Pelanggaran Lorentz dan Gravitasi Braneworld

Bab VII Pelanggaran Lorentz dan Gravitasi Braneworld

VII.1 Pendahuluan

Invarian Lorentz, simetri fundamental teori relativitas umum, menyebutkan bahwa hasil-hasil pengukuran fisis tidak berubah meskipun sebuah ekperimen dirotasikan atau di-boost. Namun, ada hal menarik yang perlu dikaji ketika simetri ini dilanggar. Salah satu alasan adalah teori relativitas umum tidak cukup baik untuk menggambarkan dinamika alam semesta pada skala Planck. Alasan lain dikemukakan oleh Jenkin (2004) bahwa invarian Lorentz juga tidak berlaku pada skala yang besar oleh keberadaan kerangka diam universal (preferred frame). Dikemukakan pula bahwa baik invarian Lorentz maupun kovariansi umum dalam kerangka diam universal hanya mempertahankan invarian rotasi. Secara matematis, hal ini dapat dijelaskan dengan memperkenalkan sebuah medan vektor serupa waktu. Salah satu implikasinya adalah kostanta Newton dimodifikasi (Caroll dan Lim, 2004) dan memodifikasi hubungan dispersi medan-medan materi dalam konteks braneworld (Csaki, dkk., 2001).

Sebagaimana telah digambarkan sebelumnya, teori string memberikan sebuah model baru tentang alam semesta yaitu alam semesta 4-dimensi adalah sebuah

braneworld. Secara fenomenologi, model ini memprediksikan adanya koreksi

persamaan medan gravitasional dari teori gravitasi 4-dimensi standar pada skala energi rendah. Akibatnya, evolusi kosmologi alam semesta harus ditinjau kembali. Model yang diperkenalkan oleh Randall dan Sundrum (1999) cukup baik untuk menggambarkan hal ini.

Bab ini memperluas model satu buah brane dengan keberadaan sebuah medan vektor yang melanggar invarian Lorentz di dalam bulk sepanjang dimensi ekstra. Untuk mempertahankan sifat-sifat kovarian, medan vektor na dipandang sebagai sebuah medan dinamik. Untuk tujuan ini, medan vektor pelanggaran Lorentz yang ditinjau adalah teori medan vektor pelanggaran Lorentz yang diperkenalkan oleh Jacobson dan Mattingly (2001) yang menggambarkan efek gravitasional medan vektor dalam 4-dimensi. Pada bab ini medan vektor diperluas menjadi 5-dimensi

dalam konteks braneworld. Didasarkan atas pendekatan kovarian, persamaan-persamaan evolusi diselesaikan secara iteratif dengan menggunakan metode ekspansi gradien. Ditinjau pula bagaimana pelanggaran simetri Lorentz memodifikasi evolusi kosmologi alam semesta.

Pembahasan pada bab ini adalah sebagai berikut. Sub Bab VII.2 menggambarkan model pelanggaran Lorentz dan menurunkan persamaan-persamaan medan bulk. Di dalam sub Bab VII.3, persamaan-persamaan medan bulk diselesaikan dengan menggunakan skema metode ekspansi gradien untuk memperoleh persamaan-persamaan efektif pada brane. Implikasi kosmologi dari model ini dibahas pada sub Bab VII.4 dengan mengasumsikan bahwa metrik induksi pada brane adalah metrik Friedmann-Robertson-Walker (FRW). Sub Bab VII.5 merupakan rangkuman dari pembahasan dalam bab ini.

VII.2 Model

Aksi dari sebuah sistem satu buah brane yang dimasukkan dalam ruang-waktu 5-dimensi dengan medan vektor sepanjang arah 5-dimensi ekstra adalah

(

5 4 2 2 1 12 2 bulk brane vec matter S d x g R L d x h L l σ

)

κ ⎛ ⎞ = − _⎜ + + _⎟+ − ⎝ ⎠

∫

∫

− , (VII.1)

di mana R, κ dan g berturut-tururut menyatakan skalar Ricci, konstanta gravitasional 5-dimensi dan determinan metrik 5-dimensi. adalah rapat Lagrangian untuk medan-medan materi pada brane. Metrik induksi pada brane dinyatakan oleh h

brane matter

L

μν , sedangkan tegangan brane dinyatakan oleh σ. Konstanta kosmologi bulk dinyatakan dalam ungkapan skala kelengkungan bulk, l:

. Rapat Lagrangian medan vektor bulk diberikan oleh 2 2 6 / l κ Λ = −

(

)

1 3 2 1 bulk b c b c c d a vec b c c b c d a L = − ∇ ∇β n n − ∇ ∇β n n − ∇ ∇β n n +λ n n − . (VII.2) Sebagai latar belakang solusi dipilih sistem koordinat untuk metrik bulk sebagai berikut

( )

2 2 , a b ab ds =g dx dx =dy +g_μν y x dx dxμ ν , (VII.3)

dengan y adalah koordinat dimensi ekstra. Dalam model ini, brane diletakkan di y

= 0 sehingga metrik induksi pada brane adalah h_μν( )x =g_μν(y=0, )x dan brane memiliki simetri Z2.

