BAB I
PENDAHULUAN
1.1 PENGERTIAN ISTILAH STATISTIK DAN STATISTIKA
Banyak sekali definisi tentang statistik, ini disebabkan karena luasnya ruang lingkup statistik. Untuk keperluan praktis, statistik dapat diartikan secara sempit dan luas.
Dalam arti sempit, statistik mempunyai fungsi menyajikan data tertentu dalam bentuk table dan diagram, statistik ini termasuk statistik deskriptif. Statistik deskriptif ialah susunan angka yang memberikan gambaran tentang data yang disajikan dalam bentuk table, diagram, histogram, poligon frekuensi, ogivve, ukuran penempatan (median, kuartil, desil dan persentil), ukuran gejala pusat (rata hitung, rata ukur, rata-rata harmonik dan modus), simpangan baku, kurva normal, korealsi dan regresi linear.
Dalam arti luas, statistik berarti salah satu alat untuk mengumpukan data, mengolah data, menyajikan data. Menganalisa data, menarik kesimpulan dan membuat keputusan berdasarkan analisis data yang dikumpulkan. Statistik dalam arti luas ini disebut juga dengan istilah
statistika ( statistics, statistik inferensial, statistik induktif, statistik probabilitas).
1.2 PERANAN STATISTIK
Sejak dahulu statistika telah digunaka, dalam bidang biologi, farmasi, geologi, industri, kedokteran, pendidikan, psikologi, sosiologi, teknik danlain-lain. Dunia penelitian atau riset dimanapun telah memanfaatkan dan bahkan harus menggunakan statistik untuk mendapatkan hasil yang diharapkan. Karena begitu meluasnya penggunaan statistika maka di bidang teknik
sebagai engineering tools yang dapat dipercaya. Disini statistika sebagai alat diantaranya :
1. Pengumpulan data yang baik baik secara poplasi maupun sampel. 2. Pengolahan data atau analisa data.
3. Penyajian data baik dalam bentuk laporan manajemen maupun teknis. 4. pengambilan keputusan atau perencanaan
5. evaluasi atau Pengawasan antara data yang dilaporkan dengan penyimpangan di lapangan
6. Melakukan pemecahan masalah teknis maupun manajerial.
1.3 RANGKUMAN
Statistik deskriptif ialah susunan angka yang memberikan gambaran tentang data yang disajikan dalam bentuk table, diagram, histogram, poligon frekuensi, ogivve, ukuran penempatan (median, kuartil, desil dan persentil), ukuran gejala pusat (rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonik dan modus), simpangan baku, kurva normal, korealsi dan regresi linear.
Statistika induktif ialah salah satu alat untuk mengumpukan data, mengolah data, menyajikan. menganalisa data, menarik kesimpulan dan membuat keputusan berdasarkan analisis data yang dikumpulkan
1.4 SOAL-SOAL
1. Apa pengertian statistik dalam arti sempit dan dalam arti luas ? 2. Apa perbedaaan statistik dan statistika.?
3. Mengapa kita perlu statistic ?
4. Bagaimana peranan statistik dalam bidang teknik terutama teknik sipil? 5. Apa yang dimaksud dengn statistik deskriptif dan statistik induktif ?
BAB II
PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA
Untuk mendapatkan kumpulan data yang baik dan mencakup seluruh unit yang menjadi objek penelitian maka data statistik harus dapat dipercaya dan tepat waktu, sehingga informasi yang dikumpulkan sesuai dengan keadaan sebenarnya dan dengan metode serta cara yang tepat. Hal-hal yang perlu diperahatikan sebelum data dikumpulkan adalah sebagai berikut :1. Harus diketahui untuk apa data itu dikumpulkan.
2. Harus diketahui jenis elemen atau objek yang akan diselidiki.
Elemen adalah unit terkecil dari objek penelitian, misalnya orang, organisasi atau badan usaha, barang dan lain-lain.
Tujuan darI pengumpulan data adalah untuk mengetahui jumlah elemen dan karakteristik elemen tersebut.
Karakteristik adalah sifat-sifat, ciri-ciri atau hal-hal yang dimiliki oleh elemen-elemen, yaitu semua keterangan mengenai elemen. Nilai karakteristik suatu elemen berupa nilai variabel. Untuk menunjukkan suatu variable dipergunakan huruf misalnya: X, Y, Z dan sebagainya.
Contoh :
3 perusahaan dengan X = modal perusahaan dalam jutaan rupiah, di mana X1 = 5, X2 = 7, X3 = 4, berarti perusahaan pertama mempunyai modal Rp 5
juta, perusahaan kedua Rp 7 juta, perusahaan ketiga Rp 4 juta.
2.1. POPULASI DAN SAMPEL
Populasi adalah kumpulan elemen baik hasil perhitungan maupun pengukuran, baik kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik dari sekelompok objek yang lengkap dan jelas. Sedangkan sampel adalah sebagian dari populasi yang diambil dengan menggunakan teknik tertentu yang disebut teknik sampling. Data yang diperoleh dari hasil sampling
merupakan data perkiraan (estimate value). Penelitian yang menggunakan seluruh anggota populasinya disebut sampel total atau sensus. Data yang diperoleh sebagai hasil pengolahan sensus disebut data sebenarnya (true value) atau parameter.
Dibandingkan dengan sensus, pengumpulan data dengan cara sampling membutuhkan biaya lebih murah , waktu lebih cepat, tenaga lebih sedikit dan menghasilkan cakupan data yang lebih banyak serta terperinci. Dalam banyak hal pengumpulan data dengan cara sampling lebih disukai dengan pertimbangan biaya, waktu dan penelitian yang bersifat merusak objek.
Jika n adalah jumlah elemen sampel dan N adalah jumlah elemen populasi, maka n<N ( n lebih kecil N).
Gambar 2.1 Hubungan antara Populasi dan sampel 2.2 TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL (TEKNIK SAMPLING)
Statistika terbagi menjadi dua yaitu statistik deskriptif dan statistik induktif (inferensial).Statistika deskriptif dikerjakan untuk mendapatkan statistika induktif. Statistika induktif berusaha menyimpulkan tentang karakteristik populasi berdasarkan sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan dengan menggunakan metode atau cara tertentu.
Untuk mendapatkan kesimpulan yang dapat dipertanggungjawabkan haruslah dicari cara-cara yang benar termasuk cara-cara pengambilan
Populasi yang karakteristiknya ingin
diketahui (N)
Sambel diambil dari populasi dan dianalisis (n)
Kesimpulan dibuat diharapkan berlaku untuk populasi
Data diskrit yaitu data yang diperoleh dari hasil menghitung atau membilang. Data kontinu yaitu data yang diperoleh dari hasil pengukuran.
sampel atau sampling. Kriteria yang perlu diperhatikan dalam pengambilan sampel adalah sebagai berkut :
1. Jelas daerah generalisasinya.
2. Batas-batas yang tegas tentang sifat-sifat populasi (karakteristiknya). 3. Sumber-sumber informasi tentang populasi.
4. Rumusan persoalan yang akan diteliti.
5. Keterangan mengenai populasi yang akan diteliti.
6. Teknik sampling dan besar anggota sampel yang sesuai dengan tujuan penelitian.
7. Definisi unit-unit, istilah yang diperlukan. 8. Unit sampling yang diperlukan
9. Skala pengukuran yang akan dipergunakan
10. Keterangan yang ada kaitannya dengan permasalahan yang akan dibahas
11. Ukuran sampel yang akan dianalisis 12. Prosedur sampling yang akan digunakan.
13. Teknik pengumpulan data yang akan dipergunakan 14. Metode analisis yang akan digunakan.
15. Sarana dan prasarana yang diperlukan untuk penelitian.
Alasan mengapa populasi tidak dapat dilakukan sehingga digunakan sampel :
1. Ukuran populasi
Karena ukuran populasi terlalu besar, obyek terlalu banyak sehingga sulit melakukan penelitian terhadap populasi tersebut.
