DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF
Pada bab ini akan dibahas teorema, definisi dan landasan teori pada penelitian ini. Berikut akan dibahas mengenai digraf, digraf dwiwarna dan hubungan keduanya dengan primitifitas, terhubung kuat, eksponen dan eksponen titik.
2.1 Definisi
Sub-bab ini akan membahas definisi tentang digraf dan digraf dwiwarna secara ke-seluruhan.
2.1.1 Digraf
Andaikan V adalah sebuah himpunan berhingga yang tak kosong yang disebut sebagai titik (vertex) dan E adalah himpunan pasangan berurut dari titik V yang disebut sebagai edge, maka graf adalah suatu objek yang dibentuk dari himpunan V ,dan himpunan E ⊆ V × V yang unsurnya disebut sebagai edge.
Digraf D adalah objek yang dibentuk dari himpunan V , dan himpunan A ⊆ V × V yang unsurnya disebut sebagai arc dari D. Jika (u, v)∈ A merupakan sebuah arc pada digraf D, maka u sebagai titik awal dan v sebagai titik akhir. Titik V direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil sedangkan arc direpsen-tasikan dalam bentuk garis berarah.
Barisan sejumlah titik v1, v2, ..., vmsehingga terdapat arc dalam D yang menghubungkan
titik vi ke titik vi+1 untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., m − 1 disebut sebagai walk dengan
v1 → v2 → v3 → ... → vm
untuk v1 6= vm maka disebut walk terbuka. Suatu walk yang tidak mengalami
pe-rulangan titik disebut sebagai path, sedangkan suatu path tertutup disebut sebagai cycle dan cycle yang memiliki panjang 1 disebut sebagai loop.
Contoh 2.1.1 Berikut merupakan representasi dari definisi diatas.
Gambar 2.1 : Digraf dengan 4 titik dan 6 arc
Digraf diatas memperlihatkan walk , path, cycle, dan loop sebagai berikut: a. v1 → v2 → v3 → v4 → v2 adalah walk terbuka
b. v1 → v2 → v3 → v4 → v2 → v3 → v1 adalah walk tertutup namun bukan path
c. v1 → v2 → v3 → v4 adalah path terbuka
d. v1 → v2 → v3 → v1 adalah path tertutup atau disebut cycle
e. v1 → v1 adalah loop
2.1.2 Digraf Dwiwarna
Suatu digraf yang setiap arc-nya berwarna biru atau merah dan tidak keduanya pada satu arc disebut sebagai digraf dwiwarna. Digraf dwiwarna dibentuk oleh himpunan vertex V , himpunan R ⊆ V × V yang unsurnya adalah arc berwarna merah, dan B ⊆ V × V yang unsurnya adalah arc berwarna biru. Digraf Dwiwarna dinotasikan dengan D(2).
Arc merah (u, v) direpresentasikan dengan u → v atau dengan tanda panahm sedangkan arc biru (u, v) direpresentasikan dengan u→ v atau garis putus-putus.b Contoh 2.1.2 Berikut gambar digraf dwiwarna
Gambar 2.2 : Digraf Dwiwarna dengan 6 titik 8 arc
Digraf dwiwarna diatas memperlihatkan himpunan vertex V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}
dengan uraian sebagai berikut :
a. Himpunan arc biru B = {(v3, v4), (v4, v2), (v6, v1)}
b. Himpunan arc merah R = {(v1, v2), (v2, v3), (v2, v5), (v5, v6), (v1, v1)}
merupakan suatu digraf dwiwarna dengan 6 vertex, 3 arc biru dan 5 arc merah.
Pada digraf dwiwarna juga terdapat walk, path, dan cycle. Suatu (h, k)-walk dalam digraf dwiwarna adalah sebuah walk dengan h arc merah dan k arc biru sedan-gkan vektor ((r(w), b(w)) atau
r(w) b(w)
merupakan komposisi dari walk w, dengan r(w) adalah notasi dari jumlah arc merah dan b(w) adalah notasi dari jumlah arc biru dan l(w) = r(w) + b(w) adalah panjang walk w yang merupakan jumlah dari arc merah dan arc biru.