Dalam sistem koordinat (VII.3), persamaan-persamaan medan yang diturunkan dari aksi (VII.1) adalah:

(

)

[ ]

2

(

)

1 4 1 1 yK KK R g l ν ν ν ν μ μ _α μ _α δμ ∂ − + = − + +

(

)

2 1 1 ( ) 1 3 T 3T y ν ν ν μ μ μ κ _{σδ δ δ} α ⎛ + _⎜ + − + ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ , (VII.4)

(

)

(

)(

)

2 2 4 4 1 3 1 yK K K T y l αβ αβ κ _{σ δ} α α ∂ − = − − − + + +

( )

, (VII.5) 0 Kν K ν μ μ ∇ − ∇ = , (VII.6)

dengan α =2

(

β₁+β₃

)

adalah parameter kopling vektor. Di dalam persamaan di atas, Rν_μ

[ ]

g dan ∇_μ masing-masing menyatakan tensor Ricci pada brane dan turunan kovarian terhadap metrik g_μν

( )

y x, . Untuk memperoleh persamaan-persamaan di atas, definisi dari kurvatur ekstrinsik diberikan oleh

1 2 K yg μν μν ∂ = − ∂ . (VII.7)

Syarat junction diturunkan dari persamaan-persamaan medan yang mengandung fungsi delta, persamaan (VII.4) dan (VII.5), namun sekarang termodifikasi oleh keberadaan medan vektor:

(

)

(

)

2 0 _{2 1} y Kν_μ δν_μK κ δν Tν α = ⎡ − ⎤ = − + ⎣ ⎦ ₊ μσ μ . (VII.8)

Dekomposisi kurvatur ekstrinsik menjadi bagian traceless dan trace diberikan sebagai berikut 1 4 K_μν = ∑ +_μν g_μνK , K log y g ∂ = − ∂ − . (VII.9)

(

11

)

14 y K R ν ν ν ν μ μ _α ⎡ μ δμR⎤ ∂ ∑ − ∑ = − _⎢ − _⎥ + ⎣ ⎦, (VII.10)

(

)

[ ]

(

)

2 2 3 1 4K 1 R 1 l αβ αβ _{α α} − ∑ ∑ = + + + 1 12 , (VII.11)

(

)

2 2 1 4 1 yK K l αβ αβ 4 α ∂ − − ∑ ∑ = − + , (VII.12) 3 0 4 K ν ν μ μ ∇ ∑ − ∇ = . (VII.13)

Syarat junction (VII.8) menentukan dinamika metrik induksi dan teori gravitasi efektif pada brane. Dalam ungkapan persamaan (VII.9), syarat junction (VII.8) menjadi

(

)

(

)

2 0 3 4 K _y 2 1 T ν ν μ μ μ μ κ δ α = ⎡_{∑ −} ⎤ _{= − +} ⎢ ⎥ ₊ ⎣ ⎦ ν ν δ σ . (VII.14)

Untuk menyelesaikan persamaan-persamaan medan bulk digunakan metode ekspansi gradien seperti dijelaskan pada bab V. Ekspansi metrik menjadi deret perturbatif diberikan sebagai berikut

2 (1) (2) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) g_μν y x =a y _⎣⎡h_μν x +g_μν y x +g_μν y x + ⎤_⎦, (VII.15) di mana ( ) ( ) : 0 ( 0, ) 0 : 1, 2 i h x i g y x i μν μν = ⎧ = _{= ⎨} = ⎩ ,… (VII.16)

Ekspansi dari tensor kurvatur ekstrinsik diberikan oleh (0) (1) (2)

Kν_μ =K _μν +K _μν +K _μν + (VII.17) Berikut ini diselesaikan masing-masing orde dari ekspansi, dibatasi sampai pada ekspansi orde-2.

VII.3 Solusi Persamaan Bulk VII.3.1 Solusi Orde-0

Untuk solusi orde-0, suku-suku gradien dan materi pada brane diabaikan. Dalam kasus ini, persamaan-persamaan medan (VII.10) – (VII.13) menjadi:

(0) (0) (0)

y K

ν ν

μ μ

(

)

(0)2 (0) (0) 2 4 3 1 K l αβ αβ 12 α ⎛ ⎞ = _⎜⎜∑ ∑ + + ⎝ ⎠⎟⎟ , (VII.19)

(

)

(0) (0)2 (0) (0) 2 1 4 1 yK K l αβ αβ 4 α ∂ = + ∑ ∑ − + , (VII.20) (0) 3 (0) 0 4 K ν ν μ μ ∇ ∑ − ∇ = . (VII.21)

Syarat junction untuk orde-0 diberikan oleh

(

)

2 (0) (0) 0 3 4 2 1 y K ν ν ν μ μ μ κ δ σδ α = ⎡_{∑ −} ⎤ ₌₋ ⎢ ⎥ ₊ ⎣ ⎦ . (VII.22)

Persamaan (VII.18) dapat diintegrasi dan menghasilkan (0) , C C g ν μ ν μ ∑ = = − 0 μ μ , (VII.23)

dengan Cν_μ adalah konstanta integrasi. Konstanta integrasi ini terkendala oleh persamaan Codacci (VII.21) dan syarat junction (VII.22) yang mengakibatkan solusi orde-0 dari bagian traceless kurvatur ekstrinsik lenyap,

(0) 0

ν μ

∑ = . (VII.24)

Sedangkan solusi orde-0 dari bagian trace kurvatur ekstrinsik dapat diperoleh dari persamaan (VII.19),

(

)

(0) 1 / 2 4 1 K l α = + . (VII.25)

Dapat dilihat bahwa persamaan-persamaan (VII.24) dan (VII.25) secara trivial adalah solusi persamaan (VII.20). Syarat junction menghasilkan ketertalaan antara tegangan brane dan skala kelengkungan bulk,

(

)

1/ 2 2 6 1 l α σ κ + = . (VII.26)

Jika α =0, persamaan ini menghasilkan persamaan untuk sistem satu buah brane seperti dibahas pada bab sebelumnya. Dalam hal ini tidak ada efek pelanggaran Lorentz pada bulk.