2. Masalah biaya
Makin banyak obyek yang diteliti maka makin banyak biaya yang dikeluarkan.
Sensus memerlukan waktu yang lebih lama dibandingkan sampling. 4. Penelitian yang sifatnya merusak
Jika penelitian terhadap obyek sifatnya merusak, maka sampling harus digunakan.
5. Masalah ketelitian
Makin banyak obyek yang diteliti maka makin kurang ketelitiannya, sebaliknya jika jumlah obyek lebih sedikit.
6. Faktor ekonomis. Kegunaan dari hasil penelitian sepadan apa tidak dengan biaya, waktu, dan tenaga yang dikeluarkan. Jika tidak, maka tidak perlu penelitian dilakukan terhadap sensus.
Pada dasarnya cara pengambilan sampel ada dua cara yaitu : 1. Cara acak (sampling random)
yaitu cara pengambilan atau pemilihan elemen dari populasi untuk menjadi sampel secara acak sehingga setiap elemen mempunyai kesempatan yang sama (equal chance) untuk dipilih menjadi anggota sampel. Pemilihan dapat dilakukan dengan cara lotre/undian, ordinal atau table bilangan random atau dengan komputer.
Cara ini dianggap objektif, samplingnya disebut probability sampling yaitu semua elemen mempunyai probabilitas (kemungkinan) yang sama untuk dipilih.
2. Cara bukan acak (sampling non random)
yaitu cara pengambilan atau pemilihan elemen dari populasi untuk menjadi sampel dimana setiap elemen tidak mendapat kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi anggota sampel.
Cara ini lebih bersifat subjektif dan samplingnya disebut nonprobability sampling artinya setiap elemen tidak mempunyai probabilitas yang sama untuk dipilih.
2.3 JENIS DATA
Data adalah hasil pencatatan peristiwa atau karakteristik elemen yang dilakukan pada tahap pengumpulan data yang jika diolah dengan baik dapat melahirkan berbagai informasi. Data dapat berupa bilangan (data kuantitatif) dan dapat berupa kategori (data kualitatif).
Data yang berbentuk bilangan atau data kuantitatif menurut nilainya dibagi menjadi dua golongan yaitu :
1. Data diskrit yaitu data yang diperoleh dari hasil menghitung atau membilang.
Contoh : a. Perusahan A mempunyai 5 anak perusahaan
b. PT. Jasa Marga sudah membangun 15 Jalan Tol tahun 2003
2. Data kontinu yaitu data yang diperoleh dari hasil pengukuran
Contoh : a. Luas daerah yang dibebaskan untuk Jalan Tol sebesar
30,5 hektar
b. Kecepatan rata-rata mobil yang melewati Jalan Tol Jagorawi 110 km/jam.
2.4 PEMBULATAN BILANGAN
Seringkali kita menghadapi angka-angka hasil penyelesaian perhitungan analisa atau laporan yang panjang sekali, sehingga menyuilitkan didalam pembacaannya. Oleh karena itu banyak orang yang menghendaki pencatatan data kuantitatif itu dalam bentuk yang paling sederhana. Salah satu cara menyederhanakan data kuantitaif yang panjang itu, ialah dengan cara pembulatan bilangan.
Ada beberapa aturan yang dapat digunakan sebagai pedoman dalam pembulatan bilangan, yaitu :
1. Bila angka terkiri yang harus dihapus adalah 4 atau kurang, maka angka terkanan yang mendahuluinya tidak berubah.
Contoh :
Rp 49.275,42 dibulatkan hingga ribuan rupiah, menjadi Rp 49.000,-. Dalam hal ini angka yang harus dihapus adalah mulai angka 2 ke kanan, maka angka 2 merupakan angka terkiri yang harus dihapus, sedangkan angka yang mendahului angka 2 adalah angka 9.
2. Bila angka terkiri yang harus dihapus lebih besar 5 atau 5 yang diikuti oleh angka bukan nol, maka angka terkanan yang mendahuluinya bertambah dengan satu.
Contoh :
Rp 49.275,42 dibulatkan hingga ratusan rupiah, menjadi Rp 49.300,-. Dalam hal ini angka yang harus dihapus adalah mulai angka 7 ke kanan, maka angka 7 merupakan angka terkiri yang harus dihapus, sedangkan angka 2 merupakan angka terkanan yang mendahului angka 7.
Rp 49.275,42 dibulat kan hingga puluhan rupiah, menjadi Rp 49.280,-. Angka yang harus dihapus adalah mulai angka 5 ke kanan. Angka 5 ini diikuti oleh angka yang bulan nol.
3. Bila angka terkiri yang harus dihapus lebih besar 5 atau angka 5 yang diikuti oleh angka bukan nol, maka terkanan yang mendahuluinya akan tetap jika ia genap dan bertambah satu jika ia ganjil. Aturan ini disebut aturan ”genap terdekat”.
Contoh :
27,50 dibulatkan hingga satuan menjadi 28,00 244,50 dibulatkan hingga satuan menjadi 244,00
Aturan ini dapat pula diambil kebalikannya, yaitu membuat tetap jika ia ganjil dan bertambah satu jika ia genap. Aturan ini disebut aturan ”ganjil terdekat”
Contoh :
27,50 dibulatkan hingga satuan menjadi 27,00 244,50 dibulatkan hingga satuan menjadi 245,00
2.5 TEKNIK PENGUMPULAN DATA
Sumber data dibagai menjadi dua yaitu sumber data primer dan sumber data sekunder. Sumber data primer yaitu data yang didapat dari observasi langsung oleh peneliti. Sumber data sekunder yaitu data yang diperoleh melalui wawancara kepada pihak lain tentang obyek atau subyek yang diteliti. Dari kedua sumber data tersebut sumber data primer lebih dapat dipertanggung jawabkan dibandingkan sumber data sekunder.
Teknik –tekniik pengumpulan data dapat dilakukan melalui : 1. Wawancara (Interview)
2. Angket (Questionnary) 3. Pengamatan (Observation) 4. Dokumentasi (Dokumentation) 5. Langsung (Participation)
Bagian yang penting dalam pengumpulan data adalah merancang angket /kuesioner. Kuesioner atau angket adalah satu set pertanyaan yang tersusun secara sistemetis dan standar sehingga pertanyaan yang sama dapat diajukan terhadap responden. Yang dimaksud dengan sistematis adalah bahwa item-item pertanyaan disusun menurut logika sesuai dengan maksud dan tujuan pengumpulan data. Sedangkan standard adalah setiap item pertanyaan mempunyai pengertian, konsep dan definisi yang sama.
2.6 PENGOLAHAN DATA
Secara umum pengolahan data dapat dibedakan menjadi dua yaitu pengolahan ata secara manual (manual data processing) dan pengolahan data secara elektronik (elektronik data processing).
1. Pengolahan data secara manual
Pengolahan data secara manual umumnya dilakukan untuk jumlah observasi yang tidak terlalu banyak karena pengolahan data secara manual memerlukan waktu yang sangat lama.
