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(1)

Condici´

on de Unicidad para

el Problema de Pick

Uniqueness Condition for the Pick Problem

Gladys Cede˜

no (

gcedeno@usb.ve

)

Universidad Sim´on Bol´ıvar Ap. 89000, Caracas 1080-A, Venezuela.

Mischa Cotlar (

mcotlar@euler.ciens.ucv.ve

)

Departamento de Matem´atica. Facultad de Ciencias

Universidad Central de Venezuela Apartado Postal 1020-A. Caracas. Venezuela.

Resumen

Combinando la Teor´ıa de los Operadores Modelos, formas de Hankel y Teorema de Nehari, se dan condiciones necesarias y suficientes para que el problema de interpolación de Pick tenga solución. Relacionando éstas con una condición de unicidad para las extensiones Hahn-Banach de funcionales, se logra una condición necesaria y suficiente para la unicidad de las soluciones del problema de Pick.

Palabras y frases clave:Operadores modelos, espacio modelo, formas de Hankel, operador de Hankel.

Abstract

Combining Operators Model Theory, Hankel forms and Nehari’s Theorem, a necessary and sufficient condition for the existence of so-lutions in Pick’s interpolation problem is given. Relating this with a uniqueness condition for Hahn-Banach extensions of functionals, a necessary and sufficient condition for uniqueness of solutions in Pick’s problem is obtained.

Key words and phrases: Model Operators, model space, Hankel form, Hankel operator.

(2)

1 Introducci´

on

Si M1, . . . , Mn sonnpuntos fijados del discoD ={z∈C:|z|<1}entonces para toda n-upla de números complejos w1, . . . , wn existe una función F ∈ H∞₍_D_{) (es decir, una función holomorfa y acotada en}_D_{), tal que}_F₍_M

j) =wj para j= 1, . . . , n.

Pick plante´o (1916) [11] el problema de interpolaci´on:

FijadosM1, . . . , MndeDy n´umeros complejosw1, . . . , wndar condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una funci´onF ∈H∞₍_D_{) tal que}

|F(z)| ≤1, ∀z∈D y F(Mj) =wj, j= 1, . . . , n. La condici´on dada por Pick es que sea no negativa la matriz dada por

1−MjMk 1−wjwk

n

j,k=1 .

Posteriormente, D. Sarason (1967) [12] enfocó este resultado mediante la Teor´ıa de los Operadores Modelos (ver definición más abajo) y lo relacionó con una desigualdad para operadores probada por V. Neumann en 1951 [14]. Adamjan-Arov-Krein (A-A-K) (1971) [1] estudiaron el problema en forma más completa, enfocándolo mediante la Teor´ıa de formas de Hankel y el Teo-rema de Nehari. Más recientemente, Cole-Lewis-Wermer [4] extendieron la teor´ıa a Algebras Uniformes.

En este art´ıculo se presenta una exposición nueva de la teor´ıa que com-bina los enfoques de Sarason y Adamjam-Arov-Krein, que se basa en el Teo-rema de Nehari, y aclara la relación del último teorema con las extensiones Hahn-Banach de funcionales, lo que permite, usando un criterio general para unicidad de extensiones Hahn-Banach, dar una nueva condición de unicidad para el problema de Pick.

En un art´ıculo posterior, se presentará una generalización de la teor´ıa, antes mencionada, de Cole-Lewis-Wermer, en un marco más general donde en vez de álgebras uniformes se consideran espacios vectoriales uniformes. El criterio de unicidad dado aqu´ı se aplica aún en este marco más general.

