Dia yang menjadikan matahari dan bulan bercahaya, serta mengaturnya pada beberapa tempat, supaya kamu mengetahui bilangan tahun dan perhitunganya

(1)

“ Dia yang menjadikan matahari dan bulan bercahaya, serta mengaturnya pada beberapa tempat, supaya kamu mengetahui bilangan tahun dan perhitunganya…”

(QS Yunus:5 )

M a t e m a t i k a ....

(2)

Pendahuluan Luas

Sifat :

- Luas daerah rata adalah bilangan riil tak negatif

- Lpersegipanjang=panjang x lebar (satuan sama)

- Daerah kongruen mempunyai luas yang sama

- Luas gabungan daerah yang hanya berimpit satu ruas garis

= Luas kedua daerah

- Jk daerah 1 ada di daerah 2 maka Luas daerah daerah =

Luas d2 kurang/samadg Luas d1

(3)

Beberapa jumlah khusus yang dibutuhkan

dalam penghitungan Luas

30 )

1

9

6 )(

1 (

3

2

1

2 )

1 (

3

2

1

6 )

1

2 )(

1 (

3

2

1

2 )

1 (

3

2

1

2 3 4 4 4 4 1 4 2 3 3 3 3 1 3 2 2 2 2 1 2 1













































   

n

i

n

i

n

i

n

i

n i n i n i n i



(4)

Pendahuluan

Pilar-pilar jembatan membentuk partisi-partisi yang akan dijadikan pijakan dalam menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.

(5)

Luas sebagai limit

X Y

x y  sin

Menentukan luas daerah dengan

limit jumlah dapat diilustrasikan

oleh gambar di samping. Langkah :

1) Partisi

2) Aproksimasi, 3) Jumlahkan dan 4) Hitung limitnya.

(6)

Langkah menghitung luas daerah dengan limit jumlah adalah:

1. Bagilah interval menjadi selang yang sama panjang.

2. Partisilah daerah tersebut. 3. Masing-masing partisi buatlah

persegi panjang.

4. Perhatikan persegi panjang pada interval [x_i-1 , x_i]. y a x 0 L_i x x_i ) (x f y ) (x_i f

(7)

5. Tentukan luas persegi panjang ke-i (L_i)

6. Jumlahkah luas semua persegi panjang

7. Hitung nilai limit jumlahnya

y a x 0 L_i x x_i ) (x f y ) (x_i f

Luas sebuah persegi panjang: L_i= f(x_i) x

Jumlah luas persegi panjang :L   f(x_i) x

(8)

Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2_{, sumbu X, dan garis x = 3}

dengan menggunakan cara limit jumlah. Contoh 1.

Langkah penyelesaian:

1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n. 2. Partisi daerah tersebut menurut persegi

panjang luar.

3. Tentukan ukuran persegi panjang pada interval [x_i, x_i+1] dan hitunglah luasnya. x₀ = 0

x₁ = 3/n

x₂= (3/n) × 2 = 6/n

Jadi x_i = 3i/n dan x_{i + 1} = 3(i +1)/n

y 0 x 3 L_i 3/n 2 1  i x 2 ) (x x f  x_i+1 xi x₁ x₂ x₃  2 3 i 1 27 L  i  n

 

i_n _n n i x 2 3 3( 1) 2 3 1 i L  _     Jawab

(9)

4. Jumlahkan luas semua partisi       1 0 2 3 1 27 L n i n i



2 2 2



3 1 2 ... 27 L n n     ) 1 2 )( 1 ( 6 1 27 L  ₃  n n n n ) 2 )( 1 ( 2 9 L 1 1 n n    5. Tentukan limitnya ) 2 )( 1 ( 2 9 L _lim 1 1 n n n      9 ) 0 2 )( 0 1 ( 2 9 L    

Jadi luas daerah = 9 satuan

6 ) 1 2 )( 1 ( 1 2     n n n n k k 0 x 3 L_i 3/n 2 1  i x 2 ) (x x f  x_i+1 x_i x₁ x₂ x3 y

(10)

Perhatikan gambar di

bawah

Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi n bagian (lebar tidak harus sama) dengan lebar selang ke-i adalah x_i = x_i – x_i-1. Pada selang [x_i-1, x_i] diambil titik sampel x_k maka jumlah Riemann dituliskan sebagai : k n k1f(xk) Δx y a x 0 _b x_i-1x_k x_i x_i Integral Tentu

Selanjutnya didefinisikan bahwa: n _k

k k n f x x dx x f( ) lim ( ) Δ 1 b a    Bentuk b a ) (x dx f

(11)

= = 2(2)3 _{– 2(2)}2 _{– [2(-1)}3 _{– 2(-1)}2_] = 16 – 8 + 2 - 2 = 8





   2 1 2 ₄ _dx 6x x





2 1 2 3 ₂ 2x  x _

Hitunglah nilai dari





   2 1 2 ₄ _dx 6x x Contoh 2. Jawab

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai

Teorema Dasar Kalkulus

)

(

F

)

(

F

)

(

x

dx

b

a

f

b a







 

b a

x)

(

F

(12)

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

y x 0 a x _b y a x 0 b  b a dx x f( ) Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral Tentukan limitnya n   ) (x f   n i 1f(xi)xi ) (x f i n i i n b a x x f dx x f L  _  _     1 ) ( ) ( _lim

(13)

Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah:

