PREMI TAHUNAN ASURANSI JIWA BERJANGKA DENGAN HUKUM DE MOIVRE UNTUK STATUS GABUNGAN

(1)

1

PREMI TAHUNAN ASURANSI JIWA BERJANGKA DENGAN HUKUM DE MOIVRE UNTUK STATUS GABUNGAN

Nurma Harisa1*, Johannes Kho2, Aziskhan2 1

Mahasiswa Program S1 Matematika 2

Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya 28293 Indonesia

This article discusses the annual premium of term insurance for joint life status. It means the annual premium of two people insured with the age of and in which the sum assured will be paid if only one of the insured dies during coverage period and then no more premium payment. The annual premium is affected by single premium and present value of annuity due, where in the calculation De Moivre’s law is used.

Keywords: annual premium, De Moivre’s law, joint life status. ABSTRAK

Artikel ini membahas premi tahunan asuransi jiwa berjangka untuk status gabungan, yaitu premi tahunan untuk dua orang tertanggung yang berumur dan tahun dengan uang pertanggungannya hanya akan dibayarkan bila salah seorang tertanggung meninggal dunia dalam masa perlindungan dan selanjutnya tidak ada lagi pembayaran premi. Premi tahunan ini dipengaruhi oleh premi tunggal dan nilai tunai anuitas hidup awal, yang dalam perhitungannya digunakan hukum De Moivre.

Kata kunci: hukum De Moivre, premi tahunan, status gabungan.

1. PENDAHULUAN

Di Indonesia, ada dua jenis asuransi jiwa yang sedang berkembang, yaitu asuransi jiwa perorangan dan asuransi jiwa kelompok. Perbedaan antara kedua asuransi ini terletak pada jumlah tertanggungnya. Pada asuransi jiwa perorangan jumlah tertanggung hanya satu orang atau tunggal, sementara pada asuransi jiwa kelompok perusahaan asuransi menanggung dua atau lebih tertanggung. Salah satu jenis dari asuransi jiwa kelompok adalah asuransi jiwa gabungan (joint life). Asuransi jiwa gabungan merupakan asuransi yang menanggung dua orang tertanggung atau lebih, dimana uang pertanggungannya akan dibayarkan jika salah seorang tertanggung meninggal dunia dan pembayaran premi akan berhenti pada saat tersebut [1]. Berdasarkan jangka waktu perlindungannya

(2)

2

asuransi jiwa dibagi menjadi tiga, yaitu asuransi jiwa seumur hidup, asuransi jiwa berjangka dan asuransi jiwa dwiguna.

Untuk menentukan besarnya premi tahunan yang akan dibayarkan oleh peserta asuransi, diperlukan premi tunggal dan nilai tunai anuitas hidup awal yang dipengaruhi oleh peluang hidup dan peluang meninggal. Ada beberapa metode yang dapat

digunakan dalam perhitungan premi tahunan, diantaranya dengan menggunakan hukum De Moivre, yaitu salah satu hukum mortalita pada aktuaria. Pada dasarnya hukum De Moivre digunakan untuk menentukan percepatan mortalita. Namun, dengan menggunakan fungsi kepadatan peluangnya dapat juga ditentukan peluang hidup dan peluang meninggal dengan hukum De Moivre tersebut.

Artikel ini membahas premi tahunan asuransi jiwa berjangka untuk status gabungan yang diperoleh dari buku karangan Futami [1]. Asuransi jiwa berjangka untuk status gabungan adalah asuransi jiwa gabungan yang jangka waktu perlindungannya ditentukan selama n tahun, dengan uang pertanggungan hanya akan dibayarkan apabila salah seorang tertanggung meninggal dunia dalam masa perlindungan tersebut, dimana jumlah tertanggung dibatasi hanya dua orang yaitu yang berumur dan tahun. Pada Futami [1], perhitungan premi tahunan menggunakan fungsi komutasi, sedangkan artikel ini membahas perhitungan premi dengan menggunakan hukum De Moivre yang diperoleh dari buku karangan Batten [2] dan Finan [3].

2. PREMI TUNGGAL DAN ANUITAS HIDUP UNTUK STATUS GABUNGAN Dalam perhitungan premi tahunan asuransi jiwa berjangka, diperlukan premi tunggal asuransi jiwa berjangka dan anuitas hidup awal berjangka. Premi tunggal asuransi jiwa berjangka adalah pembayaran premi asuransi yang dilakukan pada waktu kontrak asuransi disetujui dan selanjutnya tidak ada lagi pembayaran premi hingga jangka waktu tahun. Anuitas hidup adalah suatu pembayaran yang dilakukan berdasarkan hidup atau meninggalnya seseorang. Apabila pembayaran tersebut dilakukan diawal periode maka dinamakan anuitas hidup awal. Premi tunggal dan nilai tunai anuitas hidup awal dipengaruhi oleh peluang hidup, peluang meninggal dan faktor diskon.