2 Espacios y Operadores Modelo

Sea T ={z∈C_:_|_z_|_{= 1}_}_{. Para todo}_p_∈_[0_,_∞_{] se define}

(3)

en particular, H∞ = H2∩L∞(T). Para toda f ∈ Hp _{existe una ´}_unica ⌢

f∈Hp₍_D_{) tal que}

f(eit_{) = lim} r→1

⌢

f (reit_{) c.t.}_eit _{(l´ımite no tangencial)} _(2.1)

y, rec´ıprocamente, dada ⌢f∈Hp₍_D_{) existe}_f _∈_Hp_{que verifica (2.1).}

Una funci´on θ ∈ H∞ _{se dice} _interna _si _|_θ₍_t₎_| _{= 1} _c.t.p_{. Las funciones}

internas m´as simples son los factores Blaschke

β(eit_{) =} eit−M 1−M eit,

donde M ∈D; la funci´on holomorfa correspondiente⌢β, se caracteriza por la propiedad ⌢β (D) =Dy|β(z)|= 1 siz∈T y tiene un ´unico cero M enD.

El espacioH2_{es un espacio de Hilbert, por ser subespacio de}_L2₍_T_{), y su}

complemento ortogonal se designa con H2

− =L2(T)⊖H2. Las proyecciones

ortogonales de L2₍_T_{) sobre} _H2 _y _H2

− son denotadas por P+ y P−

respec-tivamente. Sea P el conjunto de los polinomios trigonom´etricos en T, los subespacios vectoriales P1=P ∩H2 yP2=P ∩H−2 son densos enH2yH−2

respectivamente.

Sea en(t) = eint para cualquier entero n. El operador S : H2 → H2 dado por Sf :=e1 f, para f ∈ H2, se llama Shift de H2 o Shift unilateral

y su adjunto S∗ _: _H2 _→ _H2 _{est´a dado por}_S∗_f ₌_P

+(e−1f) para f ∈H2 .

Los espaciosS-invariantes est´an caracterizados en los siguientes Teoremas de Beurling [2, 6, 7, 10, 13].

Recordamos que un subespacioE⊂H2_es_S_{-invariante cuando}_S₍_E₎_⊂_E_.

Teorema 2.1. El subespacio E⊂H2 _es _S_{-invariante si y s´}_{olo si existe una}

funci´on internaθ∈H∞ _{tal que}_E₌_θH2_:=_{_θf _:_f _∈_H2_}_.

Teorema 2.2. E ⊂H2 _es_S_{-invariante y tiene codimensi´}_{on finita menor o}

igual que n si y s´olo si existe un producto finito de Blaschke β = β1. . . βk,

donde k≤n, tal que E=βH2_.

Sea E = θH2 _{un espacio} _S_-invariante, _E

θ = H2⊖E de manera que H2 ₌_E_⊕_E

θ y sea Pθ :H2→ Eθ la proyecci´on ortogonal de H2 sobre Eθ. Los espacios Eθ se llaman Espacios Modelos y los operadores Tθ:Eθ →Eθ, dados por Tθ:=PθS|_Eθ son compresiones deS a Eθ, que sustituyen al shift en Eθ, y se llaman Operadores Modelo. Para su operador adjunto tenemos: T∗

(4)

Proposición 2.1. Sea θ ∈ H∞ un función interna. Entonces, para cada do el Teorema 2.2, que el espacio modeloEβ tiene dimensión finita n.

Para cadaG∈H∞ _sean_G₍_T

β) :Eβ →Eβ,G(Tβ∗) :Eβ→Eβ dados por G(Tβ)f =PβGf,

G(Tβ∗)f =P+G¯tf, donde Gt(z) =G(¯z).

Proposici´on 2.2. (C´alculo funcional para Tβ):

a) G(Tβ),G(Tβ∗)∈L(Eβ)para cada G∈H∞.

β) es un operador de multiplicaci´on con

multipli-cadoresG(M1), . . . , G(Mn).

c) Para cada G∈H∞_,_G₍_T

β)es una contracci´on (es decirkG(Tβ)k ≤1) si

y s´olo si es positiva semidefinida (p.s.d) la matriz

1−G(Mj)G(Mk) 1−MjMk

!n

(5)

d) Parak= 1, . . . , nlas funciones gk(t) =β(t) 1

eit₋_M k

verifican:

1. gk∈Eβ,

2. Tβgk =Mkgk,

3. hgk, eji= 0 si k6=j,

4. hgk, eki=Ck 6= 0.