Seperti halnya digraf,path pada digraf dwiwarna merupakan walk yang tidak mengalami perulangan titik, namun jika titik awal sama dengan titik akhir maka dise-but sebagai path tertutup atau cycle, sedangkan loop adalah cycle dengan panjang
satu yang memiliki komposisi 1 0 atau 0 1 .
Contoh 2.1.3 Berikut adalah contoh walk, path, cycle dan loop dari Gambar 2.2. Digraf dwiwarna diatas memperlihatkan :
1. v1 m → v2 m → v3 b → v4 b
→ v2 adalah walk terbuka.
2. v1 → vm 2 → vm 3 → vb 4 adalah path terbuka.
3. v1 m → v2 m → v5 m → v6 b → v1 adalah cycle. 4. v1 m
→ v1 adalah loop dengan komposisi
1 0 2.2 Matriks Adjacency
Matriks adjacency dari digraf dan digraf dwiwarna dengan n-titik adalah suatu ma-triks berordo n×n yang dinotasikan dengan A dimana setiap entrinya adalah 1 atau 0.
2.1.2 Matriks Adjacency Digraf
Matriks adjacency pada Digraf D dengan n-titik yang dinotasikan sebagai A(D) = [aij] dengan entry sebagai berikut:
aij =
( 1, jika terdapat arc dari vi ke vj di D
0, jika sebaliknya untuk i, j = 1, 2, 3, ..., n
Contoh 2.2.1 Berikut adalah matriks adjacency pada digraf D yang diperoleh dari Gambar 2.1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0
2.2.2 Matriks Adjacency Digraf Dwiwarna
Pada digraf dwiwarna matriks adjacency dibagi menjadi 2 bagian berdasarkan warna arc yakni :
a. Matriks adjacency merah
Matriks adjacency merah yang berordo n × n dinotasikan sebagai R = [rij]
dengan entri adalah sebagai berikut:
rij =
( 1, jika terdapat arc merah dari vi ke vj di D(2)
0, jika sebaliknya untuk i, j = 1, 2, 3, ..., n
Contoh 2.2.2 Berikut adalah matriks adjacency merah dari digraf dwiwarna yang diperoleh dari Gambar 2.2.
1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
b. Matriks adjacency biru
Matriks adjacency biru yang berordo n × n dinotasikan sebagai B = [bij]dengan
entri adalah sebagai berikut:
bij =
( 1, jika terdapat arc biru dari vi ke vj di D(2)
0, jika sebaliknya untuk i, j = 1, 2, 3, ..., n.
Contoh 2.2.3 Berikut adalah matriks adjacency biru dari digraf dwiwarna yang diperoleh dari Gambar 2.2.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
2.3 Primitifitas Digraf dan Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat
Pada subbab ini akan dibahas mengenai digraf dan digraf dwiwarna terhubung kuat dan hubungannya dengan primitifitas.
2.3.1 Primitifas Digraf Terhubung Kuat
Suatu digraf D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u.
Contoh 2.3.1Berikut adalah digraf terhubung kuat dan tak terhubung kuat.
Gambar 2.3: (a) Terhubung Kuat (b) Tidak Terhubung Kuat
Gambar 2.3 memperlihatkan bahwa pada (a) terdapat walk dari satu titik ketitik lainnya. Sedangkan (b) tidak terdapat walk dari v3 ke v1.
Lemma 2.3.1 Andaikan D adalah digraf terhubung kuat maka setiap titik u di D terletak pada cycle.
Bukti : Ambil sebarang titik u di D dan sebarang arc dari titik u ke v di D. Karena D adalah digraf terhubung kuat, maka terdapat path dari titik u ke v dan path dari titik v ke u akibatnya terdapat path tertutup atau disebut sebagai cycle untuk se-tiap titik u di D. Dengan kata lain bahwa sese-tiap titik u di D terletak pada suatu cycle.
Andaikan C = {γ1, γ2, ..., γq} merupakan himpunan semua cycle di D dan
misalkan notasi l(γi) merupakan panjang semua cycle pada digraf D untuk setiap
i = 1, 2, · · · , q. Suatu digraf D terhubung kuat dikatakan primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari setiap panjang cycle di D adalah 1 (Brualdi dan Ryser,1991).
Contoh 2.3.2 Berikut adalah digraf terhubung kuat yang primitif.
