Diktat Aljabar Linear II
1
Jawaban Ujian Sisipan I_Karyati E_mail: karyati@uny.ac.id
JAWABAN UJIAN SISIPAN I
1. Diketahui : V ruang vektor, E U,U sub ruang vektor V Dibutktikan : Span[E] U
Bukti:
Misal E {x1,x2,...,xn}. Ambil sebarang x Span[E], maka x 1x1 2x2 ... nxn untuk i R. Karena U sub ruang vektor V, maka ixi U yang juga berakibat
n n 2
2 1
1x x x
x ... U.
2. Bentuk : ax2 b(1 x2) 0 0x 0x2
2
2 0 0x 0x
x b a
b ( )
Persamaan di atas dipenuhi untuk a 0, b 0. Sehingga vektor-vektor tersebut bebas linear.
Jelas bahwa Span[E] P2. Selanjutnya dibuktikan P2 Span[E]
Ambil sebarang a bx cx2 P2, selanjutnya dicari , R sedemikian sehingga
dipenuhi : a bx cx2 x2 (1 x2)
a bx cx2 ( )x2
Diperoleh : a, c a. Penyelesaian ini hanya konsisten ketika b 0, dengan demikian tidak semua elermen di P2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari
} ,
{x21 x2 .
Cara 2:
Telah dibuktikan E {x2,1 x2} bebas linear. Sehingga Span[E] ruang vektor berdimensi
2. Diketahui bahwa P2 berdimensi 3. Menurut sifatnya {x2,1 x2} P2 tidak mungkin merentang P2, dengan kata lain Span[E] P2.
Contoh: Semua vektor a bx cx2 P2 dengan b 0 bukan elemen di Span[E]
3. Untuk a dan d : Himpunan vektor dengan banyak elemen lebih besar dari dimensinya dijamin bergantung linear, sehingga bukan basis
Untuk b dan c : Himpunan vektor dengan banyak elemen lebih kecil dari dimensinya dijamin tidak merentang , sehingga bukan basis
4. Dengan menggunakan OBE:
0 0 0
13 3
3 1
11 4 1 2
5 9 3 1
1 R 3 R
1 R 2 2 R
0 0 0
8 12 6 0
21 14 7 0
5 9 3 1
3 R 6 1
2 R 7 1
0 0 0
2 1 0
3 2 1 0
5 9 3 1
Diktat Aljabar Linear II
2
Jawaban Ujian Sisipan I_Karyati E_mail: karyati@uny.ac.id
2 R 3 R
0 0 0
0 0 0
3 2 1 0
5 9 3 1
3 13
2 R 3 1 R 3 R 13 3
0 0 0
1 3 4
0 0 0
2 1 0
3 0 1
3 R 3 2 R
3 R 4 1 R
0 0 0
1 0 0 0
0 2 1 0
0 3 0 1
Sehingga penyelesaian SPL homogen di atas adalah:
R t t
0 1 2 3
0 t t 2
t 3
d c b a
,
Jadi basis untuk ruang penyelesaian SPL homogennya adalah: {3, 2,1,0}
5. Basis dari ruang kolom:
1 R 5 4 R
1 R 9 3 R
1 R 3 2 R
13 11 5
3 4 9
3 1 3
1 2 1
2 R 2 3 R
8 1 0
12 14 0
6 7 0
1 2 1
4 R 3 R
8 1 0
0 0 0
6 7 0
1 2 1
2 R 7 4 R
6 7 0
0 0 0
8 1 0
1 2 1
4 R 62 1
62 0 0
0 0 0
8 1 0
1 2 1
1 0 0
0 0 0
8 1 0
1 2 1
JAdi basis ruang yang dibangun oleh kolom-kolom matriks koefisien tersebut adalah: )
, , ( ), , , ( ), , ,
(121 01 8 001
6. Himpunan U f F(S,V) f(s) W F(S,V), dengan F(S,V) ruang vektor terhadap operasi standart yang didefinisikan sebagai berikut:
g
f didefinisikan f g(s) f(s) g(s)
f didefinisikan f (s) f(s)
Sehingga untuk membuktikan U f F(S,V) f(s) W F(S,V) sebagai ruang vektor cukup dibuktikan U merupakan sub ruang vektor:
Ambil f,g U, sehingga f(s),g(s) W. Diketahui Wsub ruang vektor, maka W
s g s
f( ) ( ) atau f g(s) W. Dengan demikian (f g) U
Ambil Udan f U, sehingga f(s) W. Diketahui W sub ruang vektor, maka W
s