Poniendo g′

k = 1

ck

gk, k = 1, . . . , n, resulta que V′ ={g′1, . . . , g′n} es una base biortogonal aV.

Las demostraciones de estas proposiciones pueden verse en [3].

3 Formas de Hankel, el Teorema de Nehari y

extensi´

on Hahn–Banach

Unaforma de Hankel es una forma sesquilinealB:H2_×_H2

−→Ctal que

B(e1f, g) =B(f, e−1g), ∀(f, g)∈H2×H−2.

B es, por definici´on,acotada si:

kBk:= sup

_|_B₍_{f, g}₎_|

kfk2kgk2 : (f, g)∈(H

2_{− {}₀_}₎_×₍_H2

−− {0})

<∞

y se tiene|B(f, g)| ≤ kBk kfk2kgk2,∀(f, g)∈H2×H−2.

SiB es acotada, est´a asociada a un ´unico operador acotado Γ :H2→H−2

que verifica:

hΓf, gi=B(f, g) para toda f ∈H2, g∈H−2 (3.1)

y

kΓk=kBk. (3.2)

Por ser B de Hankel, Γ verifica

Γe1f =P−e1Γf, ∀f ∈H2. (3.3)

Rec´ıprocamente, si Γ :H2_→_H2

−es un operador acotado que verifica (3.3)

(6)

operadores de Hankel. Un estudio de estos operadores puede verse en [10] y [13].

Por serP1× P2 denso enH2×H−2, una forma de Hankel acotada queda

determinada por su restricci´on aP1×P2. Siφes una funci´on tal queRTfgφ dt¯ existe para todo (f, g)∈ P1× P2 entoncesBφ:P1× P2→Cdada por

Bφ(f, g) := Z

T

fgφ dt¯

es una forma de Hankel.

A la funci´onφse le llamas´ımbolo de la forma de Hankel y aBφ forma de Hankel asociada aφ. Las siguientes propiedades son inmediatas.

1. Bφ(f, g) = 0 ∀(f, g) ∈ P1 × P2 si y s´olo si ˆφ(n) = 0 ∀n < 0 o

equivalentemente si y s´olo siP−φ= 0.

2. Siφ1, φ2 ∈L2 entonces Bφ₁ =Bφ₂ si y s´olo siφ1−φ2 =h∈H2 si y

s´olo siP−φ1=P−φ2.

(a) Siφ∈L2 _y_φ

−=P−φentonces Bφ=Bφ₋. (b) Siφ∈L2 _y_φ

−=P−φentonces, para todah∈H2,Bφ =Bφ+h= Bφ₋.

3. Siφ∈L∞_entonces_B

φ es acotada ykBφk ≤ kφk∞.

(a) Siφ∈L∞_,_k_B

φk ≤dist(φ, H∞) := inf{kφ−hk∞:h∈H∞}.

(b) Siφ1, φ2∈L∞yBφ₁ =Bφ₂entonces dist(φ1, H∞) = dist(φ2, H∞).

SiB:P1×P2→Ces una forma de Hankel acotada, definimos el funcional I0:e1P1→CmedianteI0(e1f) :=B(f, e−1).Este funcional verificaI0(fg¯) = B(f, g) ∀(f, g)∈ P1× P2 I0es, por definici´on, el funcional asociado aB, se

tiene:

|I0(e1f)|=|B(f, e−1)| ≤ kBk · ke1fk2.

Luego, I0 es acotado en la norma de L2 y kI0k ≤ kBk. Por el teorema de

Hahn-BanachI0se extiende a un funcional acotado enL2y por lo tanto existe φ0∈L2 tal que

B(f, g) =I0(fg¯) =

Z

(7)

para todaf ∈ P1,g∈ P2 ykφ0k=kI0k ≤ kBk. Designando conPi i= 1,2 a la clausura de Pi en la norma kfk∞ := sup{|f(t)| : t ∈ T} y suponiendo

normalizada la medida de Lebesgue, se obtiene:

|I0(f¯g)|=|B(f, g)| ≤ kBk kfk∞kgk∞,

y B puede extenderse a P1× P2 ⊂ L2×L2 preservando la norma. A la

extensi´on la seguimos denotandoB.