Contoh :
Volume lalu lintas bulan Desember tahun 2002 Jalan Tol Tangerang Merak untuk Golongan Kendaraan IIA sebagai berikut :
Gerbang Cikupa = 62.060 kendaraan Gerbang Blaraja Timur = 5.058 kendaraan Gerbang Balaraja Barat = 23.103 kendaraan Gerbang Ciujung = 9.380 kendaraan Gerbang Serang Timur = 43.975 kendaraan Gerbang Serang Barat = 5.719 kendaraan Gerbang Cilegon Timur = 18.084 kendaraan Gerbang Cilegon Barat = 6.501 kendaraan Gerbang Merak = 28.504 kendaraan
Tentukan jumlah volume lalu lintas, Rata-rata volume lalu lintas per hari dan persentase gerbang tol yang volume lalu lintasnya kurang dari 10.000 kendaraan di Jalan Tol Tangerang Merak.
Penyelesaian :
Data tersebut dapat diolah secara manual yaitu :
Jumlah volume lalu lintas =62.060+5.058+23.103+…+ 28.504= 202.384 kendaraan
Rata-rata volume lalu lintas per hari= 31
384 . 202
=6.258 kendaraan
Persentase gerbang tol yang volume lalu lintasnya kurang dari 10.000 kendaraan =
9 4
x 100%= 44,44 %
2. Pengolahan data secara elektronik
Pengolahan data secara elektronik dapat dilakukan dengan menggunakan aplikasi komputer dengan program-program yang tersedia, misalnya Microsoft Excel, SPSS, Statgraphics dan lain-lain.
2.7 RANGKUMAN
Elemen adalah unit terkecil dari objek penelitian, misalnya orang, organisasi atau badan usaha, barang dan lain-lain.
Karakteristik adalah sifat-sifat, ciri-ciri atau hal-hal yang dimiliki oleh elemen-elemen, yaitu semua keterangan mengenai elemen. Nilai karakteristik suatu elemen berupa nilai variabel. Untuk menunjukkan suatu variable dipergunakan huruf misalnya: X, Y, Z dan sebagainya.
Populasi adalah kumpulan elemen baik hasil perhitungan maupun pengukuran, baik kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik dari sekelompok objek yang lengkap dan jelas.
Sampel adalah sebagian dari populasi yang diambil dengan menggunakan teknik tertentu yang disebut teknik sampling.
Data adalah hasil pencatatan peristiwa atau karakteristik elemen yang dilakukan pada tahap pengumpulan data yang jika diolah dengan baik dapat melahirkan berbagai informasi.
Populasi adalah kumpulan elemen baik hasil perhitungan maupun pengukuran, baik kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik dari sekelompok objek yang lengkap dan jelas. Sampel adalah sebagian dari populasi
Data diskrit yaitu data yang diperoleh dari hasil menghitung atau membilang. Data kontinu yaitu data yang diperoleh dari hasil pengukuran.
Sumber data dibagai menjadi dua yaitu sumber data primer dan sumber data sekunder.
Sumber data primer yaitu data yang didapat dari observasi langsung oleh peneliti.
Sumber data sekunder yaitu data yang diperoleh melalui wawancara kepada pihak lain tentang obyek atau subyek yang diteliti.
Secara umum pengolahan data dapat dibedakan menjadi dua yaitu pengolahan data secara manual (manual data processing) dan pengolahan data secara elektronik (elektronik data processing).
2.8 SOAL
1. Apa yang dimaksud dengan elemen? Berikan beberapa contoh! 2. Apa yang dimaksud dengan karakteristik? Berikan beberapa contoh! 3. Apa yang dimaksud populasi dan sampel? Berikan contohnya! 4. Apa perbedan antara sensus dan sampling?
5. Apa keuntungan menggunakan metode sampling dibandingkan dengan metode sensus.
6. Sebutkan teknik oengambilan sampel.
7. Apa yang dimaksud dengan data kuantitatif dan data kualitatif?
8. Apa yang dimaksud dengan data deskrit dan data kontinu? Berikan beberapa contoh!
9. Sebutkan jenis sumber data dan jelaskan! 10. Sebutkan teknik-teknik pengumpulan data!
BAB III
DISTRIBUSI FREKUENSI EMPIRIS
Distribusi Frekuensi Empiris adalah suatu daftar yang menunjukkan penggolongan kumpulan data diamana termasuk penentuan berapa bilangan yang termasuk ke dalam setiap golongan tersebut .Tujuan dari penentuan Distribusi Frekuensi adalah untuk menyajikan data dalam bentuk yang lebih teratur dan ringkas sehingga lebih mudah untuk dipahami.
3.1 BAGIAN-BAGIAN DARI DITRIBUSI FREKUENSI 1. Variabel Penyelidikan
Variabel Penyelidikan adalah obyek yang diselidiki
2. Nilai Variabel
Nilai variable adalah nilai masing-masing penyelidikan / pengujian.
Contoh :
Apabila seorang ahli beton mengadakan pengujian tentang kekuatan karakteristik beton dimana untuk mendapatkan kekuatan karakteristik diperlukan nilai masing-masing pengujian beton
Dari contoh diatas yang merupakan :
Variabel penyelidikan adalah pengujian kekuatan karakteristik beton dan Nilai variabel adalah nilai masing-masing pengujian beton
Pada Umumnya Pembuatan Distrbusi Dapat Dibagi 3 Tahap :
1. Menentukan jumlah kelas , guna memasukkan angka-angka.
2. Memasukkan angka-angka ke kelas-kelas yang sesuai serta menghitung frekuensinya.
3. Membuat tabel distribusi frekuensi
Distribusi frekuensi dibagi 2 :
b. Distribusi Frekuensi Bergolong
DISTRBUSI FREKUENSI TUNGGAL (DFT)
Distribusi Frekuensi Tunggal (DFT) adalah suatu pencaran frekuensi yang menunjukkan tidak adanya pengelompokkan nilai variabel.
Contoh :
Variabel Penyelidikan :
Penyelidikan tentang nilai mata kuliah Statistik Semester I
Mahasiswa Jurusan Teknik Sipil Politeknik UI tahun akademik 1993/1994 .
Nilai Variabel :
7 6 6 5 7 6 5 4 6 6 6 5 6 6 6 7 7 5 7 7 7 8 5 6 5 7 6 7 8 5
Dari angka-angak tersebut diatas kita tidak dapat memperoleh gambaran apa-apa. Untuk mendapatkan gambaran dan kesimpulan , kita perlu mengatur angka-angka itu menjadi suatu tabel .
Penyajian dalam bentukDistribusi Frekuensi Tunggal
Nilai Mata Kuliah Statistik Semester I Mahasiswa Jurusan Teknik Sipil Politeknik UI tahun akademik 1993/1994 .
No.( i ) Nilai ( Xi ) Frekuensi ( f i )
1 4 1 2 5 7 3 6 11 4 7 9 5 8 2
5 1 k i fi 30k = banyaknya kelas fi = frekuensi kelas ke i
5 1 k ifi
= jumlah indek = 1 s/d k termasuk frekuensi ke 1 dan ke kDari tabel tersebut diatas kita dapat mengambil kesimpulan bahwa urutan data yang mempunyai frekuensi dari tertinggi ke terendah adalah : 6, 7, 5, 8, 4
Jumlah kolom yang ada pada panel yang ada pada tabel bukan merupakan syarat mutlak, jumlah kolom dalam tabel tergantung pada kebutuhan .
