808 jam
Biaya menunggu Biaya pelayanan Biaya pengadaan
333,33 80
-106,70 80 100
14,40 160 150
Soal
1. Sebuah transportasi sungai, rata-rata kedatangan sesuai dengan distribusi Poisson yaitu 3 buah/jam. Alat tersebut bergerak kemudian kembali lagi rata-ratanya 15
menit.
2. Kedatangan truk disebuah suupermarket sesuai dengan distribusi Poisson, yaitu 4 truk/jam. Pekerja membongkar muat truk tersebut rata-ratanya 6 truk/jam (sesuai dengan distribusi Eksponensial). Manajer supermarket tersebut berpikiran untuk menambah satu orang pekerja lagi untuk mempercepat bongkar muat truk, dengan harapan ada 12 truk/jam yang bisa dilayani. Biaya tenaga kerja/jam
untuk tiap pekerja adalah $ 10. Biaya menunggu bagi truk adalah $ 20/jam.