Con las condiciones anteriores se prueba:

Demostraci´on. SiBes acotada entonces por el Lema 3.1 el funcional asociado

I0 es acotado en e1P1 ⊂L1 respecto de la norma de L1. Por el teorema de

Hahn-Banach I0 se extiende a un funcional continuo en L1 preservando su

(8)

P−f =

Como consecuencia inmediata de (3.4), (3.5) y (3.6) se obtiene

P−f =

1

2i(if−ico+ ˜f). (3.7)

El conjunto

L∞+ ˜L∞:={u+ ˜v:u, v∈L∞}

es la clase BMO. Dos funciones f, g de esta clase se dicen equivalentes si difieren en una constante. El espacio BMO es la clase BMO m´odulo las funciones constantes. Un estudio del espacio BMO puede verse en [6] y [13].

Corolario 3.2. Siφ∈L2_{, B}

φ es acotada si y s´olo siφ− =P−φ∈BM O.

Para una forma de Hankel acotadaB fija, la funci´onφ∈L∞_{del teorema}

de Nehari no es en general única. Un famoso teorema de Adamjan-Arov-Krein (A-A-K) establece que talφes única si y sólo siφ∈H∞₊_C₍_T_{) (donde C(T)}

es el espacio de las funciones continuas en T).

A continuación daremos otra condición de unicidad. Esto será ampliado más adelante.

Consideremos el funcionalI0 asociado aB. Como se sabe,

|I0(f)| ≤Ckfk1, ∀f ∈e1P1⇔ReI0(f)≤Ckfk1, ∀f ∈e1P1, I0(f) =ReI0(f)−iReI0(if), ∀f ∈e1P1.

PoniendoI1(f) =ReI0(f), resulta queI1es el funcional lineal real

asocia-do a B. El lema 3.1 dice que B es acotada si y s´olo siI1 es acotado en e1P1

respecto de la norma deL1_{y, por el teorema Hahn-Banach esto equivale a que}

exista un funcional real I′

est´an en correspondencia biun´ıvoca con las extensiones Hahn-Banach deI1a L1_{. Por lo tanto tenemos el siguiente resultado:}

Corolario 3.3. Dada la forma de Hankel acotada B, la φ del Teorema de Nehari es ´unica si y s´olo si el funcional lineal realI1(f) =ReI0(f) f ∈e1P1

asociado a B, tiene una ´unica extensi´onI′

(9)

Teorema 3.2 (Nehari, [9], [10]). Γ :H2→H−2 es un operador de Hankel acotado si y s´olo si existe φ ∈ L∞ _{tal que} _k_φ_k

∞ = kΓk y Γf = P−φf,

∀f ∈H2_.

A la funci´onφtambi´en se le llamas´ımbolo del operador de Hankel Γ y se denota por Γφ al operador dado por Γf =P−φf, ∀f ∈H2. Del Teorema 2.2

se caracterizan los Γφ de rango finito en el:

Teorema 3.3 (Kronecker). El operador de Hankel Γφf =P−φf, f ∈ H2 tiene rango finito n si y s´olo si φ= ¯βG con G∈H∞ _y _β _{un producto finito} de Blaschke conn ceros.

La demostraci´on puede verse en [3], [7], [10], [13].

Tenemos entonces, para los operadores Hankel Γ_βG¯ de rango finito n, la

descomposici´on H2₌_βH2_⊕_E

β con el espacio modeloEβ = (Ker ΓβG¯ )⊥ de

dimensión finita n. Teniendo en cuenta la proposición 2.1 y la definición del operadorG(Tβ) dada en la sección anterior se obtiene:

∀f ∈H2=βH2⊕Eβ, f =f1+f2, f1∈βH2, f2∈Eβ,

Γ_βG¯ (f1+f2) = Γ_βG¯ f2=P−βGf¯ 2= ¯ββP−βGf¯ 2= ¯βPβGf2= ¯βG(Tβ)f2.