DISTRIBUSI FREKUENSI BERGOLONG (DFB)
Distribusi Frekuensi Bergolong (DFB) adalah suatu pencaran frekuensi yang menunjukkan adanya pengelompokkan nilai variabel dalam satu kelas.
Istilah-istilah Yang Digunakan dalam Distribusi Frekuensi Bergolong : 1. Kelas
Kelas adalah tiap-tiap kelompok nilai variabel.
No. ( i ) Batas Kelas ( Xi ) Tanda Kelas ( Mi) Frekuen si ( Fi) Semu Nyata 1 3 − 5 2,5 − 5,5 3 4 2 6 − 8 5,5 − 8,5 5 7 3 9 −11 8,5 -11,5 11 10 4 12 −14 11,5 −14,5 13 13
5 1 k i fi 34Contoh :
Dalam tabel diatas terdapat 4 kelas dengan masing-masing kelas yaitu kelas pertama 3 – 5, kelas kedua 6 – 8, kelas ketiga 9 – 11 dan kelas keempat 12 – 14.
2. Batas Kelas
Batas Kelas adalah nilai-nilai yang membatasi antara kelas yang satu dengan kelas yang lain .
Contoh :
Nilai 3 dan 5,6 dan 8,9 dan 11,12 dan 14.
3. Batas Kelas Atas dan Batas Kelas Bawah
Batas Kelas Atas (Upper Limits) adalah nilai tertinggi dalam suatu kelas .
Contoh :
Angka-angka pada deret sebelah kanan batas kelas yaitu 5,8,11 dan 14. Batas Kelas Bawah (Lower Limits) adalah nilai terndah dalam suatu kelas
Contoh :
Angka-angka pada deret sebelah kanan batas kelas yaitu 3, 6, 9 dan 12
4. Batas Kelas Semu dan Batas Kelas Nyata
Batas Kelas Semu adalah nilai yang terpisah antara batas kelas yang satu dengan batas kelas yang lain.
Contoh :
Nilai 5 dengan 6, 8 dengan 9, 11 dengan 12.
Batas Kelas Nyata adalah nilai yang sama antara batas kelas yang satu dengan batas kelas yang lain.
Contoh :
Nilai 2,5 ; 5,5 ; 8,5 ; 11,5 ; 14,5.
Nilai Batas Kelas Nyata =
2 II s b k B I s a k B
Keterangan :
B k a s I : Batas kelas atas semu prioritas I B k b s II : Batas kelas bawah semu prioritas II
5. Lebar Kelas / Interval Kelas ( I )
Lebar Kelas / Interval Kelas adalah jumlah nila-nilai variabel dalam tiap kelas.
Contoh :
Kelas 3 – 5 terdiri dari nilai – nilai variabel 3, 4, dan 5. Jadi tiap – tiap kelas terdiri dari 3 nilai variabel, sehingga interval kelas = 3
Interval Kelas ( I ) = B k a n – B k b n dalam satu kelas atau = B k a s II – B k a s I
atau = B k b s II – B k b s I
Keterangan :
B k a n : Batas kelas atas nyata B k b n : Batas kelas bawah nyata
B k a s II : Batas kelas atas semu prioritas II B k a s I : Batas kelas atas semu prioritas I B k b s II : Batas kelas bawah semu prioritas II B k b s I : Batas kelas bawah semu prioritas II
6. Titik Tengah / Tanda Kelas / Class Mark (m i )
Titik Tengah / Tanda Kelas / Class Mark adalah nilai variabel yang terdapat di tengah-tengah antara Batas Kelas Atas dengan Batas Kelas Bawah atau nilai yang mewakili tiap-tiap kelas .
Contoh :
Pada tabel diatas niali 4, 7, 10 dan13 merupakan tanda kelas.
kelas satu dalam s/n Bks -s/n Bkb
Keterangan :
Bkb s/n : Batas kelas bawah semu / nyata Bka s/n : Batas kelas atas semu / nyata
7. Jarak Pengukuran / Range ( R )
Jarak Pengukuran / Range adalah nilai variabel tertinggi dikurangi dengan nilai variabel terendah dalam suatu pengujian . (Tidak perlu memandang batas nyatanya).
Hal-hal Yang Perlu Diperhatikan Dalam Pembuatan Diustribusi Frekuensi Bergolong (DFB) :
1. Menentukan jumlah kelas, guna memasukkan angka-angka atau nilai-nilai variabel . Biasanya digunakan Aturan Sturges oleh H . A Sturges tahun 1926.
k = 1 + 3,3 log n pembulatan ( 0,0 – 0,9) Keterangan :
k : Banyaknya kelas
n : Banyaknya data / pengamatan
2. Menentukan interval kelas , guna memasukkan angka-angka atau nila-nilai variabel yang sesuai serta kemudian menghitung frekuensinya.
k
L
-H
k
R
I
Keterangan : I : Interval Kelas R : RangeH : Nilai Variabel Tertinggi L : Nilai Variabel Terndah k : Banyaknya kelas
Contoh :
Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus dengan sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 11/2 : 21/2, yang dilaksanakan di
Laboratorium Pengujian Bahan Politekni UI Depok dalam satuan kg/cm2 .
157,4 167,8 171,2 174,7 177,4
157,7 168,4 172,4 175,1 178,8
162,2 168,7 173,2 175,5 179,2
164,2 169,9 173,6 176,0 181,3
165,8 170,2 174,7 176,1 185,7
data disusun secara acak satu angka dibelakang koma. n = 25 H = 185,7 kg/cm2 L = 157,4 kg/cm2 Banyaknya Kelas (k) k = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 25 = 5,6132 6 Interval Kelas ( I ) 2
kg/cm
7167
.
4
6
4
.
157
7
.
185
k
L
-H
k
R
I
Penyajian Dalam Bentuk Distribusi Frekuensi Bergolong :
Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus dengan sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3, yang dilaksanakan di Laboratorium Pengujian Bahan Politekni UI Depok dalam satuan kg/cm2 .
Kelas ( i )
Batas Kelas ( Xi) (Kg/Cm2) Tanda Kelas (mi) (Kg/Cm2) Frekuensi (fi) Semu Nyata 1 157.4 - 162.1 157.35 - 162.15 159.75 2 2 162.2 -0166.9 162.15 - 166.95 164.55 3 3 167.0 - 171.7 166.95 - 171.75 169.35 6 4 171.8 - 176.5 171.75 - 176.65 174.15 9 5 176.6 - 181.3 176.55 - 181.35 178.95 4 6 181.4 - 186.1 181.35 - 186.15 183.75 1
6 1 i fi 25DISTRIBUSI FREKUENSI RELATIF (DFR)
Distribusi Frekuensi Relatif adalah pencaran frekuensi yang diperoleh dengan membagi frekuensi tiap-tiap kelas dengan banyaknya data pengamatan .
n
f
Fr
i
i Keterangan :Fri = Frekuensi Relatif Kelas ke i fi = Frekuensi Kelas ke i
n = Banyaknya Data Pengamatan
Frekuensi Relatif bisa juga dibuat dengan bentuk persentase atau disebut juga Persentase Distribusi yang dapat diperoleh dengan mengalikan frekuensi relatif dengan 100%.
%
100
%
1
n
f
Contoh :
Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus dengan sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3, yang dilaksanakan di Laboratorium Pengujian Bahan Politekni UI Depok dalam satuan kg/cm2 .