Selanjutnya dicari solusi metrik orde-0. Substitusi persamaan (VII.24) ke persamaan (VII.9) serta menggunakan definisi persamaan (VII.7), diperoleh persamaan evolusi untuk metrik

( )

(

)

( )

(0) (0) 1 / 2 1 1 , 2 ygμν y x l 1 α gμν y x ∂ − = ∂ ₊ , . (VII.27)

Persamaan ini dapat diintegrasi terhadap koordinat y, menghasilkan

( )

( )

(0) 1/ 2 , ( ) , ( ) exp (1 ) y g y x a y h x a y l μν μν _α ⎛ = = _⎜− + ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ . (VII.28) Sehingga metrik 5-dimensi sebagai latar belakang solusi persamaan medan adalah

( )

2 2 2 ( )

ds =dy +a y h_μν x dx dxμ ν, (VII.29) dengan hμν adalah metrik induksi pada brane.

VII.3.2 Solusi Orde-1

Untuk solusi orde-1, suku kurvatur dan materi pada brane tidak dapat diabaikan. Dengan mensubstitusikan solusi-solusi orde-0, persamaan-persamaan medan (VII.10) – (VII.13) menjadi

(

)

(

)

[ ]

[ ]

(1) (1) (1) 1 / 2 4 1 1 1 4 1 y R g R g l ν ν ν ν μ μ _α μ δμ α ⎡ ⎤ ∂ ∑ − ∑ = − _⎢ − _⎥ + ⎣ ⎦ + , (VII.30)

(

)

[ ]

(1) (1) 1/ 2 6 1 l K α ⎡ ⎤ = _{⎣ ⎦} + R g , (VII.31)

(

)

(1) (1) 1 / 2 2 1 yK l α ∂ = + K , (VII.32) (1) 3 (1) 0 4 D_ν∑_μν− D K_μ = . (VII.33)

Disini Dμ menyatakan turunan kovarian terhadap metrik induksi hμν . Syarat

junction untuk orde-1 diberikan oleh

(

)

2 (1) (1) 0 3 4 K _y 2 1 T ν ν ν μ δμ κ _α = ⎡_{∑ −} ⎤ ₌ ⎢ ⎥ ₊ ⎣ ⎦ μ . (VII.34)

Dari persamaan (VII.31), bagian trace dari tensor kurvatur ekstrinsik dapat diperoleh tanpa menyelesaikan geometri bulk. Dengan menggunakan

[ ]

[ ]

(1) (1) 2 / R _μν g =R _μν h a , diperoleh

(

)

(1) 1 / 2 2 1 6 1 l K a α = + R . (VII.35)

Persamaan ini secara trivial memenuhi persamaan kendala Hamiltonian (VII.32). Selanjutnya persamaan (VII.30) dapat diintegrasi dan menghasilkan

(

)

(1) (1) 1/ 2 2 1 1 1 2 1 4 l R R a a4 ν μ ν ν ν μ μ μ χ δ α ⎛ ⎞ ∑ = _⎜ − _⎟+ ⎝ ⎠ + , (VII.36)

dimana χ(1)_μν adalah sebuah konstanta integrasi yang memiliki trace lenyap, . Persamaan (VII.33) juga mengharuskan bahwa konstanta ini juga

memenuhi . (1) 0 μ μ χ = (1) 0 D_νχ _μν =

Tensor kurvatur ekstrinsik dihubungkan dengan tensor energi-momentum pada

brane melalui syarat junction. Substitusi persamaan (VII.35) dan persamaan

(VII.36) ke persamaan (VII.34) menghasilkan persamaan gravitasional efektif pada brane sebagai berikut:

(

)

(

)

1/ 2 2 (1) 1 / 2 2 1 1 2 1 R R T l l ν ν ν ν μ μ μ μ α κ δ χ α + − = − + . (VII.37)

Kembali dengan mengambil α =0 persamaan ini sama dengan persamaan medan gravitasional yang telah diturunkan pada sebelumnya.

Untuk mengetahui hubungan geometri dari persamaan (VII.37), perlu diketahui persamaan evolusi tensor Weyl pada orde ini. Dengan menggunakan persamaan berikut

(

)

1 1 1 3 3 y 4 y 4 Eνμ = +α ⎜⎛∂ Kνμ − δνμ∂ K⎞ ⎛⎟ ⎜− K Kαμ αν − δμνK Kα ⎝ ⎠ ⎝ β β α ⎞⎟ ⎠ 2 1 3 K K 4 K ν ν μ μ α ⎛ _δ − _⎜ − ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ , (VII.38)

(

)

(

)

(1) (1) 1/ 2 2 4 1 1 2 3 1 4 ₁ E R R a _l a ν μ ν ν ν μ μ μ χ α _δ α ⎛ ⎞ _α = − _⎜ − _⎟+ + _{⎝ ⎠ +} . (VII.39)

Persamaan ini memenuhi hubungan E(1)_μμ = , yaitu traceless. Jadi akibat dari 0 pelanggaran Lorentz, diperoleh sebuah ungkapan untuk order-1 dari tensor Weyl sebagai fungsi dari sumber pada brane dan konstanta integrasiχ(1)_μν yang hanya bergantung pada koordinat transversal. Hal ini berbeda dengan model braneworld tanpa pelanggaran Lorentz dimana tensor Weyl pada brane hanya ditentukan oleh medanχ(1)_μν.

Dengan mendefinisikan sebuah tensor bebas divergensi,

(

)

2 (1) (1) 3 / 2 12 1 E _μν E _μν ακ δ_μνT α = − +

(

)

(

)

(

)(

)

2 (1) 1/ 2 2 3 2 1 3 3 1l T ν μ α _χ ακ α α α ν μ ⎡ ⎤ + = _⎢ − _⎥ + + + _{⎣ ⎦}, (VII.40)

diperoleh persamaan medan gravitasional bebas divergensi,

(

) (

)

(

(

)

)

2 (1) 1 / 2 3 1 1 3 2 _{1 3} 3 R R T l E ν ν ν ν μ μ μ μ α κ δ α α α + − = − + + + . (VII.40)

Selanjutnya koefisien dari tensor energi-momentum brane pada persamaan di atas mendefinisikan konstanta gravitasional 4-dimensi efektif pada energi rendah

(

) (

)

2 1 / 2 3 8 1 3 G l κ π α α = + + . (VII.41)

Jadi tensor Weyl terproyeksi pada brane mempengaruhi kopling gravitasional pada energi rendah. Hasil ini berbeda jika diambil koefisien dari tensor energi-momentum brane pada persamaan (VII.37).

