JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 2, 57-64, Agustus 2002, ISSN :

FORMULASI VARIASIONAL DAN PENYELESAIAN DARI MASALAH SYARAT BATAS DARI PERSAMAAN ORDER DUA

Sutrima

Jurusan Matematika FMIPA UNS Abstract

The purpose of this research is to investigate solutions of boundary value problems of second-roder differential operator by variational methods. Using variational formulation of the problems, existence of solutions of boundary value problems of second-order differential operator can be obtained.

Key words : Boundary problems, differential operator, variational methods.

1. PENDAHULUAN

Banyak permasalahan-permasalahan praktis dalam kehidupan nyata yang dapat diformulasikan ke dalam model matematika, khususnya Persamaan Diferensial (PD). Misalnya masalah yang dapat dimodelkan menjadi PD

, 0 d du p q u f x L dx dx   −  + = < <   (1) dengan p fungi yang mempunyai turunan kontinu, q fungsi kontinu, dan f fungsi yang diketahui. Misalkan dari masalah (1) dilengkapi masalah syarat batas Dirichlet u(0)=0 dan u(L)=0.

Metode variasional merupakan salah satu metode yang efektif dalam analisis fungsional untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operator positif pada ruang Hilbert. Metode variasional ini didasarkan kepada minimisasi dari fungsional kuadratik terkait dari masalah yang diberikan.

Perhatikan masalah kontinu

Au= f pada Ω (2) dengan A operator diferensial linear pada DA dalam ruang Hilbert H .

Dalam penerapannya metode variasional lebih mudah diterapkan pada persamaan (1) dengan A operator yang simetris. Operator A pada domain DA

dikatakan simetris jika Au,v = u,Av untuk semua u v, ∈D_A. Sedangkan operator A dikatakan positif pada DA, jika Au,u ≥0, dan Au,u =0 jika dan

hanya jika u =0. Operator A dikatakan definit positif pada D_A jika dapat dicari suatu konstanta α >0 sehingga Au,u ≥α u 2. Terakhir, operator A pada suatu ruang bernorma dikatakan terbatas jika dapat dicari konstanta α >0 sehingga

Au ≤

α

u , untuk setiap u.

Jika A operator linear positif pada ruang Hilbert H maka dari (1) dapat dibentuk suatu fungsional kuadratik

u f u u B u f u Au u J , 2 ) , ( , 2 , ) ( − = − = (3)

dengan B:H ×H →R fungsi bilinear yang simetris. Vektor u meminimumkan fungsional kuadratik (2) jika dan hanya jika u memenuhi persamaan

v f v

Au, = , untuk setiap _v∈

atau dapat ditulis dengan ( , ) ,

B u v =< f v>_H untuk setiap _v∈ ₍₄₎

Bader [2001]. Bentuk terakhir inilah yang sering disebut sebagai formulasi variasional dari masalah (1). Dengan ide formula ini akan ditentukan penyelesaian masalah syarat batas (1).

2. HASIL DAN PEMBAHASAN

Dengan mendefinisikan operator A d p d q

dx dx

 

≡ −  +

  , maka masalah (1) dapat dipandang sebagai masalah kontinu (2). Dalam hal ini diambil pada

) , 0 ( L =

Ω dan f ∈ =L2(Ω) dengan hasilkali dalam pada didefinisikan

sebagai

∫

= L dx uv v u 0 , ∈ ⊆ →

{

∈ 2(Ω); (0)= ( ) =0

}

= u C u u L

DA .

Sedangkan ruang energi yang bersesuaian dengan DA adalah

{

∈ 1(Ω); (0)= ( )=0

}

= 1₀(Ω)

=

_{u u u L}

A

Akan dibuktikan operator ini adalah operator linear simetri dan definit positif pada D_A.

Lemma 1.

Operator diferensial A adalah operator linear, simetri dan positif pada D_A. Bukti. Ambil sebarang u,v∈D_A dan α_,β∈_,

∫

+ +      ₊ − = + L dx v u q v u dx d p dx d v u A 0 )) ( ) ( ( ) (

α

β

α

β

α

β

qu dx dx du p dx d L ) ( 0 +       − =

α

_∫

+ qu dx dx du p dx d L ) ( 0 +       −

∫

β

=α(Au)+β(Av).

