TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #9 Ganjil 2015/2016 TIN102 PENGANTAR TEKNIK INDUSTRI

(1)

6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d

TIN102 – PENGANTAR TEKNIK INDUSTRI Materi #9 h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Pendahuluan

Pengembangan model matematis

dari suatu sistem dunia nyata,

menemukan

beberapa

elemen

penting adalah acak dan tidak dapat

diabaikan variasinya.

Sehingga, perlu beralih pada model

penelitian operasional yang bersifat

probabilistik.

(2)

h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Gambar Konsep Dasar

Calling

Population QUEUE Service Facility Queuing System

Materi #9 Ganjil 2015/2016 TIN102 - Pengantar Teknik Industri

3 h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Konsep Dasar



Teori antrian adalah studi mengenai jalur-jalur

penantian.



Suatu jalur penantian, atau antrian, akan muncul

bilamana fasilitas pelayanan tidak selalu dapat

memenuhi permintaan yang terjadi.



Tujuannya adalah menentukan jumlah fasilitas

pelayanan yang akan memberikan besaran biaya

yang minimum.



Klasifikasi: Pelayan Tunggal vs. Multi Pelayan.



Kriteria performansi: LS ; LQ ; WS ; WQ

(3)

Definisi



Analisis antrian

►►

merupakan bentuk analisis

probabilitas.



Hasil dari analisis antrian

►►

karakteristik

operasional

►►

merupakan nilai rata-rata dari

karakteristik yang menggambarkan kinerja

suatu sistem antrian.



Hasil karakteristik operasional

►►

statistik

operasi

►►

dapat digunakan untuk mengambil

putusan dalam suatu operasi yang mengandung

masalah antrian.

Model Antrian

Sistem pelayanan tunggal (single-server system). Merupakan bentuk paling

sederhana dari sistem antrian. Dalam sistem ini,

kombinasi antara mesin kas dan tempat kasir disebut server (fasilitas

pelayanan) dan para pelanggan yang menunggu

giliran yang membentuk suatu baris disebut waiting

line atau antrian (queue).

Sistem pelayanan multiple (multiple-server system).

Adalah baris antrian tunggal yang dilayani oleh

lebih dari satu pelayan. Contoh penerapan sistem

ini terdapat pada bank yang ada bagian tertentu

menangani pertanyaan-pertanyaan atau pengaduan-pengaduan dari

customer.

(4)

Komponen Model Antrian

...(1/3)



Satu saluran banyak tahap



Satu saluran satu tahap

Materi #9 Ganjil 2015/2016

7

TIN102 - Pengantar Teknik Industri

Antrian Server (fasilitas pelayanan) Antrian Server (fasilitas pelayanan)

Komponen Model Antrian

...(2/3)



Banyak saluran satu tahap

8

(5)

Komponen Model Antrian

...(3/3)



Banyak saluran banyak tahap

9

Antrian Server (fasilitas pelayanan)

Faktor-faktor Analisis Antrian

 Disiplin antrian

 Urutan di mana para pelanggan yang menunggu

dilayani.

 Populasi pelanggan

 Sumber pelanggan yang mungkin terbatas atau tidak

terbatas.

 Tingkat kedatangan

 Frekuensi pelanggan datang dalam antrian berdasarkan

suatu distribusi probabilitas.

 Tingkat pelayanan

 Jumlah rata-rata pelanggan yang dapat dilayani selama

suatu periode tertentu.

(6)

Sistem Antrian Pelayanan Tunggal



Memiliki karakteristik sebagai berikut:

Populasi pelanggan yang tidak terbatas.

Disiplin antrian “pertama datang, pertama dilayani”. Tingkat kedatangan Poisson.

Waktu pelayanan eksponensial.