1. Gambar daerahnya. 2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah partisi L_i f(x_i) x_i

4. Jumlahkan luas partisi L   f(x_i) x_i

5. Ambil limitnya L = lim  f(x_i) x_i 6. Nyatakan dalam integral

x 0 y yf(x) a x_i x_i ) (x_i f L_i   a f x dx 0 ( ) L

(14)

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2_{, sumbu x, dan garis}_{x = 3} Contoh 3. Langkah penyelesaian : 1. Gambarlah daerahnya 2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luasnya L_i  x_i2 __x i 4. Jumlahkan luasnya L   x_i2 __x i

5. Ambil limit jumlah luasnya L = lim  x_i2 __x

i

6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya y 0 x 3 2 ) (x x f  dx x   3 0 2 L 9 0 3 3 3 3 0 3 3 L  _x _    L_i x_i x_i 2 i x Menghitung Luas dengan Integral

(15)

Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : L_i  (4x_i- x_i2₎__x i dan A_j -(4x_j - x_j2₎__x j 4. Jumlahkan : L  (4x_i - x_i2₎_x i dan A   -(4x_j - x_j2₎__x j

5. Ambil limitnya L = lim  (4x_i - x_i2₎__x i

dan A = lim  -(4x_j - x_j2₎__x j

6. Nyatakan dalam integral

y 0 4 5 x 2 4 ) (x x x f   dx x x    4 0 2₎ 4 ( L  5 x  x dx 4 2₎ 4 ( A x_i L_i x_i x_j A_j x_j 2 4x_ix_i ) 4 ( 0 xx2

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2_{, sumbu x,}

dan garis x = 5 Contoh 4.

(16)

dx x x    4 0 2₎ 4 ( L dx x x    5 4 2₎ 4 ( A y 0 4 5 x 2 4 ) (x x x f   xi L_i x_i x_j Aj xj 2 4x_ix_i ) 4 ( 0 xx2





4 0 3 31 2 2 L  x  x 3 64 3 31 2 ₍₄₎ ₀ ₃₂ ) 4 ( 2 L     





5 4 3 3 1 2 2 A   x  x



3



3 1 2 3 31 2 ₍₅₎ ₂₍₄₎ ₍₄₎ ) 5 ( 2 A       3 64 3 125 ₃₂ 50 A      18 A _ 61₃ _ 18 32 daerah Luas 61₃ 3 64 _ _   13 daerah Luas 

(17)

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi,

aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat

ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.

Langkah penyelesaian: 1. Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : L_i  [ f(x) – g(x) ] x 4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ] x 5. Ambil limitnya : L = lim  [ f(x) – g(x) ] x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

y b a



f

x

g

x



dx

b a





(

)

(

)

L

) (x f y ) (x g y  0 x L_i x x ) ( ) (x g x f 

(18)

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 _{dan garis}_{y = 2 - x}

Contoh 5.

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

x2 _{= 2 – x}_ _x2 _{+ x – 2 = 0}_ _{(x + 2)(x – 1) = 0} diperoleh x = -2 dan x = 1 3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya L_i  (2 - x - x2₎__x 4. Jumlahkan luasnya L   (2 - x - x2₎__x

5. Tentukan limit jumlah luasnya L = lim  (2 - x - x2₎_x

dx

x

 





1 2 2

₎

2 (

L

0 x 1 2 -1 -2 -3 2 x y  x y 2 y 1 2 3 4 5 L_i x x 2 ) 2 ( x x Jawab

(19)

dx x x      1 2 2₎ 2 ( L 0 x 1 2 -1 -2 -3 2 x y  x y 2 y 1 2 3 4 5 L_i x x 2 ) 2 ( x x 1 2 3 3 2 2 L      _ _  _x x x       _ _ _        _ _  1₃3 (2₂)2 (2₃)3 2 2 1 ₂₍ ₂₎ ) 1 ( 2 L



 

₃8



3 1 21 4 2 2 L        3 8 31 2 1 ₄ ₂ 2 L       2 1 21 4 5 L   

(20)

Untuk kasus tertentu

pemartisian secara vertikal menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya diperlukan waktu lebih lama untuk

menghitungnya. ) (x f y  y a _b L_i x x ) ( ) (x gx f  ) ( 2 xf A_i 0 x ) (x g y Luas daerah = a_

_f

_x

_dx

0

)

(

2 

b

_







a

dx

x

g

x

f

(

)

(

)

(21)

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah

tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. ) ( ) (x x f y f y    y 0 x ) ( ) (x x gy g y    Luas daerah = d

_



_



c dy y f y g( ) ( ) L_i y c d ) ( ) (y f y g 

(22)

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 _{= x}_{, garis}_{x + y = 6}_{, dan sumbu x}

Contoh 6.

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

y2 _{= 6 – y}_ _y2 _{+ y – 6 = 0}_ _{(y + 3)(y –} 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2 3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya L_i  (6 - y - y2₎__y 4. Jumlahkan luasnya L   (6 - y - y2₎__y 5. Tentukan limitnya L = lim  (6 - y - y2₎__y

Luas daerah = 2

_



_



0 2

6 y

y

dy

2 y x  y x 6 2 y 6 x 0 6 L_i y y 2 ) 6 ( y y Jawab

(23)

Luas daerah = 



 



2 0 2 6 y y dy 2 y x  y x 6 2 y 6 x 0 6 L_i y y 2 ) 6 ( y y Luas daerah = 2 0 3 3 2 6             y y y Luas daerah = 0 3 3 2 2 2 ) 2 ( 6   _        Luas daerah =       _ _ 3 8 1 12 Luas daerah = 325