Ali TtphS Barisan and Deret

Oleh:

Ali

Tutupoho,

SE., M.Si.

BARIS DAN DERET

OLEH:

ALI TUTUPOHO, SE., M.SI.

BARIS DAN DERET

Pola dan Barisan Bilangan

Barisan Arimatika dan Barisan Geometri

POLA DAN BARISAN

BILANGAN

Pola Bilangan

Barisan Bilangan

Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu. Misalnya pada kalender terdapat susunan angka" baik

1. Pola Garis Lurus dan Persegi Panjang

Garis Lurus Persegi Panjang

2. Pola persegi

Pola bilangan persegi :: 1 , 4 , 9 , ... merupakan bilangan kuadrat dari bilangan asli . Un= n2

Pola bilangan persegi

panjang :: 2, 6, 12, ...

Un = n(n+1)

3. Pola Segi tiga

(segitiga sama sisi)

Cara 1

Mengikuti pola berikut

CARA 2

Pola bilangan segitiga :: 1,

3, 6, 10, ... Un = n/2 (n+1)

•

Pola kubus terbentuk dari bilangan kubik Un = n

3

4. Pola Kubus

5. Pola bilangan ganjil dan genap

Bilangan kedua dan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua.

• Tetapkan angka 1 sebagai bilangan awal

• Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua

a. Pola bilangan ganjil

b. Pola bilangan genap

• Tetapkan angka 2 sebagai bilangan awal

• Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua

6. Pola Bilangan Segitiga Pascal

Jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2 n-1

9. Pola Bilangan Fibonaci

1 1 2 3 5 8 . . .

+

+

+

+

•

Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang telah

diurutkan menurut suatu aturan tertentu.

Barisan Bilangan

Barisan bilangan biasanya ditulis :

U_1, U_2,`U_{3, . . . . ,} U_n

Dengan

U

n adalah suku ke – n dan n = 1,2,3, . . .

Contoh : Barisan 0,2,4 berarti U₁

_{= 0}

_, U₂

_{= 2}

_, U_{3 = 4}

(menambahkan 2 pada suku sebelumnya)

•

Contoh:

•

Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan

bilangan 2, 5, 8, 11, . . .

1. Menentukan Suku Berikutnya Suatu Barisan Bilangan

U

_n

=

f

(n)

2. Menentukan Suku Ke-n Suatu Barisan Bilangan

Pola tingkat satu satu

barisan

bilangan berselisih tetap

Pola tingkat satu satu barisan

bilangan berasio tetap

Pola tingkat dua satu barisan

bilangan berselisih tetap

Contoh :

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan ganjil.

Pola tingkat satu satu

barisan

bilangan berselisih tetap (b)

U₁ U₂ U₃ U₄ U_n =?

+b +b +b

Barisan bilangan ganjil

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap

U₁ U₂ U₃ U₄ U_n =?

x r x r x r Un = rn x U1/r

Contoh :

Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan (1, 10, 100, 1000, . . . U_n )

Tahapan pertama dengan r=10

Rumus suku ke-n : U_n = 10n _{x 1/10 = 10}n -1

1 10 100 1000 U_n =?

x10 x10 x10

Suku ke-n dari barisan bilangan berselisih tetap pada pola tingkat dua diberikan formula berikut :

U_n = b/2 . n (n-1) + c

Dengan c = Suku ke-n barisan bilangan pola b = Selisih tetap

Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap

Tuliskan suku ke-n dari barisan bilangan (3,6, 10, 15, 21, . . . ) Jawab:

3 6 10 15 21

+3 +4 +5 +6

+1 +1 +1

pola tingkat2, dengan b=1

Menentukan c yang berupa barisan bilangan yang

berpola tingkat satu

Barisan:

3

5

7

9 11

Pola tingkat 1, b= 2

+2 +2 +2 +2

C= 2n + (U

₁

- b) = 2n+(3-2)= 2n +1

Barisan Arimatika atau Barisan

Hitung

Barisan Aretmatika

barisan bilangan yang tiap sukunya

diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu

bilangan tetap

Perhatikan baarisan U₁, U₂, U₃, . . . .,U_n-1, U_n. Dari definisi di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut :

Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus beda dapat di uraikan sebagai berikut :

U₂ = U₁ + b => b = U₂ - U₁

Dengan melihat nili b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun.

Contoh:

Tentukan suku ke sepuluh ( U₁₀ ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis barisan aritmetika tersebut.

a. 1, 3, 5, 7,. . . . b. 4, 2, 0, -2,. . . Jawab :

Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U₁₀ ) dari masing-masing barisan aritmetika.

a. Barisan 1, 3, 5, 7 . . .

berdasarkan rumus U_n = U₁ + (n – 1) . b diperoleh .. U₁ = 1 U₂ = 3 U₃ = 5 b = U₂ - U₁ = 2 b = U₃ - U_{2 =} 2 b = U₄ - U₃ = 2

karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik. U₁₀ = U₁ (10 - 1) . b

U₁₀ = 1 + 9 . 2 = 19

b. Barisan 4, 2, 0, -2, . .

U₁ = 4 ; U₂ = 2 ; U₃ = 0 ; U₄ = -2

b = U₂ - U₁ = - 2 ; b = U₃ - U_{2 =} -2 ; b = U₄ - U₃ = - 2

karena b = - 2 < 0 barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus U_n = U₁ (n - 1) . b

U₁₀ = 4 + (9 . (- 2) ) = - 14

Barisan Geometri atau Barisan

Ukur

Barisan Geometri

barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu

Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun.

Bila r > 1 maka barisan geometri naik.

Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun.

Contoh :

a. Tentukan suku ke delapan dari barisan geometri :

Jawab: a.

Jadi, suku kedelapan dari barisan geometri diatas adalah 729 b.

Jadi, suku ke-n dari barisan geometri di atas adalah

Deret Aritmetika atau Deret

Hitung

Deret bilangan jumlah yang ditunjuk untuk suku-_{suku dari suatu barisan bilangan}

Bentuk umum:

Deret aritmetika jumlah suku yang ditunjukkan oleh _{barisan aritmetika}

Deret aritmetika

Rumus n suku pertama deret aritmetika:

Deret Geometri atau Deret Ukur

Deret geometri jumlah suku-suku yang ditunjuk _{oleh barisan geometri}

Barisan geometri:

Deret geometri:

Rumus n suku pertama deret geometri:

Sifat Dasar Deret Aritmetika

Selain kedua sifat di atas dapat pula kita turunkan beberapa sifat dari deret aritmatika yang lain.

Perhatikan kembali formula suku ke-n berikut ini :

Dengan formula di atas dapat disusun kembali formula baru yang menyatakan hubungan antara suatu suku dengan suku yang lainnya.

Memo

Secara umum dapat dituliskan:

Sift Dasar Deret Geometri

Selain kedua sifat di atas dapat juga kita menemukan sifat-sifat yang lain dari deret geometri.

Perhatikan U_n = arn-1

Dengan formula itu didapat:

U₁₀ = ar9

Secara umum di tuliskan:



Wilson Simangunsong.

Mate matika un t uk SMP Ke las I X

_.

Erlangga

DAFTAR PUSTAKA