Gambar 2.4 : Digraf Terhubung Kuat dan Primitif
Pada gambar 2.4 diperlihatkan bahwa l(γ1) dari cycle v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v1
adalah 5. Kemudian l(γ2) dari cycle v1 → v4 → v5 → v1 adalah 3. Dan l(γ3) dari
cycle tertutup v1 ke v1 adalah 1. Sehingga diketahui bahwa pembagi persekutuan
2.3.2 Primitifitas Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat
Suatu digraf D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u .
Contoh 2.3.3Berikut adalah digraf dwiwarna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.
Gambar 2.5: (a)Terhubung Kuat (b)Tidak Terhubung Kuat
Gambar 2.5 memperlihatkan bahwa pada digraf dwiwarna (a) terdapat walk dari satu titik ketitik lainnya. Sedangkan (b) tidak terdapat walk dari v3 ke v1.
Lemma 2.3.2 Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna terhubung kuat maka setiap
titik u di D(2) terletak pada cycle.
Bukti : Ambil sebarang titik u di D(2) dan sebarang arc dari titik u ke v di D(2).
Karena D(2) adalah digraf dwiwarna terhubung kuat, maka terdapat path dari titik u
ke v dan path dari titik v ke u akibatnya terdapat path tertutup atau disebut sebagai cycle untuk setiap titik u di D(2). Dengan kata lain bahwa setiap titik u di D(2)
terletak pada suatu cycle.
Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat suatu
titik (u, v) di D(2) terdapat (h, k)-walk dari u ke v dan walk dari v ke u.
Andaikan C = {γ1, γ2, ..., γq} merupakan himpunan semua cycle di D(2) dan
misalkan notasi l(γi) merupakan panjang semua cycle pada digraf dwiwarna D(2)
untuk setiap i = 1, 2, 3, · · · , q. S disebut sebagai matriks cycle adalah matriks yang berordo 2 × q sebagai berikut
S = r(γ1) r(γ2) · · · r(γq) b(γ1) b(γ2) · · · b(γq)
Kolom ke-q dari matrik cycle S merupakan komposisi dari cycle γq dan jumlah
baris pada matriks S menyatakan banyaknya warna pada D(2). Suatu digraf dwiwarna
dikatakan primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan-determinan matriks minor berordo 2×2 dari S adalah 1 (Fornasini dan Valcher,1997).
Contoh 2.3.4 Berikut adalah digraf dwiwarna terhubung kuat yang primitif.
Gambar 2.6 Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat dan Primitif Dari Gambar 2.6 diatas terdapat 2 cycle yaitu cycle yang pertama v1
m → v2 m → v3 m → v4 b → v1 dengan komposisi S1 = 3 1
dan cycle kedua adalah v5 b → v2 m → v3 m → v5 dengan komposisi S2 = 2 1
, maka matriks cycle dari D(2) adalah S =
3 2 1 1 dengan det(S) = 1. Sehingga Digraf Dwiwarna pada Gambar 2.6 adalah terhubung kuat dan primitif.
2.4 Matriks Tak Negatif dan Digraf Dwiwarna
Suatu matriks A dikatakan matriks tak negatif jika untuk setiap entri dari matriks A = [aij] bernilai tak negatif atau dapat dinotasikan dengan aij ≥ 0 .
Contoh 2.4.1Berikut adalah matriks tak negatif. 1 0 0 0 1 0 0 0 1
sedangkan matriks A dikatakan postitif, jika untuk setiap entri dari matriks A = [aij]
bernilai positif atau dapat dinotasikan dengan aij > 0 .
Contoh 2.4.2 Berikut adalah matriks positif. 1 4 7 2 5 8 3 6 9
Pada suatu digraf D, terdapat suatu bilangan bulat positif l sehingga untuk setiap pasangan titik-titik u dan v terdapat walk dari u ke v dengan panjang l, maka bilan-gan bulat positif terkecil l disebut sebagai eksponen dari digraf D yang dinotasikan sebagai exp(D) (Brualdi dan Ryser,1991).
Proposisi 2.4 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraf D. Entri ak
ij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj dengan panjang k di D.