Persamaan (VII.33) dan persamaan (VII.34) menghasilkan hukum kekekalan untuk tensor energi-momentum brane D T_{ν μ}ν =0 . Maka identitas Bianchi terkontraksi pada brane D G_ν ν_μ = mengimplikasikan persamaan tensor Weyl 0 terproyeksi orde-1 sebagai berikut

(

)

2 (1) 3 / 2 12 1 D E_{ν μ}ν ακ D T_μ α = + . (VII.42)

Berarti bahwa tensor Weyl terproyeksi terkendala oleh sumber pada brane. Persamaan (VII.42) dapat juga diperoleh dengan mengambil divergensi kovarian tensor (1)

E _μν pada baris pertama persamaan (VII.40). Mengingat bahwa tensor Weyl terproyeksi adalah traceless, tensor ini dapat didekomposisikan menjadi bagian longitudinal (L) dan bagian tranverse-traceless (TT) yaitu:

(1) (1)( )L (1)(T ) E _μν =E _μν +E T_μν , (VII.43) dimana

(

)

(1)( ) 1 3 1 4 L E _μν α Rν_μ δ α ⎛ = − _⎜ − + ⎝ R⎠ ν μ ⎞⎟ , (VII.44)

(

)

(1)( ) (1) 1 / 2 2 1 TT E l ν ν μ χ μ α = + . (VII.45)

Dapat dilihat bahwa kedua tensor di atas memenuhi (1)( ) (1)( ) (1)( )

0, 0

L TT TT

E _μμ =E _μ = D E_{ν μ}ν = . (VII.46)

Persamaan (VII.42) kemudian menjadi

(1) (1)( )L

D E_{ν μ}ν =D E_{ν μ}ν . (VII.47) Jadi, akibat dari pelanggaran Lorentz, divergensi dari tensor Weyl terproyeksi tidak lenyap meskipun sumber materi pada brane memenuhi hukum kekekalan energi. Serta bagian longitudinal dan bagian tranverse-traceless dari tensor Weyl terproyeksi orde-1 adalah saling bebas. Bagian longitudinal adalah kuantitas medan yang dapat ditentukan sedangkan bagian tranverse-traceless adalah kuantitas yang ditentukan oleh geometri dari bulk. Dengan menggunakan hasil sebelumnya dapat diperoleh sebuah persamaan dalam bentuk

(

)

2 (1)( ) (1)( ) 3 / 2 1 3 _{3 1} 4 L TT E E T l ν ν ν μ μ μ α ακ _δ α ⎛ − = − _⎜ − ⎝ ⎠ + T ν μ ⎞⎟, (VII.48)

Hubungan ini memberikan penjelasan bahwa efek bulk dapat ditentukan oleh materi yang terlokalisasi pada brane tanpa mengetahui geometri bulk. Ruas kiri persamaan (VII.48) berhubungan dengan persamaan-persamaan evolusi di dalam

gerak materi pada brane dan sebaliknya. Pada sub Bab VII.4 akan ditunjukan bagaimana tensor Weyl dapat ditentukan oleh efek bulk (suku radiasi C/a4) dan rapat energi pada brane. Koreksi orde-1 untuk metrik bulk dihitung dengan menggunakan definisi (VII.7):

(0) (1) (1) 1 2g yg 4 αν ν ν μα μ μ 1 K δ ∂ − = ∑ + ∂ . (VII.49)

Integrasi persamaan di atas terhadap y, diperoleh

( )

2

(

)

1/ 2 (1) 2 4 1 1 1 1 , 1 2 6 2 l l g y x R h R a a 1 μν μν μν α μν χ + ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − _⎜ − _⎟⎜ − _⎟− _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , (VII.50)

dan memenuhi syarat batas g_μν(1)

(

y=0,x

)

= . 0 VII.3.3 Solusi Orde-2

Selanjutnya dihitung solusi-solusi untuk orde-2. Persamaan-persamaan medan yang diselesaikan untuk orde-2 adalah

(

)

(

)

( 2) ( 2) ( 2) (1) (1) 1 / 2 4 1 1 1 4 1 y R R l ν ν ν ν μ μ _α μ δμ α ⎡ ⎤ ∂ ∑ − ∑ = − _⎢ − _⎥ + ∑ + ⎣ ⎦ + K ν μ , (VII.51)

(

)

(

)

[ ]

2 (2) (2) (1) (1) (1) 1 / 2 1 6 3 1 4 1 1 K K R l β α α β _α α + − ∑ ∑ = + + , (VII.52)

(

)

( )

2 (2) (2) (2) (1) (1) 1 / 2 2 1 4 1 yK K K l αβ αβ α ∂ − = + ∑ ∑ + , (VII.53) (2) 3 (2) (1) (1) (1) (1) 0 4 D_ν∑ _μν− D K_μ + Γ_ναα∑ _μν−Γ_αμν∑ _να = . (VII.54) Tensor Ricci dan skalar Ricci di dalam persamaan (VII.51) dan (VII.52) dapat dihitung dengan menggunakan solusi orde-1 dari metrik bulk dan diperoleh

(2) 2 (4) (4) 4 2 1 1 1 1 4 2 6 4 l 1 R R S R R a a ν ν ν ν ν μ δμ μ μ δμR ⎡ ⎤ ⎡ ₋ ⎤ ₌ ⎛ ₋ ⎞ ₊ ⎛ ₋ ⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎞⎟⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎝ ⎠⎦