Dengan karakteristik di atas, dan asumsi bahwa:

λ < µ ; dimana: λ = tingkat kedatangan

µ = tingkat pelayanan



Berlaku formula sebagai berikut:

Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam suatu sistem antrian (baik sedang dalam antrian maupun sedang dilayani)

Probabilitas terdapat n pelanggan dalam suatu sistem antrian

Rata-rata jumlah pelanggan dalam suatu sistem antrian

Rata-rata jumlah pelanggan yang berada dalam baris antrian

Formula Sistem Antrian Pelayanan Tunggal

...(1/2)

12       _  μ λ 1 P_o o n n _μλ P P _       



μ λ



λ L  



μ λ



μ λ L 2 q  _

(7)

Waktu rata-rata dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistem antrian (yaitu, waktu menunggu dan dilayani)

Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antrian sampai dilayani

Probabilitas bahwa pelayan sedang sibuk (yaitu, probabilitas seorang pelanggan harus menunggu), dikenal dengan faktor utilisasi

Probabilitas bahwa pelayan menganggur

Formula Sistem Antrian Pelayanan Tunggal

...(2/2)

13 λ L λ μ 1 W   



μ λ



μ λ W_q  

μ

λ

P

_w  U 1 I   o P μ λ 1    h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Sistem Antrian Pelayanan Multiple

 Formula antrian untuk sistem pelayanan multiple dikembangkan

berdasarkan asumsi:

 Disiplin antrian pertama datang pertama dilayani.  Kedatangan Poisson.

 Waktu pelayanan eksponensial.  Populasi yang tidak terbatas.

 Parameter model pelayanan multiple adalah sebagai berikut  λ = tingkat kedatangan

 μ = tingkat pelayanan

 c = jumlah pelayan

 cμ = rata-rata pelayanan efektif sistem tersebut, dimana nilainya harus melebihi tingkat kedatangan (cμ > λ).

(8)

Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam sistem antrian

Probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem antrian

;

Formula Sistem Antrian Pelayanan Multiple

...(1/3)

15





























































  

cμ

λ

cμ

μ

λ

c!

1 μ

λ

n!

1

1 P

c n 1 c n 0 n o c n untuk P μ λ 1 P _o n c n n

c

c!

        _ c n untuk P μ λ n 1 P _o n n         h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem antrian tersebut

Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem antrian

Jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem antrian

Formula Sistem Antrian Pelayanan Multiple

...(2/3)

16



 



















P

_o

2 c

!

1 c

)

(

c

L

λ

L

W



μ

λ

L

_q





(9)

Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam antrian menunggu untuk dilayani

Probabilitas seorang pelanggan yang datang dalam sistem tersebut harus menunggu untuk dilayani

Formula Sistem Antrian Pelayanan Multiple

...(3/3)

17 λ L μ 1 W W_q    q o c w

P

c

!

c

1 P











_











Dalam formula di atas jika c=1 (yaitu, terdapat satu pelayan), maka formula tersebut menjadi pelayanan tunggal.

Contoh Kasus

Petugas pelayanan pinjaman pada sebuah bank mewawancara seluruh nasabah yang ingin membuka rekening pinjaman baru. Tingkat kedatangan para nasabah tersebut adalah 4 nasabah per jam berdasarkan distribusi Poisson, dan petugas rekening tersebut menghabiskan waktu rata-rata 12 menit untuk setiap nasabah yang ingin membuka rekening baru.

A. Tentukan karakteristik operasi (P_o ; L ; L_q ; W ; W_q ; dan P_w) untuk sistem ini.

B. Tambahkan seorang petugas baru pada sistem tersebut, sehingga sekarang menjadi sistem antrian pelayanan multiple dengan dua saluran dan tentukan karakteristik operasi yang diminta pada bagian A.