Bukti : Andaikan A suatu matriks adjacency dari digraf D, maka setiap entri aij
dari A menyatakan arc dari titik vi ke vj di D. Sehingga untuk k = 1, terdapat entri
a1
ij dari A1 menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj dengan panjang satu di D.
Asumsikan setiap entri ak
ij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari titik vi
entri ak+1ij menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj dengan panjang k + 1 di D,
untuk setiap k ≥ 1 .
Perhatikan setiap walk dari titik vi ke vj di D dengan panjang k + 1 yang
terdiri dari walk vi ke vl dengan panjang k dengan l = 1, 2, 3, .., n dan dilanjutkan
dengan arc dari titik vl ke vj. Sehingga akilalj menyatakan walk dengan panjang k + 1
dari titik vi ke vj di D untuk k = 1, 2, 3, · · · , n. Jika terdapat walk dengan panjang
k dari titik vi ke vj di D, maka akil = 0 sehingga akilalj = 0. Hal ini berarti tidak
terdapat walk dengan panjang k + 1 dari titik vi ke vj yang melalui titik vl di D.
Sehingga diperoleh jumlah walk dengan panjang k + 1 dari titik vi ke vj di D adalah
ak i1a1j+ aki2a2j+ ... + akinanj = n X i=1 ak ilalj Karena Ak+1 = AkA maka ak ij = Pn
i=1akilalj . Hal ini berakibat a k+1
ij adalah benar
menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D.
Contoh 2.4.1 Berikut adalah representasi menghitung eksponen dari digraf D. Dari Gambar 2.1 diatas diperoleh matriks adjacency sebagai berikut.
A = 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0
Dari proposisi diatas, dengan mencari banyak walk dari titik vi ke vj dengan
panjang k, sehingga bilangan bulat positif terkecil k adalah eksponen dari digraf D. Perhatikan matriks Ak untuk k:
a. Untuk k = 1, diperoleh A = 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0
maka k = 1 bukan merupakan eksponen dari digraf karena tidak terdapat walk dengan panjang satu dari titik v1 ke v3, v2 ke v4, v4 ke v1, dst.
b. untuk k = 2, diperoleh A2= 1 1 1 0 1 0 0 1 1 2 0 0 0 0 1 0
maka k = 2 bukan merupakan eksponen dari digraf karena tidak terdapat walk dengan panjang 2 dari titik v1 ke v4, v2 ke v2, v2 ke v3, v3 ke v4, dst.
c. Untuk k = 3 , diperoleh A3 = 2 1 1 1 1 2 0 1 1 1 2 0 1 0 0 1
maka k = 3 bukan merupakan eksponen dari digraf, karena tidak terdapat walk dengan panjang tiga dari titik v2 ke v3, v3 ke v4, dst.
d. Untuk k = 4, diperoleh A4 = 3 3 1 1 1 1 2 0 3 1 1 2 1 2 0 0
maka k = 4 bukan merupakan eksponen dari digraf, karena tidak terdapat walk dengan panjang empat dari titik v2 ke v4, v4 ke v3, v4 ke v4, dst.
e. Untuk k = 5, diperoleh A5 = 4 4 3 1 3 1 1 2 4 5 1 1 1 1 2 0
maka k = 5 bukan merupakan eksponen dari digraf, karena tidak terdapat walk dengan panjang lima dari titik v4 ke v4.
f. Untuk k = 6, diperoleh A6 = 7 5 4 3 4 5 1 1 5 5 5 1 3 1 1 2
merupakan eksponen dari digraf, karena setiap pasang titik (vi, vj) memiliki
Pada digraf dwiwarna D(2), eksponen dari digraf dwiwarna D(2), di definisikan
sebagai bilangan bulat positif terkecil h + k yang terdiri dari h arc merah dan k arc biru sehingga untuk setiap pasang titik u dan v terdapat sebuah (h, k)-walk dari u ke v, eksponen dari digraf dwiwarna D(2) dinotasikan oleh exp(D(2))(Shader dan Suwilo,
2003).
Andaikan A dan B adalah suatu matriks tak negatif berordo m × m. Un-tuk bilangan tak negatif h dan k di definisikan (h, k)-Hurwitz product, (R, B)(h,k)
adalah jumlah keseluruhan matriks dari perkalian R sebanyak h kali dan B sebanyak k kali.