(

)

1/ 2 6 2 1 1 1 2 l B a a ν μ α + _{⎛ ⎞} + _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ , (VII.55)

[ ]

(2) 2 ₂

(

)

1/ 2 ₍ 4 2 6 2 1 1 1 1 1 1 2 6 2 l l 1) R R R R R a a a a α β α β β α β α α χ + ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟⎜ − _⎟+ _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , (VII.56) di mana

1 1 1 2 4 3 4 Sν_μ =_⎜⎛R Rα ν_{μ α} − δ_μν R R_βα _αβ⎞_⎟− ⎛_⎜R R_μν − δν_μ R ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠

(

)

1 1 1 1 2 D D R D D R 3D D R 2D D R 12 D D R ν α αν ν α ν ν α α μ α μ μ α μ δμ α − + + + − , (VII.57)

(

)

(1) 1 (1) 1 (1) (1) (1) 4 2 Bν_μ =χ _μα νR_α − δ χ_μν _βαR_αβ − D D_{μ α}χ αν +D Dν _αχ _μα −D Dα _αχ _μν . (VII.58) Substitusi persamaan-persamaan (VII.56), (VII.35) dan (VII.36) ke persamaan (VII.52), bagian trace dari kurvatur ekstrinsik orde-2 diberikan oleh

(

)

(

)

3 3 (2) 2 2 1/ 2 4 1 / 2 2 1 2 1 1 9 6 8 1 12 1 l l K R R R R R a a β α β α α β α β α α ⎛ ⎞ ⎛ = _⎜ − _⎟− _⎜ ⎝ ⎠ ⎝ + + R ⎞ − _⎟ ⎠

(

)

1/ 2 2 (1) (1) (1) 6 2 8 1 3 1 12 6 l l R a a a β α β α α β α α β χ + χ χ ⎛ ⎞ + _⎜ − _⎟ + ⎝ ⎠ . (VII.59)

Dan integrasi persamaan (VII.51) terhadap y menghasilkan

(

)

(

)

₍

₎

1/ 2 2 3 (2) 2 1 / 2 4 2 2 1 1 2 1 2 24 1 4 l l y l S R R a a a ν ν μ μ α δ α α ⎡ ₊ ⎤ _{⎛ ⎞} ∑ = − ⎢ + ⎥ − _⎜ − _⎟ + ⎢_⎣ ⎥_⎦ + ⎝ R ⎠ ν ν μ μ 2 2 (1) (2) 6 2 6 4 1 1 1 4 12 l l B R a a a a ν ν ν μ χ μ χ μ ⎛ ⎞ − _⎜ + _⎟ + + ⎝ ⎠ , (VII.60) denganχ(2)_μν adalah konstanta integrasi.yang hanya bergantung pada koordinat xμ. Dengan menggunakan persamaan (VII.59) dan (VII.60) syarat junction orde-2 adalah

(

)

(

)

(

)

3 3 (2) (2) 2 1 / 2 1 / 2 2 2 2 (1) (1) 3 1 4 _{2 1 16 1} 1 2 12 8 l l K S P R R l l l B R R ν ν ν ν α ν ν μ μ μ μ μ α μ ν ν ν α β μ μ μ β α δ δ α α χ δ χ ⎡_{∑ −} ⎤_{= − + −} ⎛ ₋ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + + ⎝ − + − 2 R ⎞ ⎠

(

)

1/ 2 (1) (1) (2) 1 8 l _{ν β α α} μ α β β α δ χ χ χ + − + . (VII.61)

Di dalam persamaan di atas telah didefinisikan sebuah tensor lokal sebagai berikut 2

1 1 1 1

6 4 8 16

P_μν = R R_μν − R R_{μ α}α ν + δν_{μ α}R Rβ _βα − δ_μνR . (VII.62) Jika dihitung turunan kovarian persamaan (VII.61) serta menggunakan persamaan Codacci, maka diperoleh solusi berikut

(2) (2) 1 2 3 4 K c S c ν ν ν ν ν μ δμ τμ μ ζμ ∑ − = + + , (VII.63)

dengan τν_μ adalah bagian trace yang tidak dapat dinyatakan dalam ungkapan kuantitas-kuantitas lokal, c1 dan c2 adalah koefisien-koefisien konstan. Sedangkan

tensor ζν_μ adalah suku lokal merupakan tensor bebas divergensi, diberikan oleh 2 1 4 RR R D D R D D ν ν ν ν ν α μ μ μ μ μ α ξ = − δ − +δ R . (VII.64)

Suku ini berasal dari variasi aksi

4 1 2 4

2

d x h R d x h _μν gμν

δ

∫

− =

∫

− ξ δ . (VII.65)

Sedangkan tensor Sν_μ dapat diturunkan dari aksi

4 1 1 2 4 2 3 d x h R Rαβ αβ R d x hSμν gμν δ − ⎛_⎜ − ⎞_⎟= − δ ⎝ ⎠

∫

∫

. (VII.66)

Variasi dari aksi berikut

4 1 4

2

d x h R R_αβ αβ d x hH_μν g

δ

_∫

− =

_∫

− _δ μν

, (VII.67)

menghasilkan sebuah tensor yang divergensinya lenyap, 1 4 Hν_μ =R R_{μ α}α ν − δν_μ R R_{β α}α β. 1 1 2 D D R D D R D D R 2 D D R α ν ν α α ν ν α μ α α μ α μ δμ α ⎛ ⎞ − _⎜ + − − _⎟ ⎝ ⎠ (VII.68)

Jadi tensor-tensor Sν_μ dan ζν_μ di dalam persamaan (VII.63) adalah bebas linier. Kedua tensor ini dapat dinyatakan dalam tensor Hν_μ,

1 3

Hν_μ =Sν_μ + ξν_μ. (VII.69) Dari persamaan (VII.61) dan persamaan (VII.63) dapat diperoleh