(10)

Jawaban A

...(1/2)

 Karakteristik operasi untuk sistem pelayanan tunggal

λ = 4 nasabah per jam kedatangan μ = 5 nasabah per jam yang dilayani

 Probabilitas tidak adanya nasabah dalam sistem

 Jumlah nasabah rata-rata dalam sistem antrian

 Jumlah nasabah rata-rata dalam baris antrian

19 0.20 5 4 1 µ λ 1 P_o                _  2 . 3 ) 4 ) L 4 2 2 q _  _  (5 5 (µ µ   4 4 4 L      ) (5 ) (µ   h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Jawaban A

...(2/2)

 Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam

keseluruhan sistem antrian

 Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu

dalam antrian sampai dilayani

 Probabilitas petugas rekening baru akan sibuk dan nasabah harus

menunggu 20 menit 48 jam 0.8       ) 4 5 ( 5 4 ) ( W_q     8 . 0 5 4 P_w     jam µ 5 4 1 1 1 W      

(11)

Jawaban B

...(1/2)

 Karakteristik operasi untuk sistem pelayanan multipel

 λ = 4 nasabah per jam kedatangan ; μ = 5 nasabah per jam yang

dilayani ; c = 2 petugas yang datang

 Probabilitas tidak adanya nasabah dalam sistem

 Jumlah nasabah rata-rata dalam sistem antrian

21 429 . 0 4 5 . 2 5 . 2 5 4 ! 2 1 5 4 ! 1 1 5 4 ! 0 1 1 c c ! c 1 ! n 1 1 P 1 1 0 c n 1 c n 0 n o                                                                                   952 . 0 5 4 429 . 0 2 4 5 . 2 ! 1 ) 5 / 4 ( 2 5 . 4 P 2 c ! 1 c ) / ( c L _o                h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Jawaban B

...(2/2)

 Jumlah nasabah rata-rata dalam baris antrian

 Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistem antrian

 Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antrian sampai dilayani 22 152 . 0 5 4 952 . 0 L Lq  _     jam 0.238 4 952 . 0 L W    jam 0.038 4 152 . 0 L W_q q    229 . 0 429 . 0 4 5 . 2 5 . 2 ! 2 1 P c c ! c 1 P 5 4 2 o c w _   _                 

 Probabilitas petugas rekening baru akan sibuk dan nasabah harus menunggu

(12)

Latihan

1. Restoran cepat saji mempunyai loket drive-through. Pelanggan dalam mobil datang rata-rata 10 orang per jam. Dibutuhkan rata-rata 4 menit untuk menerima dan mencatat pesanan. Restoran mempunyai target penyiapan pesanan 3 menit. Apakah sistem saat ini dapat mencapai target tersebut?

2. Sebuah toserba memiliki 3 pramuniaga dengan 10 pelanggan datang per jamnya dan tiap pramuniaga dapat melayani 4 pelanggan per jam. Tentukan probabilitas tidak adanya pelanggan yang akan dilayani dan jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani oleh tiap pramuniaga.

Jawaban Latihan 1



λ = 10



μ = 15



Karena W

_q

lebih besar dari target 3 menit,

maka sistem tersebut tidak dapat mencapai

target.

24

menit

8 10)

15(15

10 λ)

μ(μ

λ

W

_q











(13)

Jawaban Latihan 2

…(1/2) 

c = 3 pramuniaga



λ = 10 pelanggan per jam



μ = 4 pelanggan per jam

25 0.45 10 3.4 3.4 4 10 3! 1 4 10 2! 1 4 10 1! 1 4 10 0! 1 1 λ cμ cμ μ λ c! 1 μ λ n! 1 1 P 3 2 1 0 c n 1 c n 0 n o                                                                             h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Jawaban Latihan 2

…(2/2)



Jadi probabilitas tidak adanya pelanggan yang

akan dilayani = 0.45



Jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani oleh tiap

pramuniaga = 6

26



 







4 6 10 0.045 2 10 3.4 1)! (3 (10/4)3 10.4 μ λ P 2 λ cμ ! 1 c ) ( c λμ L 0           

(14)

66 23 - Ta uf iqu r R ac hman Materi #9 Ganjil 2015/2016 TIN102 - Pengantar Teknik Industri