Contoh 2.4.2 :
(R, B)(1,0)= R dan (R, B)(2,2)= R2B2+ RBRB + RB2R + BRBR + B2R2
Lemma 2.4.1 Jika (R, B) adalah matriks adjacency dari digraf dwiwarna. Maka (R, B)(h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari v
i ke vj pada digraf dwiwarna.
Bukti : Pembuktian dilakukan dengan cara induksi, yakni jika h = 0 dan k = 1 maka (R, B)(0,1) = B merupakan walk dari v
i ke vj memiliki komposisi 0 1 pada digraf dwiwarna . Kemudian jika h = 1 dan k = 0 maka (R, B)(1,0) = R merupakan
walk dari vi ke vj memiliki komposisi
1 0
pada digraf dwiwarna.
Kemudian diperlihatkan untuk semua bilangan bulat tak negatif h + k + 1 adalah benar dengan pembuktian sebagai berikut.
(R, B)(h+1,k) = R(R, B)(h,k)+ B(R, B)(h+1,k−1) sehingga R(R, B)(h,k) menyatakan bahwa terdapat walk dari v
i ke vj dengan panjang
(h, k) yang diikuti dengan sebuah arc merah, sedangkan B(R, B)(h+1,k−1) menyatakan
bahwa terdapat walk dari vi ke vj dengan panjang (h + 1, k − 1) yang diikuti oleh
dari vi ke vj.
Contoh 2.4.3 Berikut adalah representasi menghitung eksponen digraf dwiwarna.
Gambar 2.7 : Digraf Dwiwarna dengan 3 titik dan 4 arc
Dari Gambar 2.7 digraf dwiwarna terhubung kuat yang primitif terdapat matriks
ad-jacency merah R = 0 1 0 0 0 0 1 0 0
dan matriks adjacency biru B = 0 0 0 1 0 1 0 0 0 .
Menggunakan Lemma 2.4.1, jika (R, B) adalah matriks adjacendy dari digraf dwi-warna. Maka (R, B)(h,k)adalah jumlah (h, k)-walk dari v
ike vjpada digraf dwiwarna.
Sehingga h + k merupakan eksponen dari digraf bila matriks (R, B)(h,k) adalah
ma-triks positif.
Dengan demikian perhatikan matriks adjacency merah R dan matriks adjacency biru B adalah sebagai berikut :
1. Untuk h + k = 2 , maka diperoleh
a. (R, B)(2,0)= R2 = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 b. (R, B)(1,1)= RB + BR = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c. (R, B)(0,2)= B2 = 1 0 1 1 1 0 0 0 0
2. Untuk h + k = 3, maka diperoleh
a. (R, B)(3,0)= R3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b. (R, B)(2,1)= R(R, B)(1,1)+ BR2 = 1 1 0 0 1 0 1 0 1 c. (R, B)(1,2)= RB2+ B(R, B)(1,1)= 0 0 0 1 0 1 0 0 0 d. (R, B)(0,3)= B3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3. Untuk h + k = 4, maka diperoleh
a. (R, B)(4,0)= R4 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b. (R, B)(3,1)= R(R, B)(2,1)+ BR3 = 0 1 0 0 0 0 1 0 1 c. (R, B)(2,2)= R(R, B)(1,2)+ B(R, B)(2,1)= 1 0 1 2 1 1 0 0 0
d. (R, B)(1,3)= RB3+ B(R, B)(1,2)= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e. (R, B)(0,4)= B4 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4. Untuk h + k = 6, maka diperoleh
a. (R, B)(6,0)= R6 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b. (R, B)(1,5)= RB3+ B(R, B)(1,4)= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c. (R, B)(2,4)= R(R, B)(1,4)+ B(R, B)(2,3)= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d. (R, B)(3,3)= R(R, B)(2,3)+ B(R, B)(3,2)= 1 0 1 3 1 2 0 0 0 e. (R, B)(4,2)= R(R, B)(3,2)+ B(R, B)(4,1)= 1 2 0 0 1 0 2 1 1 f. (R, B)(5,1)= R(R, B)(4,1)+ BR5 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a. (R, B)(0,6)= B6 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5. Untuk h + k = 10, maka diperoleh
a. (R, B)(10,0)= R10 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b. (R, B)(1,9)= RB9+ B(R, B)(1,8)= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c. (R, B)(2,8)= R(R, B)(1,8)+ B(R, B)(2,7)= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d. (R, B)(3,7)= R(R, B)(2,7)+ B(R, B)(3,6)= 1 0 1 3 1 2 0 0 0 e. (R, B)(4,6)= R(R, B)(3,6)+ B(R, B)(4,5)= 1 2 0 0 1 0 2 1 1 f. (R, B)(5,5)= R(R, B)(4,5)+ B(R, B)(5,4)= 1 0 1 5 1 4 0 0 0 a. (R, B)(6,4)= R(R, B)(5,4)+ B(R, B)(6,3)= 6 4 3 4 6 1 4 1 3
se-hingga exp(D(2)) = 10 dengan komposisi 6 arc merah dan 4 arc biru yakni 6 4 .