(

)

3 2 (2) 1 2 1 / 2 6 2 1 l l P Q c S c ν ν ν ν ν ν μ μ μ μ μ μ τ ζ α = − − − + + + χ , (VII.70) di mana (1) 3 (1) 1 (1) 2 Qν_μ =Rχ _μν − _⎜⎛R_μαχ _αν − δ_{μ β}νRαχ ⎞_⎟ ⎝ ⎠ β α

(

)

1/ 2 (1) (1) (1) (1) 3 1 1 2 l α ν ν α β μ α μ β α α _{χ χ δ χ χ} + _{⎛ ⎞} − _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠, (VII.71)

(

)

3 (2) (2) 1 / 2 4 1 l S ν ν ν μ μ μ χ χ α = − +

(

)

3 2 1 / 2 1 1 1 4 3 4 8 1 l R Rα ν_{μ α} δν_{μ β α}R Rα β RRν_μ δν_μR α ⎡ ⎛ ⎞⎤ − _⎢ − − _⎜ − _⎟⎥ ⎝ ⎠ + ⎣ ⎦ 2 2 2 (1) (1) 1 (1) 2 4 2 4 l l l Bν_μ Rχ _μν ⎛Rα_μχ _αν δν_{μ β}Rα ⎞ − + + _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ β α χ

(

)

1/ 2 (1) (1) (1) (1) 1 1 2 4 l _{α ν ν α} μ α μ β α α χ χ δ χ χ + _{⎛ ⎞} − _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ β . (VII.72) Persamaan (VII.70) menghubungkan konstanta integrasiχ(2)_μν dengan tensor non lokal τν_μ serta parameter-parameter bebas c1 dan c2. Kemudian

parameter-parameter bebas tersebut merepresentasikan derajat kebebasan dari gelombang gravitasional di dalam bulk. Kondisi traceless χ(2)_μμ = pada persamaan (VII.72) 0 menghasilkan persamaan kendala

(

)

3 2 2 1 / 2 6 2 1 l l P Q c μ μ μ μ μ μ μ μ τ ζ α = − − + + ,

(

)

3 2 1 / 2 1 3 8 1 l R R_{β α}α β R α ⎛ ⎞ = − _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ +

(

)

1 / 2 2 (1) (1) (1) 2 1 3 2 2 l Rα_βχ _αβ α χ χ_βα _αβ c D D R_α α ⎛ ₊ ⎞ ⎜ − _⎜ + − ⎝ ⎠⎟⎟ . (VII.73)

Jadi kuantitas tensor non lokalτν_μ tidak dapat dinyatakan dalam bentuk kovarian lokal dan oleh karena itu bagian ini diinterpretasikan sebagai CFT dalam konteks korespondensi AdS/CFT.

Sampai pada orde-2 persamaan medan gravitasional pada brane diperoleh sebagai berikut

(

)

₍

₎

(

)

1 / 2 ₂ (1) 5 1 2 1/ 2 1 2 1 1 2 1 R R c S c l l T ν ν ν ν ν ν ν μ μ μ μ μ μ α κ δ χ τ ξ α + − + + + + = + μ . (VII.74)

Persamaan (VII.38) untuk tensor Weyl terproyeksi orde-2 adalah

(

)

(2) (2) 1/ 2 2 1 E l ν ν μ χ μ α = +

(

)

(

)

3 2 1 2 1 / 2 1 / 2 2 6 1 2 1 l l P Q c S c l ν ν ν ν ν μ μ τμ μ ζμ α α ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = _⎜ + + + _⎟ + _⎝ + + _⎠. (VII.75)

Dengan menggunakan persamaan ini, persamaan medan gravitasional pada brane (VII.74) menjadi ( ) ( )1/ 2 _{( )} 2 (1) (2) 1/ 2 2 1 1 1 2 1 R R T E l l ν ν ν ν ν μ μ μ μ α κ δ χ α + − = − − + + α μ

(

)

1/ 2 1 2 1 2 l l P_μν +α Qν_μ + + . (VII.76)

Sukuχ(1)_μν di dalam persamaan (VII.76) dapat dieleminasi menggunakan solusi orde-1 persamaan (VII.40) dan akhirnya diperoleh

(

) (

)

(

(

)

)

(

)

2 (1) (2) 1 / 2 3 1 3 3 1 3 G T E l E ν ν ν μ μ α κ α α α + = − + + + ν μ + μ

(

)(

)

(

)

4 2 6 3 1 4 1 3 T T 3T T 12 T T 3T α ν ν ν α β μ α μ μ β α α κ _δ α α 1 ⎡ + _⎛ ⎤ − _⎢ − − _⎜ − ⎞_⎥ + + _{⎣ ⎝ ⎠}⎟_⎦, (VII.77) di mana

(

)

4 (2) (2) 2 2 1 1 3 48 1 E _μν E _μν ακ δ_μν T T T_αβ αβ α ⎛ = − _⎜ − ⎝ ⎠ + ⎞ ⎟. (VII.78)

Dengan menghilangkan efek pelanggaran Lorentz, persamaan di atas menggambar persamaan medan gravitasional untuk sebuah brane sebagaiman telah diturunkan oleh Shiromizu, dkk., (2000).

VII.4 Implikasi Kosmologi

Sub bab ini membahas implikasi kosmologi pada braneworld ketika ada medan vektor pelanggaran Lorentz di dalam bulk. Pembahasan dibatasi pada solusi orde-1 yang relevan dengan limit energi rendah dengan mengabaikan suku kuadratik tensor energi-momentum pada brane.