Kelas ( i )
Tanda Kelas (mi) (Kg/Cm2)
Frekuensi
(fi) Fri Fri (%)
1 159.75 2 0.08 8 2 164.55 3 0.12 12 3 169.35 6 0.24 24 4 174.15 9 0.36 36 5 178.95 4 0.16 16 6 183.75 1 0.04 4
25
6 1
ifi
1
6 1
iFri
6 100% 1
i FriDISTRIBUSI FREKUENSI KOMULATIF (DFK)
Distribusi Frekuensi komulaitf adalah pencaran frekuensi yang merupakan penjumlahan-penjumlahan frekuensi-frekuensi kelas secara berurutan.
Sebagai akibat dari penjumlahan-penjumlahan antara frekuensi yang beurutan harus diperhatikan bahwa bentuk kelasnya sudah berubah sesuai dengan Distribusi Frekuensi Komulatif.
Distribusi Frekuensi Komulatif dibagi 2 :
a. Distribusi Frekuensi Komulatif (DFK) kurang dari b. Distribusi Frekuensi Komulatif (DFK) lebih dari
Contoh :
dilaksanakan di Laboratorium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg/cm2
Batas Kelas Komulatif “<” (Xki) (Kg/Cm2) Frekuensi Komulatif “<” (Fki) Kurang dari 157.35 0 Kurang dari 162.15 2 Kurang dari 166.95 5 Kurang dari 171.75 11 Kurang dari 176.55 20 Kurang dari 181.35 24 Kurang dari 186.15 25
b. DFK “lebih dari (>)” hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan di Laboratorium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg/cm2 .
Batas Kelas Komulatif “>” (Xki) (Kg/Cm2) Frekuensi Komulatif “<” (Fki) Lebih dari 157.35 25 Lebih dari 162.15 23 Lebih dari 166.95 20 Lebih dari 171.75 14 Lebih dari 176.55 5 Lebih dari 181.35 1 Lebih dari 186.15 0
PENYAJIAN DISTRIBUSI FREKUENSI DALAM BENTUK GRAFIK, DAN DIAGRAM
Dalam laporan-laporan tertulis, brosur, majalah, buku-buku, dan lain-lain sering kita lihat Distribusi Frekuensi disajikan dalam bentuk grafik dan diagram. Atau disajikan bersama-sama table Distribusi Frekuensi.
Guna penyajian Distribusi Frekuensi dalam bentuk grafik dan diagram adalah :
1. Mempertegas dan memperjelas Distribusi Frekuensi yang telah disajikan sebagai table/daftar.
2. Sebagai pengganti bagi Distribusi Frekuensi yang berbentuk sebagai daftar / tabel.
Grafik dan diagram yang sering dipakai untuk melukiskan distribusi frekuensi adalah : 1. Histogram frekuensi 2. Poligon frekuensi 3. Ogive frekuensi 4. Diagram lingkaran HISTOGRAM FREKUENSI
Histogram frekuensi adalah suatu bentuk diagram yang terdiri dari persegi panjang dimana setiap persegi panjang tersebut mewakili/ menerangkan/ menggambarkan sebuah kelas dari distribusi frekuensi.
Contoh :
Histogram frekuensi hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan dilaboratorium pengujian bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg/cm2.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 157,35 162,15 166,95 171,75 176,55 181,35 186,15
keteguhan tekan beton (kg/cm2)
frekuen
si
Skala : x = 2 : 8,72 kg/cm2 y = 1 : 1
POLIGON FREKUENSI
Poligon Frekuensi adalah suatu bentuk grafik yang digambarkan dengan menghubungkan titik-titik tengah dari garis puncak histogram dengan memakai garis lurus.
Contoh :
Poligon frekuensi hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari engan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan dilaboratorium pengujian bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg/cm2.
1 4 9 6 3 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 159,75 164,55 169,35 174,15 178,95 183,75
keteguhan tekan beton (kg/cm2)
fr
ek
uensi
Keterangan :
Untuk melengkapi poligon frekuensi diawal dan diakhir distribusi frekuensi, masing-masing ditambah satu kelas dengan frekuensi = “ 0/nol “ sehingga poligon frekuensi komulatif dengan memakai garis lurus.
OGIVE FREKUENSI
Ogive frekuensi adalah suatu bentuk grafik yang merupakan bentuk penyajian distribusi frekuensi komulatif yang digambarkan dengna menghubungkan titik-titik dari frekuensi komulatif dengan memakai garis lurus.
Contoh :
a. Ogive Frekuensi “kurang dari (<)”hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari engan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan dilaboratorium pengujian bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg/cm2.
0 2 5 11 20 24 25 0 5 10 15 20 25 30 157,35 162,15 166,95 171,75 176,55 181,35 186,15
keteguhan tekan beton (kg/cm2)
frekuensi
b. Ogive frekuensi “lebih dari (>)”hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari engan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan dilaboratorium pengujian bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg/cm2.
0 1 5 14 20 23 25 0 5 10 15 20 25 30 157,35 162,15 166,95 171,75 176,55 181,35 186,15
keteguhan tekan beton (kg/cm2)
Diagram lingkaran adalah suatu bentuk ddiagram yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari yang membagi lingkaran itu menjadi beberapa daerah yang luasnya sesuai dengan frekuensinya, diman luas tersebut tergantung dari besar sudut.
( io ) = Fri x 3600
keterangan : ( io ) = sudut pada kelas I
Contoh :
Diagram lingkaran hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari engan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan dilaboratorium pengujian bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg/cm2. Kelas ( i ) Tanda Kelas (mi) (Kg/Cm2) Frekuensi
(fi) Fri Fri (%) α ( i )
1 159.75 2 0.08 8 28.8 2 164.55 3 0.12 12 43.2 3 169.35 6 0.24 24 86.4 4 174.15 9 0.36 36 129.6 5 178.95 4 0.16 16 57.6 6 183.75 1 0.04 4 14.4 25 6 1
i fi 1 6 1
i Fri 100% 6 1 i Fri ( i ) = 360174,15 (36%) 178.95 (16%) 169.35 (24%) 164.55 (12%) 159.75 (8%) 183.75 (4%) `
RANGKUMAN
Distribusi Frekuensi Empiris adalah suatu daftar yang menunjukkan penggolongan kumpulan data diamana termasuk penentuan berapa bilangan yang termasuk ke dalam setiap golongan tersebut.
Variabel Penyelidikan adalah obyek yang diselidiki.
Distribusi Frekuensi Relatif adalah pencaran frekuensi yang diperoleh dengan membagi frekuensi tiap-tiap kelas dengan banyaknya data pengamatan
Distribusi Frekuensi komulaitf adalah pencaran frekuensi yang merupakan penjumlahan-penjumlahan frekuensi-frekuensi kelas secara berurutan.
Nilai variable adalah nilai masing-masing penyelidikan / pengujian. Distribusi Frekuensi Tunggal (DFT) adalah suatu pencaran frekuensi yang menunjukkan tidak adanya pengelompokkan nilai variabel.
Distribusi Frekuensi Bergolong (DFB) adalah suatu pencaran frekuensi yang menunjukkan adanya pengelompokkan nilai variabel dalam satu kelas.
Poligon Frekuensi adalah suatu bentuk grafik yang digambarkan dengan menghubungkan titik-titik tengah dari garis puncak histogram dengan memakai garis lurus.
Distribusi Frekuensi Relatif adalah pencaran frekuensi yang diperoleh dengan membagi frekuensi tiap-tiap kelas dengan banyaknya data pengamatan
Distribusi Frekuensi komulaitf adalah pencaran frekuensi yang merupakan penjumlahan-penjumlahan frekuensi-frekuensi kelas secara berurutan.