Hal ini menyatakan bahwa operator A linear.

Untuk sebarang u,v∈D_A, dengan integral parsial dan penerapan syarat batas diperoleh dx v qu dx du p dx d v Au L ) ( , 0 +       − = > <

_∫

quv dx dx dv dx du p L

∫

      ₊ = 0 . Sedangkan dx qv dx dv p dx d u Av u L ) ( , 0 +       − = > <

_∫

dx quv dx dv dx du p L

∫

      ₊ = 0 _.

Dengan demikian operator A simetri. Selanjutnya,

0 2 2 0 0 2 2 0 , [ ] ( ) ( ) . L L L L d du Au u p q u u dx dx dx du du p q u dx u p dx dx du p q u dx dx   < > = − _{ }+         =   + −          =   +  

∫

∫

∫

Karena 2 2 0 du p q u dx   _{+ ≥}     , maka berlaku 2 2 0 , ( ) 0 L du Au u p q u dx dx   < > = _{ } + ≥  

∫

.

Lebih lanjut, karena p≠0, maka< Au u, > =0 jika dan hanya jika u=0. Oleh karena itu operator A positif pada D_A.

Fungsional kuadratik J(u) yang bersesuaian dengan (3) pada D_A yang berkaitan dengan masalah syarat batas adalah

J(u)=< Au,u> −2< f,u > dx fu qu dx du p L

∫

      − +       = 0 2 2 2 (5) untuk semua u∈DA. Sehingga dengan prinsip minimisasi fungsional kudratik

untuk masalah variasional dapat ditentukan eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari masalah (1).

Teorema 2.

Fungsional kuadratik (5) mencapai minimum di u0∈DA jika dan hanya jika u 0

penyelesaian dari (1).

Bukti. (⇐) Misalkan u penyelesaian dari (1) dalam₀ D_A. Dengan

men-subtitusikan 0 ₀ qu dx du p dx d f +      − = ke dalam (5) diperoleh dx qu dx du p dx d u qu dx du p u J L

∫

             +       + +       = 0 0 0 2 2 2 ) ( q u u u dx dx du dx du dx du p L

∫

     + +     −       = 0 2 0 2 ) 2 ( 2

∫

 +

∫

+      − ≤ L L dx u u u q dx dx du dx du p 0 0 2 2 0 0 ) 2 ( .

Dari kondisi terakhir terlihat bahwa J(u) akan mencapai minimum pada D_A jika dan hanya jika − =0

dx du dx

du 0

di dalam DA. Karena u dan u memenuhi syarat 0

batas yang ditentukan, maka u−u0∈DA. Dengan kata lain J(u) mencapai

minimum di u =u₀.

(⇒) Sebaliknya, misalkan J(u) mencapai minimum di u0∈DA. Ambil

sebarangv∈DA dan bilangan real

α

. Sehingga dengan kondisi minimum

diperoleh 0 0 ) ( 0 = + = α α α J u v d d dx v f qu dx dv dx du p dx fu qu dx du p d d L L

∫

∫

      − + +              − + = 0 0 0 0 0 2 0 2 0 ) ( 2 2 ) (

α

α

0 0 2 2 2 ) ( =              ₊ +

_∫

α

α

qv dx dx dv p L qu f v dx dx dv dx du p L

∫

      − + = 0 0 0 ) ( 2 qu f vdx dx du p dx d L

∫

      − +       − = 0 0 0 2 =2< Au₀− f,v >.

Karena berlaku untuk setiap v∈DA, maka menurut Lemma 3.2 [Reddy, 1986]

0

0 − f =

Au atau Au₀ = f . Dengan kata lain u adalah penyelesaian dari (1). ₀ Sejalan dengan Teorema 4.5[Rddy, 1986], maka Teorema 2 dapat diperluas untuk domain D_A menjadi ruang energi _{A. Dengan demikian untuk}

terjamin ada di dalam A. Eksistensi penyelesaian u dari fungsional 0 J(u)pada

A

_{adalah tunggal. Hal ini dijamin oleh Teorema 4.1, [Reddy, 1984].}

Selanjutnya akan dibahas tentang eksistensi penyelesaian dari masalah nilai eigen

f u

Au−λ = , (6) dengan w fungsi nonnegatif kontinu pada Ω. Dalam kasus ini diambil syarat batas Dirichlet seperti syarat batas untuk (1).