O sea ΓβG¯ (f) = ¯βG(Tβ)(Pβf),∀f ∈H2.

Esto relaciona los operadores de Hankel con los operadores modelo. Como ΓβG¯ f = ΓβG¯ (Pβf) entonces

kΓβG¯ fk2≤ kΓβG¯ |Eβk kPβfk2≤ kΓβG¯ |Eβk kfk2

=kβG¯ (Tβ)k kfk2=kG(Tβ)k kfk2.

Por lo tanto, si los ceros deβ sonM1, . . . , Mn entonces vale:

Proposici´on 3.1. Las siguientes condiciones son equivalentes

a) kΓβG¯ k ≤1,

b) kG(Tβ)k ≤1,

c) kG(Tβ)∗k ≤1,

d) La matriz 1−G(Mk)G(Mj)

1−MkMj !n

k,j=1

(10)

4 El problema cl´

asico de Pick

Tal como se dijo en la introducci´on el problema de interpolaci´on de Pick es:

FijadosM1, . . . , Mn∈D y dadosw1, . . . , wn∈ChallarF ∈H∞(D)

tal que

F(Mj) =wj, j = 1, . . . , n, (4.1)

kFk_∞≤1. (4.2)

En 1916 G. Pick resolvió el siguiente problema más fácil, que se llamará

problema de Pick:

Encontrar condiciones necesarias y suficientes para que el problema de interpolaci´on tenga soluci´on.

Siempre existen funcionesG∈H∞₍_D_{) que satisfacen (4.1), por ejemplo:}

G(z) = que el problema puede plantearse en los siguientes t´erminos:

FijadosM1, . . . , Mn∈D y dadaG∈H∞(D) hallar F∈H∞(D)

tal queF(Mk) =G(Mk)parak= 1, . . . , n ykFk_∞≤1. Si el problema tiene soluci´onF, entonces la funci´on

H(z) =F(z⌢)−G(z)

tiene soluci´on, entonces la forma de Hankel Bβg verifica kBβgk ≤ 1, donde G=⌢g∈H∞(D) es la funci´on dada yβ es el producto de Blaschke de los ceros

M1, . . . , Mn.

Se prueba fácilmente que esta condición es también suficiente. As´ı, pues, tenemos la siguiente respuesta al problema:

El problema de Pick tiene soluci´on si y s´olo si la forma de Hankel

(11)

donde G=⌢g∈H∞₍_D_{) es la dada y} _β _{es el producto de Blaschke con ceros}

M1, . . . , Mn. Considerando lo antes expuesto y usando la misma notaci´on, tenemos:

Teorema 4.1. FijadosM1, . . . , Mn ∈D y dada G∈H∞(D)son

equivalen-tes:

a) ExisteF ∈H∞₍_D₎_{tal que}_k_F_k

∞≤1 yF(Mk) =G(Mk),k= 1, . . . , n.

b) kB_βGk ≤1. c) kΓ_βGk ≤1. d) kG(Tβ)k ≤1.

e) kG(Tβ)∗k ≤1.

f ) La matriz

1−G(Mk)G(Mj) 1−MkMj

!n

j,k=1

es positiva semidefinida.

La equivalencia dea) yf )es el teorema de Pick.

Corolario 4.1. SiM1, . . . , Mn∈D y siQ(z) =a0+a1z+· · ·+amzmes tal

que |Q(z)| ≤1,∀z∈D, entonces la matriz

1−Q(Mk)Q(Mj) 1−MkMj

!n

k,j=1

es positiva semidefinida.

Corolario 4.2. SeaH un espacio de Hilbert de dimensi´on finitany seaT ∈

L(H)tal que kTk ≤1 con n autovalores enD. Sea Q(z) =a0+a1z+· · ·+ amzm un polinomio cualquiera. Si|Q(z)| ≤1,∀z∈D, entonceskQ(T)k ≤1. Corolario 4.3 (Desigualdad de Von Neumann, [14]). SiH es un espacio de Hilbert separable, T ∈ L(H), kTk ≤1 y Q(z) =a0+a1z+· · ·+amzm,

donde |Q(z)| ≤1,∀z∈D¯, entonceskQ(T)k ≤1.