2 2 2

( ) ij i j

ds = −dt +a t γ dx dx . (VII.79) Dan materi pada brane dinyatakan sebagai fluida ideal,

(

)

,

(

)

T_μν = ρ+ p u u_{μ ν} + ph_μν p= Γ −1 ρ, (VII.80)

dengan ρ , p dan u_μ masing-masing menyatakan rapat energi, tekanan dan kecepatan-4 dari elemen fluida ideal. Divergensi kovarian dari tensor energi-momentum brane menghasilkan hubungan antara rapat energi materi dan faktor skala 3 0 3a 0 a a ρ_{+ Γ =}ρ _⇒ ρ ρ₌ − Γ . (VII.81)

Sedangkan tensor Weyl terproyeksi (VII.42) menghasilkan persamaan,

(

)

(

)

2 (1)0 (1)0 0 0 3 / 2 4 3 4 12 1 a E E a _l ακ _ρ α − Γ + = − + . (VII.82)

Integrasi persamaan ini menghasilkan

(

)

2 (1)0 0 4 3 / 2 , 4 1 C E a l ακ _ρ α = + Γ + (VII.83)

(

)

2 (1) 3 / 2 4 3 _{12 1} i j j i C E a _l ακ j i δ ρδ α = − − Γ + , (VII.84)

dengan C adalah konstanta integrasi. Kemudian ungkapan untuk radiasi gelap diberikan oleh

(

)

(

)

1 / 2 (1)0 0 4 3 1 2 3 l C a α χ α + = + , (VII.85)

(

)

(

)

1 / 2 (1) 4 1 2 3 j j i l C a α i χ δ α + = − + . (VII.86)

Eleminasi konstanta integrasi dari persamaan-persamaan (VII.83) dan (VII.85) serta persamaan-persamaan (VII.84) dan (VII.86) diperoleh

(

)

(

)

(

)

2 (1)0 (1)0 0 1 / 2 0 3 / 2 2 3 3 1 4 1 E l l α _χ ακ _ρ α α + = + + + Γ , (VII.87)

(

)

(

)

(

)

2 (1) (1) 1/ 2 3 / 2 2 3 1 12 1 i j j j i i E l l α _χ ακ _ρδ α α + = − + + Γ . (VII.88)

Komponen-komponen tensor Weyl terproyeksi, persamaan (VII.87) dan persamaan (VII.88), memodifikasi persamaan tensor Weyl terproyeksi untuk gravitasi braneworld tanpa medan vektor pelanggaran Lorentz. Dari kedua persamaan di atas dengan mengambil α =0diperoleh

(1)0 (1)0 (1) (1) 0 0 4 4 2 2 , 3 1 j j i i C C E E l a l a j i χ χ = = = = − δ , (VII.89)

Persamaan medan gravitasional (VII.40) dapat digunakan untuk memperoleh dua buah persamaan Friedmann sebagai berikut:

(

)

(

(

)

)

2 2 1/ 2 4 1 3 3 1 C H a l α κ _ρ α α + = + + + , (VII.90)

(

)

(

)

2 2 1 / 2 4 3 2 6 1 H H l κ ρ α − Γ + = + . (VII.91)

Tanpa keberadaan pelanggaran Lorentz di dalam bulk, konstanta Newton dalam 4-dimensi diberikan oleh . Jadi implikasi dari pelanggaran Lorentz adalah menyekala ulang besarnya nilai konstanta Newton dalam 4-dimensi melalui kopling parameter α. Dari persamaan Friedmann dapat pula diturunkan persamaan percepatan, 2 8πGN =κ / l

(

)

(

)

(

(

)

)

2 1 / 2 4 2 3 1 3 6 1 a a _l a κ _ρ α α α − Γ + = − + + C , (VII.92)

yang mana berbeda dengan model kosmologi FRW standar oleh dua hal yaitu pengaruh dari pelanggaran Lorentz dan suku radiasi gelap.

Berikut ini dipelajari dinamika faktor skala a(t) dengan menyelesaikan persamaan Friedmann untuk kasus-kasus dimana materi memiliki persamaan keadaan p = - ρ,

p = ρ /3, p = - ρ /3 dan p = 0, masing-masing berhubungan dengan indeks

barotropik Γ = 0, 4/3, 2/3 dan 1. Secara umum, persamaan dinamika (VII.91) adalah persamaan diferensial orde-2 untuk faktor skala a(t) dan integrasi pertamanya terhadap waktu menghasilkan

(

)

(

)

2 1/ 2 1/ 2 4 3 0 2 3 1 3 1 ' ada dt l l C a κ α α ρ κ − Γ = + + + . (VII.93)

Di dalam persamaan (VII.93), C’ adalah sebuah konstanta integrasi, oleh persamaan (VII.90) konstanta ini dihubungan dengan konstanta C dalam suku radiasi gelap yaitu

(

)

(

1

)

' 3 C α C α + = + . (VII.94)

Untuk kasus pelanggaran Lorentz dan tidak lenyapnya suku radiasi gelap, persamaan (VII.93) dapat diintegrasi untuk nilai Γ tertentu:

1. Untuk Γ = 0, persamaan kekekalan (VII.81) menghasilkan ρ ρ= ₀dan tensor Weyl terproyeksi diberikan oleh

(1)0 (1) 0 4 1 , 3 4 j j i C E E a a i C _δ = = − , (VII.95)

Solusi untuk faktor skala dapat diperoleh dengan mengintegrasi persamaan (VII.93),

(

)

(

)

2 2 0 0 1/ 2 1 4 ( ) exp 2 3 1 a t t t l κ ρ α ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠

(

)

(

)

(

)

1 / 2 2 2 0 0 1/ 2 0 3 ' 1 4 2 exp 3 1 C l t t l α κ ρ κ ρ α + − ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠ . (VII.95) Dan

(

)

(

(

)

)

2 2 0 1 / 2 4 1 3 3 1 C H a l α κ ρ α α + = + + + , (VII.96)

Tidak lagi ada pengaruh radiasi gelap ketika t dan solusi untuk faktor skala memenuhi bentuk de Sitter dan parameter Hubble menjadi konstan.