Perhatikan kembali formulasi variasional dari masalah (1), > =<v f u v B( , ) , untuk semua v∈ _{A. (7)} dengan qvu dx dx du dx dv p u v

B( , )=

∫

( + ) . Dalam hal ini jelas bahwa A adalah

ruang bagian dari 1(Ω)_{. Karena p fungsi positif, maka untuk sebarang}

A u∈ _,

∫

      +       = L qu dx dx du p u u B 0 2 2 ) , ( 2 0 2 u c dx u c L = ≥

_∫

,

dengan c batas bawah dari q pada Ω=( L0, ). Hal ini mengatakan bahwa bentuk bilinear B( uv, ) adalah eliptik- _{A. Akibatnya dengan Teorema 5.6 (Reddy,}

1986), masalah variasional (7) mempunyai penyelesaian tunggal u dan terdapat konstanta k >0 yang tidak bergantung kepada u dan _f ∈ _sehingga

f k

u _A ≤ . (8) Dengan demikian untuk setiap _f ∈ _{berkorespondensi dengan satu}

penyelesaian variasional u∈ A. Oleh karena itu dapat didefinisikan operator

linear ter-batas T : → A sehingga

Tf

u = . (9) Dengan menggunakan (7) dan (8) diperoleh

> =<v f Tf

v

f k

Tf ≤ . (10) Selanjutnya akan dibahas sifat dari T apabila T_{: A} ⊆ → _{A. Masalah}

variasional berkaitan dengan (6) adalah mencari u∈ _{A sehingga}

> < = > < − v u v f u v B( , ) λ , , . (11)

untuk setiap v∈ A. Dalam hal ini B( uv, ) simetri dan dan eliptik- A. Masalah

nilai eigen dari bentuk bilinear B( uv, ) adalah mencari bilangan λ ≠0 dan fungsi tak nol u∈ _{A sehingga}

0 , ) , (v u − <v u>= B λ , (12) unutuk setiap v∈ _A. Teorema 3.

Fungsi u∈ _{A adalah penyelesaian variasional dari masalah (11) jika dan}

hanya jika

Tf Tu u−λ = .

Bilangan λ adalah nilai eigen dari bentuk bilinear B(v,u) dan fungsi u ≠0 adalah fungsi eigen yang bersesuaian jika dan hanya jika

0 = − Tu u λ dipenuhi dalam A. Bukti.

Jika u adalah penyelesaian variasional dari masalah (11), maka > + < = v f u u v B( , ) , λ .

Dengan definisi dari operator T [lihat (7) dan (9)] diperoleh )

(f u T

u = +λ atau u−λTu =Tf . Untuk sebaliknya jelas.

Jika masalah (12) mempunyai penyelesaian non trivial, maka berlaku > < = v u u v B( , ) ,λ . Dari definisi operator T dipenuhi

Tu u

T

u = (λ )=λ .

Sebaliknya, jika kesamaan terakhir dipenuhi, maka masalah (2) mempunyai penyelesaian non trivial.

4. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dari yang telah diuraikan bahwa eksistensi penyelesaian masalah syarat batas (1) dan masalah nilai eigen (6) dapat ditentukan dengan metode variasional.

5. UCAPAN TERIMA KASIH

Artikel ini adalah sebagain dari hasil penelitian hibah dari Proyek DUE UNS Tahun 2001. Untuk itu peneliti mengucapkan terima kasih kepada Proyek DUE UNS atas dana yang dipercayakan kepada peneliti.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bader, Mathias, Energy Minimization Methods for Feature Displacements in Map Generalization, Dissertation zur Erlanggung der naturwissenschaftlichen Doktorwurde vorgelegtde Mathemathisch-naturwissenschaftlichen Fakultat der Universitat Zurich, Zurich, 2001

2. Reddy J. N, An Introduction to The Finite Element Method, McGraw-Hill Inc, New York, 1984.

3. Reddy J. N, Applied Functional Analysis and Variational Method in Engineering, McGraw-Hill Inc, Singapore, 1986.