Histogram frekuensi adalah suatu bentuk diagram yang terdiri dari persegi panjang dimana setiap persegi panjang tersebut mewakili/ menerangkan/ menggambarkan sebuah kelas dari distribusi frekuensi. Poligon Frekuensi adalah suatu bentuk grafik yang digambarkan dengan menghubungkan titik-titik tengah dari garis puncak histogram dengan memakai garis lurus.
Ogive frekuensi adalah suatu bentuk grafik yang merupakan bentuk penyajian distribusi frekuensi komulatif yang digambarkan dengna menghubungkan titik-titik dari frekuensi komulatif dengan memakai garis lurus.
Diagram lingkaran adalah suatu bentuk ddiagram yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari yang membagi lingkaran itu menjadi beberapa daerah yang luasnya sesuai dengan frekuensinya, diman luas tersebut tergantung dari besar sudut.
3.8 SOAL
1. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi empiris? 2. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi tunggal? 3. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi bergolong? 4. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi relatif? 5. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi komulatif?
6. Dibawah ini disajikan Data Volume Kendaraan Pada Ruas Jalan Tol Jakarta-Bogor-Ciawi untuk 50 Hari Kerja Pada Pukul 07.00 S/D 09.00 Pada Bulan Juli - September 2007 (Dalam Ratusan)
46.7 42.6 49.2 35.4 45.6 56.3 28.3 63.4 68.1 73.2 19.4 61.5 32.4 53.4 36.5 38.2 48.4 42.5 52.6 54.3 47.3 47.3 50.8 50.8 45.4 57.5 58.2 64.7 65.4 76.7 25.9 26.8 35.4 35.7 38.1 37.3 50.3 52.1 60.1 57.1 42.3 46.8 48.6 56.8 68.0 40.8 40.1 44.6 44.2 46.9
a. Buatlah distribusi frekuensi bergolong, relatif dan komulatif.
b. Gambarkan histogram, polygon, diagram lingkaran, ogive frekuensi dari distribusi frekuensi diatas.
BAB IV
UKURAN-UKURAN DISKRIPTIF DALAM STATISTIK
Sebelum kita melangkah lebih jauh pada ukuran lokasi (Mean, Median, Modus dan sebagainya), mengingat bahwa ukuran lokasi menggunakan operasi penjumlahan, maka diperlukan cara untuk menyajikan penjulahan dalam bentuk symbol atau Notasi Summasi ( ).4.1 SUMMASI ( ).
Misal dalam n pengamatan yang dinyatakan sebagai x1, x2, x3 …….. xn
untuk menyatakan jumlah dapat dinyatakan dengan notasi summasi sebagai berikut :
x
x
x
x
n ...
xi
1 2 3 n 1 i Keterangan :
= Operasi Penjumlahan / Summasi i = Indeks Summasin = Batas Indeks Summasi xi = Data Pengamatan ke i
Pembacaan Notasi :
Jumlah semua data x dari indeks = 1 s/d n termasuk data ke 1dan data ke n.
Contoh : x1 = 20 ; x2 = 25 ; x3 = 23 ; x4 = 24
92
24
23
25
20
x
x
x
x
x
1 2 3 4 4 1 i i
Bila n pengamatan masing-masing dikwadratkan, maka bentuk penjumlahannya adalah sebagai berikut :
2 n 2 3 2 2 2 1 n 1 i 2 i
x
x
x
...
x
x
Pembacaan Notasi :Jumlah semua data x2 dari indeks = 1 s/d n termasuk data ke 1 dan ke n
Contoh : x1 = 4 ; x2 = 3 ; x3 = 5
x
x
x
x
324
23
25
250
2 2 2 1 3 1 i 2 i
Contoh-contoh diatas tidak lepas dari aturan-aturan aljabar yang digunakan dalam summasi.
ATURAN-ATURAN ALJABAR DALAM SUMMASI : 1. ATURAN I :
Summasi suatu penjumlahan / pengurangan sama dengan jumlah / selisih dari summasi :
n 1 i i n 1 i i n 1 i i n 1 i i i iy
z
x
y
z
x
BUKTI :
n 1 i i n 1 i i n 1 i i n n n 2 2 2 i i 1 n 1 i i i i z y x z y x ... z y x z y x z y x2. ATURAN II :
Summasi perkalian antara variable dan konstanta sama dengan perkalian konstanta dan summasi variable.
n 1 i i n 1 i ik
x
kx
BUKTI :
n 1 i i n 2 1 n 2 1 n 1 i ix
k
x
...
x
x
k
k.x
...
k.x
k.x
k.x
3. ATURAN III :Summasi konstanta sama dengan konstanta dikali dengan jumlah indeks dalam summasi.
C
n.C
n 1 i
BUKTIC
1)C
-(n
n.C
C
...
C
C
C
1 2 n n 1 i
4.2 UKURAN-UKURAN LOKASI / HARGA-HARGA TENGAH
Ukuran-ukuran lokasi / harga tengah adalah merupakan harga-harga yang dapat menggambarkan distribusi frekuensi pada lokasi/letaknya. Ukuran-ukuran lokasi meliputi :
2. Median, Kwartil, Desil dan Persentil 3. Modus
4. Geometric Mean 5. Harmonic Mean
4.2.1 MEAN / RATA-RATA ( )
Mean / Rata-rata adalah jumlah dari semua data dibagi dengan banyaknya data.
1. MEAN DISTRIBUSI FREKUENSI TUNGGAL
Apabila terdapat n data pengamatan yaitu x1, x2, x3 …….. xn , maka
nilai rata-ratanya :
n
x
x
x
x
n
...
x
1 2 3atau dapat ditulis :
n
x
x
n i i
1Apabila terdapat n data pengamatan dimana setiap data frekuensi lebih dari satu, yaitu :
x
1f
1, x
2f
2, .... , x
kf
kmaka nilai rata-ratanya :
k k k
f
f
f
f
f
x
f
x
f
x
x
...
.
...
.
.
3 2 1 2 2 1 1n
f
x
f
f
x
x
k i i i k i i k i i i
1 1 1.
.
k i i if
x
n
x
1.
1
Keterangan :k = Banyaknya data yang terkelompok.
2. MEAN DISTRIBUSI FREKUENSI BERGOLONG
Mean Distribusi Data Bergolong tidak jauh berbeda dengan Distribusi Frekuensi Tunggal, hanya nilai xi (nilai variable / data
tunggal) diganti / dirubah titik tengah / tanda kelas (mi).
Dimana tanda kelas dianggap mewakili nilai variable-variable yang terdapat pada masing-masing kelas.
Mean di sini hanya merupakan perkiraaan terdekat saja, maka nilai rata-rata Distribusi Frekuensi Bergolong dapat dituliskan
k k k
f
f
f
f
f
m
f
m
f
m
f
m
x
...
.
...
.
.
.
3 2 1 3 3 2 2 1 1atau dapat ditulis :
n
f
m
f
f
m
x
k i i i k i i k i i i
1 1 1.
.
Keterangan := Nilai Rata-Rata
n=Banyaknya Data mi = tanda kelas ke i
fi = frekuensi ke i
k = Banyaknya Data yang dikelompokkan / Banyaknya kelas.
Contoh:
Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan di Laboraturium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg / cm2. Kelas (i) Tanda Kelas (mi) (Kg/ Cm2) Frekuensi (fi) mi . fi (Kg/ Cm2) 1 92,635 2 185,27 2 101,355 5 506,775 3 110,075 9 990,675 4 118,795 7 831,565
2 1
435
.