→ ∞ 2. Untuk Γ = 4/3 diperoleh

(

)

2 (1)0 0 0 4 3 / 2 1 3 1 E C a l ακ ρ α ⎛ ⎞ ⎜ = _⎜ + + ⎝ ⎠ ⎟ ⎟, (VII.97)

(

)

2 (1) 0 3 / 2 4 1 3 3 1 j j i E C a l ακ ρ i δ α ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − + ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠ , (VII.98)

(

)

(

)

(

) (

)

2 2 0 0 1/ 2 1 2 3 3 1 C a t l α κ ρ α α + t = + − + + , (VII.99) 0 1 2 H t t = − . (VII.100)

Untuk kasus radiasi, suku radiasi gelap tidak berpengaruh terhadap parameter Hubble. 3. Untuk Γ = 2/3 diperoleh:

(

)

2 (1)0 0 0 4 3 / 2 6 1 C E a l a2 ακ ρ α = + + , (VII.101)

(

)

2 (1) 0 3 / 2 4 3 _{18 1} 2 j j i C E a _l a ακ ρ i δ α ⎛ ⎞ ⎜ = −_⎜ + + ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ , (VII.102)

(

)

(

)

(

(

)

)

3 / 2 2 2 2 0 0 1 / 2 2 0 1 3 1 3 3 1 l a t t l α κ _ρ C κ ρ α α + = − − + + , (VII.103)

(

)

₍

(

₎₍

)

₎

1 2 2 0 4 2 0 0 9 1 3 l C H t t t t α κ ρ α − ⎡ ₊ ⎤ =⎢ − − + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎥ (VII.104)

Ketika t , solusi untuk faktor skala memenuhi bentuk de Sitter dan parameter Hubble menjadi

→ ∞

(

0

)

1 ~ H t−t (VII.105) 4. Untuk Γ = 1 diperoleh

(

)

2 (1)0 0 0 4 3 / 2 4 1 C E a l a3 ακ ρ α = + + , (VII.106)

(

)

2 (1) 0 3 / 2 4 3 12 1 3 j j i C E a l a ακ ρ i δ α ⎛ ⎞ ⎜ = − + ⎜ ₊ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ , (VII.107) 1/ 3 2 1/ 3 1 2 ' ' 2 a= β + C β− + C , (VII.108) di mana

(

)

(

)

4 2 2 ₃ 0 0 1 / 2 9 8 3 1l t t C κ ρ β α ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = _{⎜ ⎟} − + ⎝ ⎠ − '

(

)

(

)

(

)

8 2 4 ₃ 0 0 1 / 2 3 9 16 ' 3 1l t t C t t κ ρ α ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + − − ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠ 2 0 − . (VII.109)

Evolusi dari parameter Hubble diberikan oleh

(

)

(

)

(

)

2 2 1 / 3 0 1/ 2 0 3 2 2 1/ 3 2 0 0 1/ 2 0 0 0 ' 2 1 4 3 1 3 ' ' 16 1 2 4 1 C l H C C C t t l κ ρ β ρ α κ ρ β β ρ ρ ρ α − − − ⎡ _{⎛ ⎞} ⎤ ⎢ _{− ⎜ ⎟} ⎥ + ⎢_⎣ ⎝ ⎠ ⎥_⎦ = 1 / 3 ' ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ − − _{⎜ ⎟} + _{⎜ ⎟}+ _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ ⎢_⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥_⎦ . (VII.110)

Dari hasil-hasil di atas untuk setiap jenis materi syarat terjadi alam semesta yang mengembang dan dipercepat harus memenuhi H+2H2 > . 0

VII.5 Rangkuman

Di dalam bab ini telah diperoleh persamaan-persamaan medan gravitasional pada sebuah brane ketika invarian Lorentz dilanggar di dalam bulk oleh keberadaan medan vector yang terkopel dengan gravitasi. Persamaan-persamaan tersebut diperoleh dengan menerapkan metode ekspansi gradien dan menghasilkan persamaan medan gravitasional yang termodifikasi baik oleh tambahan medan vektor maupun oleh tensor Weyl terproyeksi. Solusi orde-0 menghasilkan ketertalaan antara konstanta kosmologi 5-dimensi dan tegangan brane yang dimodifikasi oleh kopling parameter α. Solusi orde-1 dan orde-2 juga termodifikasi oleh kopling parameter α.

Beberbeda dengan model braneworld tanpa medan vektor pelanggaran Lorentz, keberadaan medan vektor pelanggaran Lorentz memodifikasi persamaan-persamaan dinamika di dalam model braneworld. Ada dua hal signifikan yang dapat dijelaskan: (1) Medan vektor pelanggaran Lorentz mempengaruhi kuatnya efek gravitasional pada brane. Konstanta gravitasional pada brane bergantung pada parameter kopling vektor. (2) Medan vektor pelanggaran Lorentz

mempengaruhi dinamika evolusi tensor Weyl. Bagian longitudinal ditentukan oleh distribusi sumber pada brane dan bagian transversal ditentukan oleh geometri

bulk. Ini berarti bahwa dinamika medan vektor pelanggaran Lorentz mengeksitasi

sumber materi pada brane sepanjang longitudinal dan eksitasinya mempengaruhi dinamika evolusi tensor Weyl. Dalam aspek kosmologi ditemukan adanya alam semesta yang mengembang dan dipercepat yang disebabkan oleh suku radiasi gelap. Tetapi oleh akibat dari medan vektor pelanggaran Lorentz, alam semesta mengembang lebih lambat dibandingkan dengan model tanpa medan vektor. Pada bab berikutnya akan dikaji pelanggaran invarian Lorentz dalam 4-dimensi melalui teori skalar-vektor-tensor.