(12)

5 Criterio de unicidad para extensi´

on de

funcionales.

Sea E un espacio seminormado con seminorma p, L0 ⊂ E un subespacio

vectorial eI1:L0→Run funcional lineal real tal queI1(f)≤p(f),∀f ∈L0.

Sean

F(I1, p) :={I:E→:R lineal, I(f)≤p(f)f ∈E, I/L0=I1}

e

p(f) := inf{I1(g) +p(f−g) :g∈L0}paraf ∈E.

Se satifacen:

a) p_e(f1+f2)≤ep(f1) +pe(f2) ype(αf) =αpe(f) siα≥0,

b) pe(f)≥ −pe(−f),ep(f)≤p(f).

SiI∈F(I1, p) entonces, para todag∈L0,f ∈E, I(f) =I(f−g) +I1(g)≤I1(g) +p(f−g),

por lo tantoI(f)≤p_e(f) para todaf ∈E. Lema 5.1. Dado e ∈ E existen I, I′ _∈ _F₍_I

1,p) tales que I(e) = pe(e) y I′₍_e_{) =}₋_p_˜₍₋_e₎_.

Proposición 5.1. Existe una única I ∈F(I1, p) si y sólo si pe(e) =−pe(−e)

para todo e∈E si y s´olo si epes lineal. En tal caso I=pe.

Observemos que no sólo se da un criterio de unicidad sino que, además, se prueba que si la extensión es única entonces se puede escribir expl´ıcitamente cómo es esta extensión. Se tiene, además, que sie1, e2∈E verifican ˜p(e1) =

−p˜(−e1) y ˜p(e2) =−p˜(−e2) entonces ˜p(e1+e2) =−p˜(−(e1+e2)). Luego, si e0, e1, . . .∈E son tales que E=L0+Lin{e0, e1, . . .}, dondeLin{e0, e1, . . .}

es la c´apsula lineal real generada pore0, e1. . . ., entoncesI∈F(I1, p) es ´unico

si y s´olo si ˜p(en) =−p˜(−en) para todon= 0,1, . . ..

Las ideas relacionadas con el procedimiento anterior se encuentran en [5] (Cf. Cap. III Teorema 1.2.3 y 1.2.2) y [8]. Las demostraciones en [3].

Aplicando este criterio, y con la misma notaci´on, tenemos en los casos del teorema de Nehari y el problema de Pick: E=L1₍_T₎_, _L

0=eitP1,

{e0, e1, . . .}={e0(t), e1(t), . . .} ∪ {ie0(t), ie1(t), . . .}

(con en(t) =e−int,n≥0),

p(f) =||B|| ||f||1y podemos suponer ||B||= 1, as´ı

(13)

Corolario 5.1. SiBes una forma de Hankel acotada,I0el funcional asociado

aB definido eneit_P

1

I1(f) =ReI0(f) =Re

Z

T

f φdt paraφ∈L2,

entonces la funci´on φ∈L∞ _{del teorema de Nehari es ´}_{unica si y s´}_{olo si para} todo n≥0

a) inf{||g1−en||1+||g2+en||1+I1(g1+g2) :g1, g2∈eitP1} ≤0,

b) inf{||g1−en||1+||g2+en||1+I1(ig1+ig2) :g1, g2∈eitP1} ≤0.

Corolario 5.2. El problema de Pick tiene solución única si y sólo si, para todo n≥0

a) inf{||g1−en||1+||g2+en||1+I1(g1+g2) :g1, g2∈eitP1} ≤0,

b) inf{||g1−en||1+||g2+en||1+I1(ig1+ig2) : g1, g2 ∈ eitP1} ≤0, donde I1(f) =Re BβG¯ (f, e−it).

Referencias

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(14)

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