2.5 Eksponen Titik Digraf dan Digraf Dwiwarna
Pada subbab ini akan dibahas definisi dan penentuan eksponen titik digraf dan digraf dwiwarna.
2.5.1 Eksponen Titik Digraf
Misalkan D adalah sebuah digraf primitif yang terdiri dari himpunan titik V (D) = {v1, v2, ..., vn}. Eksponen titik dari digraph D didefinisikan sebagai jumlah walk
dengan panjang minimum m yang menghubungkan titik vk ke setiap titik di D
dino-tasikan γD(vk).
Misalkan D adalah sebuah digraf dwiwarna primitif yang berordo n × n. Jika titik-titik di D adalah (v1, v2, ...vn) sehingga
γD(v1) ≥ γD(v2) ≥ ... ≥ γD(vn)
Maka γD(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D, yang dinotasikan
dengan expD(vk).
Contoh 2.5.1Berikut adalah bagaimana mencari eksponen titik dari masing-masing titik di digraf D, berdasarkan proposisi 2.4 entri aij harus bernilai positif.
Dari Contoh 2.4.1 diperoleh matriks-matriks dari Ak :
1. Untuk k=3, pada baris pertama semua entri bernilai positif, maka expD(v1) = 3.
2. Untuk k=4, pada baris ke-3 semua entri juga bernilai positif,maka expD(v3) = 4.
3. Untuk k=5, pada baris ke-2 semua entri bernilai positif, maka expD(v2) = 5.
2.5.2 Eksponen Titik Digraf Dwiwarna
Misalkan D(2) adalah sebuah digraf dwiwarna primitif yang terdiri dari himpunan
titik V (D) = {v1, v2, ..., vn}. Eksponen titik dari digraph dwiwarna D(2)
didefin-isikan sebagai jumlah walk dengan panjang minimum g+h yang menghubungkan titik vk ke setiap titik di D(2), dengan g menyatakan jumlah arc merah dan h menyatakan
jumlah arc biru . Kemudian dinotasikan dengan γD(vk).
Misalkan D adalah sebuah digraf dwiwarna primitif yang berordo n × n. Jika titik-titik di D(2) adalah (v
1, v2, ..., vn), maka
γD(v1) ≥ γD(v2) ≥ ... ≥ γD(vn)
sehingga γD(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D(2), yang
dino-tasikan dengan expD(2)(vk) .
Dengan menggunakan operasi (g, h)-matriks Hurwitz Product R dan B yang telah didefenisikan pada subbab 2.4. Untuk suatu bilangan positif terkecil g dan h yang masing-masing merupakan jumlah arc merah dan arc biru, sehingga g + h meru-pakan eksponen titik digraf dwiwarna untuk setiap baris ke-k dari matriks tersebut yang seluruh entrinya bernilai positif .
Contoh 2.5.2 Berikut mencari eksponen titik digraf dwiwarna dari masing-masing titik pada Gambar 2.6.
1. Untuk g+h=4, dengan (R, B)(2,2)= R(R, B)(1,2)+ B(R, B)(2,1)= 1 0 1 2 1 1 0 0 0
pada baris ke-2 semua entri bernilai positif,maka expD(2)(v3) = 4 yang terdiri
dari 2 arc merah dan 2 arc biru yakni 2 2 .