Fungsi kepadatan peluang untuk hukum De Moivre [3] adalah

 ) (x f

{

, 0 , 1 , , 0   x lainnya x untuk (1)

dengan x adalah umur seseorang dan  merupakan perkiraan umur maksimal seseorang.

(3)

3

Berdasarkan persamaan (1), diperoleh peluang hidup seseorang yang berumur x hingga t tahun dan peluang meninggal seseorang yang berumur xt tahun sebagai

x t x p_x t _      (2) dan . 1 t x q_x _t     _ (3)

Peluang hidup dan peluang meninggal pada persamaan (2) dan (3) inilah yang digunakan dalam perhitungan premi tunggal dan nilai tunai anuitas hidup awal asuransi jiwa berjangka.

Pada premi tahunan asuransi jiwa gabungan digunakan premi tunggal dan anuitas hidup untuk status gabungan, yaitu premi tunggal dan anuitas hidup untuk dua orang tertanggung yang berumur dan tahun yang dalam perhitungannya digunakan peluang hidup untuk status gabungan. Peluang hidup gabungan untuk dua orang yang berumur dan tahun hingga tahun berikutnya dinyatakan dengan

. y t x t xy t p  p p (4)

Premi tunggal asuransi jiwa berjangka untuk status gabungan dari dua orang yang berumur dan tahun, dengan jangka waktu perlindungan selama tahun adalah

_{⏞ ̅} ∑ vt1_t p_x _tp_y q_x__t_:_y__t,

dengan v merupakan faktor diskon yang dinyatakan dengan . 1 1 i v   (6)

Kemudian berdasarkan hukum De Moivre, premi tunggal asuransi jiwa berjangka untuk status gabungan dari dua orang yang berumur dan tahun dengan jangka waktu perlindungan selama tahun dinyatakan dengan

⏞ ̅ v



ax:n|(x)ay:n|(y)an|



) )( (x y , dimana a_x_:n_| dan ay:n| merupakan nilai tunai anuitas hidup awal dengan hukum De Moivre untuk seorang yang berumur tahun dan untuk seorang yang berumur

(4)

4

tahun dengan jangka waktu tahun, yang masing-masing dinyatakan dengan



x



d a v v n a a n n n n x _     | | | :       (8) dan





| . | | : y d a v v n a a n n n n y _           (9)

Sementara a_n_| merupakan nilai tunai anuitas pasti awal selama tahun yang dinyatakan

dengan , 1 | d v a n n     (10)

dengan d merupakan tingkat diskon yang dinyatakan dengan .

1 v

d  

(11)

Nilai tunai anuitas hidup awal berjangka tahun untuk status gabungan dari dua orang yang berumur dan tahun biasanya dinyatakan dengan

̈_̅ ∑vt_t p_x _tp_y.

Namun, akan terdapat kesulitan apabila menerapkannya dengan hukum De Moivre. Oleh karena itu, dilakukan alternatif lain yaitu dengan menggunakan hubungan antara nilai tunai anuitas hidup awal dan premi tunggal asuransi jiwa berjangka seperti berikut

̈_̅ n x n y n p p v  1 _{⏞ ̅} d . Selanjutnya dengan menggunakan peluang hidup pada hukum De Moivre dan mensubstitusikan persamaan (7) ke persamaan (12), diperoleh nilai tunai anuitas hidup awal untuk status gabungan dari dua orang yang berumur dan tahun dengan jangka waktu tahun seperti berikut

̈ ̅











_

_





_

: |( ) : |( ) |



, y x d a y a x a v n y n x v y x n _x_n _y_n _n                         

(5)

5

3. PREMI TAHUNAN ASURANSI JIWA BERJANGKA DENGAN HUKUM

DE MOIVRE UNTUK STATUS GABUNGAN

Premi tahunan adalah premi yang dibayarkan pada setiap awal permulaan tahun yang besarnya bisa sama maupun berubah-ubah setiap tahunnya [6]. Premi tahunan asuransi jiwa berjangka dengan hukum De Moivre untuk status gabungan adalah premi tahunan untuk dua orang yaitu yang berumur dan tahun dengan jangka waktu pelindungan tahun yang uang pertanggungannya akan dibayarkan jika salah seorang tertanggung tersebut meninggal dunia dan tidak ada pembayaran premi lagi setelahnya, dengan uang pertanggungan akan dibayarkan diakhir tahun polis, dimana dalam perhitungannya menggunakan hukum De Moivre.