114
05
.
3433
.
30
1
.
1
cm
kg
f
m
n
x
n i i i
Cara lain menghitung mean Distribusi Frekuensi Bergolong, yaitu dengan cara KODING / ABRITER / TERKAAN
u
x
x
0
I.
k i i if
u
n
1.
.
1
Pembuktian Rumus :Rumus diatas diambil berdasarkan rumus awal :
n i i if
m
n
x
1.
1
5 127,515 4 510,060 6 136,235 3 408,705
6 1 i i f 30 3.433,05i i
x
u
m
0
I.
u
x
f
u
n
x
n
f
u
f
x
n
f
u
f
x
n
f
u
f
x
n
f
u
x
n
x
k i i k i i k i i o k i i k i i k i i i k i iI.
.
I
.
.
1
.
I
.
.
1
.
I.
.
.
1
)
.
I.
.
(
1
).
I.
(
1
0 1 i 0 1 i 1 1 i 1 0 1 i 0 1 i 0
Keterangan : = Nilai Rata-Ratax0 = Nilai Rata-Rata terkaan yang dipilih secara abriter dengan
memilih nilai mi (tanda kelas) dengan asumsi deviasi pada mean
terkaan = 0
I = Interval kelas
ύ = Nilai rata-rata penyimpangan / Deviasi n = Banyaknya Data pengamatan
ύi = Deviasi ke i
fi = Frekuensi ke i
Langkah-Langkah Menentukan Mean secara Koding / Abriter / Terkaan :
1. Menyusun data dalam bentuk Distribusi Frekuensi.
2. Menentukan Mean Terkaan (x0) secara abtriter dari tanda kelas
dengan asumsi deviasi pada mean terkaan = 0.
3. Menentukan nilai deviasi masing-masing kelas mulai dari mean terkaan. Deviasi diaatas mean terkaan diberi tanda minus (-), sedangkan dibawah deviasi terkaan diberi tanda plus (+). Apabila data disusun dari nilai terrendah ke tertinggi.
4. Menentukan nilai rata-rata.
Contoh :
Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan di Laboraturium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg / cm2. Kelas (i) Tanda Kelas (mi) (Kg/ Cm2) Frekuensi fi Deviasi (ui) ui . fi 1 92,635 2 -3 -6 2 101,355 5 -2 -10 3 110,075 9 -1 -9 4 118,795 7 0 0 5 127,515 4 1 4 6 136,235 3 2 6
6 1 i i f 30 -15u
I.
0
x
x
15
0
.
5
.
30
1
.
.
1
1
k i i if
u
n
u
2435
.
114
72
.
8
).
5
.
0
(
795
.
118
kg
cm
x
Catatan :Jika :x0 > maka komponen koreksi (ύ) akan (-)
x0 = maka komponen koreksi (ύ) = 0
x0 < maka komponen koreksi (ύ) akan (+)
4.2.2 MEDIAN (~x)
Median adalah nilai yang membatasi 50% Distribusi Frekuensi bagian bawah dengan 50% Distribusi Frekuensi bagian atas, apabila data disusun menurut besarnya.
1. MEDIAN DISTRIBUSI FREKUENSI TUNGGAL
Cara menentukan Median Frekuensi Tunggal :
1. Menyususn data menurut besarnya, dari nilai terendah ke tertinggi atau sebaliknya.
2. Menentukan harga yang terletak di tengah-tengah urutan data.
Apabila banyaknya data ganjil nilai median merupakan satu nilai yang berada di tengah-tengah.
Apabila banyaknya data genap nilai median merupakan data nilai ditengah dijumlahkan dan dibagi dua.
Contoh :
a. 4, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14 x
~ = 8
2. MEDIAN DISTRIBUSI FREKUENSI BERGOLONG
Median Distribusi Frekuensi Bergolong dapat ditentukan dari grafik atau diagram salah satunya adalah dengan menggunakan ogive frekuensi kurang dari :
Contoh :
Ogive frekuensi “<” Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan di Laboraturium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg / cm2.
Skala x = 1 : 8,72 kg / cm2 y = 2 : 5 y f.kom. (f ki) 30 27 25 23 20 E C 15 (1/2 n – fkbx2) 10 fx2 7 5 A D B 2 0 88,275 96,995 105,715 114,435 123,155 131,875 140,595
Keteguhan tekan beton(kg/cm2)
Langkah-langkah menentukan ~x :
1. Menentukan letak kelas median dengan menentukan 50% frekuensi.
fx = ½ . n = ½ . 30 = 15
Kelas median (105,715 – 14,435)
2. Membuat perbandingan A sebagai interpolasi pada kelas median.
AD
Bbn
x
x
ADE : ABC x x x xf
fkb
n
I
AD
f
I
fkb
n
AD
BC
AB
AE
AD
)
.
2
1
(
.
2
1
x x xf
fkb
n
I
Bbn
x
.(
1
2
.
)
Keterangan : x = nilai medianBbnx = Batas Bawah Nyata Kelas Median
I = Interval Kelas
N = Banyaknya Data Pengamatan
fkbx = Frekuensi Komulatif Sebelum Kelas Median
Contoh : 2
466
.
113
)
7
15
(
72
.
8
715
.
105
kg
cm
x
4.2.3 KWARTIL (K)Kwartil berdasarkan rumus median adalah nilai yang membatasi setiap kelipatan 25% distribusi frekuensi apabila data disusun berdasarkan besarnya. 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1
)
.
4
3
.(
)
.
4
2
.(
)
.
4
1
.(
k k k k k k k k kf
fkb
n
I
Bbn
K
f
fkb
n
I
Bbn
K
f
fkb
n
I
Bbn
K
4.2.4 DESIL (D)Desil adalah nilai yang membatasi distribusi frekuensi setiap kelipatan 10% apabila data disusun berdasarkan besarnya.
3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1
)
.
10
9
.(
)
.
10
5
.(
)
.
10
1
.(
D D D D D D D D Df
fkb
n
I
Bbn
D
f
fkb
n
I
Bbn
D
f
fkb
n
I
Bbn
D
4.2.5 PERSENTIL (P)Persentil adalah nilai yang membatasi distribusi frekuensi setiap 100% apabila data disusun berdasarkan besarnya.
25 25 25 25 1 1 1 1
)
.
100
25
.(
)
.
100
1
.(
P P P P P Pf
fkb
n
I
Bbn
P
f
fkb
n
I
Bbn
P
99 99 99 99 75 75 75 75 50 50 50 50)
.
100
99
.(
)
.
100
75
.(
)
.
100
50
.(
P P P P P P P P Pf
fkb
n
I
Bbn
P
f
fkb
n
I
Bbn
P
f
fkb
n
I
Bbn
P
4.2.6 MODUS (xˆ)Modus adalah nilai yang sering timbul dari keseluruhan pengamatan data/ nilai yang memounyai frekuensi tertinggi.
1. MODUS DISTRIBUSI FREKUENSI TUNGGAL Contoh :
a. 4, 8, 5, 6, 8, 7, 6, 7, 9, 7, 6, 7, 5 x = 7 f = 4
b. 4, 8, 6, 4, 7, 4, 7, 9, 7, 6, 7, 5
x = 4 & 7 f = 4 (bimodus/ modus ganda) c. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
tidak mempunyai modus sebab masing-masing data mempunyai frekuensi yang sama jumlahnya.