2. Untuk g+h=5 dengan (R, B)(3,2)= R(R, B)(2,2)+ B(R, B)(3,1)= 2 1 1 1 2 0 1 0 1
pada baris pertama semua entri bernilai positif, maka expD(2)(v1) = 5 yang
terdiri dari 3 arc merah dan 2 arc biru yakni 3 2 . 3. Untuk g+h=6, dengan (R, B)(4,2)= R(R, B)(3,2)+ B(R, B)(4,1)= 1 2 0 0 1 0 2 1 1
pada baris ke-3 semua entri bernilai positif, maka expD(2)(v2) = 6 yang terdiri
dari 4 arc merah dan 2 arc biru yakni 4 2 .
2.6 Sistem Persamaan Diophantine
Bentuk persamaaan Diophantine dapat dituliskan sebagai berikut a1x1+ a2x2 + a3x3+ ... + anxn= b
memiliki solusi bilangan bulat untuk semua bilangan bulat positif n dan koefisien-koefisien a1, a2, a3, ..., an tidak semuanya bernilai nol.
Teorema 2.6 Persamaan diophantine
a1x1+ a2x2 + a3x3+ ... + anxn= b
Bukti : Sistem persamaan diophantine adalah himpunan dari m persamaan dio-phantine dalam n variabel yang sama, untuk m, n > 0. Berikut merupakan sistem persamaan diophantine. a11x1+ a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1+ a22x2 + ... + a2nxn = b2 .. . am1x1+ am2x2 + ... + amnxn = bm
Sistem persamaan diophantine tersebut dapat pula direpresentasikan dalam bentuk persamaan matriks Ax = b sebagai berikut
A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... . .. ... am1 am2 · · · amn , x = x1 x2 .. . xn dan b = b1 b2 .. . bm
Sistem persamaan diophantine memiliki solusi bilangan bulat jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan-determinan submatriks 2 × 2 dari A adalah ±1.
2.7 Formula Eksponen Titik Digraf Dwiwarna dengan Dua Cycle
Subbab ini dibahas bagaimana menentukan batas atas dan batas bawah eksponen titik digraf dwiwarna yang primitif yang memuat dua cycle.
Lemma 2.7.1 Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna primitif yang memuat dua
cycle dengan matriks cycle S =
r(γ1) b(γ2)
b(γ1) r(γ2)
. Misalkanvkadalah sembarang titik
dariD(2) dan terdapat sebuah(g, h)-walk dari titik v
kke setiap titikvj, j = 1, 2, · · · , n
di D(2) dengan persamaan berikut
g h = S u w (1)
maka u w ≥ S−1 r(p(k,j) b(p(k,j)
untuk sembarang bilangan bulat tak negatif u, v dan untuk suatu path p(k,j) dari vk ke vj.
Bukti : Misalkan p(k,j)adalah path dari titik vkke vj untuk sembarang j = 1, 2, ..., n.
Karena D(2) memuat 2 cycle maka setiap walknya dapat didekomposisi ke dalam path
dan cycle sebagai berikut : g h = S x1 x2 + r(p(k,j)) b(p(k,j)) (2)
dengan x1, x2 ≥ 0. Karena D(2) primitif, maka M memiliki invers. Dengan
menggu-nakan persamaan (1) dan (2), maka diperoleh :
S u w = S x1 x2 + r(p(k,j)) b(p(k,j)) S x1 x2 = S u w − r(p(k,j)) b(p(k,j)) x1 x2 = u w − S−1 r(p(k,j)) b(p(k,j)) ≥ 0 sehingga u w ≥ S−1 r(p(k,j) b(p(k,j)
dan Lemma 2.7.1 terbukti. Menggunakan Lemma 2.7.1 diperoleh teorema sebagai berikut.
Teorema 2.7.1 Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna primitif yang terdiri dari
cycle γ1 dan γ2. Misalkan vk adalah titik diD(2). Untuk sembarang titik vi dan vj di
D(2), didefinisikan u 0 = b(γ2)r(pk,j) − r(γ2)b(pk,j) dan w0 = r(γ1)b(pk,j) − b(γ1)r(pk,j) maka g h ≥ S u0 w0 , sehingga expD(2)(vk) ≥ l(γ1)u0+ l(γ2)w0.
g h = S u w
sehingga diperoleh persamaan u w ≥ S−1 r(p(k,j)) b(p(k,j)) = b(γ2)r(pk,j) − r(γ2)b(pk,j) r(γ1)b(pk,j) − b(γ1)r(pk,j) (3)
untuk setiap path pk,j dari titik vk ke vj.