Premi tahunan asuransi jiwa berjangka untuk status gabungan dengan uang pertanggungan sebesar yang dibayarkan di akhir tahun polis dinyatakan dengan

_{⏞ ̅} ⏞ ̅

̈ ̅ . Dengan mensubstitusikan persamaan (7) dan (13) ke persamaan (14), besarnya premi tahunan asuransi jiwa berjangka untuk status gabungan dengan uang pertanggungan sebesar berdasarkan hukum De Moivre diperoleh

⏞ ̅

_

_

_

_



_

_





. ) ( ) ( ) ( ) ( | | : | : | | : | : n n y n x n n n y n x a y a x a v n y n x v y x a y a x a v d                                     Contoh :

Pak Herman adalah seorang wiraswasta yang berumur 41 tahun. Ia bersama istrinya yang berumur 37 tahun ingin mengikuti program asuransi jiwa berjangka, dengan jangka waktu perlindungan selama 15 tahun. Jika santunan yang akan diterima oleh ahli waris ketika pak Herman atau istrinya meninggal dunia adalah Rp20.000.000,00, maka besar premi yang harus dibayarkan setiap awal tahun dengan menggunakan hukum De Moivre dimana perkiraan umur maksimal mereka adalah 100 tahun dan tingkat bunga 2,5 % dapat dihitung menggunakan langkah-langkah berikut.

Dari kasus di atas diketahui perkiraan umur maksimal ( ) adalah 100 tahun, umur suami ( ) adalah 41 tahun, umur istri ( ) adalah 37 tahun, jangka waktu perlindungan ( ) adalah 15 tahun, tingkat bunga ( ) adalah 0,025, dan besar uang pertanggungan ( ) adalah Rp20.000.000,00.

(6)

6 Dengan menggunakan persamaan (6) diperoleh

. 97561 , 0 025 , 0 1 1 _   v

Kemudian, dengan menggunakan persamaan (11) maka . 02439 , 0 97561 , 0 1   d

Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (10) diperoleh ̈_̅̅̅̅ ( )

Sementara itu, dengan menggunakan persamaan (8) diperoleh nilai tunai anuitas hidup awal berjangka untuk pak Herman seperti berikut

̈_̅̅̅̅ ( ) (( ( ) ) ( )

( )( ) )

̈_̅̅̅̅ .

Kemudian, dengan persamaan (9) diperoleh nilai tunai anuitas hidup awal berjangka untuk istri pak Herman sebagai berikut

̈_̅̅̅̅ ( ) (( ( ) ) ( )

( )( ) )

̈ ̅̅̅̅ .

Sehingga, dengan menggunakan persamaan (7) diperoleh premi tunggal asuransi jiwa berjangka dengan status gabungan untuk pak Herman dan istrinya sebagai berikut

⏞ ̅̅̅̅

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

_⏞ _̅̅̅̅ .

Dengan menggunakan persamaan (13) diperoleh nilai tunai anuitas hidup awal berjangka dengan status gabungan untuk pak Herman dan istrinya yaitu

̈_̅̅̅̅ ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( )[( )( ) ( )( ) ( )] ( )( )( )

(7)

7

̈_̅̅̅̅ ̈̅̅̅̅̅ .

Sehingga berdasarkan persamaan (14), diperoleh

⏞ ̅ ⏞ ̅ ̈ ̅ ( ) ⏞ ̅̅̅̅ ,

atau dengan menggunakan persamaan (15) seperti berikut

⏞ ̅̅̅̅ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⏞ ̅̅̅̅ ..

Jadi, pak Herman dan istrinya harus membayar premi setiap awal tahun adalah sebesar Rp706.529,14.

4. KESIMPULAN

Besarnya premi tahunan yang harus dibayarkan peserta asuransi bergantung pada umur peserta asuransi tersebut, besarnya uang pertanggungan dan tingkat bunga. Semakin tinggi umur peserta asuransi ketika memulai program asuransi, maka semakin besar premi yang harus dibayarkannya setiap awal tahunnya. Selain itu, semakin tinggi perkiraan umur maksimalnya, maka akan semakin rendah premi yang harus dibayarkannya. Namun, semakin lama masa perlindungannya, maka semakin besar premi yang harus dibayarkan.

5. DAFTAR PUSTAKA

[1] Futami, T. 1994. Matematika Asuransi Jiwa, Bagian II. Terj. dari Seimei Hoken Sugaku, Gekan (“92 Revision), oleh Herliyanto, G. Penerbit Incorporated Foundation Oriental Life Insurance Cultural Development Center, Japan.

[2] Batten, R. W. 1998. Life Contingencies: A Guide for the Actuarial Student Second Edition. ACTEX Publications, Winsted.

(8)

8

[3] Finan, M. B. 2011. A Reading of the Theory of Life Contingency Models: A Preparation for Exam MLC/3L. Arkansas Tech University, Arkansas.

[4] Bowers, N. L., H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, & C. J. Nesbitt. 1997. Actuarial Mathematics. The Society of Actuaries, United States of America. [5] Dickson, D. C. M., M. R. Hardy, & H. R. Waters. 2009. Actuarial Mathematics

for Life Contingent Risks. Cambridge University Pres, New York.

[6] Futami, T. 1993. Matematika Asuransi Jiwa, Bagian 1. Terj. dari Seimei Hoken Sugaku, Jokan (“92 Revision), oleh Herliyanto, G. Penerbit Incorporated Foundation Oriental Life Insurance Cultural Development Center, Japan.