2. MODUS DISTRIBUSI FREKUENSI BERGOLONG
Contoh:
Histogram Frekuensi Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan di Laboraturium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg / cm2.
Skala x = 1 : 8,72 kg / cm2 y = 1 : 1 y Frek. (fi) B b 9 c 8 F E G 7 6 D 5 4 A 3 2 1 0 88,275 96,995 105,715 114,435 123,155 131,875 140,595
x=kelas modus Keteguhan tekan beton (kg/cm2)
)
(
)
(
)
(
x x x xfs
f
fb
f
b
I
b
CD
AB
EG
FE
Kelas Modus (105,715 – 114,435)b
Bbn
x
x
AEB : CED)
.
2
(
)
.(
)
(
)
(
)
.(
)
(
.
.
.
.
x x x x x x x x x x xfs
fb
f
fb
f
I
fs
f
fb
f
fb
f
I
x
y
x
I
b
x
I
x
b
y
b
)
.
2
(
)
.(
x x x x x xfs
fb
f
fb
f
I
Bbn
x
Keterangan :x
= nilai modusBbnx = Batas Bawah Nyata Kelas Modus
I = Interval Kelas
fx = Frekuensi Kelas Modus
fbx = Frekuensi sebelum Kelas Modus
fsx = Frekuensi setelah Kelas Modus
Contoh : 2
528
,
111
]
5
7
)
9
.
2
[(
)
5
9
.(
70
.
8
715
.
105
cm
kg
x
4.3 RANGKUMAN
4.4 SOAL
1. Apa yang dimaksud dengan harga-harga lokasi? 2. Sebutkan macam-macam harga lokasi dan jelaskan?
3. Data volume kendaraan pada ruas jalan tol jakarta-bogor-ciawi untuk 30 hari kerja pada pukul 07.00 s/d 09.00 pada bulan agustus - september 2007
Ukuran-ukuran lokasi / harga tengah adalah merupakan harga-harga yang dapat menggambarkan distribusi frekuensi pada lokasi/letaknya.
Mean /Rata-rata adalah jumlah dari semua data dibagi dengan banyaknya data.
Median adalah nilai yang membatasi 50% Distribusi Frekuensi bagian bawah dengan 50% Distribusi Frekuensi bagian atas, apabila data disusun menurut besarnya.
Kwartil berdasarkan rumus median adalah nilai yang membatasi setiap kelipatan 25% distribusi frekuensi apabila data disusun berdasarkan besarnya
Desil adalah nilai yang membatasi distribusi frekuensi setiap kelipatan 10% apabila data disusun berdasarkan besarnya.
Persentil adalah nilai yang membatasi distribusi frekuensi setiap 100% apabila data disusun berdasarkan besarnya.
Modus adalah nilai yang sering timbul dari keseluruhan pengamatan data/ nilai yang memounyai frekuensi tertinggi
Kelas Tanda Kelas (dalam ratusan) Frekuensi 1 17 1 2 28 4 3 39 11 4 50 7 5 61 5 6 72 2
a. Hitung nilaimean, median dan modus.
BAB V
UKURAN-UKURAN LOKASI / HARGA-HARGA DEVIASI
Rata-rata dari serangkaian nilai-nilai observasi tidak dapat diinterpretasikan secara terpisah dari hasil variasi nilai-nilai tersebut sekitar rata-ratanya. Bila terdapat keseragaman dalam nilai observasi (xi), maka
variasi tersebut = 0 dan x = x.
Contoh : x1 x2 x3 x4 x5 x6 A 60 65 50 60 65 60 A = 360/60 = 60 B 30 90 50 70 60 60 B = 360/60 = 60 - variasi data A 50 s/d 65 - variasi data B 30 s/d 90
Hasil tersebut menunjukkan bahwa nilai A lebih kecil variasinya dibandingan B, dengan kata lain nilai A lebih stabil terhadap nilai nya. Variasi data dari harga tengah idealnya harus kecil. Apabila variasi data terhadap harga tengah terlalu besar, maka harga tengah tersebut kurang berguna sebagai nilai yang mewakili atau menggambarkan keadaan datanya.
Macam-Macam Pengukuran Variasi :
1. Range
2. Deviasi Kwartil
3. Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata)
4. Deviasi Standard (Simpangan Standard ) dan varians.
5.1 RANGE
Range adalah selisih antara data dengan nilai variable tertinggi dan data dengan nilai variable terendah dari keseluruhan pengamatan data.
L
H
R
Range merupakan pengukuran disperse (variasi) yang paling sederhana. Apabila kita ingin memperoleh pengukuran variasi secara kasar dan cepat, Range dapat digunakan.
Karena kesederhanaannya, maka range banyak sekali digunakan dalam pengawasan kualitas (Quality Control)
5.2 DEVIASI KWARTIL (SIMPANGAN KWARTIL) (dk)
Deviasi Kwartil adalah pengukuran variasi atas dasar jarak inter kwartil. Pengukuran didasarkan pada jarak K1 dan K3. Deviasi Kwartil tidak
dipengaruhi oleh dispersi dari seluruh nilai-nilai observasi/pengamatan, tapi hanya mengikut sertakan disperse nilai-nilai observasi (xi) terhadap
mediannya (x). Jarak antara K1 dan K3 dinamakan Jarak Imter Kwartil. Makin
kecil jarak tersebut, makin tinggi tingkat konsentrasi distribusi tengah, seluas 50%. Pengukuran variasi ini tidak membawa pengauh terhadap xi yang
terdapat dibawah K1 dan xi diatas K3.
Pengukuran deviasi Kwaril dapat dirumuskan:
2
1 3K
K
d
k
Keterangan : dk = Deviasi Kwartil K3 = Kwartil 3 K1 = Kwartil 1Contoh : 2 1 1 1 1
199
,
106
9
)
7
30
.
4
1
.(
72
,
8
725
,
105
)
.
4
1
.(
cm
kg
f
fkb
n
I
Bbn
K
k k k
2 1 3167
,
8
2
109
,
106
532
,
122
2
cm
kg
K
K
d
k
dk = 8,167 kg/cm2 terhadap x nyadk digunakan untuk mengukur merata atau tidaknya distribusi pendapatan.
5.3 DEVIASI RATA-RATA (dx)
Deviasi Rata-Rata adalah harga rata-rata penyimpangan data terhadap rata-ratanya.
1. dxDistribusi Frekuensi Tunggal
Bila serangkaian nilai observasi x1, x2, ..., xn memiliki rata-rata .
Maka deviasi nilai-nilai observasi terhadap nya secara berturut-turut dapat dinyatakan sebagai (x1 - ), (x2 - 1), …… (xn - n-1).
Penjumlahan deviasi nilai-nilai observasi terhadap x nya, menjadi :
n i ix
x
1)
(
Sedangkan deviasi rata-rata :
n i ix
x
n
x
d
1)
(
.
1
ternyata rumus ini menjadi nilai dx = 0. BUKTI :
0
].
1
)
1
.[(
1
.
1
.
1
)
(
.
1
1 1 1
x
x
x
n
n
x
x
n
x
n
x
x
n
x
d
n i n i i n i iTujuan pengukuran deviasi adalah mengukur variasi nilai-nilai observasi dari suatu nilai tertentu ( nya). Pengukuran seperti ini pada umumnya menitik beratkan pada hasil besar kecilnya deviasi, bukan arah deviasi (+ atau -).
Mengingat tujuan tersebut, maka pengukuran deviasi atas dasar nilai-nilai absolut, sehingga perumusannya, sebagai berikut :