Untuk sembarang titik vj, j = 1, 2, ..., n, diperoleh
u0 = b(γ2)r(pk,j) − r(γ2)b(pk,j) ≥ 0 (4)
dan untuk sembarang titik vi, i = 1, 2, ..., n, diperoleh
w0 = r(γ1)b(pk,i) − b(γ1)r(pk,i) ≥ 0 (5)
sehingga u ≥ u0 dan w ≥ w0. Oleh Lemma 2.6.1 diperoleh
g h = S u w ≥ S u0 w0 (6)
sehingga expD(2)(vk) = g+h ≥ (r(γ1)+b(γ1))u0+(r(γ2)+b(γ2))w0 = l(γ1)u0+l(γ2)w0.
Teorema 2.7.1 menerangkan tentang batas bawah eksponen titik, sedangkan Proposisi 2.7.1 berikut akan menerangkan batas atas eksponen titik digraf dwiwarna yang primitif dari suatu titik v, dengan d(v, vk) merupakan jarak dari titik vk ke titik
v sebagai walk terpendek dari vk ke titik v.
Proposisi 2.7.1 Asumsikan D(2) adalah digraf dwiwarna primitif atas n-titik.
Mis-alkan v adalah sebuah titik di D(2) dengan exp(2)
D (vk). Untuk sembarang titik vk, k =
1, 2, ..., n di D(2), exp
D(2)(vk) ≤ expD(2)(v) + d(vk, v).
Bukti : Untuk setiap k = 1, 2, ..., n misalkan pk,v adalah (r(pk,v), b(pk,v))-path dari
titik vk ke titik v dengan panjang d(vk, v). Terdapat (g, h)-walk dari titik v ke
se-tiap titik vj, j = 1, 2, ..., n di D(2) , sehingga expD(2)(v) = g + h. ini
titik vk ke setiap titik vj. Walk tersebut berjalan dari titik vk ke v dengan melalui
(r(pk,v), b(pk,v))-path selanjutnya menuju ke titik vj melalui (g + h)-walk. Sehingga
diperoleh expD(2)(vk) ≤ expD(2)(v) + d(vk, v).
Proposisi 2.7.2 Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna yang terdiri atas cycle γ 1
danγ2. Misalkan titik vk adalah titik di D(2) yang terdapat pada cycleγ1 danγ2. Jika
untuk setiap i = 1, 2, ..., n dan sembarang bilangan g dan h, terdapat path pk,i dari
titik vk ke titik vi sehingga sistem persamaan
Sx + r(p(k,i)) b(p(k,i)) = g h (7)
punya solusi bilangan bulat tak negatif, sehingga expD(2)(v) ≤ g + h.
Bukti : Misalkan bahwa solusi persamaan (7) adalah x = (x1, x2)T. Karena D(2)
adalah digraf dwiwarna primitif, maka S punya invers sehingga x1, x2 6= 0, sehingga
terdapat tiga kemungkinan dalam hal ini.
1. Jika x1, x2 > 0, maka terdapat (g, h)-walk yang bergerak dari titik vk ke titik
vi mengelilingi γ1 sebanyak x1 kali dan mengelilingin γ2 sebanyak x2 kali dan
kembali ke titik vkdan kemudian bergerak menuju titik vi dengan panjang path
pk,i.
2. Jika x1 = 0 dan x2 > 0, maka terdapat (g, h)-walk yang bergerak dari titik vk
ke titik vimengelilingi γ2 sebanyak x2kali dan kembali ke titik vkdan kemudian
bergerak menuju titik vi dengan panjang path pk,i.
3. Jika x1 > 0 dan x2 = 0, maka terdapat (g, h)-walk yang bergerak dari titik vk
ke titik vimengelilingi γ1 sebanyak x1kali dan kembali ke titik vkdan kemudian
bergerak menuju titik vi dengan panjang path pk,i.
Sehingga untuk setiap titik vi, i = 1, 2, ..., n terdapat (g, h)-walk dari titik vk ke titik
